二次函數(shù)及其性質(zhì) 講義 初高中教材銜接

二次函數(shù)及其性質(zhì)二次函數(shù)的含義：一般地，把形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中是自變量，是因變量，自變量的最高次數(shù)為，是常數(shù).二次函數(shù)的性質(zhì)：對二次函數(shù)表達式配方，得到二次函數(shù)的頂點式：二次函數(shù)的頂點坐標為；二次函數(shù)的圖象是一條拋物線；EQ\o\ac(○,1)當時，二次函數(shù)圖象開口朝上；當時，隨著的增大而減小，當時，隨著的增大而增大，二次函數(shù)圖象在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞增；該二次函數(shù)在對稱軸處取得最小值，無最大值；EQ\o\ac(○,2)當時，二次函數(shù)圖象開口朝下；當時，隨著的增大而增大，當時，隨著的增大而減小，二次函數(shù)圖象在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞減；該二次函數(shù)在對稱軸處取得最大值，無最小值；在二次函數(shù)中，若令函數(shù)值，則得到一個一元二次方程.在此，我們研究二次函數(shù)與一元二次方程的關系.為討論方便，在此，我們只討論的情況.方程的判別式方程有兩個不相等的實數(shù)根方程有兩個相等的實數(shù)根方程無實數(shù)根方程的根無解函數(shù)的圖象（示意圖）函數(shù)與軸交點個數(shù)及橫坐標兩個一個無交點由上述一元二次方程與二次函數(shù)的對應關系，可知，當函數(shù)圖象與軸有交點時，原函數(shù)可以表示為，其中是二次函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標.二次函數(shù)的三種表達方式總結(jié)：一般式：；頂點式：，其中頂點坐標為交點式（兩根式）：，其中是二次函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標.例題講解例1：已知二次函數(shù)滿足，且的最大值是，求的表達式.解：又因為的最大值是所以可設為頂點式，將點代入，得，即：的表達式為.例2：已知二次函數(shù)滿足條件和.求；（2）在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）設，因為滿足條件和，代入，得，化簡，得，即，解得：，即：.由二次函數(shù)解析式可知：該二次函數(shù)開口朝上，對稱軸為直線，在給定區(qū)間上的單調(diào)性為從單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，比較兩端點值大小，得，綜上所述，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.自我檢測若二次函數(shù)的圖象過點，求的表達式.若二次函數(shù)的圖象過點，并且，求的表達式.已知函數(shù)，并且函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值范圍.已知二次函數(shù)，求的最小值.參考答案由題干可知，該二次函數(shù)過給定的三個點，既可以設一般式，也可以設兩根式，而兩根式較為容易.因為二次函數(shù)的圖象過點，故設，把點代入，得：，即：的表達式為.由題干可知，二次函數(shù)在處取到最小值，因此該二次函數(shù)開口朝上，頂點為，故可以設的表達式為.因為的圖象過點，把點代入，得，即：的表達式為.二次函數(shù)開口朝上，對稱軸為直線，對稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，對稱軸右側(cè)單調(diào)遞增， 題干所給函數(shù)在區(qū)間右端點處取到最小值，故所給區(qū)間完全在對稱軸左側(cè)，則. 即：實數(shù)的取值范圍為.4.二次函數(shù)開口朝上，對稱軸為直線，對稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，對稱軸右側(cè)單調(diào)遞增，因此，只需討論所給區(qū)間與對稱軸的位置關系即可.EQ\o\ac(○,1)當時，所給區(qū)間完全在對稱軸的右側(cè)，在上單調(diào)遞增，最小值；EQ\o\ac(○,2)當時，所給區(qū)間完全在對稱軸