【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯(cuò)點(diǎn)歸納總結(jié)】【專題03】數(shù)列（教師版）

第1頁【專題03】數(shù)列1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．例1、已知（），則在數(shù)列的最大項(xiàng)為________．【答案】例2、數(shù)列的通項(xiàng)為，其中、均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為________．【答案】例3、已知數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】例4、一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足（），則該函數(shù)的圖象是（）【答案】A2、等差數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法（為常數(shù)）或（）．（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：或．（3）等差數(shù)列的前和：，．（4）等差中項(xiàng)：若、、成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且．特別提醒：①等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素．只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即“知3求2”；②為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為、、、、、、（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為、、、、、（公差為）．例5、設(shè)是等差數(shù)列，求證：以，為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列．例6、等差數(shù)列中，，，則通項(xiàng)________．【答案】例7、首項(xiàng)為的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是________．【答案】例8、數(shù)列中，（，），，前項(xiàng)和，則________，________．【答案】，例9、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】3、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0．（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列．（3）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有．（4）若、是等差數(shù)列，則，（、是非零常數(shù)），（、），（、、、）也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列．（5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，，（這里即）；．（6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則．（7）若為等差數(shù)列，若，（），則．（8）若為等差數(shù)列，若，（），則．（9）若為等差數(shù)列，若（），則．（10）若為等差數(shù)列，其公差為，為等差數(shù)列，其公差為，且，則為等差數(shù)列，其公差為．（11）若為等差數(shù)列，其公差為，為等差數(shù)列，其公差為，如果它們有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．特別提醒：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究．（12）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和．方法一：由不等式組或，確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)或非正；方法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性．上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？例10、等差數(shù)列中，，，，則________．【答案】27例11、在等差數(shù)列中，，，且，是其前項(xiàng)和，則（）A．、、、都小于0，、都大于0B．、、、都小于0，、都大于0C．、、、都小于0，、都大于0D．、、、都小于0，、都大于0【答案】B例12、等差數(shù)列的前項(xiàng)和為25，前項(xiàng)和為100，則它的前和為________．【答案】225例13、在等差數(shù)列中，，則________．【答案】2例14、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)．【答案】5；31例15、設(shè)與是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么________．【答案】例16、等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值．【答案】前13項(xiàng)和最大，最大值為169例17、若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，，則使前項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)是________．【答案】40064、等比數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法（為常數(shù)），其中，或（）．（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)：或．（3）等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對分和兩種情形討論求解．（4）等比中項(xiàng)：若、、成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．特別提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)．例18、一個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為________．【答案】例19、數(shù)列中，（）且，若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列．例20、設(shè)等比數(shù)列中，，，前項(xiàng)和，求和公比．【答案】，或2例21、等比數(shù)列中，，，求．【答案】44例22、的值為________．【答案】2046例23、如已知兩個(gè)正數(shù)、（）的等差中項(xiàng)為，等比中項(xiàng)為，則與的大小關(guān)系為________．【答案】例24、有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)．【答案】15、9、3、1或0、4、8、16特別提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素．只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為、、、、、、（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為、、、、、，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為．5、等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有．（2）若是等比數(shù)列，則、（、）、成等比數(shù)列；若、成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列、、、也是等比數(shù)列．當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列、、、是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列．（3）若，，則為遞增數(shù)列；若，，則為遞減數(shù)列；若，，則為遞減數(shù)列；若，，則為遞增數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列．（4）當(dāng)時(shí)，，這里，但，，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列．（5）．（6）若為正項(xiàng)等比數(shù)列，公比為，則為等差數(shù)列，公差為．（7）若為等比數(shù)列，公比為，為等差數(shù)列，公差為，且，則為等比數(shù)列，公比為．（8）在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，．（9）如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．例25、在等比數(shù)列中，，，公比是整數(shù)，則________．【答案】512例26、各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則________．【答案】10例27、已知且，設(shè)數(shù)列滿足（），且，則________．【答案】例28、在等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則的值為________．【答案】40例29、若是等比數(shù)列，且，則________．【答案】1例30、設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若、、成等差數(shù)列，則的值為________．【答案】2例31、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（），關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：①若（），則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若（、），則是等差數(shù)列；③若，則是等比數(shù)列．這些命題中，真命題的序號是________．【答案】②③6、數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．例32、已知數(shù)列、、、、試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：________．【答案】（2）已知（即）求，用作差法：．例33、已知的前項(xiàng)和滿足，求．【答案】例34、數(shù)列滿足，求．【答案】（3）已知求，用作商法：．例35、數(shù)列中，，對所有的都有，則________．【答案】（4）若求，用累加法：（）．例36、已知數(shù)列滿足，（），則________．【答案】（5）已知求，用累乘法：（）．例37、已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和，若，求．【答案】（6）已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法把類等差、類等比數(shù)列構(gòu)造成等差、等比數(shù)列求解．①形如、（、為常數(shù)）、（、、、為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列后，再求．例38、已知，，求．【答案】例39、已知，，求．【答案】②形如（、為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)．例40、已知，，求．【答案】例41、已知數(shù)列滿足，，求．【答案】特別提醒：①用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當(dāng)時(shí)，）；②一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解．例42、數(shù)列滿足，，求．【答案】7、數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論；③常用公式：；；．例43、等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則________．【答案】例44、計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的．二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是，那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是________．【答案】（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和．例45、求和：．【答案】（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）．例46、求證：．例47、已知，則________．【答案】（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）．例48、設(shè)為等比數(shù)列，，已知，，①求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；②求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】①，；②例49、設(shè)函數(shù)，，數(shù)列滿足：，（），①求證：數(shù)列是等比數(shù)列；②令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并比較與的大?。敬鸢浮竣俾?；②，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和常用裂項(xiàng)形式有：①；②；③；；④；⑤；⑥．例50、求和：________．【答案】例51、在數(shù)列中，，且，則________．【答案】99（6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和．例52、求數(shù)列，，，，，前項(xiàng)和________．【答案】例53、求和：________．【答案】8、“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題．（1）這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)