《高等數(shù)學(xué)》高職 全套教學(xué)課件

第1章函數(shù)的極限與連續(xù).pptx第2章導(dǎo)數(shù)與微分.pptx第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.pptx第4章不定積分.pptx第5章定積分及其應(yīng)用.pptx第6章空間解析幾何.pptx第7章常微分方程.pptx全套可編輯PPT課件1.1初等函數(shù)1.2函數(shù)的極限1.3無(wú)窮小量和無(wú)窮大量1.4極限的運(yùn)算1.5兩個(gè)重要極限1.6函數(shù)的連續(xù)性知識(shí)目標(biāo)理解函數(shù)的定義,掌握函數(shù)的要素和函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性;了解反函數(shù),掌握復(fù)合函數(shù)的概念;熟練掌握基本初等函數(shù)的圖形,理解初等函數(shù)的概念;了解極限的定義,并能在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步加深對(duì)極限思想的理解,了解無(wú)窮大、無(wú)窮小的概念,尤其是無(wú)窮小;掌握極限的四則運(yùn)算法則;了解極限的兩個(gè)存在準(zhǔn)則(夾逼定理和單調(diào)有界定理),掌握兩個(gè)重要極限;掌握函數(shù)連續(xù)及間斷點(diǎn)的概念;了解初等函數(shù)的連續(xù)性,掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理、介值定理和根的存在性定理.能力目標(biāo)會(huì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行復(fù)合、對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解,會(huì)判斷所給函數(shù)是否為初等函數(shù);會(huì)用極限的四則運(yùn)算法則,求簡(jiǎn)單函數(shù)的極限;會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小的比較,會(huì)利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限;會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型,能利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題,會(huì)建立簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系.素質(zhì)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合能力;培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、抽象思維能力和邏輯推理能力;引導(dǎo)學(xué)生建立健康的目標(biāo),樹(shù)立正確的價(jià)值觀;追求創(chuàng)新思維,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神;培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作、吃苦耐勞、無(wú)私奉獻(xiàn)的匠心品質(zhì).1.1初等函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界里,觀察某種自然現(xiàn)象或進(jìn)行某項(xiàng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中,會(huì)遇到各種各樣的量,其中有些量在變化過(guò)程中保持不變,即取某個(gè)確定的數(shù)值,而另外一些量卻有變化.例如,一物體做勻速直線運(yùn)動(dòng),那么時(shí)間與位移都是變量,而速度則為常量.又如,一密閉容器內(nèi)的氣體在加熱過(guò)程中,若考慮容器內(nèi)氣體的體積V、分子數(shù)n、絕對(duì)溫度T以及壓力P,其中體積V與分子數(shù)n兩個(gè)量在整個(gè)過(guò)程中保持不變,而絕對(duì)溫度T與壓力P則不斷變化.我們把某一變化過(guò)程中可取不同值的量稱(chēng)為變量;在某一變化過(guò)程中保持不變的量稱(chēng)為常量(或常數(shù)).通常用字母a,b,c等表示常量,用字母x,y,z,t等表示變量.應(yīng)當(dāng)注意,一個(gè)量究竟是常量還是變量是由該過(guò)程的具體條件來(lái)確定的.同一個(gè)量在此過(guò)程中是常量,而在彼過(guò)程中卻有可能是變量.如速度,在勻速運(yùn)動(dòng)中是常量,而在勻加速運(yùn)動(dòng)中是變量.1.1.1常量與變量1.1.1常量與變量

【例1】金屬圓周的周長(zhǎng)l和半徑r的關(guān)系為l=2πr,當(dāng)圓周受熱膨脹時(shí),半徑r發(fā)生變化,周長(zhǎng)l也隨之變化,當(dāng)r在其變化范圍內(nèi)有確定值時(shí),周長(zhǎng)l也就確定.在這里r和l是變量,π和2是常量.

【例2】某一時(shí)期銀行的人民幣定期儲(chǔ)蓄存期與年利率如表1-1所示.表1-1給出了年利率與存期的關(guān)系.1.1.2區(qū)間與鄰域

1.區(qū)間

一個(gè)變量能取得的全部數(shù)值的集合,稱(chēng)為這個(gè)變量的變化范圍或變域.今后我們常遇到的變域是區(qū)間.常見(jiàn)的區(qū)間有:開(kāi)區(qū)間(a,b)={x|a<x<b};閉區(qū)間[a,b]={x|a≤x≤b};半開(kāi)半閉區(qū)間[a,b)={x|a≤x<b},(a,b]={x|a<x≤b}.以上這些區(qū)間都稱(chēng)為有限區(qū)間.有限區(qū)間右端點(diǎn)b與左端點(diǎn)a的差b-a,稱(chēng)為該區(qū)間的長(zhǎng)度.無(wú)窮區(qū)間:(-∞,a)={x|x<a},[a,+∞)={xx≥a},(-∞,b]={xx≤b},(a,+∞)={xx>a},(-∞,b)={xx<b},(-∞,+∞)={x-∞<x<+∞},即全體實(shí)數(shù)的集合R.其中,記號(hào)記號(hào)+∞讀作正無(wú)窮大,記號(hào)-∞讀作負(fù)無(wú)窮大,無(wú)窮區(qū)間的長(zhǎng)度無(wú)限長(zhǎng).1.1.2區(qū)間與鄰域

2.鄰域

給定實(shí)數(shù)a,以點(diǎn)a為中心的任何開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為點(diǎn)a的鄰域,記作U(a).設(shè)δ為給定的正數(shù),則稱(chēng)開(kāi)區(qū)間(a-δ,a+δ)為點(diǎn)a的δ鄰域,記作U(a,δ),即U(a,δ)=｛x|a-δ<x<a+δ｝.點(diǎn)a稱(chēng)為鄰域的中心,δ稱(chēng)為鄰域的半徑.如圖1-1所示.由于｛x|a-δ<x<a+δ｝=｛x||x-a|<δ｝,所以U(a,δ)=｛x||x-a|<δ｝表示與點(diǎn)a距離小于δ的一切點(diǎn)x的全體.有時(shí)會(huì)把點(diǎn)a的δ鄰域中的點(diǎn)a去掉,如圖1-2所示,此時(shí)稱(chēng)為點(diǎn)a的去心δ鄰域,記作1.1.3函數(shù)概念

【例3】某產(chǎn)品專(zhuān)賣(mài)店,場(chǎng)租和人工為10000元,每件產(chǎn)品的進(jìn)貨價(jià)為2000元/件,則該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售量x(件)與總成本y(元)之間有下面關(guān)系式y(tǒng)=10000+2000x(x≥0).顯然,銷(xiāo)售量x取任何一個(gè)合理值,總成本y就有一個(gè)確定值與它對(duì)應(yīng),我們說(shuō)總成本y是銷(xiāo)售量x的函數(shù).

【例5】(Excel表格中的函數(shù))如圖1-3所示,在Excel表格窗口中的第A列依次輸入5個(gè)數(shù),再在B1單元格中輸入公式“=A1^2+5”,回車(chē)后得到B1單元格的值為6,向下拖動(dòng),依次得到B2,B3,B4,B5單元格的值.1.1.3函數(shù)概念

定義1-1設(shè)x和y是兩個(gè)變量,若變量x在非空數(shù)集D內(nèi)任取一數(shù)值時(shí),變量x依照某一規(guī)則f總有一個(gè)確定的數(shù)值y與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)變量y為變量x的函數(shù),記作y=f(x),這里,x稱(chēng)作自變量,y稱(chēng)作因變量或函數(shù),f是函數(shù)符號(hào),它表示y與x的對(duì)應(yīng)規(guī)則.有時(shí)函數(shù)符號(hào)也可以用其他字母來(lái)表示,如y=g(x)或y=Q(x)等.集合D稱(chēng)作函數(shù)的定義域,相應(yīng)的y值的集合:R(f)={f(x)x∈D}稱(chēng)作函數(shù)的值域.當(dāng)自變量x在其定義域內(nèi)取定某個(gè)確定值x0時(shí),因變量y按所給函數(shù)關(guān)系y=f(x)求出的對(duì)應(yīng)值y0叫作當(dāng)x=x0時(shí)的函數(shù)值(或函數(shù)在x0處的值),記作f(x0)或函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)基本要素.從定義不難看出,兩個(gè)相同的函數(shù)具有相同的定義域和相同的對(duì)應(yīng)法則.因而要判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同,首先檢驗(yàn)它們的定義域是否相同,其次再看它們的對(duì)應(yīng)法則是否一致(對(duì)解析式進(jìn)行恒等變換,看表達(dá)式是否一致).函數(shù)的表示法通常有三種:解析法、表格法、圖像法.1.1.3函數(shù)概念在實(shí)際問(wèn)題中,函數(shù)的定義域是根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定的.在數(shù)學(xué)中,有時(shí)不考慮函數(shù)的實(shí)際意義,這時(shí)我們約定:函數(shù)的定義域就是自變量所能取得的使該函數(shù)解析式有意義的一切實(shí)數(shù).如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都只有一個(gè),這種函數(shù)稱(chēng)為單值函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù),否則稱(chēng)為多值函數(shù).以后若無(wú)特別說(shuō)明,本書(shū)的函數(shù)都是指單值函數(shù).從例4可以看到,有時(shí)一個(gè)函數(shù)要用幾個(gè)式子表示.這種在自變量的不同變化范圍內(nèi),對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù),通常稱(chēng)為分段函數(shù).常見(jiàn)的還有1.1.3函數(shù)概念1.1.3函數(shù)概念1.1.4函數(shù)的幾種特性

1.函數(shù)的有界性定義1-2設(shè)函數(shù)y=f(x)在集合D上有定義,如果存在一個(gè)正數(shù)M,對(duì)所有的x∈D,恒有|f(x)|≤M,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在D上是有界的.如果不存在這樣的正數(shù)M,則稱(chēng)f(x)在D上是無(wú)界的.例如,y=2sinx+3cosx+1在其定義域(-∞,+∞)內(nèi),都有|2sinx+3cosx+1|≤2|sinx|+3|cosx|+1≤6,所以y=2sinx+3cosx+1在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的.1.1.4函數(shù)的幾種特性函數(shù)f(x)在[a,b]有界的幾何意義是:曲線y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的部分,限制在兩條直線y=-M和y=M之間.(圖1-6)函數(shù)在(a,b)無(wú)界的幾何意義是:不管多大的M,在直線y=-M,y=M外都會(huì)有曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)的點(diǎn).1.1.4函數(shù)的幾種特性對(duì)函數(shù)的有界性,要注意以下兩點(diǎn):當(dāng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有界時(shí),正數(shù)M的取法不是唯一的.

1.1.4函數(shù)的幾種特性2.函數(shù)的單調(diào)性

定義1-3設(shè)函數(shù)y=f(x)在數(shù)集D上有定義,如果對(duì)D上任意兩點(diǎn)x1,x2(滿(mǎn)足x1<x2),都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),則稱(chēng)f(x)在D上單調(diào)增加(或單調(diào)減少).函數(shù)f(x)在數(shù)集D上單調(diào)增加、單調(diào)減少統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)f(x)在數(shù)集D上單調(diào),如果D是區(qū)間,則稱(chēng)該區(qū)間為f(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)增加函數(shù)的圖形是沿x軸正向上升的曲線(圖1-7),單調(diào)減少函數(shù)的圖形是沿x軸正向下降的曲線(圖1-8).1.1.4函數(shù)的幾種特性3.函數(shù)的奇偶性

定義1-4如果數(shù)集D滿(mǎn)足:對(duì)任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),則稱(chēng)f(x)是數(shù)集D上的奇函數(shù)(或偶函數(shù)).奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(圖1-9),偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)(圖1-10).1.1.4函數(shù)的幾種特性4.函數(shù)的周期性定義1-5設(shè)函數(shù)y=f(x)在D上有定義,如果存在正數(shù)T,使得對(duì)任意x∈D,有x+T∈D,且f(x+T)=f(x)恒成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x)為周期函數(shù),滿(mǎn)足等式f(x+T)=f(x)的最小正數(shù)T稱(chēng)為函數(shù)的周期.

1.1.5基本初等函數(shù)1.常函數(shù)常函數(shù)y=C是定義在(-∞,+∞)上的函數(shù),對(duì)任意自變量x的取值,函數(shù)值都是同一常數(shù)C,所以,它的圖像是過(guò)點(diǎn)(0,C)且平行于x軸的直線(圖1-11),它是偶函數(shù).1.1.5基本初等函數(shù)

2.冪函數(shù)函數(shù)y=xa(a為實(shí)數(shù))叫作冪函數(shù).它的定義域和性質(zhì)隨a的不同而變化,但是在(0,+∞)內(nèi)冪函數(shù)總是有意義的,圖形都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)(圖1-12,圖1-13).1.1.5基本初等函數(shù)

3.指數(shù)函數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)叫作指數(shù)函數(shù),它的定義域?yàn)?-∞,+∞),圖形過(guò)點(diǎn)(0,1),總在x軸的上方,即無(wú)論x為何值,總有ax>0.若a>1,y=ax是單調(diào)增函數(shù);若a<1,y=ax是單調(diào)減函數(shù).1.1.5基本初等函數(shù)

4.對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù),圖形過(guò)點(diǎn)(1,0),總在y軸的右側(cè).若a>1,則函數(shù)單調(diào)增加;若0<a<1,則函數(shù)單調(diào)減少.

1.1.5基本初等函數(shù)

5.三角函數(shù)例如函數(shù):y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx,統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù).函數(shù)y=sinx是定義域?yàn)?-∞,+∞),值域?yàn)閇-1,1],周期為2π的有界奇函數(shù)(圖1-16).函數(shù)y=cosx是定義域?yàn)?-∞,+∞),值域?yàn)閇-1,1],周期為2π的有界偶函數(shù)(圖1-17).1.1.5基本初等函數(shù)1.1.5基本初等函數(shù)

6.反三角函數(shù)例如函數(shù):y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx,統(tǒng)稱(chēng)為反三角函數(shù)．函數(shù)y=arccosx是函數(shù)y=cosx(0≤x≤π)的反函數(shù),是定義域?yàn)閇-1,1],值域?yàn)閇0,π]的有界單調(diào)減少函數(shù)(圖1-21).1.1.5基本初等函數(shù)1.1.6反函數(shù)

定義1-6設(shè)有函數(shù)y=f(x),其定義域?yàn)镈,值域?yàn)镸,如果對(duì)于M中的每一個(gè)y值(y∈M),都可以從關(guān)系式y(tǒng)=f(x)確定唯一的x值(x∈D)與之對(duì)應(yīng),那么所確定的以y為自變量的函數(shù)x=φ(y)叫作函數(shù)y=f(x)的反函數(shù),它的定義域?yàn)镸,值域?yàn)镈.習(xí)慣上,函數(shù)的自變量都以x表示,所以反函數(shù)也可以表示為y=f-1(x).函數(shù)y=f(x)的圖形與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).

【例9】函數(shù)y=2x與函數(shù)y=log2x互為反函數(shù),則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的.如圖1-24所示.1.1.7復(fù)合函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中,我們常見(jiàn)的有基本初等函數(shù),以及由基本初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算或組合而成的函數(shù).例如:y=sinx2就不是基本初等函數(shù),它是由基本初等函數(shù)y=sinu,u=x2通過(guò)中間變量u連接而成的一個(gè)函數(shù).這種通過(guò)基本初等函數(shù)組合而成的函數(shù)稱(chēng)作復(fù)合函數(shù).

定義1-7設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u),u是x的函數(shù)u=φ(x),而且當(dāng)x在其定義域或該定義域的一部分取值時(shí),所對(duì)應(yīng)的u的值使得y=f(u)有定義,則稱(chēng)y=f[φ(x)]是x的復(fù)合函數(shù),其中u=φ(x)為內(nèi)函數(shù),y=f(u)為外函數(shù),u為中間變量.

【例10】求下列函數(shù)的復(fù)合函數(shù).(1)y=u2,u=sinx;(2)y=lnu,u=cosv,v=2x-1.

解(1)y=u2=sin2x;

(2)y=lnu=lncosv=lncos(2x-1)1.1.7復(fù)合函數(shù)

解(1)y=sinu,u=x3;(3)y=3u,u=-x;

【例11】分析下列函數(shù)的復(fù)合過(guò)程.

(4)y=u3,u=lnv,v=2x+1.1.1.8初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合所構(gòu)成的,并能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)叫作初等函數(shù).例11中的四個(gè)函數(shù)都是初等函數(shù),而狄利克雷函數(shù)、符號(hào)函數(shù)與取整函數(shù)不是初等函數(shù).1.1.9建立函數(shù)關(guān)系舉例要想運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,通常要先把變量之間的函數(shù)關(guān)系式表示出來(lái),然后進(jìn)行分析和計(jì)算.即先建立函數(shù)關(guān)系,然后再進(jìn)行計(jì)算.下面通過(guò)實(shí)例,說(shuō)明建立函數(shù)關(guān)系的過(guò)程.

【例12】把直徑為d的圓木料鋸成截面為矩形的木材(圖1-25),列出矩形截面兩條邊之間的函數(shù)關(guān)系.

解設(shè)矩形截面的一條邊長(zhǎng)為x,另一條邊長(zhǎng)為y．1.2函數(shù)的極限1.2函數(shù)的極限著名數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilbert)曾說(shuō):沒(méi)有任何問(wèn)題可以像無(wú)窮那樣深深地觸動(dòng)人的情感,很少有別的觀念能像無(wú)窮那樣激勵(lì)理智產(chǎn)生富有成果的思想,也沒(méi)有任何其他的概念能像無(wú)窮那樣需要加以闡明.函數(shù)概念刻畫(huà)了變量之間的關(guān)系,而極限概念著重刻畫(huà)變量的變化趨勢(shì),并且極限也是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)和工具.微積分引入了無(wú)窮的概念.在微積分產(chǎn)生初期,人們對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)還比較膚淺,產(chǎn)生了一些矛盾(悖論).極限理論的建立,奠定了微積分的基礎(chǔ),解決了矛盾,才使微積分正式成為數(shù)學(xué)的一部分.

【例1】

(芝諾悖論)阿基里斯是《荷馬史詩(shī)》中的善跑英雄,但奔跑中的阿基里斯永遠(yuǎn)也無(wú)法超過(guò)在他前面慢慢爬行的烏龜.因?yàn)樗仨毷紫鹊竭_(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn),而當(dāng)他到達(dá)那一點(diǎn)時(shí),烏龜又向前爬了.因而烏龜必定總是跑在前頭.1.2函數(shù)的極限分析產(chǎn)生悖論的原因是偷換概念,上述“烏龜總是跑在前頭”與“阿基里斯永遠(yuǎn)也無(wú)法超過(guò)烏龜”是兩個(gè)不同的時(shí)間變化過(guò)程.事實(shí)上,設(shè)阿基里斯速度為10m/s,烏龜速度為1m/s,烏龜在阿基里斯前100m,不難計(jì)算,追擊時(shí)間就時(shí)間t的變化而言,“烏龜總是跑在前頭”時(shí)間的變化過(guò)程是時(shí)間t無(wú)限接近于T的過(guò)程,簡(jiǎn)單記為t→T,而“阿基里斯永遠(yuǎn)也無(wú)法超過(guò)烏龜”是指t無(wú)限增大的過(guò)程,可記為t→+∞.如圖1-26所示.1.2函數(shù)的極限從數(shù)量上觀察這兩個(gè)變化過(guò)程t=10,100,1000,10000,100000,…→+∞.t→T表示變量t變化時(shí),t與實(shí)數(shù)T的差距越來(lái)越小,且差距無(wú)限趨于0.t→+∞表示變量t變化時(shí),t的值無(wú)限增加,且能取到任意大的數(shù)值.t→T,t→+∞都是時(shí)間的一個(gè)無(wú)限變化過(guò)程.t能無(wú)限接近于T(t≠T),是因?yàn)閷?shí)數(shù)的稠密性,即任意兩個(gè)不同實(shí)數(shù)間仍有其他實(shí)數(shù).1.2函數(shù)的極限

【例2】計(jì)算圓的面積.我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽,曾試圖從圓內(nèi)接正多邊形出發(fā)來(lái)計(jì)算半徑等于單位長(zhǎng)度的圓的面積.他從圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始,每次把邊數(shù)加倍,直覺(jué)地意識(shí)到邊數(shù)越多,內(nèi)接正多邊形的面積越接近于圓的面積.他曾正確地計(jì)算出圓內(nèi)接正3072邊形的面積,從而得到圓周率π的十分精確的結(jié)果π≈3.1416.他的算法用現(xiàn)代數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá),就是其中A為半徑等于R的圓面積,6·2n-1為劉徽計(jì)算方法中正多邊形的邊數(shù).1.2.1數(shù)列的極限

定義1-8如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),數(shù)列{un}無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么就稱(chēng)A為數(shù)列{un}的極限,或稱(chēng)數(shù)列{un}收斂于A,記為或者un→A,當(dāng)n→∞時(shí),其中“→”讀作“趨于”.極限存在的數(shù)列稱(chēng)為收斂數(shù)列,極限不存在的數(shù)列稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列.1.2.1數(shù)列的極限1.2.2函數(shù)的極限1.2.2函數(shù)的極限定義1-9在自變量x按某個(gè)無(wú)限變化方式變化時(shí)(記為x→*),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y=f(x)無(wú)限接近一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱(chēng)此常數(shù)A為函數(shù)y=f(x)在此變化條件下的極限,記為例3是通過(guò)函數(shù)值(數(shù)據(jù))的變化規(guī)律歸納得到極限.其實(shí)對(duì)一些簡(jiǎn)單函數(shù),也可以通過(guò)其圖像的變化規(guī)律歸納得到極限.1.2.2函數(shù)的極限1.2.2函數(shù)的極限1.2.2函數(shù)的極限1.2.2函數(shù)的極限解通過(guò)觀察并結(jié)合函數(shù)的圖像(圖1-29,圖1-30,圖1-31)可知:1.2.2函數(shù)的極限1.3無(wú)窮小量和無(wú)窮大量1.3.1無(wú)窮小量1.無(wú)窮小量的概念

1.3.1無(wú)窮小量2.無(wú)窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量.性質(zhì)2有界函數(shù)與無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量.性質(zhì)3常數(shù)與無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量.性質(zhì)4有限個(gè)無(wú)窮小量(自變量為同一變化過(guò)程時(shí))之積是無(wú)窮小量.1.3.2無(wú)窮大量定義1-11如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí),函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大,那么稱(chēng)f(x)為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大.理解無(wú)窮大量時(shí)應(yīng)注意:(1)無(wú)窮大量是一個(gè)變量,是一個(gè)函數(shù),一個(gè)無(wú)論多么大的常數(shù),都不能作為無(wú)窮大量.(2)函數(shù)在變化過(guò)程中絕對(duì)值越來(lái)越大且可以無(wú)限增大時(shí),才能稱(chēng)為無(wú)窮大量.例如,當(dāng)x→∞時(shí),f(x)=xsinx可以無(wú)限增大但不是越來(lái)越大,所以不是無(wú)窮大量.(3)當(dāng)我們說(shuō)某個(gè)函數(shù)是無(wú)窮大量時(shí),必須同時(shí)指出它的自變量變化過(guò)程.(4)無(wú)窮大量定義對(duì)數(shù)列也適用.(5)需要進(jìn)一步說(shuō)明的是,無(wú)窮大量是函數(shù)極限不存在的一種情形,這里使用了極限記號(hào)limf(x)=∞,但并不表示函數(shù)f(x)的極限存在.1.3.3無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系1.3.4無(wú)窮小的比較我們知道兩個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和及乘積仍然是無(wú)窮小,但是兩個(gè)無(wú)窮小的商卻會(huì)出現(xiàn)不同的情況,例如,當(dāng)x→0時(shí),x,3x,x2都是無(wú)窮小,而兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限的不同情況,反映了不同的無(wú)窮小趨向零的快慢程度.下面就以?xún)蓚€(gè)無(wú)窮小之商的極限所出現(xiàn)的各種情況,來(lái)說(shuō)明兩個(gè)無(wú)窮小的比較.設(shè)α與β為x在同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小,1.3.4無(wú)窮小的比較根據(jù)以上定義,可知當(dāng)x→0時(shí),x2是x的高階無(wú)窮小,即x2=o(x);反之x是x2的低階無(wú)窮小;x2與1-cosx是同階無(wú)窮小;x與sinx是等價(jià)無(wú)窮小,即x~sinx.1.3.4無(wú)窮小的比較1.3.5等價(jià)無(wú)窮小代換1.3.5等價(jià)無(wú)窮小代換1.4極限的運(yùn)算1.4.1極限的基本性質(zhì)定理1-4(函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系)函數(shù)f(x)以A為極限的充分必要條件是:f(x)可以表示為A與一個(gè)無(wú)窮小α之和.即limf(x)=A?f(x)=A+α,其中l(wèi)imα=0.定理1-5(極限的唯一性定理)具有極限的函數(shù),其極限是唯一的.定理1-６具有極限的數(shù)列是有界的.定理1-7(局部保號(hào)性定理)A>0(或A<0),則必存在x0的某一去心鄰域,當(dāng)x在該鄰域時(shí)有f(x)>0(或f(x)<0).這個(gè)定理的幾何解釋如圖1-33所示,只要x充分接近x0,就能保證y=f(x)的圖像位于x軸上方,即f(x)>0.A<0的情形類(lèi)似.1.4.2極限的四則運(yùn)算定理1-8(極限的四則運(yùn)算法則)設(shè)limf(x)和limg(x)都存在,則(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x);(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x);推論1若limf(x)存在,c為常數(shù),則limcf(x)=climf(x).推論2若limf(x)=A,n為自然數(shù),則lim[f(x)]n=[limf(x)]n=An.推論3推論4設(shè)Pn(x)和Qm(x)分別是x的n次多項(xiàng)式和m次多項(xiàng)式,且Qm(a)≠0,則1.4.2極限的四則運(yùn)算1.4.2極限的四則運(yùn)算1.5兩個(gè)重要極限1.5.1極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則1(夾逼準(zhǔn)則)如果g(x),f(x),h(x)對(duì)于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x(x0可以除外)恒有不等式g(x)≤f(x)≤h(x)成立,且準(zhǔn)則2(單調(diào)有界準(zhǔn)則)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.1.5.2兩個(gè)重要極限1.5.2兩個(gè)重要極限1.5.2兩個(gè)重要極限1.6函數(shù)的連續(xù)性1.6.1連續(xù)函數(shù)的概念

先觀察圖1-35和圖1-36,從直觀上看函數(shù)y=f(x)和y=g(x)分別表示的曲線在橫坐標(biāo)為x0的點(diǎn)M處的連續(xù)性,你發(fā)現(xiàn)當(dāng)Δx→0時(shí),兩個(gè)函數(shù)在點(diǎn)x0的增量Δy的變化趨勢(shì)有什么不同嗎?若你發(fā)現(xiàn)了它們的不同,就不難理解下面函數(shù)連續(xù)性的定義了.1.6.1連續(xù)函數(shù)的概念1.6.1連續(xù)函數(shù)的概念1.6.1連續(xù)函數(shù)的概念1.6.2函數(shù)的間斷點(diǎn)1.6.2函數(shù)的間斷點(diǎn)如果在間斷點(diǎn)x0處,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處左右極限都存在,則x0是f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn);凡不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的點(diǎn)都稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn).圖1-37,圖1-38和圖1-39的間斷點(diǎn)都是第一類(lèi)間斷點(diǎn),而圖1-40的間斷點(diǎn)是第二類(lèi)間斷點(diǎn).1.6.2函數(shù)的間斷點(diǎn)1.6.3初等函數(shù)的連續(xù)性利用初等函數(shù)的連續(xù)性可以幫助我們求極限,其法如下:1.6.3初等函數(shù)的連續(xù)性1.6.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1-10(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.值得注意的是:如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù),或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn),那么定理不一定成立.定理1-10的兩個(gè)條件:(1)閉區(qū)間;(2)連續(xù)函數(shù),是必需的.

定理1-11(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)≠f(b),則對(duì)于任一介于f(a)與f(b)之間的常數(shù)C,在開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)=C.即閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以取得介于區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值之間的一切值.其幾何意義是:連續(xù)曲線y=f(x)與直線y=C(C在f(a)與f(b)之間)至少有一個(gè)交點(diǎn)(圖1-42)1.6.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

推論1在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必能取得介于最大值與最小值之間的任何值.

推論2(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)·f(b)<0,那么在開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),即至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得f(ξ)=0.從圖1-43看,推論2是很明顯的,f(x)的圖像至少穿過(guò)x軸一次.這個(gè)推論常用來(lái)判斷方程是否有根.1.6.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

【例8】證明方程sinx-x+1=0在(0,π)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根.

證明設(shè)f(x)=sinx-x+1,由于f(x)是初等函數(shù),在[0,π]上連續(xù),又f(0)=1>0,f(π)=1-π<0,因此連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào).由零點(diǎn)定理可知,f(x)在(0,π)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)=0,即ξ是方程f(x)=0的一個(gè)根,故方程sinx-x+1=0在(0,π)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根.2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2求導(dǎo)法則2.3高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)及參數(shù)式方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.4變化率問(wèn)題2.5微分知識(shí)目標(biāo)理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念;了解導(dǎo)數(shù)的物理意義(速度),幾何意義(切線斜率);掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則;掌握復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)及參數(shù)式方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則,對(duì)數(shù)求導(dǎo)法;理解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系;了解高階導(dǎo)數(shù)的概念;理解微分的概念,導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系,以及一階微分的形式不變性;掌握微分在近似中的應(yīng)用.能力目標(biāo)能利用導(dǎo)數(shù)的定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù);能熟練利用所學(xué)的求導(dǎo)公式、法則和方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);會(huì)求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù);會(huì)求函數(shù)的微分.素質(zhì)目標(biāo)事物是普遍聯(lián)系的,培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維;引導(dǎo)學(xué)生建立健康的目標(biāo)追求,樹(shù)立正確的價(jià)值觀;追求創(chuàng)新思維,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神;培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致、精益求精的工匠精神.2.1導(dǎo)數(shù)的概念

【引例1】變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度.2.1.1概念的引入設(shè)一質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng),若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)行路程s與運(yùn)行時(shí)間t的關(guān)系為s=f(t),求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的“瞬時(shí)速度”.

分析如果質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng),給一個(gè)時(shí)間的增量Δt,那么質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0與時(shí)刻t0+Δt間隔內(nèi)的平均速度也就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的“瞬時(shí)速度”.可我們要解決的問(wèn)題沒(méi)有這么簡(jiǎn)單,質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng),它的運(yùn)行速度時(shí)刻都在發(fā)生變化,那該怎么辦呢?首先在時(shí)刻t0任給時(shí)間一個(gè)增量Δt,考慮質(zhì)點(diǎn)由t0到t0+Δt這段時(shí)間的平均速度:當(dāng)時(shí)間間隔Δt很小時(shí),其平均速度就可以近似地看作時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度.用極限思想來(lái)解釋就是:當(dāng)Δt→0時(shí),對(duì)平均速度取極限:如果這個(gè)極限存在的話,其極限值稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度.

定義2-１設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0有一個(gè)改變量Δx時(shí),相應(yīng)的函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0也有一個(gè)改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),若2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義

【例1】求函數(shù)f(x)=x2+x在點(diǎn)x0=0處的導(dǎo)數(shù).2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義解由定義得:

定義2-2設(shè)M為函數(shù)y=f(x)所有可導(dǎo)點(diǎn)的集合,則對(duì)任意的x∈M,存在唯一確定的數(shù)f'(x)與之對(duì)應(yīng),這樣就建立起來(lái)一個(gè)函數(shù)關(guān)系,我們稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記為

【例２】求函數(shù)y=2+5x-x2的導(dǎo)函數(shù),并計(jì)算出f'(1),f'(0).2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義解按照導(dǎo)函數(shù)的定義可得2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義

定義2-3設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域(x0,x0+δ)內(nèi)有定義,若存在,則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)x0處右可導(dǎo),該極限值稱(chēng)為f(x)在x0處的右導(dǎo)數(shù),記為f'+(x0),即右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)導(dǎo)數(shù).根據(jù)左右極限和極限的關(guān)系,我們可以得到下面的結(jié)論.2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義

定理2-1若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,則f'(x0)存在的充要條件是f'+(x0)與f'-(x0)都存在,且f'+(x0)=f'-(x0).

定義2-4設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),則稱(chēng)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在點(diǎn)a右可導(dǎo),在點(diǎn)b左可導(dǎo),則稱(chēng)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo).2.1.3利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,我們可以把導(dǎo)數(shù)的計(jì)算分為以下三個(gè)步驟.

【例4】設(shè)f(x)=C(C為常數(shù)),求f'(x)2.1.4導(dǎo)數(shù)的幾何意義由前面的例子可知,若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則其導(dǎo)數(shù)f'(x0)的數(shù)值就等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P0(x0,y0)處切線的斜率,這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.由此可推出:若f'(x0)=0,此時(shí)曲線y=f(x)在點(diǎn)P0處的切線平行于x軸;若f'(x0)=±∞,此時(shí)曲線y=f(x)在點(diǎn)P0處的切線垂直于x軸.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可以得到曲線在點(diǎn)P0(x0,y0)處的切線與法線方程.曲線在點(diǎn)P0(x0,y0)處的切線方程為:y-y0=f'(x0)(x-x0).當(dāng)f'(x0)=0時(shí),法線方程為:x=x0;當(dāng)f'(x0)=±∞時(shí),法線方程為:y=y0.2.1.4導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【例8】求曲線y=x2在點(diǎn)(2,4)處的切線方程及法線方程.2.1.4導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)在物理方面也有廣泛的應(yīng)用,下面我們?cè)倭信e幾種導(dǎo)數(shù)的物理意義:2.1.5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理2-2若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則它在點(diǎn)x0處必連續(xù).

證明設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且自變量x在x0處有一改變量Δx,相應(yīng)地函數(shù)有一改變量Δy,由導(dǎo)數(shù)的定義可得2.1.5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系2.2求導(dǎo)法則2.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算2.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算推論1若函數(shù)u(x)可導(dǎo),C為常數(shù),則C(u(x))'=Cu'(x).更一般地有:(u1u2…un)'=u'1u2…un+u1u'2…un+…+u1u2…u'n;(k1u1+k2u2+…+knun)'=k1u'1+k2u'2+…+knu'n.【例1】設(shè)f(x)=x4+2x2+6x+ln2,求f'(x).解由定理2-3式(1)可知:f'(x)=(x4)'+2·(x2)'+6·x'+(ln2)'=4x3+4x+6.一般地,多項(xiàng)式函數(shù)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的導(dǎo)數(shù)為:f'(x)=na0xn-1+(n-1)a1xn-2+…+2an-2x+an-1.2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2-4設(shè)函數(shù)x=φ(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo),且φ'(y)≠0,那么它的反函數(shù)y=f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間Ix內(nèi)也嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo),且設(shè)x=φ(y)是直接函數(shù),y=f(x)是它的反函數(shù),則定理2-4可敘述為:反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2-5設(shè)y=f(φ(x))是由函數(shù)y=f(u)與u=φ(x)復(fù)合而成的,若u=φ(x)在x處可導(dǎo),而y=f(u)在對(duì)應(yīng)的u=φ(x)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x))在x處也可導(dǎo),且[f(φ(x))]'=f'(u)·φ'(x)=f'(φ(x))·φ'(x)推論1設(shè)函數(shù)y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x)在所對(duì)應(yīng)的各自自變量處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f(φ(ψ(x)))在自變量x處可導(dǎo),且2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則上述法則一般稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t.2.2.4基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式

根據(jù)初等函數(shù)的定義可知,初等函數(shù)主要由基本初等函數(shù)、函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算三部分構(gòu)成,因此初等函數(shù)的求導(dǎo)必須熟悉:基本函數(shù)的求導(dǎo)及求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的分解、復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則;為了熟練地應(yīng)用它們,現(xiàn)把這些導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則歸納如下:(1)常數(shù)和基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:(C)'=0(sinx)'=cosx(tanx)'=sec2x(secx)'=secx·tanx(ax)'=axlna(xμ)'=μxμ-1(cosx)'=-sinx(cotx)'=-csc2x(cscx)'=-cscx·cotx(ex)'=ex2.2.4基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式

(2)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則:設(shè)u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo),則①[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x);②(Cu)'=Cu'(C是常數(shù));③[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);(3)反函數(shù)的求導(dǎo)法則:設(shè)x=f(y)在Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),且f'(y)≠0,則它的反函數(shù)y=f-1(x)在區(qū)間Ix={x|x=f(y),y∈Iy}內(nèi)也是單調(diào)、可導(dǎo)的,而且2.2.4基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式

(4)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:設(shè)y=f(u),u=φ(x),而f(u)及φ(x)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的導(dǎo)數(shù)為【例18】設(shè)y=arcsin(2cos(x2-1)),求y'2.3高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)及參數(shù)式方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.3.1高階導(dǎo)數(shù)設(shè)一物體做直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為s=s(t),則由導(dǎo)數(shù)的定義和運(yùn)動(dòng)方程的意義可知,運(yùn)動(dòng)的速度方程為v=v(t)=s'(t),v(t)仍然是一個(gè)關(guān)于t的函數(shù),對(duì)于這個(gè)運(yùn)動(dòng)而言,其加速度a(t)=v'(t)=s'(t)',所以加速度a(t)可以看作s(t)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y'=f'(x)仍然是x的函數(shù),如果y'=f'(x)仍然可導(dǎo),那么我們把y'=f'(x)的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù),記作相應(yīng)地,把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)叫作函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù).類(lèi)似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),叫作三階導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作四階導(dǎo)數(shù),…,一般地,n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作n階導(dǎo)數(shù),分別記作y?,y(4),…,y(n)或函數(shù)y=f(x)具有n階導(dǎo)數(shù),也常說(shuō)成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo).如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù),那么f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù).2.3.1高階導(dǎo)數(shù)

【例2】設(shè)y=x2e2x,求y″,y?.

解y'=2xe2x+x2e2x·2=2xe2x(1+x),y″=(2e2x+4xe2x)(1+x)+2xe2x=2e2x(2x2+4x+1),y?=4e2x(2x2+4x+1)+2e2x(4x+4)=4e2x(2x2+6x+3).

【例2】求對(duì)數(shù)函數(shù)ln1+x的n階導(dǎo)數(shù).2.3.2隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

定義2-5由二元方程F(x,y)=0所確定的y與x的關(guān)系式稱(chēng)為隱函數(shù).隱函數(shù)求導(dǎo)法則,就是指不需要從方程F(x,y)=0中解出y,而求y'.具體解法如下:(1)對(duì)方程F(x,y)=0的兩端同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo),在求導(dǎo)過(guò)程中把y看作x的函數(shù),也就是把它作為中間變量來(lái)看待.(有時(shí)也可以把x看作函數(shù),y看作自變量)(2)求導(dǎo)之后得到一個(gè)關(guān)于y'的一次方程,解此方程,便得y'的表達(dá)式.當(dāng)然,在此表達(dá)式內(nèi)可能會(huì)含有y,這沒(méi)關(guān)系,讓它保留在式子中就可以了.

【例7】設(shè)xy+ex+ey-e=0,求y'.

解對(duì)xy+ex+ey-e=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得:y+x·y'+ex+ey·y'=0,所以(x+ey)·y'=-(y+ex),即2.3.3對(duì)數(shù)求導(dǎo)法在某些情況下,求顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)會(huì)利用兩邊取自然對(duì)數(shù)的方法把它化為隱函數(shù)來(lái)求導(dǎo),這種方法就是對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.即先對(duì)函數(shù)y=f(x)的兩邊取自然對(duì)數(shù),然后用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求出y',最后換回顯函數(shù).對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是一種較實(shí)用,也是一種比較重要的求導(dǎo)方法,下面通過(guò)一些具體的例子來(lái)介紹這種求導(dǎo)方法的基本思路和使用對(duì)象.這類(lèi)函數(shù)的一般形式為y=u(x)v(x),其中u(x),v(x)都可導(dǎo),我們稱(chēng)其為冪指函數(shù),在我們前面所介紹的公式和法則中,還沒(méi)有這類(lèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),下面我們就來(lái)解決它.2.3.3對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)于一般形式的冪指函數(shù)y=u(x)v(x),其中u(x),v(x)關(guān)于x都可導(dǎo),且u(x)>0,我們的求導(dǎo)方法為“等式兩邊先取自然對(duì)數(shù),再關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)”,用此法后,先得到lny=v(x)lnu(x),進(jìn)一步有其實(shí),冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)果稍加整理一下,便有:y'=u(x)v(x)·lnu(x)·v'(x)+v(x)·u(x)v(x)-1·u'(x)前一部分是把u(x)v(x)作為指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得到的結(jié)果;后一部分是把u(x)v(x)作為冪函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得到的結(jié)果,因此,可以這么說(shuō):冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之和.對(duì)冪指函數(shù)求導(dǎo),有時(shí)可以直接根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo),無(wú)須轉(zhuǎn)化為隱函數(shù).對(duì)y=xsinx有另一種簡(jiǎn)便的解法,因?yàn)閥=xsinx=(elnx)sinx=esinxlnx,所以它是由y=eu,u=sinxlnx復(fù)合而成的,故2.3.3對(duì)數(shù)求導(dǎo)法2.3.4參數(shù)式方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們知道,一般情況下參數(shù)式方程確定了y是x的函數(shù).在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)需要我們求方程(2-3)所確定的函數(shù)y對(duì)x的導(dǎo)數(shù).但從方程(2-3)中消去參數(shù)t有時(shí)會(huì)很困難,因此我們要找一種直接由方程(2-3)來(lái)求導(dǎo)數(shù)的方法.假設(shè)方程(2-3)所確定的函數(shù)是y=F(x),那么函數(shù)y=f(t)可以看成是由y=F(x)和x=φ(t)復(fù)合而成的,即y=f(t)=F(φ(t)).假定y=F(x)和x=φ(t)都可導(dǎo),且于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,就有2.3.4參數(shù)式方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例13】已知圓的參數(shù)式方程為2.4變化率問(wèn)題2.4變化率問(wèn)題

工程師想要知道放射性元素的質(zhì)量隨時(shí)間變化的速率,醫(yī)師想要知道藥的劑量的變化怎樣影響人體對(duì)藥物的響應(yīng),經(jīng)濟(jì)學(xué)家想研究生產(chǎn)鋼的成本怎樣隨所生產(chǎn)鋼的噸數(shù)而變化.這些問(wèn)題都是變化率問(wèn)題,都可歸結(jié)為導(dǎo)數(shù).由導(dǎo)數(shù)定義知,f(x)關(guān)于x的瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù).【例3】(曲柄連桿擺動(dòng)的角速度)曲柄連桿機(jī)構(gòu),如圖2-4所示,當(dāng)曲柄OC繞點(diǎn)O以等角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí),求連桿BC繞滑塊B擺動(dòng)的角速度.2.5微分2.5.1微分的概念【引例1】一邊長(zhǎng)為x的正方形金屬薄片,受熱后邊長(zhǎng)增加Δx,問(wèn)其面積增加多少?

分析由已知可得受熱前的面積S=x2,那么,受熱后面積的增量是:ΔS=(x+Δx)2-x2=2xΔx+Δx2從幾何圖形(圖2-7)上,可以看出,面積的增量可分為兩個(gè)部分,一是兩個(gè)矩形的面積總和2xΔx(陰影部分),它是Δx的線性部分;二是右上角的正方形的面積Δx2,它是Δx的高階無(wú)窮小部分.這樣一來(lái),當(dāng)Δx非常微小的時(shí)候,面積增量的主要部分就是2xΔx,而Δx2可以忽略不計(jì),也就是說(shuō),可以用2xΔx來(lái)代替面積的增量.從函數(shù)的角度來(lái)說(shuō),函數(shù)S=x2具有這樣的特征:任給自變量一個(gè)增量Δx,相應(yīng)函數(shù)值的增量Δy可表示成關(guān)于Δx的線性部分(即2xΔx)與高階無(wú)窮小部分[即（Δx）2]的和.人們把這種特征從具體意義中抽象出來(lái),再賦予它一個(gè)數(shù)學(xué)名詞———可微,從而產(chǎn)生了微分的概念.2.5.1微分的概念定義2-6設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0,δ)內(nèi)有定義,任給x0一個(gè)增量Δx(x0+Δx∈U(x0,δ)),得到相應(yīng)函數(shù)值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果存在常數(shù)A,使得Δy=A·Δx+o(Δx),其中o(Δx)是比Δx高階的無(wú)窮小.那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處是可微的,稱(chēng)A·Δx為y=f(x)在點(diǎn)x0處的微分.記作:dy

A·Δx通常稱(chēng)為Δy=A·Δx+o(Δx)的線性主要部分.“線性”是因?yàn)锳·Δx是Δx的一次函數(shù),“主要”是因?yàn)榱硪豁?xiàng)o(Δx)是比Δx更高階的無(wú)窮小,在等式中它幾乎不起作用,而A·Δx在等式中起主要作用.

解決了微分的概念之后,接下來(lái)就要解決如何求微分的問(wèn)題了.我們已經(jīng)知道了關(guān)系式2.5.1微分的概念定理2-6函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微的充要條件是:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并且Δy=AΔx+o(Δx)中的A與f'(x0)相等.

證明〔必要性〕因?yàn)閒(x)在點(diǎn)x0處可微,由定義2-6可知,存在常數(shù)A,使得:Δy=A·Δx+o(Δx).等式兩邊同時(shí)除以Δx得:再令Δx→0,取極限得:f'(x0)所以f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)且f'(x0)=A.〔充分性〕因?yàn)閒(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),所以所以Δy=f'(x0)·Δx+a·Δx=f'(x0)·Δx+o(Δx).其中f'(x0)是與Δx無(wú)關(guān)的常數(shù),o(Δx)是比Δx高階的無(wú)窮小,由定義2-6可知,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微.定理2-6說(shuō)明一個(gè)事實(shí):函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)和可微是等價(jià)的.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的微分可表示為:2.5.1微分的概念

若函數(shù)y=f(x)在定義域中任意點(diǎn)x處可微,則稱(chēng)函數(shù)f(x)是可微函數(shù),它在x處的微分記作:dy或df(x).即dy=f'(x)·Δx.為了便于討論,在數(shù)學(xué)上有一個(gè)約定:自變量x的增量等于自變量的微分,即Δx=dx.因此函數(shù)y=f(x)的微分通常記為:dy=f'(x)dx.(2-4)注意到導(dǎo)數(shù)的一種表示符號(hào)為現(xiàn)在,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以賦予一種新的解釋:導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商.因此,導(dǎo)數(shù)也叫作微商.【例1】求y=x3在x=1,Δx=0.01處的微分,并求相應(yīng)的函數(shù)值的增量Δy.2.5.2微分的幾何意義

如圖2-8所示,設(shè)曲線方程為y=f(x),PT是曲線上點(diǎn)P(x,y)處的切線,且設(shè)PT的傾斜角為α,則tanα=f'(x).在曲線上取一點(diǎn)Q(x+Δx,y+Δy),則PM=Δx,MQ=Δy,MN=PM·tanα,所以MN=Δx·f'(x)=dy,因此函數(shù)的微分dy=f'(x)·Δx是:當(dāng)x改變了Δx時(shí),曲線過(guò)點(diǎn)P的切線縱坐標(biāo)的改變量,這就是微分的幾何意義.2.5.3微分的運(yùn)算法則

從微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系dy=f'(x)dx可知,只要求出y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),即可以求出y=f(x)的微分dy=f'(x)dx.由此我們可得到下列微分的基本公式和微分的運(yùn)算法則:

1.基本初等函數(shù)的微分公式(1)dC=0;(3)d(ax)=axlnadx;(7)dsinx=cosxdx;(9)dtanx=sec2xdx;(11)dsecx=secxtanxdx;(2)dxα=αxα-1dx;(4)dex=exdx;(8)dcosx=-sinxdx;(10)dcotx=-csc2xdx;(12)dcscx=-cscxcotxdx;2.5.3微分的運(yùn)算法則

2.函數(shù)四則運(yùn)算的微分法則若u=u(x),v=v(x)可微,則(1)d(u±v)=du±dv;(3)d(uv)=vdu+udv;(2)d(Cu)=Cdu;

3.微分形式不變性設(shè)y=f(u),u=φ(x)都可微,則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的微分為:dy={f[φ(x)]}'dx=f'(u)φ'(x)dx=f'(u)du.上式與式(2-4)在形式上是一樣的,可見(jiàn)不論u是自變量還是中間變量,函數(shù)y=f(u)的微分總保持同一形式,這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為微分形式不變性.這一性質(zhì)在復(fù)合函數(shù)求微分時(shí)非常有用.2.5.3微分的運(yùn)算法則

【例3】設(shè)y=x3lnx+exsinx,求dy.

解dy=d(x3lnx)+d(exsinx)=lnx·d(x3)+x3·d(lnx)+sinx·d(ex)+ex·d(sinx)=3x2lnxdx+x2dx+exsinxdx+excosxdx=[x2(3lnx+1)+ex(sinx+cosx)]dx.

【例4】設(shè)函數(shù)y=lnsin(ex+1),求dy2.5.4微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中,經(jīng)常會(huì)遇到一些復(fù)雜的計(jì)算,下面我們利用微分來(lái)近似,它可以使計(jì)算簡(jiǎn)便.由前面的討論知道,當(dāng)Δx很小時(shí),函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的改變量Δy可以用函數(shù)的微分dy來(lái)近似,即Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f'(x0)Δx=dy,(2-5)于是得近似計(jì)算公式:f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx(當(dāng)|Δx|很小時(shí)),(2-6)以上結(jié)果在近似計(jì)算中被廣泛地應(yīng)用,公式(2-5)常用來(lái)近似計(jì)算函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0附近函數(shù)值的改變量,公式(2-6)常用來(lái)近似計(jì)算函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0附近的點(diǎn)的函數(shù)值.如果在式(2-6)中令x0=0,有f(x)≈f0+f'(0)x,(2-7)由式(2-7)可推出工程上常用的幾個(gè)近似公式(設(shè)|x|很小):2.5.4微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

【例8】某家有一機(jī)械掛鐘,鐘擺的周期為1秒.在冬季,擺長(zhǎng)縮短了0.01厘米,這只掛鐘每天大約快多少時(shí)間?3.1微分中值定理3.2洛必達(dá)法則3.4函數(shù)的極值與最值3.5曲線的凹凸性及拐點(diǎn)3.3函數(shù)的單調(diào)性3.6函數(shù)圖形的描繪3.7曲線的曲率知識(shí)目標(biāo)理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理,了解柯西(Cauchy)中值定理;掌握函數(shù)極值的概念;掌握函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)的概念;掌握曲線漸近線的概念.能力目標(biāo)

素質(zhì)目標(biāo)具有辯證和歷史思維;具有探索與鉆研精神;具有精益求精的工匠精神.3.1微分中值定理

定理3-1(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b),那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=03.1.1羅爾定理

【例1】證明:方程5x4-4x+1=0在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根.

證明不難發(fā)現(xiàn)方程左端5x4-4x+1是函數(shù)f(x)=x5-2x2+x的導(dǎo)數(shù)f'(x)=5x4-4x+1.函數(shù)f(x)=x5-2x2+x在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=f(1),由羅爾定理可知,在0與1之間至少有一點(diǎn)c,使得f'(c)=0,即方程5x4-4x+1=0在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根.3.1.2拉格朗日中值定理

定理3-2(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).結(jié)論也可寫(xiě)成:拉格朗日公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.設(shè)在點(diǎn)x處有一個(gè)增量Δx,得到點(diǎn)x+Δx,在以x和x+Δx為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理,有f(x+Δx)-f(x)=f'(x+θΔx)·Δx(0<θ<1)即Δy=f'(x+θΔx)·Δx.這準(zhǔn)確地表達(dá)了Δy和Δx這兩個(gè)增量之間的關(guān)系,故該定理又稱(chēng)為微分中值定理.

推論1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零,那么f(x)在I內(nèi)是一個(gè)常數(shù).3.1.2拉格朗日中值定理證明在I內(nèi)任取一點(diǎn)x0,然后再取一個(gè)異于x0的任一點(diǎn)x,在以x0,x為端點(diǎn)的區(qū)間J上,f(x)滿(mǎn)足:(1)連續(xù);(2)可導(dǎo),從而在J內(nèi)存在一點(diǎn)ξ,使得f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)又因?yàn)樵贗上,f'(x)≡0?f'(ξ)=0,所以f(x)-f(x0)=0?f(x)=f(x0).可見(jiàn),f(x)在I上的每一點(diǎn)都有:f(x)=C.

推論2

如果f'(x)-g'(x)≡0,則f(x)≡g(x)+C(C為常數(shù)).證明令F(x)=f(x)-g(x),因?yàn)镕'(x)=f'(x)-g'(x)≡0,則F(x)=f(x)-g(x)≡C,即f(x)≡g(x)+C.3.1.3柯西中值定理

定理3-3若f(x),F(x)滿(mǎn)足:在[a,b]上連續(xù);在(a,b)內(nèi)可導(dǎo);F'(x)在(a,b)內(nèi)恒不為0;F(a)≠F(b);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得3.2洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則1如果f(x),g(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),g'(x)≠0,且滿(mǎn)足條件:

洛必達(dá)法則2

如果f(x),g(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),g'(x)≠0,且滿(mǎn)足條件:

3.2.3“0·∞”“∞-∞”型未定式3.2.4“00”“∞0”“1∞”型未定式3.3函數(shù)的單調(diào)性3.3.1函數(shù)單調(diào)性判別法

定理3-4(函數(shù)單調(diào)性判別法)設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).(1)如果在(a,b)內(nèi)有f'(x)>0,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;(2)如果在(a,b)內(nèi)有f'(x)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少.

證明只證(1)[(2)可類(lèi)似證得]在[a,b]上任取兩點(diǎn)x1,x2(x1<x2),應(yīng)用拉格朗日中值定理,得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)(x1<ξ<x2).由于x2-x1>0,因此,如果在(a,b)內(nèi)有f'(x)>0,那么也有f'(ξ)>0,于是f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)>0,從而f(x1)<f(x2),因此函數(shù)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加.3.3.1函數(shù)單調(diào)性判別法

【例1】討論y=ex-x-1的單調(diào)性.

解因函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞),且y'=ex-1,在(-∞,0)內(nèi),y'<0,y=ex-x-1在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)減少;在(0,+∞)內(nèi),y'>0,y=ex-x-1在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)增加.3.3.2單調(diào)區(qū)間求法

定義3-1若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).用f'(x)=0及f'(x)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分f(x)的定義區(qū)間,然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).就能保證f'(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào),因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào).3.3.2單調(diào)區(qū)間求法3.4函數(shù)的極值與最值3.4.1函數(shù)的極值及其求法1.函數(shù)極值的定義定義3-2設(shè)y=f(x)的在x0的某鄰域內(nèi)有定義,若對(duì)于該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)x(x≠x0),都有f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0)),則稱(chēng)f(x0)是f(x)的一個(gè)極大值(極小值),點(diǎn)x0是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn)).極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn).如圖3-7所示,x1,x3,x5是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),x2,x4是y=f(x)的極大值點(diǎn).

應(yīng)當(dāng)指出函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念,它只代表與極值點(diǎn)鄰近的點(diǎn)的函數(shù)值相比是較大或較小,而不意味著在整個(gè)區(qū)間是最大或最小值.有時(shí)極大值比極小值還要小,如圖3-7所示,x5處的函數(shù)值f(x5)比x2處的函數(shù)值f(x2)還要大.3.4.1函數(shù)的極值及其求法2.極值的判定與求法定理3-5(極值存在的必要條件)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),且在x0取得極值,則f'(x0)=0.通常把f'(x0)=0的點(diǎn),即導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn).

定理3-6(第一充分條件)設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),在x0的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo).(1)如果當(dāng)x<x0時(shí),f'(x)>0;而當(dāng)x>x0時(shí),f'(x)<0,則f(x)在x0處取得極大值.(2)如果當(dāng)x<x0時(shí),f'(x)<0;而當(dāng)x>x0時(shí),f'(x)>0,則f(x)在x0處取得極小值.(3)如果在x0的左右兩側(cè),f'(x)符號(hào)相同,則f(x)在x0處無(wú)極值.

定理3-7(第二充分條件)設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù),且f'(x0)=0,f″(x0)≠0,則(1)當(dāng)f″(x0)<0時(shí),f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值;(2)當(dāng)f″(x0)>0時(shí),f(x)在點(diǎn)x0處取得極小值.3.4.1函數(shù)的極值及其求法【例1】求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5的極值.

解(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞);(2)f'(x)=3x2-6x-9;(3)令f'(x)=0,得駐點(diǎn)x1=-1,x2=3;(4)列表3-2討論:3.4.2函數(shù)的最大值與最小值

對(duì)于一個(gè)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)f(x),它的最大值與最小值只能在極值點(diǎn)和端點(diǎn)處取得,因此,只要求出所有的極值及端點(diǎn)值,它們之中最大的就是最大值,最小的就是最小值.求函數(shù)最大(小)值的步驟:(1)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(2)求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,最大者就是最大值,最小者就是最小值.3.4.2函數(shù)的最大值與最小值【例3】求函數(shù)y=2x3+3x2-12x+14在[-3,4]上的最大值與最小值.

解令f'(x)=6(x+2)(x-1)=0,得駐點(diǎn)x1=-2,x2=1.f(-3)=23,f(-2)=34,f(1)=7,f(4)=142,比較得最大值為f(4)=142,最小值為f(1)=7.

特別值得指出的是:若f(x)在一個(gè)區(qū)間(有限或無(wú)限,開(kāi)或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0,并且這個(gè)駐點(diǎn)x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),那么,當(dāng)f(x0)是極大值時(shí),f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值(圖3-8);當(dāng)f(x0)是極小值時(shí),f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值(圖3-9).3.5曲線的凹凸性及拐點(diǎn)3.5.1凹凸性的概念

如圖3-12所示,曲線弧是向上彎曲的,曲線位于切線的上方;如圖3-13所示,曲線弧是向下彎曲的,曲線位于切線的下方.

關(guān)于曲線的彎曲方向,給出如下定義:

定義3-3在某一區(qū)間內(nèi)如果曲線弧總是位于其任一點(diǎn)切線的上方,則稱(chēng)這條曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凹的;如果曲線弧總是位于其任一點(diǎn)切線的下方,則稱(chēng)這條曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凸的.3.5.2凹凸性的判別法定理3-8設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).(1)如果在(a,b)內(nèi),f″(x)>0,那么曲線在(a,b)內(nèi)是凹的;(2)如果在(a,b)內(nèi),f″(x)<0,那么曲線在(a,b)內(nèi)是凸的.【例1】判斷曲線y=x3的凹凸性.

解因?yàn)閥'=3x2,y″=6x,所以當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),y″<0,此時(shí)曲線是凸的;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),y″>0,此時(shí)曲線是凹的.定義3-4連續(xù)曲線y=f(x)上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點(diǎn),稱(chēng)為曲線y=f(x)的拐點(diǎn).【例3】曲線y=x4是否有拐點(diǎn)?

解y'=4x3,y″=12x2.當(dāng)x≠0時(shí),y″>0,在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)曲線是凹的,因此曲線無(wú)拐點(diǎn).3.6函數(shù)圖形的描繪3.6.1漸近線

如果曲線上的一點(diǎn)沿著曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí),該點(diǎn)與某條直線l的距離趨于零,則稱(chēng)直線l為該曲線的一條漸近線.用極限定義如下:

1.豎直漸近線(垂直于x軸的漸近線)2.水平漸近線3.6.1漸近線3.6.2函數(shù)圖像的描繪利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖像,其步驟為:1.確定函數(shù)f(x)的定義域,對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇偶性、周期性等性態(tài)的討論;2.求出函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)和二階導(dǎo)數(shù)f″(x),求出方程f'(x)=0和f″(x)=0在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根,用這些根和函數(shù)的間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)把函數(shù)的定義域分為若干個(gè)子區(qū)間,列表確定函數(shù)在各子區(qū)間上的單調(diào)性、凹凸性、函數(shù)的極值點(diǎn)、曲線的拐點(diǎn);3.確定函數(shù)圖像的漸近線;4.有時(shí)根據(jù)需要,要補(bǔ)充一些輔助點(diǎn);5.根據(jù)上述討論,在直角坐標(biāo)平面上畫(huà)出漸近線,標(biāo)出曲線上的極值點(diǎn)、拐點(diǎn),以及所補(bǔ)充的輔助點(diǎn),再依曲線的單調(diào)性、凹凸性,將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái).3.6.2函數(shù)圖像的描繪

【例3】畫(huà)出函數(shù)y=x3-x2-x+1的圖形.

3.6.2函數(shù)圖像的描繪3.7曲線的曲率3.7.1曲率的概念3.7.2曲率計(jì)算公式【例1】求半徑為R的圓的曲率.解用定義來(lái)做,因?yàn)閳A每個(gè)點(diǎn)的曲率是一樣的,所以平均曲率為在該點(diǎn)的曲率,我們?nèi)≌麍A,對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為2πR,所轉(zhuǎn)過(guò)的角為2π,所以3.7.2曲率計(jì)算公式

【例2】計(jì)算雙曲線xy=1在點(diǎn)(1,1)處的曲率.3.7.3曲率圓與曲率半徑

4.1不定積分的概念和性質(zhì)4.2積分的基本公式和法則4.4分部積分法4.5積分表的使用4.3換元積分法知識(shí)目標(biāo)理解原函數(shù)和不定積分的概念;熟悉不定積分的相關(guān)性質(zhì);熟記不定積分的基本公式.能力目標(biāo)熟練掌握不定積分的三種基本解法:直接積分法,換元法和分部積分法;會(huì)利用積分表求解不定積分.素質(zhì)目標(biāo)幫助學(xué)生克服困境,樹(shù)立遠(yuǎn)大理想;具有精益求精的工匠精神;具有批判與懷疑精神、創(chuàng)造和創(chuàng)新精神、實(shí)踐和探索精神.4.1不定積分的概念和性質(zhì)

【引例1】(自由落體)已知真空中的自由落體在任意時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度為v=v(t)=gt,其中g(shù)是常量,表示重力加速度,又知當(dāng)時(shí)間t=0時(shí),位移s=0,求該自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

分析由物理知識(shí)我們知道,物體運(yùn)動(dòng)的位移s=s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),就是這一物體的速度v=v(t),即s'(t)=v(t),現(xiàn)在我們要解決相反的問(wèn)題,即已知物體的速度函數(shù)v(t),如何求位移函數(shù)s=s(t)?

定義4-1設(shè)函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(a,b)上的已知函數(shù),如果存在一個(gè)函數(shù)F(x),使得對(duì)于該區(qū)間上的每一個(gè)點(diǎn)都滿(mǎn)足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,則稱(chēng)函數(shù)F(x)是f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

定理4-1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x),則F(x)+C(C為任意常數(shù))也是f(x)在I上的原函數(shù),且f(x)的任一原函數(shù)均可表示成F(x)+C的形式.4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

證明定理的前一部分結(jié)論是顯然的,事實(shí)上F(x)+C'=f(x).現(xiàn)只證后一部分結(jié)論.設(shè)G(x)是f(x)在區(qū)間I上的任一個(gè)原函數(shù),令φ(x)=G(x)-F(x),則φ'(x)=G'(x)-F'(x).

由于G'(x)=f(x),F'(x)=f(x),從而在I上恒有φ'(x)=0,得φ(x)=C(C為任意常數(shù)),即G(x)=F(x)+C.這就是說(shuō),只要找到f(x)的一個(gè)原函數(shù),那么它的全體原函數(shù)均能找到.

定義4-2若F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),那么表達(dá)式F(x)+C(C為任意常數(shù))稱(chēng)為f(x)在I上的不定積分,記為∫f(x)dx,即∫f(x)dx=F(x)+C,其中,x稱(chēng)為積分變量,f(x)稱(chēng)為被積函數(shù),f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式,C為任意常數(shù)∫,稱(chēng)為積分號(hào).4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

【例1】求∫2xdx.

解由于x2'=2x,所以x2是2x的一個(gè)原函數(shù).因此∫2xdx=x2+C.4.1.2不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1

求不定積分與求導(dǎo)數(shù)(或微分)互為逆運(yùn)算.(∫f(x)dx)'=f(x),d(∫f(x)dx)=f(x)dx

(4-1)∫f'(x)dx=f(x)+C,∫df(x)=f(x)+C

(4-2)也就是說(shuō),不定積分的導(dǎo)數(shù)(或微分)等于被積函數(shù)(或被積表達(dá)式),如(∫sinxdx)'=(-cosx+C)'=sinx.對(duì)一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)求不定積分,其結(jié)果與此函數(shù)僅相差一個(gè)積分常數(shù).如∫d(sinx)=∫cosxdx=sinx+C.4.1.2不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)2

不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)之前,即∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(常數(shù)k≠0).

(4-3)如∫2exdx=2∫exdx=2ex+C.

性質(zhì)3

兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于它們不定積分的代數(shù)和,即∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

(4-4)如∫（3x2+ex

）dx=∫3x2dx+∫exdx=x3+ex+C.式(4-4)可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的情形,即∫[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx±…±∫fn(x)dx.

(4-5)4.2積分的基本公式和法則4.2積分的基本公式和法則4.2積分的基本公式和法則

4.2積分的基本公式和法則類(lèi)似地,可以推導(dǎo)出其他基本積分公式,如下所示.4.2積分的基本公式和法則4.3換元積分法4.3.1第一類(lèi)換元積分法(湊微分法)

【引例3】(質(zhì)子速度)一質(zhì)子運(yùn)動(dòng)(圖4-3)的加速度a(t)=-10(1+2t)-1(單位:m/s2).如果質(zhì)子的初始速度為0,即v(0)=0m/s,求時(shí)刻t質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)速度函數(shù)v(t).

分析由物理知識(shí)可知,速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是加速度,即v'(t)=a(t).則質(zhì)子的速度函數(shù)可表示為4.3.1第一類(lèi)換元積分法(湊微分法)4.3.1第一類(lèi)換元積分法(湊微分法)

定理4-2(第一類(lèi)換元積分法)

若∫f(u)du=F(u)+C,且u=φ(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C第一類(lèi)換元積分法也叫湊微分法,用更具體的式子來(lái)表示就是4.3.1第一類(lèi)換元積分法(湊微分法)

【例1】

求∫(3x+1)4dx.4.3.2第二類(lèi)換元積分法4.3.2第二類(lèi)換元積分法4.3.2第二類(lèi)換元積分法定理4-3(第二類(lèi)