考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷1（共135題）

考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷1（共9套）（共135題）考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第1套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、計算二重積分，其中D是由x軸，y軸與曲線所圍成的區(qū)域，a＞0，b＞0。標準答案：積分區(qū)域D如圖1—4—17的陰影部分所示。知識點解析：暫無解析2、設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+，求f(x)的最小值。標準答案：由題意f’(x)=，令f’(x)=0，得唯一駐點x=1。當x∈(0，1)時，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(1，+∞)時，f’(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增。所以函數(shù)在x=1處取得最小值f(1)=1。知識點解析：暫無解析3、已知3階矩陣A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全為零，矩陣(k為常數(shù))，且AB=0，求線性方程組Ax=0的通解．標準答案：由AB=0知，B的每一列均為Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3．(1)若k≠9，則，r(B)=2，于是r(A)≤1，顯然r(A)≥1，故r(A)=1．此時Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為3一r(A)=2，矩陣B的第一、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Ax=0的通解為:，k1，k2為任意常數(shù)．(2)若k=9，則r(B)=1，從而1≤r(A)≤2．①若r(A)=2，則Ax=0的通解為：，k1為任意常數(shù)．②若r(A)=1，則Ax=0的同解方程組為：ax1+bx2+cx3=0，不妨設(shè)a≠0，則其通解為k1，k2為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析4、設(shè)變換，求常數(shù)a標準答案：將u，v作為中間變量，則函數(shù)關(guān)系為z=f(u，v)，則有將上述式子代入方程=0．根據(jù)題意得解得a=3．知識點解析：暫無解析5、設(shè)函數(shù)u(x，y)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，滿足=0，又滿足下列條件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x2(即u’x(x，y)｜y=2x=x2)，求u"xx(x，2x)，u"xy(x，2x)，u"yy(x，2x)．標準答案：將u(x，2x)=x兩邊對x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及u’x(x，2x)=x2得u’x(x，2x)+2u’y(x，2x)=1，u’y(x，2x)=(1－x2)．現(xiàn)將u’x(x，2x)=x2，u’y(x，2x)=(1－x2)分別對x求導(dǎo)得u"xx(x，2x)+2u"xy(x，2x)=2x，①u"yx(x，2x)+2u"yy(x，2x)=－x．②①式×2－②式，利用條件u"xx(x，2x)－u"yy(x，2x)=0及u"xy(x，2x)=u"yx(x，2x)得3u"xy(x，2x)=5x，u"xy(x，2x)=．代入①式得u"xx(x，2x)=u"yy(x，2x)=知識點解析：暫無解析6、已知齊次線性方程組的所有解都是方程b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解。試證明線性方程組有解。標準答案：由已知齊次線性方程組的所有解都是方程b1x1+b1x2+…+bnxn=0(2)的解，可知方程組(1)與方程組由r(A)=r(AT)，r(B)=r(BT)，所以r(AT)=r(BT)，即方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，故線性方程組有解。知識點解析：暫無解析7、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：∫01ef(x)dx∫01e-f(y)≥1．標準答案：知識點解析：暫無解析8、求微分方程yy"=y’2滿足初始條件y(0)=y’(0)=1的特解．標準答案：令y’=P，則y"=，代入原方程得當p=0時，y=1為原方程的解；當p≠0時，由由y(0)=y’(0)=1得C1=1，于是，解得=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解為y=ex．知識點解析：暫無解析9、設(shè)矩陣A與B相似，且求可逆矩陣P，使P一1AP=B。標準答案：由A～B有于是得a=5，b=6。且由A一B，知A與B有相同的特征值，于是A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=6。當λ=2時，解齊次線性方程組(2E—A)x=0得到基礎(chǔ)解系為α1=(1，一1，0)T，α2=(1，0，1)T，即屬于λ=2的兩個線性無關(guān)的特征向量。當A=6時，解齊次線性方程組(6E一A)x=0，得到基礎(chǔ)解系是(1，一2，3)T，即屬于λ=6的特征向量。令P=(α1,α2,α3)=則有P一1AP=B。知識點解析：暫無解析10、證明：n＞3的非零實方陣A，若它的每個元素等于自己的代數(shù)余子式，則A是正交矩陣．標準答案：由題設(shè)，aij=Aij，則A*=AT，即AA*=AAT=｜A｜E．兩邊取行列式，得｜A｜2=｜A｜n，得｜A｜2(｜A｜n一2一1)=0．因A是非零陣，設(shè)aij≠0，則｜A｜按第i行展開有｜A｜=＞0，故｜A｜≠0，從而由｜A｜2(｜A｜一1)=0，得｜A｜=1，故AA*=AAT=｜A｜E=E，A是正交矩陣．知識點解析：暫無解析11、設(shè)A，B是n階方陣，B及E+AB可逆，證明：E+BA也可逆，并求(E+BA)-1．標準答案：(E+BA)=B(B-1+A)=B(E+AB)B-1，因B，E+AB可逆，故E+BA可逆，且(E+BA)-1=[B(E+AB)B-1]-1=B(E+AB)-1B-1．知識點解析：暫無解析設(shè)直線y=ax與拋物線y=x2所圍成的圖形面積為S1，它們與直線x=1所圍成的圖形面積為S2，且a＜1．12、確定a，使S1+S2達到最小，并求出最小值；標準答案：直線y=ax與拋物線y=x2的交點為(0，0)，(a，a2)．當0＜a＜1時，S=S1+S2=令S’=a2-時，S1+S2取到最小值，此時最小值為當a≤0時，S=因為S’=＜0，所以S(a)單調(diào)減少，故a=0時S1+S2取最小值，而S(0)S1+S2時最小知識點解析：暫無解析13、求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標準答案：旋轉(zhuǎn)體的體積為知識點解析：暫無解析14、解方程(3χ2＋2)y〞＝6χy′，已知其解與eχ－1(χ→0)為等價無窮?。畼藴蚀鸢福河?3χ2＋2)y〞＝6χy′得＝0，或＝0，從而y′＝C1(3χ2＋2)，解得y＝C1χ3＋2C1χ＋C2，因為C1χ3＋2C1χ＋C2～eχ－1～χ，所以C1＝，C2＝0，故所求的解為y＝χ3＋2χ．知識點解析：暫無解析15、設(shè)z=yf(x2-y2)，求標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第2套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)A=，求An．標準答案：A的秩為2，不符合例2．5注的條件，不能用例2．5的方法直接求A的方冪．我們先求A2．A2=2A即AA=2A，A在乘A上的作用相當于2乘A，于是An=An－1A=2n－1A．知識點解析：暫無解析2、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=f’(0)=0，f"(0)≠0，設(shè)u(x)為曲線y=f(x)在點(x，f(x))處的切線在x軸上的截距，求標準答案：曲線y=f(x)在點(x，f(x))的切線為Y-f(x)=f’(x)(X-x)，令Y=0，則u(x)=X=x-知識點解析：暫無解析3、已知，AP=PB，求A與A5．標準答案：由AP=PB得A=PBP-1，知識點解析：暫無解析4、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在直線x+y=6，x軸與y軸圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值．標準答案：先求在D內(nèi)的駐點，即再求f(x，y)在D邊界上的最值(1)在x軸上y=0，所以f(x，0)=0．(2)在y軸上x=0，所以f(0，y)=0．(3)在x+y=6上，將y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x一6)，因此fx’=6x2—24x=0．得x=0(舍)，x=4．所以y=6一x=2．于是得駐點相應(yīng)的函數(shù)值f(4，2)=x2y(4一x一y)｜(4,2)=一64．綜上所述，最大值為f(2，1)=4，最小值為f(4，2)=一64．知識點解析：暫無解析5、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，f(0)＝0，∫01f(χ)dχ＝0．證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξ＝f(χ)dχ＝ξf(ξ)．標準答案：令φ(χ)＝因為f(χ)在[0，1]上連續(xù)，所以φ(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，又φ(0)＝0，φ(1)＝∫01f(χ)dχ＝0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(φ)＝，所以∫0ξf(χ)dχ＝ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析6、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析7、設(shè)A是一個可逆實對稱矩陣，記Aij是它的代數(shù)余子式．二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj.(1)用矩陣乘積的形式寫出此二次型．(2)f(x1，x2，…，xn)的規(guī)范形和XTAX的規(guī)范形是否相同?為什么?標準答案：(1)由于A是實對稱矩陣，它的代數(shù)余子式Aij=Aij，，j，并且A-1也是實對稱矩陣，其(i，j)位的元素就是Aij／｜A｜，于是f(x1，2，…，xn)=XTA-1X．(2)A-1的特征值和A的特征值互為倒數(shù)關(guān)系，因此A-1和A的正的特征值的個數(shù)相等，負的特征值的個數(shù)也相等，于是它們的正，負慣性指數(shù)都相等，從而A-1和A合同，f(x1，x2，…，xn)和XTAX有相同的規(guī)范形．知識點解析：暫無解析8、設(shè)A和B都是m×n實矩陣，滿足r(A+B)=n，證明ATA+BTB正定．標準答案：用正定的定義證明．顯然ATA，BTB都是n階的實對稱矩陣，從而ATA+BTB也是n階實對稱矩陣由于r(A+B)=n，n元齊次線性方程組(A+B)X=0沒有非零解.于是，當α是一個非零n維實的列向量時，(A+n)a≠0，因此Aα與Bα不會全是零向量，從而αT(ATA+BTB)α=αTATAα+αTBTBα=‖Aα‖2+‖Bα‖2＞00．根據(jù)定義，ATA+BTB正定．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：9、存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；標準答案：令F(x)=，則F(a)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得=F(b)-F(a)=F’(c)(b-a)=f(f)(b-a)=0，即f(c)=0．知識點解析：暫無解析10、存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；標準答案：令h(x)=exf(x)，因為h(a)=h(c)=(n)=0，所以由羅爾定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．知識點解析：暫無解析11、存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=f(ξ)；標準答案：令φ(x)=e-x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f’’(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f’’(ξ)=f(ξ)．知識點解析：暫無解析12、存在η∈(a，b)，使得f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0．標準答案：令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由羅爾定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f’(η1)-f(η1)=0，f’(η2)-f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f’(x)-f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由羅爾定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f(x)-3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，所以f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0．知識點解析：暫無解析13、求下列冪級數(shù)的收斂域：標準答案：當x=-1時，級數(shù)為且un≥un+1，由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂，因此原級數(shù)的收斂域為[-1，1)．(3)由比值判別法，有(4)由比值判別法，有故當x2＜4，即|x|＜2時，原級數(shù)收斂．綜上，原級數(shù)收斂域為(一2，2)．知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)某商品的需求量Q是價格P的函數(shù)，該商品的最大需求量為1000(即P＝0時，Q=1000)，已知需求量的變化率(邊際需求)為求需求量Q與價格P的函數(shù)關(guān)系．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第3套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、一個高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a，短軸為2b的橢圓?，F(xiàn)將貯油罐平放，當油罐中油面高度為時(如圖1一3—4)，計算油的質(zhì)量。(長度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為常數(shù)ρkg/m3。)標準答案：如圖1—3—11，建立直角坐標系，則油罐底面橢圓方程為圖中陰影部分為油面與橢圓所圍成的圖形。記S1為下半橢圓面積，則，記S2是位于x軸上方陰影部分的面積，則S2=記y=bsint，則dy=bcostdt，則因此可知油的質(zhì)量為知識點解析：暫無解析2、已知線性方程組的一個基礎(chǔ)解系為(b11,b12,…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2…，bn,2n)T．試寫出線性方程組的通解，并說明理由．標準答案：設(shè)方程組(I)與(Ⅱ)的系數(shù)矩陣分別為A和B，則由(I)的基礎(chǔ)解系可知ABT=O，于是BAT=(ABT)T=O，所以A的n個行向量的轉(zhuǎn)置也是方程組(Ⅱ)的n個解向量．由于(b11,b12，…，b1,2n)T，(bn1，bn2，…，bn,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bb,2n)T為方程組(I)的基礎(chǔ)解系，所以該向量組線性無關(guān)，故r(B)=n，從而方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系解向量的個數(shù)為2n—n=n．又由于方程組(I)的未知數(shù)的個數(shù)為2n，基礎(chǔ)解系解向量的個數(shù)為n，所以方程組(I)的系數(shù)矩陣的秩r(A)=n，于是A的n個行向量的轉(zhuǎn)置是線性無關(guān)的，從而構(gòu)成方程組(Ⅱ)的一個基礎(chǔ)解系，于是方程組(Ⅱ)的通解為y=k1(a11，a12，…，a1,2n)T+k2(a21，a22，…，a2,2n)T+…+kn(an1，an2，…，an,2n)T，其中k1，k2，…，kn為任意常數(shù)．知識點解析：本題考查齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念和通解的結(jié)構(gòu)以及方程組系數(shù)矩陣的秩與基礎(chǔ)解系中解向量個數(shù)的關(guān)系．3、設(shè)f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證：∫abf(x)dx=(b－a)[f(a)+f(b)]+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．標準答案：連續(xù)利用分部積分有∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x－b)=f(a)(b－a)－∫abf’(x)(x－b)d(x－a)=f(a)(b－a)+∫ab(x－a)d[f’(x)(x－b)=f(a)(b－a)+∫ab(x－a)df(x)+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx=f(a)(b－a)+f(b)(b－a)－∫abf(x)dx+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．移項后得∫abf(x)dx=(b－a)[f(a)+f(b)]+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．知識點解析：暫無解析4、設(shè)f(x，y)=其中D={(x，y)|x2+y2≥2x)．標準答案：知識點解析：暫無解析5、設(shè)一∞＜x＜+∞，y＞0．證明xy≤ex-1+ylny，并指出何時等號成立．標準答案：由于y＞0，令f(x)=xy—ex-1-ylny，一∞＜x＜+∞，有f(x)=y一ex-1．令f’(x)=0，得唯一駐點x0=1+lny．又f"(x)=一ex-1＜0，所以f(x0)=y(1+lny)-y--ylny=0為f(x)的最大值，所以xy—ex-1一ylny≤0，當且僅當x=1+lny時等號成立．證畢．知識點解析：暫無解析6、設(shè)A為3階方陣，A*是A的伴隨矩陣，A的行列式，求行列式｜(3A)－1＝2A*｜的值．標準答案：；知識點解析：暫無解析7、求曲線y=的一條切線l，使該曲線與切線l及直線x=0，x=2所圍成圖形的面積最?。畼藴蚀鸢福褐R點解析：暫無解析8、鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比，在擊第一次時，將鐵釘擊入木板1cm．如果鐵錘每次打擊鐵釘所作的功相等，問鐵錘擊第二次時，鐵釘又擊入多少?標準答案：由題設(shè)知阻力f=kx(其中k為比例系數(shù))，設(shè)第二次錘擊時擊入了Lcm，則第一次錘擊時所作的功W1=∫01kxdx=(2L+L2)．因W1=W2，故有L2+2L=1．解方程得L=一1±一1(cm)知識點解析：暫無解析9、用變量代換x=cost(0＜t＜π)化簡微分方程(1一x2)y’’一xy’+y=0，并求其滿足y｜x=0=1，y’｜x=0=2的特解．標準答案：知識點解析：暫無解析10、設(shè)A為n階非奇異矩陣，α為n維列向量，b為常數(shù)．記分塊矩陣其中A*是矩陣A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣．(1)計算并化簡PQ；(2)證明：矩陣Q可逆的充分必要條件是αTA-1α≠b．標準答案：(1)(2)由(1)得|P|.|Q|=|PQ|=|A|2(b一αTA-1α)|Q|=|A|(b一αTA-1α)．Q可逆|Q|≠0αTA-1α≠b．知識點解析：暫無解析11、已知向量組α1，α2，…，αs+1(s＞1)線性無關(guān)，βi=αi+tαi+1，i=1，2，…，s．證明：向量組β1，β2，…，βs線性無關(guān)．標準答案：設(shè)有數(shù)k1，k2，…，ks，使得k1β1+k2β2+…+ksβs=0成立，即k1(α1+tα2)+k2(α2+tα3)+…+ks(αs+tαs+1)=k1α1+(k1t+k2)α2+(k2t+k3)α3+…+(ks一1+ks)αs+kstαs+1=0．因α1，α2，…，αs+1線性無關(guān)，故得唯一解k1=k2=…=ks=0，故β1，β2，…，βs線性無關(guān)．知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．將曲線y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x軸所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體體積為，求：12、f(x)；標準答案：由題設(shè)知，[a2f(a)-f(1)]，兩邊對a求導(dǎo)，得3f2(a)=2af(a)+a2f’(a)知識點解析：暫無解析13、f(x)的極值．標準答案：因為f’(x)=知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-Ax)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0為一全微分方程，求f(x)．標準答案：由全微分方程的充要條件得到x2+2xy-f(x)=f"(x)+2xy，即f”(x)+f(x)=x2，解之得通解為f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2．由f(0)=0，f’(0)=1，解得C1=2，C2=1，因此f(x)=2cosx+sinx+x2-2．知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第4套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求標準答案：知識點解析：暫無解析2、標準答案：因為當x→0時，知識點解析：暫無解析3、設(shè)當a，b為何值時，存在矩陣C使得AC—CA=B，并求所有的矩陣C．標準答案：設(shè)則AC—CA=B成立的充分必要條件為對方程組的增廣矩陣施以初等行變換得當a≠一1或b≠0時，方程組(*)無解．當a=一1或b=0時，方程組(*)有解，通解為綜上，當且僅當a=一1或b=0時，存在滿足條件的矩陣C，且知識點解析：本題考查解矩陣方程．要求考生會將矩陣方程轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組求解．4、求使不等式對所有的自然數(shù)n都成立的最大的數(shù)α和最小的數(shù)β標準答案：已知不等式等價于即令g(x)=(1+x)ln2(1+x)一x2，x∈[0，1]，則g(0)=0，且g’(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)一2x，g’(0)=0，故g’(x)在[0，1]上嚴格單調(diào)遞減，所以g’(x)＜g’(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也嚴格單調(diào)遞減，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)-x2＜0，從而f’(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也嚴格單調(diào)遞減．故使不等式對所有的自然數(shù)n都成立的最大的數(shù)α為知識點解析：暫無解析5、已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)=求該微分方程的解y=y(x)滿足y(0)=0．標準答案：當0≤x≤1時，y’+y=2的通解為y=C1e-x+2；當x＞1時，y’+y=0的通解為y=C2e-x，由y(0)=0得C1=-2，再由C1e-1+2=C2e-1得C2=2e一2，故所求的特解為知識點解析：暫無解析6、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且g(x)＞0，證明：存在一點ξ∈[a，b]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．標準答案：因f(x)在[a，b]上連續(xù)，故m≤f(x)≤Mm∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx，知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可微，當0≤x＜1時，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．討論在(0，1)內(nèi)存在唯一的點ξ，使得f(ξ)=∫0ξf(t)dt．標準答案：先證存在性．令g(x)=f(x)一∫0xf(t)dt，則g(x)在[0，1]上連續(xù)，又g(0)=f(0)＞0，g(1)=f(1)一∫01f(t)dt=∫01[f(1)-f(t))]dt＜0．由零點定理知，存在ξ∈(0，1)使得g(ξ)=0，即f(ξ)=∫0ξf(t)dt．再證唯一性，用反證法．假設(shè)存在ξ1，ξ2(ξ1≠ξ2)滿足f(ξ)=∫0ξf(t)dt．不妨設(shè)ξ1＜ξ2．顯然g(ξ1)=g(ξ2)=0，由羅爾定理，存在η∈(ξ1，ξ2)使得g’(η)=0，即f’(η)-f(η)=0．這與條件f’(x)≠f(x)矛盾．即假設(shè)不成立．因此滿足f(ξ)=∫0ξf(t)dt的ξ是唯一的．知識點解析：暫無解析8、設(shè)函數(shù)z=f(u)，方程u=ψ(u)+∫yxP(t)dt確定u是x，y的函數(shù)，其中f(u)，ψ(u)可微，P(t),ψ’(u)連續(xù)，且ψ(u)≠1．求標準答案：在方程u=ψ(u)+∫yxP(t)dt兩邊分別對x，y求偏導(dǎo)數(shù)，得知識點解析：暫無解析9、已知標準答案：記α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，γ=(c1，c2，c3)T，所求行列式相應(yīng)的矩陣為：(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)．將它對(α，β，γ)做矩陣分解，得(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)=(α，β，γ)兩邊求行列式，得所求行列式的值：｜λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα｜=｜α，β，γ｜=3(λ3+μ3)．知識點解析：暫無解析10、已知y"+(x+e2y)y’3=0，若把x看成因變量，y看成自變量，則方程化為什么形式？并求此方程通解．標準答案：原方程化為xy"一x=e2y，通解為：x=C1ey+C2e一y+e2y知識點解析：暫無解析11、設(shè)矩陣的特征值有一個二重根，求a的值，并討論矩陣A是否可相似對角化。標準答案：矩陣A的特征多項式為｜λE—A｜==(λ一2)(λ2一8λ+18+3a)。如果λ=2是單根，則λ2一8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即a=。則A的特征值是2，4，4，而r(4E一A)=2，故λ=4只有一個線性無關(guān)的特征向量，從而A不能相似對角化。如果λ=2是二重特征值，則將λ=2代入λ2一8λ+18+3A=0可得A=一2。于是λ2一8λ+18+3A=(λ一2)(λ一6)。則矩陣A的特征值是2，2，6，而r(2E—A)=1，故λ=2有兩個線性無關(guān)的特征向量，從而A可以相似對角化。知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(χ)＝，且f(0)＝1，求f(χ)．標準答案：由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝≥＋1．知識點解析：暫無解析13、用配方法化下列二次型為標準型(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3．(2)f(x1，x2，x3)=x1x2+x1x3+x2x3．標準答案：(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3=[x12+2x1x2-2x1x3+(x2-x3)2]-(x2-x3)2+2x22+2x2x3=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3-x32=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3+4x32-5x32=(x1+x2-x3)2+(x2+2x3)2-5x32.令原二次型化為f(x1，x2，x3)=y12+y22-5y32．從上面的公式反解得變換公式：變換矩陣(2)這個二次型沒有平方項，先作一次變換f(x1，x2，y3)=y12-y22+2y1y3．雖然所得新二次型還不是標準的，但是有平方項了，可以進行配方了：．y12-y22+2y1y3=(y1+y3)2-y22-y32．令即則f(x1，x2，x3)=z12-z22-z32．變換公式為變換矩陣知識點解析：暫無解析設(shè)A為n階非奇異矩陣，α是n維列向量，b為常數(shù)，P=14、計算PQ；標準答案：PQ=知識點解析：暫無解析15、證明PQ可逆的充分必要條件是αTA-1α≠b．標準答案：｜PQ｜=｜A｜2(b-αTA-1α)，PQ可逆的充分必要條件是｜PQ｜≠0，即αTA-1α≠b．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第5套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、標準答案：根據(jù)迫斂定理，知識點解析：暫無解析2、設(shè)a＞1，f(t)=at一at在(一∞，+∞)內(nèi)的駐點為t(a)。問a為何值時，t(a)最小?并求出最小值。標準答案：令f’(t)=atlna—a=0，解得f(t)的駐點為t(a)=1—。對t(a)關(guān)于a求導(dǎo)，可得t’(a)=，令t’(a)＞0，解得a＞ee。則當a＞ee時，t(a)單調(diào)遞增；當1＜a＜ee時，t(a)單調(diào)遞減。所以當a=ee時，t(a)最小，且最小值為t(ee)=1一。知識點解析：暫無解析3、求微分方程y"+5y’+6y=2e一x的通解．標準答案：所給微分方程的特征方程為r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根為r1=一2，r2=一3．于是，對應(yīng)齊次微分方程的通解為(x)=C1e一2x+C2e一3x．設(shè)所給非齊次方程的特解為y*=Ae一x．將y*代入原方程，可得A=1．由此得所給非齊次方程的特解y*=e一x．從而，所給微分方程的通解為y(x)=C1e一2x+C2e一3x+e一x，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析4、設(shè)α1，α2，…，αn(n≥2)線性無關(guān)，證明：當且僅當n為奇數(shù)時，α1+α2，α2+α3，…，αn+α1線性無關(guān)．標準答案：設(shè)有x1，x2，…，xn，使x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0，即(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0，因為α1，α2，…，αn線性無關(guān)，所以有，該方程組系數(shù)行列式Dn=1+(-1)n+1，n為奇數(shù)α1+α2，α2+α3，…，αn+α1線性無關(guān)．知識點解析：暫無解析5、為清除井底污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，設(shè)井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度為3m／s，在提升過程中，污泥以20N／S的速度從抓斗中漏掉，現(xiàn)將抓斗從井底提升到井口，問克服重力做功多少?標準答案：設(shè)拉力對空斗所做的功為W1，則W1=400×30=12000J．設(shè)拉力對繩所做的功為W2，任取[x，x+dx][0，30]，dW2=50(30-x)dx，則W2=∫030dW2=22500J．設(shè)拉力對污泥做功為W3，任取[t，t+dt][0，10]，dW3=(2000-20t)×3dt，則W3=∫010dW3=57000J，拉力克服重力所做的功為W=W1+W2+W3=91500J．知識點解析：暫無解析6、位于上半平面的上凹曲線y＝y(tǒng)(χ)過點(0，2)，在該點處的切線水平，曲線上任一點(χ，y)處的曲率與及1＋y′2之積成反比，比例系數(shù)為k＝，求y＝y(tǒng)(χ)．標準答案：因為p(2)＝0，所以C1＝0，故y′＝P＝±，進一步解得，因為y(0)＝2，所以C2＝0，故曲線方程為y＝＋2．知識點解析：暫無解析7、討論方程組的解的情況，在方程組有解時求出其解，其中a，b為常數(shù)．標準答案：D＝＝－(a＋1)(b＋2)．(1)當a≠－1，b≠－2時，因為D≠0，所以方程組有唯一解，由克拉默法則得(2)當a＝－1，b≠－2時，當b≠－1時，方程組無解當b＝－1時，方程組的通解為X＝(k為任意常數(shù))．(3)當a≠一1，b＝－2時，方程組的通解為X＝(k為任意常數(shù))．當a≠1時，顯然r(A)＝2≠r()＝3，方程組無解．知識點解析：暫無解析8、設(shè)且A～B．(1)求a；(2)求可逆矩陣P，使得P-1AP＝B．標準答案：(1)因為A～B，所以tr(A)＝tr(B)，即2＋a＋0＝1＋(－1)＋2，于是a＝0．(2)由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)(λ－1)(λ－2)＝0得A，B的特征值為λ1＝－1，λ2＝－1，λ3＝2．當λ＝－1時，由(－E－A)X＝0即(E＋A)X＝0得ξ1＝(0，－1，1)T；當λ＝1時，由(E－A)X＝0得ξ2＝(0，1，1)T；當λ＝2時，(2E－A)X＝0得毒ξ3＝(1，0，0)T，取P1＝，則P1-1AP1＝當λ＝－1時，由(－E－B)X＝0即(E＋B)X＝0得η1＝(0，1，2)T；當λ＝1時，由(E－B)X＝0得η2(1，0，0)T；當λ＝2時，由(2E－B)X＝0得η3＝(0，0，1)T，取P2＝，則P1-1BP2＝由P1-1AP1＝P2-1BP2得(P1P2-1)-1A(P1P2-1)＝B，取P＝P1P2-1＝，則P-1AP＝B．知識點解析：暫無解析設(shè)線性方程組9、求線性方程組(Ⅰ)的通解；標準答案：令A(yù)=由A=方程組(Ⅰ)的通解為X=知識點解析：暫無解析10、m，n取何值時，方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)有公共非零解；標準答案：當m=-2或n=3時，兩個方程組有公共的非零解．知識點解析：暫無解析11、m，n取何值時，方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解．標準答案：當m=-2，n=3時，兩個方程組同解．知識點解析：暫無解析12、設(shè)a是整數(shù)，若矩陣A=的伴隨矩陣A*的特征值是4，-14，-14．求正交矩陣Q，使QTAQ為對角形．標準答案：｜A*｜=4×(-14)×(-14)=282，由｜A*｜=｜A｜2得｜A｜=28或｜A｜=-28．=-6a-40．若-6a-40=28，則a=，不合題意，舍去；若-6a-40=-28，則a=-2，從而A=A的特征值為λ1=-7代入(λE-A)X=0，由-7E-A=得λ1=-7對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1=知識點解析：暫無解析13、設(shè)(1)驗證它是某個二元函數(shù)u(x，y)的全微分；(2)求出u(x，y)；(3)計算標準答案：(1)故當x2+y2≠0時,為某個二元函數(shù)的全微分．(2)不定積分法，設(shè)則φ’(y)=0，即φ(y)=C．(3)=u(0，4)一u(一3，0)=4-3=1．知識點解析：暫無解析14、判斷下列函數(shù)的奇偶性(其中a為常數(shù))：標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：按第一列展開，得：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第6套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)AP＝PB，其中求A及A5．標準答案：A5＝(PBP-1)(PBP-1)…(PBP-1)＝PB5P-1＝PBP-1＝A知識點解析：暫無解析2、證明：當x∈＞cosx成立．標準答案：但是，2xcosx一2sinx+x3的符號無法直接確定，為此，令g(x)=2xcosx一2sinx+x3，則g(0)=0，且g’(x)=x2+2x(x—sinx)＞0，所以，當x∈(0，)時，g(x)=2xcosx一2sinx+x3＞0．知識點解析：暫無解析3、設(shè)常數(shù)α≤α＜β≤b，曲線Γ：y＝(χ∈[α，β])的孤長為l．(Ⅰ)求證：l＝；(Ⅱ)求定積分J＝．標準答案：(Ⅰ)Г：y2＝(χ－a)(b－χ)＝－χ＝2(a＋b)χ－ab，兩邊對χ求導(dǎo)得(Ⅱ)曲線Г：y＝是以(，0)為圓心，半徑為．由題(Ⅰ)：α＝a，β＝，則對應(yīng)的Г長l＝圓周長的倍知識點解析：暫無解析4、計算二次積分標準答案：知識點解析：暫無解析5、設(shè)f(χ)在χ＝0處n(n≥2)階可導(dǎo)且＝e4，求f(0)，f′(0)，…，f(n)(0)．標準答案：1)先轉(zhuǎn)化已知條件．由＝e4知再用當χ→0時的等價無窮小因子替換ln[1＋f(χ)]－f(χ)，可得＝4．2)用o(1)表示當χ→0時的無窮小量，由當χ→0時的極限與無窮小的關(guān)系＝4＋o(1)，并利用χn(1)＝o(χn)可得f(χ)＝4χn＋o(χn)．從而由泰勒公式的唯一性即知f(0)＝0，f′(0)＝0，f′(0)＝0，…f(n-1)＝0，＝4，故f(n)(0)＝4n!知識點解析：暫無解析6、設(shè)z=。標準答案：由已知分別帶入可得=0。知識點解析：暫無解析7、已知函數(shù)f(μ，ν)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，f(1，1)=2是f(μ，ν)的極值，已知z=f[(x+y)，f(x，y)]。求。標準答案：因為=f1’[(x+y)，f(x，y)]+f2’[(x+y)，f(x，y)]．f1’(x，y)，所以=f11’’[(x+y)，f(x，y)]+f12’’[(x+y)，f(x，y)]．f2’(x，y)+f21’’[(x+y)，f(x，y)]．f1’(x，y)+f22’’[(x+y)，f(x，y)]．f2’(x，y)．f1’(x，y)+f2’[(x+y)，f(x，y)]．f12’’(x，y)，又因為f(1，1)=2是f(μ，ν)的極值，故f1’(1，1)=0，f2’(1，1)=0。因此=f11’’(2，2)+f12’’(2，2)．f2’(1，1)+f21’’(2，2)．f1’(1，1)+f22’’(2，2)．f2’(1，1)．f1’(1，1)+f2’(2，2)．f12’’(1，1)=f11’’(2，2)+f2’(2，2)．f12’’(1，1)。知識點解析：暫無解析8、當a，b取何值時，方程組有唯一解，無解，有無窮多解?當方程組有解時，求其解．標準答案：對增廣矩陣作初等行變換，有(Ⅰ)當a≠0，且b≠3時，方程組有唯一解．(Ⅱ)當a＝0時，b方程組均無解．(Ⅲ)當a≠0，b＝3時，方程組有無窮多解(，1，0)T＋k(0，－3，2)T．知識點解析：暫無解析9、設(shè)f(χ)在(－a，a)(a＞0)內(nèi)連續(xù)，且f′(0)＝2．(1)證明：對0＜χ＜a，存在0＜0＜1，使得∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt＝χ[f(θχ)－f(－θχ)]，(2)求標準答案：(1)令F(χ)＝∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt，顯然F(χ)在[0，χ]上可導(dǎo)，且F(0)＝0，由微分中值定理，存在0＜0＜1，使得F(χ)＝F(χ)－F(0)＝F′(θχ)χ，即∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt＝χ[f(θχ)－f(－θχ)]．(2)令＝A，由知識點解析：暫無解析10、設(shè)αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n維實向量，且α1，α2，…，αr線性無關(guān)．已知β=(b1，b2，…，bn)T是線性方程組的非零解向量，試判斷向量組α1，…，αr，β的線性相關(guān)性．標準答案：線性無關(guān)．證明如下：由題設(shè)條件有b1a11+b2ai2+…+bnam=βTα1=0(i=1，2，…，r)，設(shè)k1α1+…+krαr，+kr+1β=0，用βT左乘兩端并利用βTαi=0及βTp=||β||2＞0，得kr+1=0，k1α1+…+krαr=0，又αr，…，αr線性無關(guān)，k1=…=kr=0．故α1，…，αr，β線性無關(guān)．知識點解析：暫無解析11、計算I＝χydχdy，其中D由y＝－χ，y＝及y＝圍成．標準答案：將D分成兩部分D1，D2，知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x，y)，g(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且g(x，y)≥0．證明：存在(ξ，η)∈D，使得標準答案：因為f(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y)積分得(1)當f(x，y)g(x，y)dσ=0，則對任意的(ξ，η)∈D，有(2)當(x，y)dσ＞0時，由由介值定理，存在(ξ，η)∈D，使得f(ξ，η)=即知識點解析：暫無解析設(shè)A=相似于對角陣．求：13、a及可逆陣P，使得P-1AP=A，其中A為對角陣標準答案：｜λE-A｜=0λ1=λ2=1，λ3=-1．因為A相似于對角陣，所以r(E-A)=(E-A)X=0基礎(chǔ)解系為ξ1=(0，1，0)T，ξ2=(1，0，1)T，(-E-A)X=0基礎(chǔ)解系為ξ3=(1，2，-1)T，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，則P-1AP=diag(1，1，-1)．知識點解析：暫無解析14、A100．標準答案：P-1A100P=EA100=PP-1=E．知識點解析：暫無解析15、設(shè)A是三階矩陣，其特征值是1，2，3，若A與B相似，求｜B*＋E｜．標準答案：因為A～B．所以B的特征值為λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，B*的特征值為B*＋E的特征值為7，4，3，故｜B*＋E｜＝84．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第7套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、證明=(n+1)an．標準答案：本題以證明題的形式出現(xiàn)，容易誘導(dǎo)想到用數(shù)學(xué)歸納法．記此行列式為Dn，對第1行展開，得遞推公式Dn=2aDn－1－a2Dn－2．用數(shù)列技巧計算．Dn=2aDn－1－a2Dn－2．改寫為Dn－aDn－1=a(Dn－1－aDn－2)，記Hn=Dn－aDn－1(n≥2)，則n≥3時Hn=aHn－1，即{Hn}是公比為a的等比數(shù)列．而H2=D2－aD1=3a2－2a2=a2，得到Hn=an，于是得到一個新的遞推公式Dn=aDn－1+an，兩邊除以an，得Dn／an=Dn－1／an－1+1．于是{Dn／an}是公差為1的等差數(shù)列．D1／a=2，則Dn／an=n+1，Dn=(n+1)an．知識點解析：暫無解析2、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)的間斷點及分類．標準答案：χ＝0及χ＝1為f(χ)的間斷點．則χ＝0為f(χ)的可去間斷點；因為f(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝0為f(χ)的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析3、設(shè)，求n，c的值．標準答案：由得知識點解析：暫無解析4、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，c，d∈(a，b)，t1＞0，t2＞0．證明：在[a，b]內(nèi)必有點ξ，使得t1f(c)+t2f(d)=(t1+t2)f(ξ).標準答案：利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理和介值定理．知識點解析：暫無解析5、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，以T為周期，令F(x)=∫0xf(x)dt，求證：(Ⅰ)F(x)一定能表示成：F(x)=kx+φ(x)，其中k為某常數(shù)，φ(x)是以T為周期的周期函數(shù)；(Ⅱ)∫0xf(t)dt=∫0Tf(x)dx；(Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(-∞，+∞))，n為自然數(shù)，則當nT≤x＜(n+1)T時，有n∫0Tf(x)dx≤∫0xf(t)dt＜∫0T(n+1)f(x)dx.標準答案：(Ⅰ)即確定常數(shù)k，使得φ(x)=F(x)-kx以T為周期．由于φ(x+T)=F(x+T)-k(x+T)=∫0xf(x)dt-kx+∫0x+Tf(t)dt-kT=φ(x)+∫0Tf(t)dt-kT，因此，取k=∫0Tf(t)dt，φ(x)=F(x)-kx,則φ(x)是以T為周期的周期函數(shù)．此時F(x)=[∫0Tf(t)dt]x+φ(x).(Ⅱ)不能用洛必達法則．因為不存在，也不為∞．但∫0x(t)dt可表示成∫0x(t)dt=∫0Tf(t)dt+φ(x)．φ(x)在(-∞，+∞)連續(xù)且以T為周期，于是，φ(x)在[0，T]有界，在(-∞，+∞)也有界．因此(Ⅲ)因f(x)≥0，所以當nT≤x＜(n+1)T時，n∫0Tf(t)dt=∫0nTf(t)≤∫0xf(t)＜∫0(n+1)Tf(t)dt=(n+1)∫0Tf(t)知識點解析：暫無解析6、設(shè)x∈(0，1)，證明下面不等式：(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；(2)．標準答案：(1)令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0．當x∈(0，1)時，φ"(x)=[x一ln(1+x)]＞0。則φ’(x)單調(diào)遞增．從而φ’(x)＞φ’(0)=0，則φ(x)單調(diào)遞增，則φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2．知識點解析：暫無解析7、A=，正交矩陣Q使得QTAQ是對角矩陣，并且Q的第1列為(1，2，1)T．求a和Q．標準答案：Q－1AQ=QTAQ是對角矩陣，說明Q的列向量都是A的特征向量，于是(1，2，1)T也是A的特征向量．(1，2，1)T和(2，5+a，4+2a)T相關(guān)，得a=－1，并且(1，2，1)T的特征值為2．A的特征值為2，5，－4．下面來求它們的單位特征向量．α1=是屬于2的單位特征向量．則(1，－1，1)T是屬于5的特征向量，單位化得α2=(1，－1，1)T．則(1，0，－1)T是屬于－4的特征向量，單位化得α3=(1，0，－1)T．則Q=(α1，α2，α3)．(不是唯一解，例如(α1，α3，α2)，(α1，－α2，－α3)，(α1，－α3，－α2)等也都適合要求．)知識點解析：暫無解析8、三元二次型f=XTAX經(jīng)過正交變換化為標準形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值對應(yīng)的特征向量為α1=，求此二次型．標準答案：因為f=XTAX經(jīng)過正交變換后的標準形為f=y12+y22-2y32，所以矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=-2．由｜A｜=λ1λ2λ3=-2得A*的特征值為μ1=μ2=-2，μ3=1，從而A*+2E的特征值為0，0，3，即α1為A*+2E的屬于特征值3的特征向量，故也為A的屬于特征值λ3=-2的特征向量．令A(yù)的屬于特征值λ1=λ2=1的特征向量為α=，因為A為實對稱矩陣，所以有α1Tα=0，即x1+x3=0故矩陣A的屬于λ1=λ2=1的特征向量為α2=，α3=令P=(α2，α3，α1)=，由P-1AP=，得A=PP-1=，所求的二次型為f=XTAX=x12+x22-x32+3x1x3．知識點解析：暫無解析9、設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點，其上任一點P(x，y)處的法線與y軸的交點為Q，且線段PQ被x軸平分。求曲線y=f(x)的方程。標準答案：曲線y=f(x)在點P(x，y)處的法線方程為Y一y=(X一x)，令X=0，則它與y軸的交點為(0，y+)。由題意，此點與點P(x，y)所連的線段被x軸平分，由中點公式得=0，即2ydy+xdx=0，上式兩端積分得+y2=C(C為任意常數(shù))，代入初始條件，故曲線y=f(x)的方程為，即x2+2y2=1。知識點解析：暫無解析10、n元非齊次線性方程組AX＝β如果有解，則解集合的秩為＝n－r(A)＋1．標準答案：(1)設(shè)ξ為(Ⅰ)的一個解，η1，η2，…，η3為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則ξ不能用η1，η2，…，ηs線性表示，因此ξ，η1，η2，…，ηs線性無關(guān)．ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs是(Ⅰ)的s＋1個解，并且它們等價于ξ，η1，η2，…，ηs．于是r(ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs)＝r(ξ，η1，η2，…，ηs)＝s＋1，因此ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs是(Ⅰ)的．s＋1個線性無關(guān)的解．(2)AX＝β的任何s＋2個解都可用ξ，η1，η2，…，ηs這s＋1向量線性表示，因此一定線性相關(guān)．知識點解析：暫無解析11、設(shè)A是主對角元為0的四階實對稱陣，E是四階單位陣，B=且E+AB是不可逆的對稱陣，求A．標準答案：，因(E+AB)T=(E+AB)，故有b=c=d=e=0．又E+AB不可逆，有|E+AB|==1—4f2=0，得從而得其中a是任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析設(shè)求12、A的特征值，特征向量；標準答案：由特征方程，得即A的特征值為λ1=2，λ2=一2(三重根)．當λ1=2時，(2E一A)x=0，即得ξ1=[1，1，1，1]T(只有一個線性無關(guān)特征向量)．故全部特征向量為k1ξ1(其中k1不為0)．當λ2=一2時，(一2E一A)x=0，即同解方程為x1+x2+x3+x4=0，對應(yīng)特征向量(取正交特征向量)為ξ2=[1，一1，0，0]T，ξ3=[1，1，一2，0]T，ξ4=[1，1，1，-3]T．故全部特征向量為k2ξ2+k3ξ3+k4ξ4(其中k2，k3，k4不全為0)．知識點解析：暫無解析13、正交矩陣Q，使得QTAQ=Q-1AQ=A，其中A是對角矩陣．標準答案：將ξ1，ξ2，ξ3，ξ4單位化，合并成正交矩陣得則知識點解析：暫無解析14、設(shè)實對稱矩陣A滿足A2—3A+2E=0，證明：A為正定矩陣．標準答案：設(shè)λ為A的任一特征值，則存在X≠0，使AX=λX，于是(A2—3A+2E)X=(λ2—3λ+2)X=0，λ2一3λ+2=0λ=1或λ=2，因此A的特征值均大于0，故A正定．知識點解析：暫無解析15、經(jīng)過長期觀察，人們發(fā)現(xiàn)鮭魚在河中逆流行進時，如果相對于河水的速度為v，那么游T小時所消耗的能量E＝cv3T，其中c是一個常數(shù)．假設(shè)水流的速度為4km／h，鮭魚逆流而上200km，問它游多快才能使消耗的能量最少?標準答案：鮭魚相對于河水的速度是v，而相對于河岸的速度是v－4，于是游200km，用知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第8套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求標準答案：知識點解析：暫無解析2、求極限：ai＞0，且ai＞≠1，i=1,2,…n,n≥2.標準答案：故原極限=知識點解析：暫無解析3、求下列不定積分：標準答案：知識點解析：暫無解析4、設(shè)函數(shù)f(χ)和g(χ)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)＝g(b)＝0，g′(χ)＜0’試證明存在ξ∈(a，b)使＝0．標準答案：令φ(χ)＝f(χ)∫χbg(t)dt＋g(χ)∫aχf(t)dt，φ(χ)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且φ′(χ)＝[f′(χ)∫χbg(t)dt－f(χ)g(χ)]＋[g(χ)f(χ)＋g′(χ)∫aχf(t)dt]＝f′(χ)∫χbg(t)dt＋g′(χ)∫aχ(t)dt，因為φ(a)＝φ(b)＝0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)使φ′(ξ)＝0，即f′(ξ)∫ξbg(t)dt＋g′(ξ)∫aξf(t)dt＝0，由于g(b)＝0及g′(χ)＜0，所以區(qū)間(a，b)內(nèi)必有g(shù)(χ)＞0，從而就有∫χbg(t)dt＞0，于是有＝0．知識點解析：暫無解析5、設(shè)f(x)在[0，]上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且f’(0)=0．證明：存在ξ，η，ω∈(0，)，使得f’(ξ)=ηsin2ξf"(ω)．標準答案：因f(x)和g(x)=cos2x在內(nèi)可導(dǎo)，且g’(x)=(cos2x)’=一2sin2x≠0，故由柯西中值定理知，存在使得知識點解析：暫無解析6、設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的屬于特征值λ1的一個特征向量，記B=A5一4A3+E，其中E為3階單位矩陣．(1)驗證α1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；(2)求矩陣B．標準答案：(1)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次遞推，則有A3α1=α3，A5α1=α1，故Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=-2α1，即α1是矩陣B的屬于特征值一2的特征向量．由關(guān)系式B=A5-4A3+E及A的3個特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的3個特征值為μ1=-2，μ2=1，μ3=1．設(shè)α2，α3為B的屬于μ2=μ3=1的兩個線性無關(guān)的特征向量，又由A為對稱矩陣，則B也是對稱矩陣，因此α1與α2、α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0．因此α2，α3可取為下列齊次線性方程組兩個線性無關(guān)的解，即知識點解析：暫無解析7、標準答案：知識點解析：暫無解析8、計算，其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，｜1一x｜}。標準答案：積分區(qū)域如圖所示，在極坐標中知識點解析：暫無解析9、設(shè)矩陣A的伴隨矩陣且ABA一1=BA一1+3E，其中E為四階單位矩陣，求矩陣B。標準答案：由AA*=A*A=｜A｜E，知｜A*｜=｜A｜n-1，因此有8=｜A*｜=｜A｜3，于是｜A｜=2。在等式ABA-1=BA-1+3E兩邊先右乘A，再左乘A，得2B=A*B+3A*A，即(2E—A*)B=6E。于是知識點解析：暫無解析10、設(shè)A是n階矩陣，滿足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)，證明：其中E是r階單位陣．標準答案：A2=A，A的特征值的取值為1，0，由A一A2=A(E一A)=O知r(A)+r(E—A)≤n，r(A)+r(E—A)≥r(A+E一A)=r(E)=n，故r(A)+r(E一A)=n，r(A)=r，從而r(E一A)=n一r．對λ=1，(E—A)X=0，因r(E一A)=n—r，故有r個線性無關(guān)特征向量，設(shè)為ξ1，ξ2，…，ξs；對λ=0，(0E一A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n一r個線性無關(guān)特征向量，設(shè)為ξr+1，ξr+2，…，ξn．故存在可逆陣P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，使得P一1AP=知識點解析：暫無解析11、設(shè)且f"(0)存在，求a，b，c．標準答案：因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以c=0，即f(x)=知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)在x0的鄰域內(nèi)四階可導(dǎo)，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．證明：對此鄰域內(nèi)任一異于x0的點x，有其中x’為x關(guān)于x0的對稱點．標準答案：由f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f(x’)≡f(x0)+f’(x0)x-x0)+兩式相加得知識點解析：暫無解析13、設(shè)n階矩陣A滿足(aE－A)(bE－A)＝O且a≠b．證明：A可對角化．標準答案：由(aE－A)(bE－A)＝O，得｜aE－A｜.｜bE－A｜＝0，則｜aE－A｜＝0或者｜bE－A｜＝0．又由(aE－A)(bE－A)＝O，得r(aE－A)＋r(bE－A)≤n．同時r(aE－A)＋r(bE－A)≥r[(aE－A)－(bE－A)]＝r[(a－b)E]＝n．所以r(aE－A)＋r(bE－A)＝n．(1)若｜aE－A｜≠0，則r(aE－A)＝n，所以r(bE－A)＝0，故A＝bE．(2)若｜bE－A｜≠0，則r(bE－A)＝n，所以r(aE－A)＝0，故A＝aE．(3)若｜aE－A｜＝0且｜bE－A｜＝0，則a，b都是矩陣A的特征值．方程組(aE－A)X＝0的基礎(chǔ)解系含有n－r(aE－A)個線性無關(guān)的解向量，即特征值a對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)為n－r(aE－A)個；方程組(bE－A)X＝0的基礎(chǔ)解系含有n－r(bE－A)個線性無關(guān)的解向量，即特征值b對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)為n－r(bE－A)個．因為n－r(aE－A)＋n－r(bE－A)＝n，所以矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量，所以A一定可以對角化．知識點解析：暫無解析設(shè)曲線y=在點(x0，y0)處有公共的切線，求