考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷1（共238題）

考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷1（共8套）（共238題）考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、I1=cos(x2+y2)2dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，則()A、I3≥I2≥I1。B、I1≥I2≥I3。C、I2≥I1≥I3。D、I3≥I1≥I3。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：在區(qū)域D上，有0≤x2+y2≤1，從而有≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0。由于cosx在(0，)上為單調(diào)減函數(shù)，于是0≤cos≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)2，因此選A。2、如圖6—7所示，正方形{(x，y)｜｜x｜≤1，｜y｜≤1}被其對(duì)角線(xiàn)劃分為四個(gè)區(qū)域Dk(k=1，2，3，4)，Ik={Ik}=()A、I1。B、I2。C、I3。D、I4。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：D2，D4兩區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，而f(x，一y)=一ycosx=一f(x，y)，即被積函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù)，所以I2=I4=0。D1，D3兩區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，而f(一x，y)=ycos(一x)=ycosx=f(x，y)，即被積函數(shù)是關(guān)于x的偶函數(shù)，所以所以正確答案為(A)。二、解答題(本題共33題，每題1.0分，共33分。)3、計(jì)算二重積分，其中D是由y=x，y=1及y軸所圍的平面閉域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖6—1所示，因此，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、計(jì)算二重積分，其中D是由y=x，x=1，y=一1所圍的平面閉區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D所圍區(qū)域如圖6—2所示。因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，計(jì)算二重積分I=xyfxy(x，y)dxdy。標(biāo)準(zhǔn)答案：將二重積分xyfxy(x，y)dxdy，轉(zhuǎn)化為累次積分可得xyfxy(x，y)dxdy=∫0xdy∫0xxyfxy(x，y)dx，首先考慮∫0xxyfxy(x，y)dx，注意這里是把變量y看作常數(shù)，故有∫0xxyfxy(x，y)dx=y∫0xxdfy(x，y)=xyfy(x，y)｜0x一∫0xyfy(x，y)dx=yfy(1，y)一∫0xyfy(x，y)dx。由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy(1，y)=A(x，1)=0．故∫0xxyfxy(x，y)dx=一∫0xyfy(x，y)dx，所以xyfxy(x，y)dxdy=∫0xdy∫0xxyfxy(x，y)dx=一∫0xdy∫0xyfy(x，y)dx，對(duì)該積分交換積分次序可得一∫0xdy∫0xyfy(x，y)dx=一∫0xdx∫0xyfy(x，y)dy。再考慮積分∫0xyfy(x，y)dy，注意這里是把變量x看作常數(shù)，故有∫0xyfy(x，y)dy=∫0xydf(x，y)=yf(x，y)｜0x一∫0xf(x，y)dy=一∫0xf(x，y)dy，因此xyfxy(x，y)dxdy=一∫0xdx∫0xyfy(x，y)dy=∫0xdx∫0xf(x，y)dy=f(x，y)dxdy=a。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、計(jì)算xydxdy，其中D是由y=一x及y=所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖6—3所示。由方程組解得積分域D上的交點(diǎn)．按照先對(duì)y積分后對(duì)x積分的積分次序，并將積分區(qū)域D分為D1與D2兩部分，其中知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、計(jì)算二重積分，x2+(y一1)2=1與y軸所圍區(qū)域的右上方部分。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖6—4所示。選用極坐標(biāo)求解且極點(diǎn)位于積分區(qū)域D之外。并通過(guò)聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)由于區(qū)域是右上方部分，故交點(diǎn)為()。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過(guò)1+x2+y2的最大整數(shù)。計(jì)算二重積分xy[1+x2+y2]dxdy。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖6—5所示。由于被積函數(shù)分塊表示，因此運(yùn)用分塊積分法，令D1={(x，y)｜0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，D2={(x，Y)｜1≤x2+y2≤，x≥0，y≥0}。利用極坐標(biāo)變換，其中D：0≤θ≤，0≤r≤1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、計(jì)算二重積分，其中D是第一象限內(nèi)由圓x2+y2=2x及直線(xiàn)y=0所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖6—6所示。選用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。其中，0≤θ≤，且0≤r≤2cosθ，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)區(qū)域D=t(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0}，計(jì)算二重積分I=。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D為右半單位圓，且關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)f(x，y)=是變量y的偶函數(shù)，函數(shù)g(x，y)=是變量y的奇函數(shù)。取D1=D∩{y≥0}，利用積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、求由曲面z=x2+y2和z=2一所圍成的幾何體的體積V和表面積S。標(biāo)準(zhǔn)答案：由方程組解得z1=1，z2=4(舍去)，所以投影區(qū)域?yàn)镈：x2+y2≤1，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、由曲線(xiàn)y=ex，x=0，y=0，x=1所圍的平面薄片，其上任一點(diǎn)(x，y)的面密度與該點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比，比例常數(shù)為k(k＞0)，求薄片的質(zhì)心。標(biāo)準(zhǔn)答案：面密度函數(shù)μ=kx，故其質(zhì)量知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)I=∫-aadx(x2+y2)dx。(Ⅰ)作出I的積分域Ω的圖形；(Ⅱ)把I改變?yōu)橄葘?duì)x，次對(duì)y，再對(duì)z的三次積分；(Ⅲ)把I改變?yōu)橹鴺?biāo)系的累次積分；(Ⅳ)把I改變?yōu)榍蜃鴺?biāo)系的累次積分；(V)任選一種積分順序計(jì)算，的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由已知累次積分的上下限知故在xOy面上，Dxy={(x，y)｜x2+y2≤a}；由球面方程及錐面方程知，z的上限是半徑為a的上半球面，z的下限是以一a為頂點(diǎn)的半錐面，如圖6—8所示。(Ⅱ)由積分區(qū)域的構(gòu)成及范圍知I=∫0adz(x2+y2)dx。(Ⅲ)由(Ⅰ)知Dxy={(x，y)｜x2+y2≤a}，故有．(Ⅳ)I=∫02πdθr4sin3φdr．(V)由(Ⅲ)得出I=2π∫0aρ3πa5。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、計(jì)算三重積分(x+z)dv，其中Ω是由曲面z=所圍成的區(qū)域(如圖6—9所示)。標(biāo)準(zhǔn)答案：先進(jìn)行z的一次積分，后進(jìn)行x，y的二重積分，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、計(jì)算下列三重積分：(Ⅰ)I=(x+y+z)dV，Ω是由x2+y2≤z2，0≤z≤h所圍的區(qū)域；(11)I=(x2+y2)dxdydz，其中Ω是由曲線(xiàn)(0≤y≤z，a＞0，a≠1)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面與平面z=a2所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于Ω關(guān)于yOz坐標(biāo)面，xOz坐標(biāo)面均對(duì)稱(chēng)，且f(x)=x，f(y)=y是x，y的奇函數(shù)，故=0，于是I==∫02πdθ∫0hρdρ∫ρhzdz=2π∫0hρ(h2一ρ2)．dρ=π∫0h(h2ρ一ρ3)dρ=πh4。(Ⅱ)旋轉(zhuǎn)面方程：z=(x2+y2≤4)，因此I=(x2+y2)dxdydz=∫02πdθ∫02ρ2．ρdρdz=2π∫02ρ3(a2—aρ)dρ知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，則z2dxdydz=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：利用球面坐標(biāo)。z2dxdydz=∫02πdθ∫0πdφ∫01ρ2sinφρ2cos2φdρ=∫02πdθ∫0πcos2φd(一cosφ)∫01ρ4dρ=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求I=(2x+3y+4z)2dV，其中Ω：x2+y2+z2≤R2(R＞0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性知I=(4x2+9y2+16z2+12xy+24yz+16xz)dV=(4x2+9y2+16z2)dV，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤z≤1}，則Ω的形心的豎坐標(biāo)=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：形心坐標(biāo)公式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)直線(xiàn)L過(guò)A(1，0，0)，8(0，1，1)兩點(diǎn)，將L繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面∑，∑與平面z=0，z=2所圍成的立體為Ω。(Ⅰ)求曲面∑的方程；(Ⅱ)求Ω的形心坐標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由已知，=(一1，1，1)，則直線(xiàn)方程為對(duì)任意一點(diǎn)M(x，y，z)∈∑，對(duì)應(yīng)于L上的點(diǎn)M(x0，y0，z)，于是有x2+y2=x02+y02。由直線(xiàn)方程表達(dá)式得于是得曲面方程表達(dá)式x2+y2=(1一z)2+z2，即∑：x2+y2=2z2—2z+1。(Ⅱ)由三的對(duì)稱(chēng)性=0。而其中Dz={(x，y)｜x2+y2≤2z2—2z+1}，故。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)有一半徑為R的球體，P0是此球的表面上一個(gè)定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到P0的距離的平方成正比(比例常數(shù)k＞0)，求球體的質(zhì)心位置。標(biāo)準(zhǔn)答案：以球心為原點(diǎn)O，射線(xiàn)OP0為Oz軸負(fù)向，建立坐標(biāo)系如圖6—10所示。點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(0，0，一R)，球面的方程為x2+y2+z2=R2。球面所圍的區(qū)域記為Ω，球面及所圍區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)與P0的距離故球體的體密度ρ=k[x2+y2+(z+R)2]，k＞0。設(shè)Ω的質(zhì)心位置(坐標(biāo))為=0，而利用球面坐標(biāo)計(jì)算上述三重積分，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、計(jì)算I=∮L[x2+(y+1)2]dx，其中L為x2+y2=Rx(R＞0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于L關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且f(y)=2y是y的奇函數(shù)，故∮L2ydx=0。又x2+y2=Rx，從而有∮L(x2+y2)dx=∮LRxdx，進(jìn)一步得到I=∮L(x2+y2+2y+1)ds=R∮Lxds+πR。其中計(jì)算積分∮Lxds有以下兩種方法：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、計(jì)算I=(x2+y2)zds，其中為錐面螺線(xiàn)x=tcost，y=tsint，z=t上相應(yīng)于t從0變到1的一段弧。標(biāo)準(zhǔn)答案：由參數(shù)方程，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、已知曲線(xiàn)L的方程為y=1一｜x｜(x∈[一1，1])，起點(diǎn)是(一1，0)，終點(diǎn)是(1，0)，則曲線(xiàn)積分∫Lxydx+x2dy=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：令L：，0≤t≤1。則∫Lxydx+x2dy=xydx+x2dy=∫-10[t(1+t)+t2]dt+∫01[t(1一t)一t2]dc==0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、計(jì)算曲線(xiàn)積分∫Lsin2xdx+2(x2一1)ydy，其中L是曲線(xiàn)y=sinx上從點(diǎn)(0，0)到點(diǎn)(π，0)的一段弧。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y=sinx及x：0→π，則∫Lsin2xdx+2(x2一1)ydy=∫0π[sin2xdx+2(x2一1)sinxcosx]dx=∫0πx2sin2xdx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求I=∫L[exsiny一b(x+y)]dx+(excosy一ax)dy，其中a、b為正常數(shù)，L為從點(diǎn)A(2a，0)沿曲線(xiàn)y=到點(diǎn)O(0，0)的弧。標(biāo)準(zhǔn)答案：湊成閉合曲線(xiàn)，應(yīng)用格林公式。添加從點(diǎn)O(0，0)沿y=0到點(diǎn)A(2a，0)的有向直線(xiàn)段L，如圖6—11所示，則有I=[exsiny一b(x+y)]dx+(excosy一ax)dy一[exsiny一b(x+y)]dx+(excosy—ax)dy=I1一I2。利用格林公式，其中D為L(zhǎng)1+L2所圍成的半圓域。對(duì)于I2，選擇x為參數(shù)，得L1：(0≤x≤2a)，于是I2=∫02a(一bx)dx=一2a2b。故I=I1一I2=a。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)L是平面單連通有界區(qū)域σ的正向邊界線(xiàn)，且L不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。n0是L上任一點(diǎn)(x，y)處的單位外法線(xiàn)向量。設(shè)平面封閉曲線(xiàn)L上點(diǎn)(x，y)的矢徑r=xi+yj，r=｜r｜，θ是n0與r的夾角，試求。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)τ0=cosαi+cosβj是積分曲線(xiàn)L在其上點(diǎn)(x，y)處的單位切向量。因?yàn)榍€(xiàn)L在其上點(diǎn)(x，y)處的法向量n0與切向量τ0互相垂直，并使閉曲線(xiàn)L沿正向。故取n0=cosβi—cosαj。根據(jù)兩矢量?jī)?nèi)積的定義及dx=cosαds，dy=cosβds，得當(dāng)σ不包含原點(diǎn)時(shí)，由格林公式可得=0。當(dāng)σ包含原點(diǎn)時(shí)，取半徑為ρ且包含原點(diǎn)的任意小的圓周l，l取逆時(shí)針?lè)较?，則l的參數(shù)方程為x=ρcosα，y=ρsinα，0≤α≤2π，由格林公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、計(jì)算曲線(xiàn)積分I=，其中L是以點(diǎn)(1，0)為中心，R為半徑的圓周(R＞1)，取逆時(shí)針?lè)较?。?biāo)準(zhǔn)答案：以點(diǎn)(1，0)為中心，R為半徑的圓周的參數(shù)方程是：x=1+Rcosθ，y=Rsinθ，逆時(shí)針?lè)较蛞恢埽磘從0到2π。由于L所包圍的區(qū)域內(nèi)部有點(diǎn)O(0，0)，該點(diǎn)處曲線(xiàn)積分I=的分母為0，導(dǎo)致被積函數(shù)不連續(xù)，格林公式不能用。記P=，(x，y)≠(0，0)。作足夠小的橢圓L：4x2+y2=ε2，取其順時(shí)針?lè)较?，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)在上半平面D={(x，y)｜y＞0}內(nèi)，函數(shù)f(x，y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的t＞0都；f(tx，ty)=t-2f(x，y)。證明：對(duì)L內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)L，都有∮Lyf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：在方程f(tx，ty)=t-2(x，y)兩邊對(duì)t求導(dǎo)得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=一2t-3f(x，y)，令t=1，則有xf’1(x，y)+yf’2(x，y)=一2f(x，y)。(*)設(shè)P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=一xf(x，y)，則=f(x，y)+yf’2(x，y)。根據(jù)(*)式可得。故由曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的定理可知，對(duì)D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)L，都有∮Lyf(x，y)dx一xf(x，y)dy=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)函數(shù)φ(y)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)L上，曲線(xiàn)積分的值恒為同一常數(shù)。(Ⅰ)證明：對(duì)右半平面x＞0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C，有(Ⅱ)求函數(shù)φ(y)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)如圖6—12所示，將C分解為：C=l1+l2，另作一條曲線(xiàn)l3圍繞原點(diǎn)且與C相接，P，Q在單連通區(qū)域x＞0內(nèi)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由(Ⅰ)知，曲線(xiàn)積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，故當(dāng)x＞0時(shí)，總有。比較(1)、(2)兩式的右端，得由(3)得φ(y)=一y2+C，將φ(y)代入(4)得2y5一4Cy3=2y5。所以C=0，從而φ(y)=一y2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)函數(shù)Q(x，y)在xOy平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線(xiàn)積分∫L2xydx+Q(x，y)dy與路徑無(wú)關(guān)，并且對(duì)任意t恒有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于曲線(xiàn)積分∫LPdx+Qdy與路徑無(wú)關(guān)，則(其中P，Q有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，即對(duì)x積分得Q(x，y)=x2+φ(y)，其中φ(y)待定。對(duì)于任意的t，則有∫(0，0)(t，1)2xydx+[x2+φ(y)]dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+[x2+φ(y)]dy。(*)下面由此等式求φ(y)。由于2xydx+[x2+φ(y)]dy=ydx2+x2dy+φ(y)dy=d(x2y)+d(∫0yφ(s)ds)=d(x2y+∫0yφ(s)ds)。于是由(*)式得(x2y+∫0yφ(s)ds)｜(0，0)(t，1)=(x2y+∫0yφ(s)ds)｜(0，0)(t，1)，即t2+∫01φ(s)dx=t+∫0tφ(s)ds，亦即t2=t+∫1tφ(s)dx。求導(dǎo)得2t=1+φ(t)，即φ(t)=2t一1。因此Q(x，y)=x2+2y一1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)。(Ⅰ)驗(yàn)證它是某個(gè)二元函數(shù)u(x，y)的全微分；(Ⅱ)求出u(x，y)；(Ⅲ)計(jì)算。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)根據(jù)全微分方程的充要條件，故當(dāng)x2+y2≠0時(shí)，是某個(gè)二元函數(shù)的全微分。(Ⅱ)求解u(x，y)有三種方法。方法一：不定積分法。方法二：湊全微分法。方法三：曲線(xiàn)積分法。因?yàn)榕c積分路徑無(wú)關(guān)，取積分路徑為A(1，1)經(jīng)C(x，1)到B(x，y)的折線(xiàn)段。則根據(jù)起點(diǎn)的任意性，故可得u(x，y)=+C。(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)的結(jié)論，則=u(0，4)一u(—3，0)=4—3=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、計(jì)算xyzdS，其中∑是由平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面。標(biāo)準(zhǔn)答案：將整個(gè)邊界曲面∑在平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1上的部分依次記為∑1，∑2，∑3及∑4，即由于在∑1，∑2，∑3上，被積函數(shù)f(x，y，z)=xyz均為零，所以在∑4上，z=1一x一y，所以其中Dxy是∑4在xOy面上的投影區(qū)域，即由直線(xiàn)x=0，y=0及x+y=1所圍成的閉區(qū)域。因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、計(jì)算，其中∑為四面體x+y+z≤1，x≥0，y≥0及z≥0的邊界面。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)∑1：x+y+z=1，dS=dxdy，∑2：x=0，dS=dydz，∑3：y=0，dS=dxdz，∑4：z=0，dS=dxdy。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、計(jì)算曲面積分I=，其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外側(cè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于由于被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0，0，0)處不連續(xù)，作封閉曲面(外側(cè))∑1：z2+y2+z2=R2，其中0＜R＜。由高斯公式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、計(jì)算，其中∑為下半球面z=一的上側(cè)，a為大于0的常數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分區(qū)域∑邊界曲面的表達(dá)式知x2+y2+z2=a2，則I=axdydz+(z+a)2dxdy，令曲面∑1：其法向量與z軸正向相反，利用高斯公式，從而得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、累次積分等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：積分所對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)平面的區(qū)域?yàn)镈：0≤x≤1，故選(D)。2、設(shè)D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，則等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，令D1={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤x}，則故選(B)。3、設(shè)其中D：x2+y2≤a2，則a為()A、1。B、2。C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由解得a=2，故選(B)。4、設(shè)曲面∑是z=x2+y2介于z=0與z=4之間的部分，則等于()A、2πe4。B、π(e4－1)。C、2π(e4－1)。D、πe4。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：將曲面投影到xOy面上，記為Dxy，則故有故選(B)。5、設(shè)曲線(xiàn)L：f(x，y)=1，f(x，y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)M和第四象限內(nèi)的點(diǎn)N，Γ為L(zhǎng)上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的一段弧，則下列積分小于零的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：記M(xM，yM)，N(xN，yN)，則xM＜0，yM＞0；xN＞0，yN＜0。故選(B)。6、設(shè)有空間區(qū)域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0。則有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知Ω1關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)，(A)選項(xiàng)的左端積分中被積函數(shù)為x的奇函數(shù)。由三重積分的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知而在Ω2上，x≥0，從而可知(A)項(xiàng)不正確。由于Ω2的邊界曲面方程對(duì)x，y具有輪換對(duì)稱(chēng)性，可知又由于Ω1關(guān)于zOx坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)，(B)選項(xiàng)中左端積分的被積函數(shù)為y的奇函數(shù)，由三重積分對(duì)稱(chēng)性可知可知(B)項(xiàng)不正確。由于Ω1，關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于xOz坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)，(C)選項(xiàng)左端積分的被積函數(shù)z既為x的偶函數(shù)，也為y的偶函數(shù)，由兩次使用三重積分對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，可得可知(C)項(xiàng)正確。由(*)式可知(D)選項(xiàng)在左端積分為零，而右端積分大于零，可知(D)不正確，故選(D)。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、向量場(chǎng)u(x，y，z)=xy2i+yezj+xln(1+z2)k在點(diǎn)P(1，1，0)處的散度divu=____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件，P=xy2，Q=yez，R=xln(1+z2)，則因此divu=1+1+0=2。8、設(shè)L是柱面方程為x2+y2=1與平面z=x+y的交線(xiàn)，從z軸正向往z軸負(fù)向看去為逆時(shí)針?lè)较?，則曲線(xiàn)積分標(biāo)準(zhǔn)答案：π知識(shí)點(diǎn)解析：曲線(xiàn)L的參數(shù)方程為其中t從0到2π。因此9、設(shè)∑={(x，y，z)|x+y+z=1，x≥0，y≥0，z≥0}則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由曲面積分的計(jì)算公式可知其中D={(x，y)|x≥0，y≥0，x+y≤1}。故10、已知A=(2z－3y)i+(3x－z)j+(y－2x)k，則rot(A)=_____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2+6x+2z知識(shí)點(diǎn)解析：由散度定義公式11、已知A=(2z－3y)i+(3x－z)j+(y－2x)k，則rot(A)=_____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2i+4j+6k知識(shí)點(diǎn)解析：由公式得12、10．設(shè)區(qū)域D為x2+y2≤R2，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用極坐標(biāo)系，則三、解答題(本題共27題，每題1.0分，共27分。)13、設(shè)L是平面單連通有界區(qū)域σ的正向邊界線(xiàn)，且L不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。n0是L上任一點(diǎn)(x，xy)處的單位外法線(xiàn)向量。設(shè)平面封閉曲線(xiàn)L上點(diǎn)(x，y)的矢徑r=xi+yj，r=|r|；θ是n0與r的夾角，試求標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)τ0=cosαi+cosβj是積分曲線(xiàn)L在其上點(diǎn)(x，y)處的單位切向量。因?yàn)榍€(xiàn)L在其上點(diǎn)(x，y)處的法向量n0與切向量τ0互相垂直，并使閉曲線(xiàn)L沿正向。故取n0=cosβi－cosαj。根據(jù)兩矢量?jī)?nèi)積的定義及dx=cosαds，dy=cosβds，得原曲線(xiàn)積分當(dāng)σ不包含原點(diǎn)時(shí)，由格林公式可得當(dāng)σ包含原點(diǎn)時(shí)，取半徑為ρ且包含原點(diǎn)的任意小的圓周l，l取逆時(shí)針?lè)较?，則l的參數(shù)方程為x=ρcoscα，y=ρsinoα，0≤α≤2π，由格林公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、計(jì)算曲線(xiàn)積分其中L是以點(diǎn)(1，0)為中心，R為半徑的圓周(R＞1)，取逆時(shí)針?lè)较?。?biāo)準(zhǔn)答案：以點(diǎn)(1，0)為中心，R為半徑的圓周的參數(shù)方程是：x=1+Rcosθ，y=Rsinθ，逆時(shí)針?lè)较蛞恢?，即t從0到2π。由于L所包圍的區(qū)域內(nèi)部有點(diǎn)O(0，0)，該點(diǎn)處曲線(xiàn)積分的分母為0，導(dǎo)致被積函數(shù)不連續(xù)，格林公式不能用。記且P(x，y)與Q(x，y)滿(mǎn)足(x，y)≠(0，0)。作足夠小的橢圓L1：4x2+y2=ε2，取其順時(shí)針?lè)较?，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)在上半平面D={(x，y)|y＞0}內(nèi)，函數(shù)f(x，y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的t＞0都有f(tx，ty)=t－2f(x，y)。證明：對(duì)L內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)L，都有標(biāo)準(zhǔn)答案：在方程f(tx，ty)=t02f(x，y)兩邊對(duì)t求導(dǎo)得xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=－2t-3f(x，y)，令t=1，則有xf1’(x，y)+yf2’(x，y)=－2f(x，y)。(*)設(shè)P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=－xf(x，y)，則根據(jù)(*)式可得故由曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的定理可知，對(duì)D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)L，都有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)函數(shù)φ(y)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)L上，曲線(xiàn)積分的值恒為同一常數(shù)。16、證明：對(duì)右半平面x＞0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C，有標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖6－12所示，將C分解為：C=l1+l2，另作一條曲線(xiàn)l3圍繞原點(diǎn)且與C相接，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求函數(shù)φ(y)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)P，Q在單連通區(qū)域x＞0內(nèi)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由上題知，曲線(xiàn)積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，故當(dāng)x＞0時(shí)，總有比較(1)、(2)兩式的右端，得由(3)得φ(y)=－y2+C，將φ(y)代入(4)得2y5－4Cy3=2y5。所以C=0，從而φ(y)=－y2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)函數(shù)Q(x，y)在xOy平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，并且對(duì)任意t恒有求Q(x，y)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，則(其中P，Q有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，即對(duì)x積分得Q(x，y)=x2+φ(y)，其中φ(y)待定。對(duì)于任意的t，則有下面由此等式求φ(y)。方法一：由于2xydx+[x2+φ(y)]dy=ydx2+x2dy+φ(y)d)，于是由(*)式得即亦即求導(dǎo)得2t=1+φ(t)，即φ(t)=2t－1。因此Q(x，y)=x2+2y－1。方法二：取特殊的積分路徑：對(duì)(*)式左端與右端積分分別取積分路徑如圖6—13所示。于是得即亦即求導(dǎo)得2t=1+φ(t)，即φ(t)=2t－1。故Q(x，y)=x2+2y－1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)19、驗(yàn)證它是某個(gè)二元函數(shù)u(x，y)的全微分；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)則根據(jù)全微分方程的充要條件，故當(dāng)x2+y2≠0時(shí)，是某個(gè)二元函數(shù)的全微分。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求出u(x，y)；標(biāo)準(zhǔn)答案：求解u(x，y)有三種方法。方法一：不定積分法。設(shè)則因此從而故φ’(y)=0，即φ(y)=C。因此方法二：湊全微分法。所以方法三：曲線(xiàn)積分法。因?yàn)榕c積分路徑無(wú)關(guān)，取積分路徑為A(1，1)經(jīng)C(x，1)到B(x，y)的折線(xiàn)段。則根據(jù)起點(diǎn)的任意性，故可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：由19、20題的結(jié)論，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、計(jì)算其中∑是由平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面。標(biāo)準(zhǔn)答案：將整個(gè)邊界曲面∑在平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1上的部分依次記為∑1，∑2，∑3及∑4，即由于在∑1，∑2，∑3上，被積函數(shù)f(x，y，z)=xyz均為零，所以在∑4上，z=1－x－y，所以從而其中Dxy是∑4在xOy面上的投影區(qū)域，即由直線(xiàn)x=0,y=0及x+y=1所圍成的閉區(qū)域。因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、計(jì)算其中∑為四面體x+y+z≤1，x≥0，y≥0及z≥0的邊界面。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)∑1：x+y+z=1，∑2：x=0，dS=dydz，∑3：y=0，dS=dxdz，∑4：z=0，dS=dxdy。則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、計(jì)算曲面積分其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外側(cè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于所以由于被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0，0，0)處不連續(xù)，作封閉曲面(外側(cè))∑1：x2+y2+z2=R2，其中由高斯公式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、計(jì)算其中∑為下半球面的上側(cè)，a為大于0的常數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：由積分區(qū)域∑邊界曲面的表達(dá)式知x2+y2+z2=a2，則令曲面∑1：其法向量與z軸正向相反，利用高斯公式，從而得方法二：逐項(xiàng)計(jì)算：其中，第一個(gè)負(fù)號(hào)是由于在x軸的正半空間區(qū)域∑的上側(cè)方向與x軸反向；第二個(gè)負(fù)號(hào)是由于被積函數(shù)在x取負(fù)數(shù)。Dyz為∑在yOz平面上的投影域Dyz={(y，z)|y2+z2≤a2，z≤0}，用極坐標(biāo)，得其中Dxy為∑在xOy平面上的投影域Dxy={(x，y)|x2+y2≤a2}。故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、計(jì)算曲面積分其中∑為曲面的上側(cè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：補(bǔ)充曲面：∑1：z=0，取下側(cè)。則其中Ω為∑與∑1所圍成的空間區(qū)域，D為平面區(qū)域由于區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因此又其中D2：故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、計(jì)算曲面積分其中∑是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間的部分的下側(cè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系，可得在曲面∑上，有故由第一類(lèi)曲面積分，得其中故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、計(jì)算曲面積分其中∑是曲面z=1－x2－y2(z≥0)的上側(cè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：取∑1為xOy平面上被圓x2+y2=1所圍成部分的下側(cè)，記Ω為由∑與∑1圍成的空間閉區(qū)域，則由高斯公式知又有故I=2π－3π=－π。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、計(jì)算其中L是平面x+y+z=2與柱面|x|+|y|=1的交線(xiàn)，從z軸正向看去，L為逆時(shí)針?lè)较?。?biāo)準(zhǔn)答案：記∑為平面x+y+z=2上L所圍部分。由L的定向，按右手法則∑取上側(cè)，∑的單位法向量由斯托克斯公式得于是按第一類(lèi)曲面積分化為二重積分得：其中D為∑在xOy平面上的投影區(qū)域|x|+|y|≤1。由D關(guān)于x，y軸的對(duì)稱(chēng)性及被積函數(shù)的奇偶性得則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、計(jì)算其中L是曲線(xiàn)從z軸正向往z軸負(fù)向看去為順時(shí)針?lè)较?。?biāo)準(zhǔn)答案：方法一：曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為：x=cost，y=sint，z=sint－cost+2，則方法二：由斯托克斯公式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)A=(x－z，x3+yz，－3xy3)，求其中曲面∑為錐面在xOy面的上方部分，其單位法向量n指向錐面∑外側(cè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線(xiàn)L為xOy面上的圓周x2+y2=4，取正向。由斯托克斯公式的向量形式，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、已知L是第一象限中從點(diǎn)(0，0)沿圓周x2+y2=2x到點(diǎn)(2，0)，再沿圓周x2+y2=4到點(diǎn)(0，2)的曲線(xiàn)段，計(jì)算曲線(xiàn)積分標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)圓x2+y2=2x為圓C1，圓x2+y2=4為圓C2，如圖6一14所示：補(bǔ)線(xiàn)段L1為x=0，y：2→0，則由格林公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、計(jì)算二重積分其中D={(x,y)|0≤x≤2,x≤y≤2,x2+y2≥2|標(biāo)準(zhǔn)答案：畫(huà)出積分區(qū)域D如圖6—15所示。用直線(xiàn)x=1將D分成兩個(gè)積分區(qū)域：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、設(shè)b＞a＞0，證明標(biāo)準(zhǔn)答案：畫(huà)出二次積分的積分區(qū)域，如圖6—16所示，即D：a≤y≤b，y≤c≤b。交換該二次積分的次序，有故等式左端=右端，證畢。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、設(shè)函數(shù)f(x)為[0，1]上的單調(diào)減少且恒大于零的連續(xù)函數(shù)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，1]上單調(diào)減少且f(x)＞0。所以不等式等價(jià)變形為從而原題可轉(zhuǎn)化為證明不等式令(1)+(2)得由題設(shè)，f(x)＞0且在[0，1]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)y≥x時(shí)，f(y)≤f(x)，即(x－y)[f(y)－f(x)]≥0。故2I≥0，即I≥0。命題得證。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、計(jì)算二重積分其中D是由曲線(xiàn)直線(xiàn)y=x及x軸所圍成的閉區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：畫(huà)出積分區(qū)域D，如圖6一17所示。積分區(qū)域?yàn)樯刃?，令x=rcosθ，y=rsinθ，其中知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析37、設(shè)一均勻的直角三角形薄板，兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，試求這個(gè)三角形對(duì)其直角邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。標(biāo)準(zhǔn)答案：以?xún)芍苯沁厼樽鴺?biāo)軸建立坐標(biāo)系，如圖6一18所示，橫軸、縱軸上邊長(zhǎng)分別為a和b，則繞)，軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析38、設(shè)閉區(qū)域D：x2+y2≤y，x≥0，f(x，y)為D上的連續(xù)函數(shù)，且求f(x，y)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)在已知等式兩邊求區(qū)域D上的二重積分，得即其中故則因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析39、計(jì)算D是由x=1，y=2，y=x－1所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：畫(huà)出積分區(qū)域D，如圖6—19所示，先對(duì)x積分，后對(duì)y積分，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t)=，則f′(2)等于()A、2f(2)B、f(2)C、—f(2)D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：交換累次積分的積分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x—1)f(x)dx，于是F′(t)=(t—1)f(t)，從而F′(2)=f(2)，故選B。2、，則積分區(qū)域?yàn)?)A、x2+y2≤a2B、x2+y2≤a2(x≥0)。C、x2+y2≤axD、x2+y2≤ax(y≥0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a＞0)，而且，故選C。3、設(shè)I=，對(duì)于該曲線(xiàn)積分容易驗(yàn)證(x2+y2≠0)，則()A、對(duì)于任何不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的閉曲線(xiàn)L，恒有I=0。B、積分在x2+y2＞0上與路徑無(wú)關(guān)。C、對(duì)于任何不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的閉曲線(xiàn)L，I≠0。D、當(dāng)L圍成區(qū)域D不包含坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，I=0，其中L為分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)L圍成的區(qū)域D不包含坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由格林公式得故選D。4、設(shè)有曲線(xiàn)從x軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较?，則等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取Σ為平面x+y+z=0包含球面x2+y2+z2=a2內(nèi)的部分，法線(xiàn)方向按右手法則，由斯托克斯公式得其中cosα，cosβ，cosγ為平面x+y+z=0法線(xiàn)向量的方向余弦，且cosα=cosβ=cosγ=。則，故選C。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)5、交換積分次序=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，積分區(qū)域如圖1-6-4所示，則有6、設(shè)D為不等式0≤x≤3，0≤y≤1所確定的區(qū)域，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、Ω是由曲面z=xy與平面y=x，x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，閉區(qū)域Ω={(x，y，z)｜0≤z≤xy，0≤y≤x，0≤x≤1}。則8、已知曲線(xiàn)L為曲面z=與x2+y2=1的交線(xiàn)，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將x2+y2=1代入z=，得z=1。則曲線(xiàn)L的參數(shù)方程為9、設(shè)L是正向圓周x2+y2=9，則曲線(xiàn)積分=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—18π知識(shí)點(diǎn)解析：由格林公式知10、設(shè)曲面Σ：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：曲面Σ關(guān)于平面x=0對(duì)稱(chēng)，因此=0。又因曲面Σ：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1具有輪換對(duì)稱(chēng)性，于是11、設(shè)曲面Σ為z=的上側(cè)，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4π知識(shí)點(diǎn)解析：利用高斯公式及輪換對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解。補(bǔ)平面Σ1為x2+y2≤4，z=0的下側(cè)，記Σ和Σ1所圍的空間區(qū)域?yàn)棣?，則12、設(shè)球體x2+y2+z2≤z上任一點(diǎn)處的密度等于該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，則此球的質(zhì)心的z坐標(biāo)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由質(zhì)心公式可得三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)13、設(shè)f(x)=∫1xe—y2dy，求∫01x2f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、計(jì)算，其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，1—x}}。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1-6-11所示，在極坐標(biāo)中知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中L是曲線(xiàn)y=sinx上從點(diǎn)(0，0)到點(diǎn)(π，0)的一段。標(biāo)準(zhǔn)答案：按曲線(xiàn)積分的計(jì)算公式直接計(jì)算。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、計(jì)算曲線(xiàn)積分I=，其中L是以點(diǎn)(1，0)為中心，R為半徑的圓周(R＞1)，取逆時(shí)針?lè)较?。?biāo)準(zhǔn)答案：由題干可知?jiǎng)t有作足夠小的橢圓C：(t∈[0，2π]，C取逆時(shí)針?lè)较?，于是由格林公式有從而有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)函數(shù)φ(y)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)L上，曲線(xiàn)積分的值恒為同一常數(shù)。17、證明對(duì)右半平面x＞0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C，有=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1-6-14所示，將C分解為：C=l1+l2，另作一條曲線(xiàn)l3圍繞原點(diǎn)且與C相接，根據(jù)題設(shè)條件則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求函數(shù)φ(y)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)P=，P，Q在單連通區(qū)域x＞0內(nèi)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。由(Ⅰ)知，曲線(xiàn)積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，故當(dāng)x＞0時(shí)，總有。比較(1)、(2)兩式的右端，得由(3)得φ(y)=—y2+C，將φ(y)代入(4)得2y5—4Cy3=2y5，所以C=0，從而φ(y)=—y2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、計(jì)算曲面積分，其中Σ為錐面z=在柱體x2+y2≤2x內(nèi)的部分。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、計(jì)算，其中Σ為曲面z=的上側(cè)，a為大于零的常數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：可以分塊計(jì)算其中I1=，Dyz是yOz平面上的半圓：y2+z2≤a2，z≤0，利用極坐標(biāo)，得到Dxy為xOy平面上的一個(gè)圓域：x2+y2≤a2，利用極坐標(biāo)，得因此I=I1+I2=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)對(duì)于半空間x＞0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面Σ，都有—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=0，其中函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且=1，求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)和高斯公式得其中Ω為Σ圍成的有界閉區(qū)域，±號(hào)對(duì)應(yīng)曲面取外側(cè)或內(nèi)側(cè)，由Σ的任意性，知xf′(x)+f(x)—xf(x)—e2x=0(x＞0)，即f′(x)+(x＞0)，這是一階線(xiàn)性非齊次微分方程，其通解為。即C+1=0，從而C=—1。因此。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)有一半徑為R的球體，P0是此球的表面上的一個(gè)定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到P0距離的平方成正比(比例常數(shù)k＞0)，求球體的重心位置。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1-6-16所示，以Ω表示球體，以Ω的球心表示原點(diǎn)O，射線(xiàn)OP0為正x軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(R，0，0)，球面方程為x2+y2+z2=R2。設(shè)Ω的重心為，由對(duì)稱(chēng)性，得而—2xR是關(guān)于x的奇函數(shù)，所以因此，球體Ω的重心位置為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)D為單位圓x2+y2≤1，，則()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I1＜I2C、I3＜I2＜I1D、I1＜I3＜I2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：積分域D關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱(chēng)，而x3是x的奇函數(shù)，y3，y5是y的奇函數(shù)，則積分區(qū)域D關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，從而由輪換對(duì)稱(chēng)性可得由于在D內(nèi)｜x｜≤1，｜y｜≤1，則x6+y6≤x4+y4，于是從而有I1＜I3＜I2，故選D。2、交換積分次序∫1edx∫0lnxf(x，y)dy為()A、∫0edy∫0lnxf(x，y)dxB、∫eyedy∫01f(x，y)dxC、∫0lnxdy∫1ef(x，y)dxD、∫01dy∫eyef(x，y)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：交換積分次序得∫1edx∫0lnxf(x，y)dy=∫01dy∫eyef(x，y)dx，故選D。3、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=，其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍成的區(qū)域，則f(x，y)等于()A、xyB、2xyC、D、xy+1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：等式兩端積分得4、已知曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，其中f(x)有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，f(0)=1，則∫(0,0)(1,1)yf(x)dx+[f(x)—x2]dy等于()A、3e+1B、3e+5C、3e+2D、3e—5標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，則f(x)=f′(x)—2x，即f′(x)—f(x)=2x。f(x)=e∫dx(∫2xe—∫dxdx+C)=ex(∫2xe—xdx+C)=ex(—2e—x—2xe—x+C)，由f(0)=1知，C=3，故f(x)=3ex—2x—2。因此∫(0，0)(1，1)yf(x)dx+[f(x)—x2]dy=∫01[f(1)—1]dy=f(1)—1=3e—5，故選D。5、設(shè)∑為球面x2+y2+z2=R2上半部分的上側(cè)，則下列結(jié)論不正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于第二類(lèi)面積分，若曲面Σ(包含側(cè))關(guān)于x=0(即yOz坐標(biāo)面)對(duì)稱(chēng)，則本題中曲面Σ關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，而選項(xiàng)A、C、D三項(xiàng)中的被積函數(shù)x2，y2，y，關(guān)于x都是偶函數(shù)，則其積分為零，而B(niǎo)選項(xiàng)中的被積函數(shù)x為x的奇函數(shù)，則，故選B。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)6、D是圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域可用極坐標(biāo)表示為7、設(shè)Ω由｛(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1｝，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、已知曲線(xiàn)L為圓x2+y2=a2在第一象限的部分，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將x2+y2=a2化為參數(shù)方程形式，則9、已知曲線(xiàn)L的方程為y=1—｜x｜，x∈[—1，1]，起點(diǎn)是(—1，0)，終點(diǎn)是(1，0)，則曲線(xiàn)積分=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)Γ為曲線(xiàn)從z軸正向往z軸負(fù)向看去為順時(shí)針?lè)较?，則I==________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—2π知識(shí)點(diǎn)解析：利用格林公式計(jì)算。設(shè)C為圓x2+y2=1的順時(shí)針?lè)较?，由x—y+z=2可知z=2—x+y，則11、設(shè)Σ是錐面z=(0≤z≤1)的下側(cè)，則+3(z—1)dxdy=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2π知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)Σ1：z=1，x2+y2≤1，取法向量方向朝上，則Σ與Σ1圍成的區(qū)域?yàn)棣福敲?2、設(shè)Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤z≤1}，則Ω的形心的豎坐標(biāo)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)13、計(jì)算二重積分，其中D=。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D的圖形如圖1-6-6所示。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、計(jì)算累次積分I=∫01dx∫1—x2—xe(x+y)2dy+∫12dx∫02—xe(x+y)2dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)則積分區(qū)域分別是D1={(x，y)｜0≤x≤1，1—x≤y≤2—x}，D2={(x，y)｜1≤x≤2,0≤y≤2—x}。記區(qū)域D=D1+D2，D是由直線(xiàn)y=1—x，y=2—x與x軸和y軸在第一象限圍成的平面區(qū)域(如圖1-6-9所示)，且令x=rcosθ，y=rsinθ，在極坐標(biāo)系(r，θ)中區(qū)域D可表示為于是所求累次積分在內(nèi)層積分中令t=r(cosθ+sinθ)，則dt=(cosθ+sinθ)dr，t：1→2，從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0,y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過(guò)1+x2+y2的最大整數(shù)。計(jì)算二重積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜1≤x2+y2≤，x≥0，y≥0}，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求I=+(excosy—ax)dy，其中a，b為正常數(shù)，L為從點(diǎn)A(2a，0)沿曲線(xiàn)到點(diǎn)O(0，0)的弧。標(biāo)準(zhǔn)答案：添加從點(diǎn)O(0，0)沿y=0到點(diǎn)A(2a，0)的有向線(xiàn)段L1，則利用格林公式，前一積分其中D為L(zhǎng)+L1所圍成的半圓域。后一積分選擇x為參數(shù)，得L1：y=0(x：0→2a)，直接積分得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)函數(shù)Q(x，y)在平面xOy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，并且對(duì)任意t恒有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x,y)dy，求Q(x，y)。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)曲線(xiàn)積分和路徑無(wú)關(guān)的條件，可知，因此有Q(x，y)=x2+C(y)成立，其中C(y)為待定函數(shù)。又因?yàn)橛梢阎芍獌蛇厡?duì)t求導(dǎo)可得2t=1+C(t)，即C(y)=2y—1，因此有Q(x，y)=x2+2y—1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知積分與路徑無(wú)關(guān)，f(x)可微，且。18、求f(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可得，即這是一階線(xiàn)性微分方程，通解為f(x)=x(sinx—xcosx+C)。由初始條件，得C=—1，于是f(x)=x(sinx—xcosx—1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、對(duì)第一問(wèn)中求得的f(x)，求函數(shù)u=u(x，y)使得。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上小題中結(jié)論可得du=(x+xysinx)dx+=(x+xysinx)dx+(sinx—xcosx—1)dy，則，兩邊對(duì)x積分得—xycosx+ysinx+φ(y)，于是因此φ′(y)=—1，兩邊對(duì)y積分得φ(y)=—y+C，u=—xycosx+ysinx—y+C，其中C為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、對(duì)第二問(wèn)中的du求積分，其中積分路徑為從A(π，1)到B(2π，0)的任意路徑。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于積分與路徑無(wú)關(guān)，所以。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)P為橢球面S：x2+y2+z2—yz=1上的動(dòng)點(diǎn)，若S在點(diǎn)P的切平面與xOy面垂直，求P點(diǎn)的軌跡C，并計(jì)算曲面積分其中Σ是橢球面S位于曲線(xiàn)C上方的部分。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)切平面法向量的分量Fx=2x，F(xiàn)y=2y—z，F(xiàn)z=2z—y，因切平面與xOy面垂直，所以2x×0+(2y—z)×0+(2z—y)×1=0，即。因此軌跡C為(2)記Π方程為z=z(x，y)，由第一類(lèi)曲面積分可得由x2+y2+z2—yz=1兩邊分別同時(shí)對(duì)x，y求偏導(dǎo)，得因?yàn)閤2+y2+z2—yz=1。所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、計(jì)算曲面積分I=，其中Σ是曲面z=1—x2—y2(z≥0)的上側(cè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：取Σ1為xOy平面上被圓x2+y2=1所圍部分下側(cè)，記Ω為由Σ與Σ1圍成的空間閉區(qū)域，則由高斯公式知故I=2π—3π=—π。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)有一高度為h(t)(t為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程中其側(cè)面滿(mǎn)足方程z=(設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米，時(shí)間單位為小時(shí))，已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)為0．9)，問(wèn)高度為130厘米的雪堆全部融化需多長(zhǎng)時(shí)間?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻雪堆的體積為V(t)，側(cè)面積為S(t)。先求S(t)與V(t)的表達(dá)式。側(cè)面方程是z=h(t)—。求偏導(dǎo)有，其中Dxy：x2+y2≤。作極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ，則其中D(z)：，即x2+y2≤。體積減少的速度是，它與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)為0．9)，即。將V(t)與S(t)的表達(dá)式代入得解得h(t)=。令h(t)=0，得t=100。因此，高度為130厘米的雪堆全部融化所需時(shí)間為100小時(shí)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)g(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，g(0)=0，g′(0)=a≠0，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由積分中值定理知其中(ξ，η)為圓域x2+y2≤r2上的一個(gè)點(diǎn)，則，而2、累次積分可以寫(xiě)成()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分可知，積分區(qū)域D為由r=cosθ為圓心在x軸上，直徑為1的圓，可作出D的圖形如圖1-6-1所示。該圓的直角坐標(biāo)方程為。故用直角坐標(biāo)表示區(qū)域D為可見(jiàn)A、B、C三項(xiàng)均不正確，故選D。3、設(shè)曲線(xiàn)L:f(x，y)=1(具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)M和第四象限內(nèi)的點(diǎn)N，Γ為L(zhǎng)上從點(diǎn)M到點(diǎn)Ⅳ的一段弧，則下列積分小于零的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：在Γ上f(x，y)=1，M在第二象限，N在第四象限，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)ym大于N點(diǎn)的縱坐標(biāo)yN，因此故選B。4、設(shè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，其中f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，則f(x)等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：曲線(xiàn)積分上與路徑無(wú)關(guān)，則[f(x)—ex]cosy=—f′(x)cosy，即f′(x)+f(x)=ex。所以有由f(0)=0知，，故選B。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)5、交換二次積分的積分次序∫—10dy∫21—yf(x，y)dx=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫12dx∫01—xf(x，y)dy知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D：—1≤y≤0，1—y≤x≤2(如圖1-6-3所示)。則有∫—10dy∫21—yf(x，y)dx=—∫—10dy∫1—y2f(x，y)dx=—∫12dx∫1—x0f(x，y)dy=∫12dx∫01—xf(x，y)dy。6、積分=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1—sin1知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)Ω由x2+y2+z2≤R2，z≥0所確定，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意，令Ω1：x2+y2+z2≤R2，則有8、設(shè)L為橢圓，其周長(zhǎng)記為a，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：12a知識(shí)點(diǎn)解析：將橢圓方程化為3x2+4y2=12，則有由于L關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且xy關(guān)于y是奇函數(shù)，所以第一個(gè)積分=0。因此原式=12a。9、設(shè)L為曲線(xiàn)上從0(0，0)到的曲線(xiàn)段，則—2xysiny2dy=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?—2ysiny2，則該曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)。又cosy2dx—2xysiny2dy=d(xcosy2)，則10、設(shè)Σ為錐面z=介于z=0和z=1之間的部分，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：易知，dS=。區(qū)域D為0≤θ＜2π，0≤ρ≤1，則有11、設(shè)Ω是由錐面z=與半球面z=圍成的空間區(qū)域，Σ是Ω的整個(gè)邊界的外側(cè)，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在Ω上利用高斯公式可得12、設(shè)D是由x2+y2≤a2，y≥0所確定的上半圓域，則D的形心的y坐標(biāo)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)13、計(jì)算積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1-6-7所示，二重積分的積分區(qū)域?yàn)镈，D1是D的第一象限部分，由對(duì)稱(chēng)性，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)區(qū)域D=｛(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0｝，計(jì)算二重積分I=。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1-6-10所示。因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，f(x，y)=是變量y的偶函數(shù)，g(x，y)=是變量y的奇函數(shù)。取D1=D∩{y≥0}，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：交換積分次序可得因此，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、已知L是第一象限中從點(diǎn)(0，0)沿圓周x2+y2=2x到點(diǎn)(2，0)，再沿圓周x2+y2=4到點(diǎn)(0，2)的曲線(xiàn)段，計(jì)算曲線(xiàn)積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)圓x2+y2=2x為圓C1，圓x2+y2=4為圓C2，補(bǔ)線(xiàn)利用格林公式即可。設(shè)所補(bǔ)線(xiàn)段L1為x=0(y：2→0)，如圖1-6-13所示應(yīng)用格林公式得：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)函數(shù)f(x)在R上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，L是上半平面(y＞0)內(nèi)的有向分段光滑曲線(xiàn)，起點(diǎn)為(a，b)，終點(diǎn)為(c，d)。記I=。17、證明曲線(xiàn)積分I與路徑L無(wú)關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：易知Pdx+Qdy存在原函數(shù)，故在y＞0時(shí)，Pdx+Qdy存在原函數(shù)，即故積分I在y＞0上與路徑無(wú)關(guān)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、當(dāng)ab=cd時(shí)，求I的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：因找到了原函數(shù)，且由已知條件可得I=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、計(jì)算I=+(2z2—x2)dy+(3x2—y2)dz，其中L是平面x+y+z=2與柱面｜x｜+｜y｜=1的交線(xiàn)，從z軸正向看去，L為逆時(shí)針?lè)较?。?biāo)準(zhǔn)答案：記Σ為平面x+y+z=2上L所圍部分。由L的定向，按右手法則知Σ取上側(cè)，Σ的單位法向量n=(cosα，cosβ，cosγ)=。由斯托克斯公式得由z=2—x—y，可得，按第一類(lèi)曲面積分化為二重積分得其中D為Σ在xOy平面上的投影區(qū)域｜x｜+｜y｜≤1(如圖1-6-15所示)。由D關(guān)于x，y軸的對(duì)稱(chēng)性及被積函數(shù)的奇偶性得，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、計(jì)算曲面積分，其中Σ為有向曲面z=x2+y2(0≤x≤1)，其法向量與z軸正向的夾角為銳角。標(biāo)準(zhǔn)答案：用高斯公式，以Σ1表示法向量指向z軸負(fù)向的有向平面z=1(x2+y2≤1)，D為Σ1在xOy平面上的投影區(qū)域，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、計(jì)算曲面積分I=，其中Σ是曲面2x2+2y2+z2=4的外側(cè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：所以(1)+(2)+(3)=。由于被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0，0，0)處不連續(xù)，作封閉曲面(外側(cè))Σ1：x2+y2+z2=R2，，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)直線(xiàn)L過(guò)A(1，0，0)，B(0，1，1)兩點(diǎn)，將L繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面Σ，Σ與平面z=0，z=2所圍成的立體為Ω。22、求曲面Σ的方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知得={—1，1，1}，則L：，設(shè)任意點(diǎn)M(x，y，z)∈Σ，對(duì)應(yīng)于L上的M0(x0，y0，z)，則有x2+y2=x02+y02。且由得Σ：x2+y2=(1—z)2+z2，即∑：x2+y2=2z2—2z+1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求Ω的形心坐標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然，而其中，Dxy:x2+y2≤2z2—2z+1。所以，因此形心坐標(biāo)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，則()A、I3≥I2≥I1。B、I1≥I2≥I3。C、I2≥I1≥I3。D、I3≥I1≥I2。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：在區(qū)域D上，有0≤x2+y2≤1，從而有由于cosx在上為單調(diào)減函數(shù)，于是故選(A)。2、如圖6－7所示，正方形{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}被其對(duì)角線(xiàn)劃分為四個(gè)區(qū)域Dk(k=1，2，3，4)，則A、I1B、I2C、I3D、I4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：D2，D4兩區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，而f(x，－y)=－ycosx=－f(x，y)，即被積函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù)，所以I2=I4=0。D1，D3兩區(qū)域關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng)，而f(－x，y)=ycos(－x)=ycosx=f(x，y)，即被積函數(shù)是關(guān)于x的偶函數(shù)，所以故選(A)。3、下列命題中不正確的是()A、設(shè)f(u)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則在全平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。B、設(shè)f(u)連續(xù)，則在全平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。C、設(shè)P(x，y)，Q(x，y)在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又則在區(qū)域D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。D、在區(qū)域D={(x，y)|(x，y)≠(0，0)}上與路徑有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于(A)，令P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，則得到且全平面是單連通區(qū)域，故在全平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，(A)選項(xiàng)正確。對(duì)于(B)，可求得被積函數(shù)的原函數(shù)為因而，與路徑無(wú)關(guān)，(B)選項(xiàng)正確。對(duì)于(C)，因D區(qū)域不一定是單連通區(qū)域，故(C)選項(xiàng)中積分不一定與路徑無(wú)關(guān)，(C)選項(xiàng)不正確。對(duì)于(D)，取L為單位圓x2+y2=1，并取逆時(shí)針?lè)较?，則因此積分與路徑有關(guān)，(D)選項(xiàng)正確。由排除法，故選(C)。4、設(shè)區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，則A、abπ。B、C、(a+b)π。D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由x與y的可互換性，5、設(shè)L1：x2+y2=1，L2：x2+y2=2，L3：x2+2y2=2，L4：2x2+y2=2為四條逆時(shí)針力向的平面曲線(xiàn)，記則max{I1，I2，I3，I4}=()A、I1B、I2C、I3D、I4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于Li所圍區(qū)域封閉，故運(yùn)用格林公式。曲線(xiàn)Li所圍成的區(qū)域記為Di(i=1，2，3，4)，由格林公式得由L1：x2+y2=1，L2：x2+y2=2，可知D1，D2為圓域，D3，D4為橢圓域，而被積函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，在D4上f(x，y)≥0，但不恒等于0，而在D4之外，f(x，y)≤0但不恒等于0。因?yàn)镈4D1，故I4>I1。D4和D2的公共部分是D4，D2的剩余部分f(x，y)≤0，但不恒等于0。因此I4>I2。D4和D3的公共部分是相交的區(qū)域，D4的剩余部分f(x，y)≥0但不恒等于0，而D3的剩余部分但是不恒等于0，所以I4>I3。因此最大值為I4，故選(D)。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、設(shè)Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤1}，則標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：利用球面坐標(biāo)。方法二：由輪換對(duì)稱(chēng)性可知所以方法三：先對(duì)x，y二重積分，后對(duì)z積分其中Dz={(x，y)|x2+y2≤1－z2}。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、設(shè)Ω={(x，y，z)|x2+y2≤z≤1}，則Ω的形心的豎坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)答案：形心坐標(biāo)公式且因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、已知曲線(xiàn)L的方程為y=1－|x|(x∈[－1，1])，起點(diǎn)是(－1，0)，終點(diǎn)是(1，0)，則曲線(xiàn)積分標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：令則9、設(shè)L為正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，則曲線(xiàn)積分的值為_(kāi)_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：正向圓周x2+y2=2在第一象限的部分，用極坐標(biāo)可表示為于是10、設(shè)Ω是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，∑是Ω的整個(gè)邊界的外側(cè)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由高斯公式知，11、設(shè)曲面∑：|x|+|y|+|z|=1，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于曲面∑關(guān)于平面x=0對(duì)稱(chēng)，因此又曲面∑：|x|+|y|+|z|=1具有輪換對(duì)稱(chēng)性，于是12、設(shè)曲面∑是的上側(cè)，則=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：4π知識(shí)點(diǎn)解析：作輔助面∑1：z=0，取下側(cè)。則由高斯公式，有13、已知曲線(xiàn)L：則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：曲線(xiàn)L可與成參數(shù)形式，x=x，y=x2則所以三、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)14、計(jì)算二重積分其中D是由y=x，y=1及Y軸所圍的平面閉域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖6—1所示，因此，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、計(jì)算二重積分其中D是由y=x，x=1，y=－1所圍的平面閉區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D所圍區(qū)域如圖6—2所示。因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分可得首先考慮，注意這里是把變量y看作常數(shù)，故有由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy(1，y)=fx(x，1)=0。故所以對(duì)該積分交換積分次序可得再考慮積分注意這里是把變量x看作常數(shù)，故有因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、計(jì)算其中D是由y=－x及所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖6—3所示。由方程組解得積分域D上的交點(diǎn)按照先對(duì)y積分后對(duì)x積分的積分次序，并將積分區(qū)域D分為D1與D2兩部分，其中于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、計(jì)算二重積分其中D是由曲線(xiàn)與y軸所圍區(qū)域的右上方部分。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖6—4所示。選用極坐標(biāo)求解且極點(diǎn)位于積分區(qū)域D之外。并通過(guò)聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)由于區(qū)域是右上方部分，故交點(diǎn)為又于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)[1+x2+y2]表示不超過(guò)1+x2+y2的最大整數(shù)。計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖6—5所示。由于被積函數(shù)分塊表示，因此運(yùn)用分塊積分法，令D1={(x，y)|0≤x2+y2<1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)|1≤x2+y2≤，x≥0，y≥0}。則利用極坐標(biāo)變換，其中D：因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、計(jì)算二重積分其中D是第一象限內(nèi)由圓x2+y2=2x及直線(xiàn)y=0所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖6—6所示。選用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。其中，且0≤θ≤2cosθ，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D為右半單位圓，且關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)是變量y的偶函數(shù)，函數(shù)是變量y的奇函數(shù)。取D1=D∩{y≥0}，利用積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性，有故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求由曲面z=x2+y2和所圍成的幾何體的體積V和表面積S。標(biāo)準(zhǔn)答案：由方程組解得z1=1，z2=4(舍去)，所以投影區(qū)域?yàn)镈：x2+y2≤1，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、由曲線(xiàn)y=ex，x=0，y=0，x=1所圍的平面薄片，其上任一點(diǎn)(x，y)的面密度與該點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比，比例常數(shù)為k(k＞0)，求薄片的質(zhì)心。標(biāo)準(zhǔn)答案：面密度函數(shù)μ=kx，故其質(zhì)量于是故質(zhì)心坐標(biāo)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)24、作出I的積分域Ω的圖形；標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知累次積分的上下限知故在xOy面上，Dxy={(x，y)|x2+y2≤a}；由球面方程及錐面方程知，z的上限是半徑為a的上半球面，z的下限是以－a為頂點(diǎn)的半錐面，如圖6—8所示。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、把I改變?yōu)橄葘?duì)x，次對(duì)y，再對(duì)z的三次積分；標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分區(qū)域的構(gòu)成及范圍知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、把I改變?yōu)橹鴺?biāo)系的累次積分；標(biāo)準(zhǔn)答案：由(I)知Dxy={(x，y)|x2+y2≤a}，故有因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、把I改變?yōu)榍蜃鴺?biāo)系的累次積分；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、任選一種積分順序計(jì)算，I向值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由(Ⅲ)得出知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、計(jì)算三重積分其中Ω是由曲面與所圍成的區(qū)域(如圖6－9所示)。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：先進(jìn)行z的一次積分，后進(jìn)行x，y的二重積分，即方法二：先對(duì)x，y二重積分，再對(duì)z積分。即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析計(jì)算下列三重積分：30、Ω是由x2+y2≤z2，0≤z≤h所圍的區(qū)域；標(biāo)準(zhǔn)答案：由于Ω關(guān)于yOz坐標(biāo)面，xOz坐標(biāo)面均對(duì)稱(chēng)，且f(x)=x，f(y)=y是x，y的奇函數(shù)，故于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、其中Ω是由曲線(xiàn)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面與平面z=a2所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：旋轉(zhuǎn)面方程：因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、求其中Ω：x2+y2+z2≤R2(R＞0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性知由輪換對(duì)稱(chēng)性知利用球面坐標(biāo)計(jì)算得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)直線(xiàn)L過(guò)A(1，0，0)，B(0，1，1)兩點(diǎn)，將L繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面∑，∑與平面z=0，z=2所圍成的立體為Ω。33、求曲面∑的方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知，=(－1，1，1)，則直線(xiàn)方程為對(duì)任意一點(diǎn)M(x，y，z)∈∑，對(duì)應(yīng)于L上的點(diǎn)M0(x0，y0，z0)，于是有x2+y2=x02+y02。由直線(xiàn)方程表達(dá)式得于是得曲面方程表達(dá)式x2+y2=(1－z)2+z2，即∑：x2+y2=2z2－2z+1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、求Ω的形心坐標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由∑的對(duì)稱(chēng)性而又其中Dz={(x，y)|x2+y2≤2z2－2z+1}，故所以形心坐標(biāo)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、設(shè)有一半徑為R的球體，P0是此球的表面上一個(gè)定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到P0的距離的平方成正比(比例常數(shù)k>0)，求球體的質(zhì)心位置。標(biāo)準(zhǔn)答案：以球心為原點(diǎn)O，射線(xiàn)OP0為Oz軸負(fù)向，建立坐標(biāo)系如圖6一10所示。點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(0，0，－R)，球面的方程為x2+y2+z2=R2。球面所圍的區(qū)域記為Ω，球面及所圍區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)與P0的距離故球體的體密度ρ=k[x2+y2+(z+R)2]，k>0。設(shè)Ω的質(zhì)心位置(坐標(biāo))為由對(duì)稱(chēng)性得而利用球面坐標(biāo)計(jì)算上述三重積分，得故因此球體Ω的重心位置為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、計(jì)算其中L為x2+y2=Rx(R＞0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于L關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且f(y)=2y是y的奇函數(shù)，故又x2+y2=Rx，從而有進(jìn)一步得到其中計(jì)算積分有以下兩種方法：方法一(奇偶性)：方法二(形心公式)：因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析37、計(jì)算其中Γ為錐面螺線(xiàn)x=tcost，y=tsint，z=t上相應(yīng)于t從0變到1的一段弧。標(biāo)準(zhǔn)答案：由參數(shù)方程，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析38、計(jì)算曲線(xiàn)積分其中L是曲線(xiàn)y=sinx上從點(diǎn)(0，0)到點(diǎn)(π，0)的一段弧。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y=sinx及x：0→π，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析39、求其中a、b為正常數(shù)，L為從點(diǎn)A(2a，0)沿曲線(xiàn)到點(diǎn)O(0，0)的弧。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：湊成閉合曲線(xiàn)，應(yīng)用格林公式。添加從點(diǎn)O(0，0)沿y=0到點(diǎn)A(2a，0)的有向直線(xiàn)段L1，如圖6—11所示，則有利用格林公式，其中D為L(zhǎng)1+L2所圍成的半圓域。對(duì)于I2，選擇x為參數(shù)，得L1：于是故方法二：利用曲線(xiàn)積分的可加性，將曲線(xiàn)積分分成兩部分，其中一部分與路徑無(wú)關(guān)，另一部分則可利用曲線(xiàn)的參數(shù)方程進(jìn)行計(jì)算。即I1與路徑無(wú)關(guān)，所以對(duì)于I2，取L的參數(shù)方程則且t從0到π，則因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)平面D由x+y=，x+y=1及兩條坐標(biāo)軸圍成，，則()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I1＜I2C、I1＜I3＜I2D、I3＜I2＜I1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然在D上，則ln(x+y)3≤0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，從而有，故選C。2、累次積分∫01dx∫x1f(x，y)dy+∫12dy∫02—yf(x，y)dx可寫(xiě)成()A、∫02dx∫x2—xf(x，y)dyB、∫01dy∫02—yf(x，y)dxC、∫01dx∫x2—xf(x，y)dyD、∫01dy∫y2—yf(x，y)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原積分域?yàn)橹本€(xiàn)y=x，x+y=2，與y軸圍成的三角形區(qū)域，故選C。3、設(shè)有平面閉區(qū)域，D={(x，