【數(shù)學(xué)】3.1-回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用-課件(人教A版選修2-3)

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用比《數(shù)學(xué)3》中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計(jì)畫散點(diǎn)圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應(yīng)用問(wèn)題選修2-3——統(tǒng)計(jì)案例引入線性回歸模型y＝bx＋a＋e了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)生的原因了解殘差圖的作用了解相關(guān)指數(shù)R2

和模型擬合的效果之間的關(guān)系利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問(wèn)題正確理解分析方法與結(jié)果最小二乘法：稱為樣本點(diǎn)的中心?；貧w直線過(guò)樣本點(diǎn)中心例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。分析：由于問(wèn)題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量．2.回歸方程：1.散點(diǎn)圖；探究：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60.316kg。即，用這個(gè)回歸方程不能給出每個(gè)身高為172cm的女大學(xué)生的體重的預(yù)測(cè)值，只能給出她們平均體重的值。我們可以用下面的線性回歸模型來(lái)表示：y=bx+a+e，

(3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=

(4)

在線性回歸模型(4)中，隨機(jī)誤差e的方差越小，通過(guò)回歸直線(5)預(yù)報(bào)真實(shí)值y的精度越高。隨機(jī)誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間的誤差的原因之一，其大小取決于隨機(jī)誤差的方差。另一方面，由于公式(1)和(2)中和為截距和斜率的估計(jì)值，它們與真實(shí)值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間誤差的另一個(gè)原因。思考:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？隨機(jī)誤差e的來(lái)源(可以推廣到一般）：1、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；2、忽略了其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等因素；3、身高y的觀測(cè)誤差。

以上三項(xiàng)誤差越小，說(shuō)明我們的回歸模型的擬合效果越好。探究:e

是

用預(yù)報(bào)真實(shí)值Y的隨機(jī)誤差，它是一個(gè)不可觀測(cè)的量，那么怎樣研究隨機(jī)誤差呢？回歸模型：其估計(jì)值為而言，它們的隨機(jī)誤差對(duì)于樣本點(diǎn)顯然，R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率。

R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過(guò)比較R2的值來(lái)做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。總的來(lái)說(shuō)：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是1354總計(jì)0.36128.361殘差變量0.64225.639隨機(jī)誤差比例平方和來(lái)源表1-3從表3-1中可以看出，解析變量對(duì)總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%，即R20.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%。所以，身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過(guò)存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。相關(guān)系數(shù)

1.計(jì)算公式2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越?。畣?wèn)題：達(dá)到怎樣程度，x、y線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？相關(guān)系數(shù)ｒ＞０正相關(guān)；ｒ＜０負(fù)相關(guān)．通常，r∈[-1,-0.75]--負(fù)相關(guān)很強(qiáng);

r∈[0.75,1]—正相關(guān)很強(qiáng);

r∈[-0.75,-0.3]--負(fù)相關(guān)一般;r∈[0.3,0.75]—正相關(guān)一般;r∈[-0.25,0.25]--相關(guān)性較弱;例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù),試建立y與x之間的回歸方程解:1)作散點(diǎn)圖;從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用線性回歸模型來(lái)很好地近似。這些散點(diǎn)更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。解:令則z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出x與z的散點(diǎn)圖x和z之間的關(guān)系可以用線性回歸模型來(lái)擬合x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.194.7455.7842)用y=c3x2+c4模型,令,則y=c3t+c4,列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出t與y的散點(diǎn)圖散點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，因此用線性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。t44152962572984110241225y711212466115325殘差表編號(hào)1234567x21232527293235y711212466115325e(1)0.52-0.1671.76-9.1498.889-14.15332.928e(2)47.719.397-5.835-41.003-40.107-58.26877.965非線性回歸方程二次回歸方程殘差公式在此處可以引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法