模型 重難點(diǎn)突破：圓中的最值問(wèn)題4

圓中最值問(wèn)題匯編

題型一圓中將軍飲馬

例1、如圖，MN是。。的直徑，MN=2,點(diǎn)A在。。上，NAMN=30。，B為弧

AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+P8的最小值為▲.

解析：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC交MN于點(diǎn)P,則P點(diǎn)就是所求作點(diǎn).

此時(shí)PA+PB最小，且等于AC的長(zhǎng).連接OA,0C,

VZAMN=30°,AZA0N=60°,j/v

...弧AN的度數(shù)是60°,則弧BN的度數(shù)是30°,

根據(jù)垂徑定理得弧CN的度數(shù)是30°,則NA0C=90°,又0A=0C=l,則AC=V^

1、已知圓0的面積為3%，AB為直徑，弧AC的度數(shù)為80度，弧BD的度數(shù)為

20度，點(diǎn)P為直徑AB上任一點(diǎn)，則PC+CD的最小值為,最小值為3.

2、如圖，菱形ABC中，NA=60度，AB=3,(DA、OB的半徑為2和1,P、E、F分

別是CD,(DA和(DB上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值為PE+PF最小值是3.

3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A(-2,3),B(3,4)為圓心，以1、

2為半徑作。A、OB,M、N分別是。A、。8上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),

則PM+PN的最小值等于▲

解析：...A'(3+2)2+(4+3)2=^74,

：.MN=A'B-BN-A'M=布一2-1=取一3,

J.PM+PN的最小值為點(diǎn)一3.

題型二圓的定義(一周同長(zhǎng))

例2、木桿AB斜靠在墻壁上，當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時(shí),木桿的底端

B也隨之沿著射線0M方向滑動(dòng)。下列圖中用虛線畫(huà)出木桿中點(diǎn)P隨之下落的路

線，其中正確的是。

解析：如右圖，連接0P,由于0P是RtZ^AOB斜邊上的中線，所以O(shè)P=12AB,不

管木桿如何滑動(dòng)，它的長(zhǎng)度不變，也就是0P是一個(gè)定值，點(diǎn)P就在以0為圓心

的圓弧上，那么中點(diǎn)P下落的路線是一段弧線。選D.

1、如圖，已知AB=AC=AD,/CBD=2NBDC,/BAC=44。，貝U/CAD的度數(shù)為.

解析：?.?AB=AC=AD,；.B,C,D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，...NCAD=2N

CBD,ZBAC=2ZBDC,VZCBD=2ZBDC,ZBAC=44°,AZCAD=2ZBAC=88?

2、在平面直角坐標(biāo)系中，A(4,0)、B(0,-3),以點(diǎn)B為圓心、2為半徑的

圓B上有一動(dòng)點(diǎn)P,連接AP,若點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，連接0C,則0C的最小值

3

為_(kāi)__________。解析：-

2

3.如圖，AB是。0的弦，AB=8,點(diǎn)C是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NACB=45°,若點(diǎn)

M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是一

4.如圖所示，四邊形ABC。中，BC=\,AB=AC=AD=2.則8。的

長(zhǎng)為()

A.B.y/15C.3y/2D.2^3

解析：以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，延長(zhǎng)BA交。A于凡連接。尸

VDC//AB,hu(DF)=hu(BC),：.DF=CB=\,B”=2+2=4,

?.?所是。A的直徑，.,.ZFDB=90°,:.BD=gh(BF2-DF'(2))=yfl5.

5在等腰△ABC中，AC=BC,NC=100°,點(diǎn)尸在△ABC的外部，并且PC=

BC,求/APB的度數(shù).

分析：根據(jù)已知條件得到A、B、P三點(diǎn)在以C為圓心，AC為半徑的圓上，根據(jù)

圓周角定理即可得到結(jié)論.

解析：'：AC=BC,PC=BC,

...A、B、P三點(diǎn)在以C為圓心，AC為半徑的圓上,

若、在的同側(cè)，則

PC45乙

VZACB=100°,/.ZAPB=50°

若P、。在AB的異側(cè)，則NAPB=180°-50°=130°.

6.(1)問(wèn)題背景

如圖①，BC是。0的直徑，點(diǎn)A在。0上，AB=AC,P為BmC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,

C重合)，求證：鏡PA=PB+PC.

A

小明同學(xué)觀察到圖中自點(diǎn)A出發(fā)有三條

線段A3,AP,AC,^LAB=AC,這就為旋轉(zhuǎn)：

作了鋪墊.于是，小明同學(xué)有如下思考過(guò)程：|

m

①

請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)的思考過(guò)程完成證明過(guò)程

(2)類(lèi)比遷移

如圖②，。。的半徑為3,點(diǎn)A,B在。0上,C為。。內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC,AB±AC,

垂足為A,求0C的最小值.

(3)拓展延伸

4

如圖③，。。的半徑為3,點(diǎn)A,B在上，C為內(nèi)一點(diǎn)，AB=-AC,AB±AC,

o

垂足為A,則0C的最小值為.

(1)證明：將△PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QA8(如圖①)；:BC是

直徑，4c=90°,'：AB=AC,：.ZACB=ZABC=45°,由旋轉(zhuǎn)可得N

QBA=ZPCA,ZACB=ZAPB=45°,PC=QB,"：ZPCA

+ZPBA=180°,

：.ZQBA+ZPBA=180°,：,Q,B,P三點(diǎn)共線，

/.ZQAB+ZBAP=ZBAP+ZPAC=^°,

圖①

，QP2=AP2+A^=2AP2,

：.QP=\l2AP=QB+BP=PC+PB,：.yf2AP=PC+PB.

(2)解：如圖②中，連接OA,將△OAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB,

連接08,OQ,

'：AB±AC：.ZBAC=^°

由旋轉(zhuǎn)可得QB=OC,AQ=OA,ZQAB=ZOAC

：.ZQAB+ZBAO=ZBAO+ZOAC=90°

.,.在Rt^OAQ中，OQ=3y/2,AO=3.,.在△OQB中,

8Q20Q—08=33

即OC最小值是3y/2-3

4

(3)如圖③中，作AQLOA,使得AQ=鼻。4,連接OQ,BQ,0B.

O

,：ZQAO=ZBAC=90°,ZQAB=ZOAC,

4

???(QA)/(OA)=UB)/C4C)=-,

o

4

S：.BQ=~OC,

???△QA8/\0AC,o

當(dāng)BQ最小時(shí)，OC最小，易知0A=3,AQ=4,OQ=5,BQ^OQ-OB,

333

.?.BQ22,.?.BQ的最小值為2,二。。的最小值為aX2=a，故答案為萬(wàn).

勺乙乙

題型三折疊隱圓

預(yù)備定理

如圖1、2,平面內(nèi)有一定點(diǎn)4和一定圓。。，尸為。。上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)4。并

延長(zhǎng)，分別交。。于8、C兩點(diǎn)（稱6、C分別為直線0A與。。的近交點(diǎn)與遠(yuǎn)

交點(diǎn)），則A8為AP的最小值，AC為AP的最大值.設(shè)。。的半徑為「;，那么AP

的最小值為|AO-r|,AP的最大值為AO+r.

【基本原理】（一箭穿心）

點(diǎn)A為圓外一點(diǎn)，P為圓0上動(dòng)點(diǎn)，連接A0并延長(zhǎng)交圓于R、P2,則AP的最小值

為APz,最大值為APi

例3、【問(wèn)題情境】

如圖1,P是。。外的一點(diǎn)，直線P。分別交。。于點(diǎn)A、B

小明認(rèn)為線段PA是點(diǎn)P到。。上各點(diǎn)的距離中最短的線段，他是這樣考慮的：

在。。上任意取一個(gè)不同于點(diǎn)A的點(diǎn)C,連接OC、CP,則有OPCOC+PC,

EPOP-OC<PC,由。4=。。得OP—OA<PC,即Q1VPC,從而得出線段鞏

是點(diǎn)P到。。上各點(diǎn)的距離中最短的線段

小紅認(rèn)為在圖1中，線段PB是點(diǎn)尸到。。上各點(diǎn)的距離中最長(zhǎng)的線段，你認(rèn)為

小紅的說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由

B

圖1

【直接運(yùn)用】

如圖3,在Rt/XABC中，/ACB=90°,4c=8C=2,以8c為直徑的半圓交A8于。，P

是碗（C。）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,則AP的最小值是

【構(gòu)造運(yùn)用】

如圖4,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABC。中，/A=60°,M是AO邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，

將△4MN沿MN所在的直線翻折得到△△'MN,連接A'C,請(qǐng)求出A'C長(zhǎng)度的最小值

解析：由折疊知A'M=AM,又M是4。的中點(diǎn)，可得M4=MA'=M￡>,做點(diǎn)A'在以

A/）為直徑的圓上，如圖5,以點(diǎn)例為圓心，MA為半徑畫(huà)。M,過(guò)M作M”_LC。，垂足為

H（請(qǐng)繼續(xù)完成本題的后續(xù)解題過(guò)程）

【深度運(yùn)用】

如圖6,△ABC、△EFG均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)。是邊8C、EF的中點(diǎn)，直線AG、

FC相交于點(diǎn)M,當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，則線段BM長(zhǎng)最小值和最大值分別是—和

解析：【問(wèn)題情境】如答圖1,在圓。上任意取一個(gè)不同于點(diǎn)8的點(diǎn)C,連接OC、0P.

則有OP+OOPC.由OB=OC得至I」：OP+OB>PC,BPPB>PC./----

從而得出線段PB是點(diǎn)尸到圓。上各點(diǎn)的距離中最長(zhǎng)的線段；{/

【直接運(yùn)用】如答圖2,找到BC的中點(diǎn)E,連接AE,交半圓于修，在半圓上取戶|，連接

AP],EP1,

可見(jiàn)，APi+EP^AE,<

即AP2是A尸的最小值，VA￡=-\/22+l2=V5>&E=1，V\\

：.AP2=yj5-l.故答案為：乖7.

EB

答圖2

【構(gòu)造運(yùn)用】如答圖3所示：?；MA'是定值，A'C長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即A'在MC上時(shí),

過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)F,

?.?在邊長(zhǎng)為4的菱形A8C￡＞中，乙4=60°,M為中點(diǎn),

：.2MD=AD=CD=4,NHDM=60°,：.ZHMD=iO0,

：.HD^MD=1,：.HM=DMXcos30a=#,

答圖3

：.MC=g/7(“K+CM"(2))=2小，

C=MC-MA'=2小一2；

【深度運(yùn)用】設(shè)AC中點(diǎn)。，連接A。、DG、BO、0M,如答圖4

VAABC,△EFG均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)。是邊BC、

EF的中點(diǎn)，

J.ADVBC,GDLEF,DA^DG,DC=DF,

：.ZADG=90a-NCDG=NFDC,(DA)/{DQ=(DG)/(DF),

：./\DAG^/\DCF,

ZDAG=ADCF.

."、D、C、〃四點(diǎn)共圓.

①根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：BOWBM+OM,即BM2B0—0M,當(dāng)M在線段8。與該

圓的交點(diǎn)處時(shí)，最小，此時(shí)，B0=—。。⑵)=。4?-2?=2小,0M=^AC=2,

則BM=B0-0M=2yfi-2.

②根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：BMWBO+OM,當(dāng)M在線段8。延長(zhǎng)線與該圓的交點(diǎn)處時(shí),

線段BM最長(zhǎng)，此時(shí)，B0=02仍"一。。0)=勺42—22=2事,0M=%C=2,則8M=

B0+0M=2小+2.

故答案是：2#—2；2幣+2.

1、已知一個(gè)矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)洗中，點(diǎn)A(11,0),

點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)0、P

折疊該紙片，則CB'的最小值為

2、四邊形ABCD中，AD〃BC,NA=90,AD=l,AB=2,BC=3,P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn),

將AABP沿BP所在直線翻折得到AaBP,則ACOD的面積最小值為—

3如圖3,在矩形A3C。中，AB=4,AT>=6,E是A8邊的中點(diǎn)，尸是線段8C

上的動(dòng)點(diǎn)，將沿樣所在直線折疊得到AEB/,連結(jié)則"。的最

小值是()

解析：由題意可知，點(diǎn)Q隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng).???￡是邊中點(diǎn)，

EB=』AB=2.由折疊性質(zhì)可知EB=￡B=2,所以動(dòng)點(diǎn)用

2

到定點(diǎn)E的距離為定長(zhǎng)2,即動(dòng)點(diǎn)9的軌跡是以E為圓心，2

為半徑的圓，如圖4.圖3

由預(yù)備定理可知，連結(jié)交。E于點(diǎn)9，此時(shí)廳。最小，且有

2222

B'Dmin=DE-EB'=y/AE+AD-EB'=72+6-2=2710-2.

4如圖5,在AABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,P是4?邊上的動(dòng)點(diǎn)（不

與點(diǎn)5重合），將A5CP沿CP所在的直線翻折，得到AB'CP,連結(jié)6'A,則B'A

長(zhǎng)度的最小值是.

解析：由題意可知，點(diǎn)"隨著點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng).由翻折的性質(zhì)得UC=5C=3,

即動(dòng)點(diǎn)9到定點(diǎn)C的距離等于定長(zhǎng)3,所以動(dòng)點(diǎn)方的軌跡是以定點(diǎn)C為圓心，3

為半徑的圓，如圖6.當(dāng)點(diǎn)夕落在AC邊

上時(shí)，即A、B\C三點(diǎn)共線時(shí)，B'A長(zhǎng)

度最小，且有"42=AC-*C

=A/52-32-3=1.

5如圖7,在用八鉆C中，ZC=90°,AC=6,8C=8,點(diǎn)尸在邊AC上，并且

C尸=2,點(diǎn)E為邊8C上的動(dòng)點(diǎn)，將△（?￡/沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,

則點(diǎn)P到邊A3距離的最小值是.

圖8

解析：由題意可知，點(diǎn)P隨著點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng).由翻折的性質(zhì)得PF=FC=2,

所以動(dòng)點(diǎn)尸到定點(diǎn)尸的距離等于定長(zhǎng)2,即動(dòng)點(diǎn)P在以定點(diǎn)尸為圓心，2為半徑

的圓上，如圖8.過(guò)點(diǎn)P作PG，43于點(diǎn)G,連結(jié)FG,則有PG>FG-FP=FG-2.

所以要使PG最小，只需使FG最小根據(jù)垂線段最短，可知當(dāng)R7_LAB,且F、

P、G三點(diǎn)共線時(shí)，R7最小.

在&AABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8.由勾股定理，得AB=10,再

由面積法，得EG=4.8,所以點(diǎn)尸到邊AB距離的最小值為

PG?.=FG,小一2=卬'-2=4.8—2=2.8.

6如圖9,菱形ABQ9的邊AB=8,NB=60。，尸是A6上一點(diǎn)，BP=3,。是

CO邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQO沿直線尸。折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,當(dāng)C4的長(zhǎng)

度最小時(shí)，C。的長(zhǎng)為（）

解析：如圖10,記梯形APQD沿直線PQ折疊后的梯形為A，PQ￡T,由折疊性質(zhì)

可知A/=AP=43-6P=8-3=5.即動(dòng)點(diǎn)4到定點(diǎn)P的距離等于定長(zhǎng)5,所以

動(dòng)點(diǎn)4在以定點(diǎn)P為圓心，5為半徑的圓上.由預(yù)備定理知，當(dāng)點(diǎn)A落在CP邊上

時(shí)，C4長(zhǎng)度最小，此時(shí)，由折疊性質(zhì)，知/（7尸。=44/5。：8〃4?,，

ZCQP=ZAPQ,:.ZCQP=ZCPQ,...CQ=CP.作CFLAB于歹，由菱形的性

質(zhì)和48=60。，可得3/=，A8=4,。尸=4百.由勾股定理，得

2

2

CP=4CF+PF~=J(4揚(yáng)2+]2=7,所以當(dāng)C4的長(zhǎng)度最小時(shí)，C。的長(zhǎng)為7.

題型四隨動(dòng)位似隱圓

例4、在Rt^ABC中，ZACB=90°,NBAC=30。，BC=6.點(diǎn)D是邊AC上

一點(diǎn)D且AD=26，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得線段AD',點(diǎn)F始終為BD'的中

點(diǎn)，則將線段CF最大值為

解析：易知D，軌跡為以A為圓心AD為半徑的圓，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)

程中AD，為定值2TL故取AB中點(diǎn)G,則FG為中位線，K\

FG=；AD=VJ,故F點(diǎn)軌跡為以G為圓心，6為半徑的圓。問(wèn)

題實(shí)質(zhì)為已知圓外一點(diǎn)C和圓G上一點(diǎn)F,求CF的最大值。05

思路2：倍長(zhǎng)BC到?，則CF為△B，D，B的中位線，CF=-8，。,當(dāng)芳。最大

2

時(shí)，CF也取最大值，問(wèn)題實(shí)質(zhì)為D在圓A上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，BD取最大。

【方法歸納】①、如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)01為定點(diǎn)，圓0i半徑為定值，P為圓01

上動(dòng)點(diǎn)，M為AP中點(diǎn)=點(diǎn)乂運(yùn)動(dòng)軌跡為圓02,且。2為AOi中點(diǎn)。②、構(gòu)造

中位線

1、如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°,。是AC的中點(diǎn)，M是8。的中點(diǎn)，將

線段AD繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終保持點(diǎn)M是8。的中點(diǎn)），若AC=4,

BC=3,那么在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是

2、如圖，AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，以AC為直徑作半圓，P為半圓上任

意一點(diǎn),M為BP中點(diǎn)，則在點(diǎn)P由A到C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

如圖，ZUBC中,ZXCB=9O*.AC=BC=4.點(diǎn)尸在以斜邊48為直徑的半附上，點(diǎn)M

為？C的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)尸沿半19從點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

4：如圖，已知P是。0外一點(diǎn)，Q是。0上的動(dòng)點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M,連接OP,0M.若

。。的半徑為2,0P=4,求線段0M的最小值.

解析：］

P

5.如圖，在肋AMC中，NACB=90。，AC=4,BC=3,點(diǎn)。是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且AO=2,M為8。的中點(diǎn)，在。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是

解析：作AB的中點(diǎn)E,連接EM、CE.在直角4ABC中,AB=5,

VE是直角4ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，

.?.CE=1/2AB=5/2.；M是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，/.ME=1/2AD=1.

.?.在△CEM中,5/2—140^45/2+1,即3/24CM47/2.故答案是：3/2<CM<7/2.

6：如圖，在等邊aABC中，AB=2,點(diǎn)D是以A為圓心，半徑為1的圓上一動(dòng)點(diǎn),

連接CD,E為CD的中點(diǎn)，連接BE,取BE的中點(diǎn)M,連接AM、CM則BE的最大值

與最小值

題型五捆綁旋轉(zhuǎn)

思路2：線段BM可看作由線段PB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，當(dāng)點(diǎn)P在圓A

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作出其繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度后的每一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則其應(yīng)點(diǎn)的集合

就是點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡。顯然其軌跡為圓。因?yàn)槊總€(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都是點(diǎn)P繞點(diǎn)B順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60度得到，所以點(diǎn)M所在圓的圓心即為將P點(diǎn)所在圓圓心A繞點(diǎn)B順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)60度得到。［想象成鐘擺繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度］

1、如圖，已知A(2,0),圓0半徑為1,點(diǎn)B為圓0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象

限,且4ABC為等腰直角三角形，NBAC=90度,求線段0C的最大值—

2、如圖，AB為。。的直徑，AB=4,點(diǎn)C為半圓AB上動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊在。。外

作正方形BCDE,(點(diǎn)D在直線AB的上方)連接0D.當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，則線段0D

的最大值為_(kāi)_________

B

3如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，ZBAC=90%AC=2,以點(diǎn)C為圓心，1

為半徑作圓，點(diǎn)尸為。。上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,并繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP',

連結(jié)CP,則CP的取值范圍是.20-14CPM20+1

4如圖，線段AB=8,。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足。E=2,

連接BE,將BE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EC,連接AC、BC,則線段AC長(zhǎng)

度的最大值為

解析：以8。為直角邊在8。上方作等腰直角三角形80D,如圖，連接CO、AO.

則(BQ/(EB)=(BO)/(BD)=gh(2),又/CBO=4EBD,

.?.△EBDsACBO.：.(CO)/(DE)=gh(2).

??'E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以￡為圓心，OE=2為半徑的圓，

.??C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是以。為圓心，OC=2也為半徑的圓.

?.FCWAO+OC,AO=4OC=2■..,.AC最大值為4g+2鏡=6班

5.如圖，AB=4,。為45的中點(diǎn)，。。的半徑為1,點(diǎn)P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，以

PB為直角邊的等腰直角三角形P3C(點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?，則線段

AC的長(zhǎng)的范圍為C

解析：如圖，作OK_LAB,在OK上截取OK=OA=OB,連A

接AK、BK、KC、OP./\

VOK=OA=OB,OKVAB,：.KA=KB,/AKB=90°,\

.?.△4KB是等腰直角三角形，,：ZOBK=ZPBC,：.ZOBPX{<

蛆

=ZKBC,,：(OB)/(BK)=(PB)/(BC)=^,

KBC,：.(KC)/(OP)=(BQ/(PB)=y/2,'：OP=l,：.KC=y/2,/

!￡I

...點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)K為圓心，KC為半徑的圓，，

AK=y[2OA=2yji,：.AC的最大值為3RAC的最小值嫡，

：.y[2^AC^3隹

題型六定性分析一一垂線段最短

例6、如圖，半圓0的半徑為1,AC±AB,BD±AB,且AC=1,BD=3,

P是半圓上任意一點(diǎn)，則封閉圖形ABDPC面積的最大值是

連接CD、梯形ABCD面積為定值，要使封閉圖形ABDPC面積

取最大值，則使ACPD面積取最小即可，4CPD中，底邊CD為定值，則當(dāng)

高取最小值時(shí)，面積有最小值，故問(wèn)題變成當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，點(diǎn)P

到CD距離最小。C、D、0為定點(diǎn)，則點(diǎn)。到CD距離為定值，計(jì)算CD、OC、0D

長(zhǎng)，由勾逆知OC,CD,設(shè)點(diǎn)P到CD距離為h,則h+r2OC,...heOC-r,即當(dāng)0、

P、M三點(diǎn)共線時(shí)，h有最小值，此時(shí)M與點(diǎn)C重合，故0C與圓0交點(diǎn)即為所求

點(diǎn)P。

思路2：P點(diǎn)的確定也可以這樣想，平移CD,設(shè)平移后的直線為m,則直線m與

CD間的距離即為CD邊上的高，顯然，當(dāng)直線m與圓0相切時(shí)，高h(yuǎn)有最小值。

1.如圖，尸為。。內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，A為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP、A。分別與

。。交于8、C兩點(diǎn).若。。的半徑長(zhǎng)為3,OP=小,則弦的最大值為（）

解析：過(guò)點(diǎn)0作OE_LAB于E,如圖:

:。為圓心，：.AE=BE,：.0E=^BC,VOE^OP,

.?.3CW2OP,...當(dāng)E、P重合時(shí)，即0P垂直A3時(shí)，取最大值，最大值為

20P=2

故選：A.

2如圖，AB為。。的直徑，。為半圓的中點(diǎn)，。。的半徑為2,AB=8,點(diǎn)P是

直徑4?上的一動(dòng)點(diǎn)，與。C切于點(diǎn)M,則PM的取值范圍為

解析：連結(jié)PC、MC,OC、BC,如圖，

?.,直徑AB=8,...08=00=4,為半圓的中點(diǎn),

A0C1AB,...△0CB為等腰直角三角形，

：.BC=y[2OC=4yj2,二?PM與。C切于點(diǎn)M,

：.CM±PM,：.ZPMC=9Q°,在RtaPMC中，PM2=PC2-MC2=PC2~4,

當(dāng)PC最小時(shí)，尸M最小,此時(shí)點(diǎn)P在。點(diǎn)處，所以PM的最小值=弋42—4=2小;

當(dāng)PC最大時(shí)，PM最大,此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)A或8點(diǎn)時(shí),

所以PM的最大值=醫(yī)（4啦產(chǎn)一4=2班,

范圍2小WPMW2巾.

3.如圖，在△ABC中，NACB=90°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為

2

半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接A。、30、CD,則的最小值是…

解析：在CA上截取CM,使得CM=4,連接DM,BM.

VCD=6,CM=4,CA=9,：.CD2=CM.CA,

：.(CD)/(CM)=(C4)/(CD),VZDCM=ZACD,

2

：./\DCM^/\ACD,：.(DM)/(AD)=(CD)/(AC)=^,

o

：.DM=^AD,：.^AD+BD=DM+BD,'JDM+BD^BM,

在RtZ^CBM中，VZCMB=90°,CM=4,BC=12,

/.BM=A/424-122=4瓜,：AAD+BD^4y[10,

：.^AD+BD的最小值為4yflQ.故答案為4加

4.在△ABC中，ZACB=9Q°,BC=8,AC=6,以點(diǎn)。為圓心，4為半徑的圓

上有一動(dòng)點(diǎn)O，連接AO,BD,CD,則，。+A。的最小值是,

解析：如圖，在C3上取一點(diǎn)F,使得CF=2,連接CD,AF.

9

：.CD=4,CF=2,CB=8,：.CD^=CF.CB,

Z.(CD)/(CF)=(CB)/(CF),

,/ZFCD=ZDCB,：.AFCDs△DCB,

11

(DF)/(BD)=(CF)/(CD)=~,：.DF=~BD,

：.^BD+AD=DF+AF,

DF+AD^AF,AF=\]22+62=2yflO,

：.^BD+AD的最小值是2寸歷，

5.如圖，AB是。。的直徑，CE切。。于點(diǎn)C交AB的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)D是弦AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若NCEA=30。，BE=4,

則CD+2OD的最小值為（）

解析：如圖，作OF平分NAOC,交。0于F,連接AF、CF、DF,'.?CE切。0

于點(diǎn)C,.?.NOCE=90°,又?.,NCEA=30°,.?.NAOC=120°,則NAOF=NCOF=L

2

ZAOC=1(180°-60°)=60°.VBE=4,

2

，2OC=OB+BE,即20c=OC+4,則OC=4,即圓的半徑為4,VOA=OF=OC,

...△AOF、aCOF是等邊三角形，，AF=AO=OC=FC,.?.四邊形AOCF是菱形，

.?.根據(jù)對(duì)稱性可得DF=DO.過(guò)點(diǎn)D作DHJ_OC于H,VOA=OC,/.ZOCA=

NOAC=30。，DH=DC*sinZDCH=DC?sin30°=A.DC,.\1JCD+OD=DH+FD.根

22

據(jù)垂線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD(即&CD+OD)最小，此

2

時(shí)CD+2OD=2(DH+FD),：FH=OF?sinNFOH=2/IjOF=2y,，CD+2OD=2

(DH+FD)=2FH=4代，故選：D.

6.如圖，AABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2近，D是線段BC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)。。分別交AB,AC于E,F,連結(jié)EF,則線段

EF長(zhǎng)度的最小值為.

解析：將EF置于aOEF中，由NEOF=2NEAF,得圓心角NEOF=120°為定

值，等腰AOEF的腰長(zhǎng)最小時(shí)，底邊EF也最小.由''垂線段最短”可知，當(dāng)

ADLBC時(shí)，直徑AD最短，則半徑（等腰OEF的腰長(zhǎng)）最短，EF最小值也就

迎刃而解.如圖4,連接OF、OE,過(guò)O點(diǎn)作OH_LEF,垂足為H在Rt^ADB

中，AD=ABsinNB=2,即此時(shí)圓的直徑為2.由圓周角定理，可知NEOH=N

EOF=ZBAC=60°；在RtaEOH中，EH=OE?sin60°=—.由垂徑定理,

2

得EF=2EH=G

評(píng)析：這道題屬于另一類(lèi)幾何中常見(jiàn)的“一定一動(dòng)型”最值問(wèn)題，即在直線外有

一定點(diǎn)，直線上有一動(dòng)點(diǎn)，求這兩點(diǎn)間的最小距離.我們可以將問(wèn)題化歸到“垂

線段最短”的模型中加以解決.但這道題目并不是求垂線段AD的最小值，而是

求圓中弦EF的最小值，這就需要我們利用圓的相關(guān)性質(zhì)建立所求事項(xiàng)和已知事

項(xiàng)之間的聯(lián)系，將求EF的最小值，最終轉(zhuǎn)化到求直徑AD的最小值.

7.如圖，在Rt^AOB中，OA=OB=3及，。。的半徑為1,點(diǎn)P是AB邊上的

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。。的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為

解析：P、Q是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接求PQ的最小值將無(wú)路可走，若我們注意到PQ是

。。的切線，則PQLOQ,就可柳暗花明，如圖6,連結(jié)OQ、0P.由PQJ_OQ,

得PQ2=OP2—OQ2,這里求PQ的最小值，可求PQ?的最小值.設(shè)PQ2=y,OP

=x,則y=x2—1（3WxW3拒），由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)x=3時(shí)，ymin=8,

故PQ的最小值為2夜.

評(píng)析：這道題的最值問(wèn)題與切線密切相關(guān)，也可通過(guò)合情推理思考：在RtaOPQ

中，0P為定值，要求PQ最小值，就是求0P的最小值，同例2,利用“垂線段

最短”求解.當(dāng)然，在構(gòu)造二次函數(shù)解題時(shí)，求自變量x的取值范圍時(shí)，確定x

的最小值同樣指向“垂線段最短”.

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)。為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A(13,0),直線y=kx

—3k+4與。O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為.

解析：直線y=kx—3k+4必過(guò)點(diǎn)D(3,4).由圓的性質(zhì)知：最短的弦BC是過(guò)點(diǎn)

D且垂直于OD的弦(如圖7).由D(3,4),得OD=5；由以原點(diǎn)O為圓心的

圓過(guò)點(diǎn)A(13,0),得半徑OB=13.在RC0BD中，BD="依-=12.由

垂徑定理，得BC=2BD=24.

圖7圖8

評(píng)析：要求過(guò)點(diǎn)D的弦BC的最小值，關(guān)鍵是如何確定BC的位置，由直覺(jué)或已

有經(jīng)驗(yàn)我們知：“過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的弦中，垂直于該點(diǎn)所在直徑的弦最短”.我們可

對(duì)其簡(jiǎn)證如下：如圖8,連接OB、OC,由相交弦定理，得BD.CD為定值.由

均值定理，得BD+CD22j3Z)?C￡>,當(dāng)且僅當(dāng)BD=CD時(shí)，BD+CD取最小值,

即弦BC長(zhǎng)取得最小值.由OB=OC,BD=CD,根據(jù)等腰三角形三線合一，得

OD1BC.即最短弦長(zhǎng)BC的位置為：過(guò)點(diǎn)D且與點(diǎn)D所在直徑垂直的弦.

9.如圖，AB是。。的一條弦，點(diǎn)C是。。上一動(dòng)點(diǎn)，且NACB=30°,點(diǎn)E、F

分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與。0交于G、H兩點(diǎn).若。。的半徑為7,

則GE+FH的最大值為.

解析：連結(jié)OA,0B（如圖12）.由NAOB=2NACB=60°,我們可得AOAB為

等邊三角形，OA=OB=AB=7.又E、F為AC、BC的中點(diǎn)，故EF=，AB=

2

3.5.這里GE+FH=GH—EF,要使GE+FH最大，而EF為定值，則GH取最

大值時(shí)GE+FH有最大值.根據(jù)“直徑是圓中最長(zhǎng)的弦”知，當(dāng)GH為直徑時(shí)，

GE+F-H的最大值為14-3.5=10.5.

評(píng)析：此題構(gòu)思巧妙、題型新穎，也是求兩條線段的和最值問(wèn)題，但與例1卻完

全不同，點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)，隨之引起EF及GH的運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

我們要抓住變化的量和不變的量，在這里，EF是定量，GH是變量.從而將求

GE+FH和的最大值，轉(zhuǎn)化為求弦GH的最大值.

題型七定弦定角

【基本原理】

如圖1\。。中，A、B為定點(diǎn)，則AB為定弦，點(diǎn)C為優(yōu)弧上任一點(diǎn)，在C點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)過(guò)程中則NACB的度數(shù)不變今逆運(yùn)用=如圖2、點(diǎn)A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C為線段

AB外一點(diǎn)，且NACB=O（0為固定值）=點(diǎn)C在以AB為弦的圓上運(yùn)動(dòng)（不與

A、B重合）

例7、如圖，AB為定長(zhǎng)，點(diǎn)C為線段AB外一點(diǎn)，且滿足NACB=60度，請(qǐng)?jiān)趫D中

畫(huà)出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖步驟

步驟1、__________________________________________________

步驟2、__________________________________________________

練習(xí)、1、如圖，AB為定長(zhǎng)，點(diǎn)C為線段AB外一點(diǎn)，且滿足NACB=120度，請(qǐng)?jiān)?/p>

圖中畫(huà)出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡,并寫(xiě)出圓心角NAOB=

2、如圖，AB為定長(zhǎng)，點(diǎn)C為線段AB外一點(diǎn),且滿足NACB=120度，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)

出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，

C

B

【實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用】

例、如圖，。0的半徑為1,弦AB=1,點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，ACLAP交

直線PB于點(diǎn)C,則4ABC的最大面積是

1、如圖，AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BELAD于

E,則CE的最小值為

2、如圖，Rt^ABC中，AB1BC,AB=6,BC=4,P是AABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且滿足/PAB=NPBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為

BC

3【操作體驗(yàn)】

(1)如圖①，已知線段AB和直線1,用直尺和圓規(guī)在/上作出所有的點(diǎn)P,使

得NAP3=30°,寫(xiě)出作圖過(guò)程并說(shuō)明理由.

【方法遷移】

(2)如圖②，已知矩形ABC。，BC=2,AB=m,P為邊上的點(diǎn)，若滿足N

BPC=45°的點(diǎn)P恰好有兩個(gè)，則加的取值范圍為.

【深入探究】

(3)如圖③，已知矩形ABC。，AB=3,BC=2,P為矩形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且N

BPC=135°,若線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ.請(qǐng)問(wèn)PQ是否有

最小值，如果有最小值，請(qǐng)求出此時(shí)四邊形A8P。的面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：(1)第一步：分別以點(diǎn)A,8為圓心，A3長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在上

方交于點(diǎn)0;第二步：連接。4,OB-,

第三步：以。為圓心，長(zhǎng)為半徑作。O,交/于P1，尸2；

所以圖中尸1，P2即為所求的點(diǎn)；如圖1：

理由如下：連接API、BP1、AP2、BP2,如圖2所示：

\，OA=OB=AB,.?.△QAB是等邊三角形，AZA(75=60°,

由圖②得：ZAPlB=^ZAOB=30°；

(2)在A8上取8E=8C,連CE,以CE為直徑。O,如圖3

\'BE=BC=2,：.CE=2

二。。的半徑為鏡，EPOE=OG=y[2,VOG1EF,

：.EH=\,：.OH=1,：.GH=y[2~l,：.BE^AB<BM,

：.2^m<2+A/2-1,即2WMV鏡+1，

(3)PQ有最小值，理由如下：

如圖4,構(gòu)建。。，使NCOB=90°,在優(yōu)弧府(BC)上取點(diǎn)“，則NCHB=45°

：.ZCPB=135°,

由旋轉(zhuǎn)得：△APQ是等腰直角三角形，.?.PQ=，i4P,

取最小值時(shí)，就是AP取最小值，

當(dāng)P與E重合時(shí)，即A、P、。在同一直線上時(shí)，

AP最小，則PQ的值最小，

在RtaA尸。中，AF=1,。/=3+1=4,

：.AO=\jl2+^=y[17,：.AE=y[17-y[2=AP,

即AP的最小值為，17一啦；.?.尸。=44尸=的一2；

作于M,。凡，NEAM=N40凡，sin

ZEAM=sinZAOF=^,：.(EM)/(AE)=蘇,

^-11-典

..EM—平-17

...四邊形ABEQ的面積=的面積+AAEQ的面積

=\ABXEM+\AEXAQ=)X3X(1-里)+1(亞-y)2)2

乙乙乙/乙

33J34,1/—、37J34

5—~ir+2az1相)=ii—蟒一,

即PQ取最小值時(shí)，此時(shí)四邊形ABPQ的面積為11-里解.

OTL

4如圖，Z\ABC中，AC=3,BC=4五，ZACB=45°，D為AABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，00

為AACD的外接圓，直線BD交于P點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)，弧AE=CP,則AD的

最小值為（）A

5如圖，AC=3,BC=5,且NBAC=90°,D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作圓,

連接BD交圓于E點(diǎn)，連CE,則CE的最小值為（）

A.VI3-2

B.713+2

C.5

D.史

9

6如圖，在△ABC中，AC=3,BC=4應(yīng)，ZACB=45°，AM〃BC,點(diǎn)P在射線AM

上運(yùn)動(dòng)，連BP交AAPC的外接圓于D,則AD的最小值為（）

A.1

B.2

C.V2

D.472-3

7如圖，。。的半徑為1,弦AB=1,點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，ACLAP交直線PB

于點(diǎn)C,則4ABC的最大面積是（）

A.-

2

行

一

2

B.

Q后

一

2

n

V3

4

8如圖，邊長(zhǎng)為3的等邊AABC,D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，且BD=CE,AD、

BE交于P點(diǎn)，則CP的最小值為

9如圖，A(l,0)、B(3,0),以AB為直徑作。M,射線OF交G)M于E、F兩點(diǎn)，C

為弧AB的中點(diǎn),D為EF的中點(diǎn).當(dāng)射線繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),CD的最小值為一

10如圖，AB是。0的直徑，AB=2,ZABC=60°,P是上一動(dòng)點(diǎn)，D是AP的中

點(diǎn)，連接CD,則CD的最小值為_(kāi)________

針對(duì)練習(xí)：

1.如圖，在動(dòng)點(diǎn)C與定長(zhǎng)線段AB組成的AABC中，AB=6,ADLBC于點(diǎn)D,BE

_LAC于點(diǎn)E,連接DE.當(dāng)點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有”=也，則點(diǎn)C到AB的

AB2

距離的最大值是

A

一

0

2.如圖，已知以BC為直徑的。0,A為中點(diǎn),P為AC上任意一點(diǎn)，AD1AP

交BP于D,連CD.若BC=8,則CD的最小值為

題型八定弦定角一一反客為主

例8、如圖，ZXOY=45°,一把直角三角尺ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在OX、

。丫上移動(dòng)，其中AB=10,那么點(diǎn)。到頂點(diǎn)A的距離最大值為點(diǎn)O到

AB的距離的最大值為

X

解析：題意中AB為定長(zhǎng)線段在角的兩邊滑動(dòng)，0為定點(diǎn)，滑動(dòng)中C為動(dòng)點(diǎn)，AB

兩點(diǎn)位置發(fā)生變化，點(diǎn)0到AB距離的最大值的確定有難度，若改變思路，借助

物理中運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性可知，若將aABC固定，將NXOY的兩邊繞AB滑動(dòng)，與原

題中運(yùn)動(dòng)效果等價(jià)，題目中數(shù)量關(guān)系不會(huì)發(fā)生改變。問(wèn)題則變?yōu)楫?dāng)點(diǎn)O在圓上

1、如圖，D,E分別為等腰直角三角形ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，且DE=20,

以DE為邊向外作正方形DEFG,則AF的最大值為

2、如圖，AABC中，NABC=45。，AC=2,半徑為石的圓O始終過(guò)A、C兩點(diǎn)，

連接OB,則線段OB長(zhǎng)的的最大值為

3.如圖，以G(0,1)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸

交于C,D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為。O上一動(dòng)點(diǎn)，CFLAE于F,當(dāng)點(diǎn)E在。O的運(yùn)動(dòng)過(guò)

解析：作GMLAC于M,連接AG.VGO±AB,/.OA=OB,在Rt^AGO中,

VAG=2,OG=1,/.AG=2OG,0人=如2Tx如,ZGAO=30°,AB=2AO=2?,

AZAGO=60°,VGC=GA,AZGCA=ZGAC,VZAGO=ZGCA+ZGAC,:.

ZGCA=ZGAC=30°,，AC=2OA=2?,MG=1CG=1,VZAFC=90°,.,.點(diǎn)F

在以AC為直徑的（DM上，當(dāng)點(diǎn)F在MG的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)G的長(zhǎng)最小，最小值

=FM-GM=V3-1.故答案為2?,V3-1.

題型九定弦定角一一條件的確定

例9、如圖，扇形AOD中，ZA0D=90°,0A=6,點(diǎn)P為弧AD上任意一點(diǎn)（不與

點(diǎn)A和D重合），PQLOD于點(diǎn)Q,點(diǎn)I為△OPQ

點(diǎn)P在弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求I點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)。.

解析：由內(nèi)心的基本結(jié)論知NPI0=90°+L/PH0=135°為定角，但其所對(duì)的邊0P

2

并非定弦，連ID,易證△AIO^^OID,...N0ID=NPI0=135°,且其所對(duì)的邊為

0D,符合定弦定角條件，故I點(diǎn)軌跡為圓弧，問(wèn)題易解。

1、如圖，邊長(zhǎng)為3的等邊AABC,D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，且BD=CE,AD、

BE交于P點(diǎn)，則CP的最小值為一

2、如圖，AC=3,BC=5,且NBAC=90°,D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作圓,

連接BD交圓于E點(diǎn)，連CE,則CE的最小值為（）

8

3.如圖，直徑AB,CO的夾角為60°,P為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B,

C,。重合）PM,PN分別垂直于CD,AB,垂足分別為M,N,若。。的半徑

長(zhǎng)度為2,則MN的長(zhǎng)為

解析：MN的長(zhǎng)沒(méi)有變化；理由如下，

如圖所示，延長(zhǎng)PN交圓于點(diǎn)E,延長(zhǎng)PM交圓于點(diǎn)F,連接EF、OE、OF,作

OHLEF^H.根據(jù)垂徑定理，PN=NE,PM=MF,:.MN〃EF旦MN=-EF,

ZMON=12Q°,ZPNO=ZPMO=90°