3第3章-控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及其轉(zhuǎn)換

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控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及其轉(zhuǎn)換

仿真是對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行的試驗(yàn)，建模是仿真的基礎(chǔ)，系統(tǒng)模型化技術(shù)是系統(tǒng)仿真的核心。本章首先給出控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的分類，介紹控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型的描述形式，最后給出各種數(shù)學(xué)模型，如微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間等之間轉(zhuǎn)換和MATLAB實(shí)現(xiàn)。一.連續(xù)和離散系統(tǒng)系統(tǒng)類型根據(jù)系統(tǒng)變量是時間連續(xù)函數(shù)還是時間離散函數(shù)，系統(tǒng)分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)。(1)連續(xù)系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號都是連續(xù)時間信號。（一般L、R、C電路）(2)離散系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號都是離散時間信號。（數(shù)字計(jì)算機(jī)）(3)混合系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號包含連續(xù)信號和離散信號。（計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

）連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用微分方程描述。離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用差分方程描述。二.線性和非線性系統(tǒng)

根據(jù)輸入輸出關(guān)系是否同時滿足齊次性和疊加性，系統(tǒng)分為線性和非線性。假設(shè)系統(tǒng)在沒有外界信號作用之前處于靜止?fàn)顟B(tài)，在輸入信號u1和u2或a1u1和a2u2作用下，有式中，為任意實(shí)數(shù)，為輸入輸出之間函數(shù)關(guān)系。那么，該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則是非線性系統(tǒng)。系統(tǒng)類型系統(tǒng)類型線性時變系統(tǒng)：非線性定常系統(tǒng)：線性定常系統(tǒng)：根據(jù)模型參數(shù)是否隨時間變化，線性系統(tǒng)又可細(xì)分為線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)。參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，稱為時不變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。三.確定和隨機(jī)系統(tǒng)

系統(tǒng)類型根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出和內(nèi)部狀態(tài)呈現(xiàn)的規(guī)律，系統(tǒng)分為確定性系統(tǒng)與隨機(jī)性系統(tǒng)。輸入輸出之間函數(shù)關(guān)系能夠用確定性模型描述的系統(tǒng)，稱為確定性系統(tǒng)，否則稱為隨機(jī)系統(tǒng)(或不確定性系統(tǒng))。例如式中，

分別為狀態(tài)變量和輸出變量，為噪聲?？刂葡到y(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型一.連續(xù)系統(tǒng)

式中，分別為系統(tǒng)輸入量、輸出量，n為系統(tǒng)的階次，及各階導(dǎo)數(shù)的的初始值為為參數(shù)，均為實(shí)常數(shù)。已知輸出變量1．微分方程一個連續(xù)系統(tǒng)可以表示成高階微分方程，即控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型稍加整理，并記 2．傳遞函數(shù)若系統(tǒng)的初始條件為零，那么對微分方程兩邊取拉普拉斯變換后可得稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

=AX+BU

狀態(tài)方程Y=CX+DU

輸出方程系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述。狀態(tài)空間表達(dá)式包括狀態(tài)方程和輸出方程。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為3．狀態(tài)空間描述r維輸入向量

n維狀態(tài)向量m維輸出向量

控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型維輸出矩陣

維直接傳遞矩陣

維系統(tǒng)矩陣維輸入矩陣

控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

對于線性時變系統(tǒng)，系數(shù)矩陣A，B，C，D，均與時間t有關(guān)，狀態(tài)空間描述為控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型1．差分方程設(shè)系統(tǒng)差分方程為引進(jìn)后移算子可得二.離散系統(tǒng)控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型2．離散傳遞函數(shù)(Z傳函)假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，即則得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

在初始條件為零時，與等價?？刂葡到y(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

3.離散狀態(tài)空間描述多變量離散狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型三.MATLAB模型表示MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱提供傳遞函數(shù)模型、零極點(diǎn)增益模型、狀態(tài)空間模型的生成函數(shù)。函數(shù)功能Sys=tf(num，den)生成傳遞函數(shù)模型Sys=zpk(z，p，k)生成零極點(diǎn)增益模型Sys=ss(a，b，c，d)生成狀態(tài)空間模型線性模型生成函數(shù)控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

1.傳遞函數(shù)模型(transferfunctionmodel:TF)已知傳遞函數(shù)模型由分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)可以唯一確定傳遞函數(shù)。分子向量num=分母向量den=控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

用命令tf()可建立傳遞函數(shù)模型，或?qū)⒘銟O點(diǎn)增益模型和狀態(tài)空間模型化為傳遞函數(shù)模型。sys=tf(num，den)；%用于生成連續(xù)傳遞函數(shù)；sys=tf(num，den，Ts)；%用于生成離散傳遞函數(shù)；sys=tf(num，den，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)；%用于生成具有LTI模型屬性的連續(xù)傳遞函數(shù)；sys=tf(num，den，Ts，‘Property1’，Value1，...，‘PropertyN’，ValueN)；%用于生成具有LTI模型屬性的離散傳遞函數(shù)；tfsys=tf(sys)；%用于將任意狀態(tài)空間模型SS或零極點(diǎn)增益模型ZPK的LTI對象sys轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)形式控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型給定SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)為使用MATLAB表示該傳遞函數(shù)num=[21];den=[341];sys1=tf(num,den)運(yùn)行結(jié)果：Transferfunction:2s+1---------------3s^2+4s+1控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

給定SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)為使用MATLAB表示該傳遞函數(shù)num=[1.322.5];den=[10.51.21];sys2=tf(num,den,'inputdelay',2)運(yùn)行結(jié)果：Transferfunction:

1.3s^2+2s+2.5exp(-2*s)*-------------------------s^3+0.5s^2+1.2s+1控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

給定多輸入-多輸出MIMO系統(tǒng)MATLAB命令：num={11;2[11]};den={[11],[12];1,[12]};sys3=tf(num,den)控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

結(jié)果為：Transferfunctionfrominput1tooutput...1#1:-------s+1

#2:2

Transferfunctionfrominput2tooutput...1#1:-------s+2

s+1#2:-------s+2控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

若一采樣周期為0.2s的離散MIMO傳遞函數(shù)為MATLAB命令如下：num={[11],[10];1,2};%分子den={[121],[102];[21],[11]};%分母sys4=tf(num,den,0.2)控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型Transferfunctionfrominput1tooutput...z+1#1:-------------z^2+2z+11#2:-------2z+1

Transferfunctionfrominput2tooutput...z#1:-------z^2+22#2:-----z+1Samplingtime:0.2控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

2.零極點(diǎn)增益模型(zero-pole-gainmodel:ZPK)零極點(diǎn)模型是傳遞函數(shù)的一種特殊形式離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型用命令zpk()可以建立零極點(diǎn)增益模型，或?qū)鬟f函數(shù)模型和狀態(tài)空間模型變化為零極點(diǎn)增益模型。語法格式sys=zpk(z，p，k)sys=zpk(z，p，k，Ts)sys=zpk(z，p，k，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)sys=zpk(z，p，k，Ts，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)zsys=zpk(sys)zpk()函數(shù)調(diào)用方法與tf()一致?？刂葡到y(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

給定一零極點(diǎn)增益模型使用MATLAB表示該傳遞函數(shù)。MATLAB命令如下：z={0;-0.5};p={0.3;[0.1-j,0.1+j]};k=[1;2];sys=zpk(z,p,k,[])控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

Zero/pole/gainfrominputtooutput...z#1:----------(z-0.3)2(z+0.5)#2:-----------------------(z^2-0.2z+1.01)Samplingtime:unspecified控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型將傳遞函數(shù)化為零極點(diǎn)增益模型Matlab命令：num=[1.322.5];den=[10.51.21];sys2=tf(num,den,'inputdelay',2)sys6=zpk(sys2) 控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

Transferfunction:1.3s^2+2s+2.5exp(-2*s)*------------------------------s^3+0.5s^2+1.2s+1Zero/pole/gain:1.3(s^2+1.538s+1.923)exp(-2*s)*---------------------------------------------(s+0.7307)(s^2-0.2307s+1.369)控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

3．狀態(tài)空間模型(state-spacemodel:SS)

線性定常狀態(tài)空間模型描述為式中，為狀態(tài)向量，為輸入向量，是輸出向量?？刂葡到y(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

用命令ss()可以建立狀態(tài)空間模型，或?qū)鬟f函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型。語法調(diào)用格式:sys=ss(a，b，c，d)sys=ss(a，b，c，d，Ts)sys=ss(a，b，c，d，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)sys=ss(a，b，c，d，Ts，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)sys_ss=ss(sys)sys_ss=ss(sys，'minimal');%最小階實(shí)現(xiàn)ss函數(shù)的調(diào)用方法與tf()、zpk()一致。控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

狀態(tài)空間模型用MATLAB表示為A=[010;001;-5-20-1];B=[0;0;1];C=[100];D=0;sys=ss(A,B,C,D)控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型

結(jié)果為：a=x1x2x3x1010x2001x3-5-20-1b=u1x10x20x31c=x1x2x3y1100d=u1y10Continuous-timemodel。利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

MATLAB實(shí)現(xiàn)模型轉(zhuǎn)換有兩種不同的方式。方式1：簡單的模型轉(zhuǎn)換首先生成任一指定的模型對象(tf，ss，zpk)，然后將該模型對象類作為輸入，調(diào)用欲轉(zhuǎn)換的模型函數(shù)即可。例如：欲將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型sys=tf(num，den)；[a，b，c，d]=ss(sys)利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

方式2：直接調(diào)用模型轉(zhuǎn)換函數(shù)連續(xù)模型之間三種形式的數(shù)學(xué)模型相互轉(zhuǎn)換函數(shù)類型包括tf2ss、ss2tf、zp2tf、tf2zp、ss2zp、zp2ss，共六個函數(shù)。利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換一.化傳遞函數(shù)為狀態(tài)空間模型函數(shù)tf2ss用于將傳遞函數(shù)化成狀態(tài)空間模型，調(diào)用格式如[A，B，C，D]=tf2ss(num，den);其中，輸入num，den分別為傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)；輸出A，B，C，D為狀態(tài)空間模型系數(shù)矩陣。利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

將傳遞函數(shù)化成狀態(tài)空間表達(dá)式方式1：num={[023];[121]};%分子多項(xiàng)式系數(shù)den={[10.41];[10.41]};%分母多項(xiàng)式系數(shù)tfsys=tf(num,den);%生成傳遞函數(shù)sssys=ss(tfsys);%轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

結(jié)果為：a=x1x2x1-0.4-0.5x220b=u1x12x20c=x1x2y110.75y20.80d=u1y10y21利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

方式2：num=[023;121];den=[10.41];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)結(jié)果為：A=-0.4000-1.00001.00000B=10C=2.00003.00001.60000D=01利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

二.化傳遞函數(shù)為零極點(diǎn)增益模型函數(shù)tf2zp用于將傳遞函數(shù)化成零極點(diǎn)增益模型形式

[z，p，k]=tf2zp(num，den)其中，num，den分別為傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)；z，p，k為零極點(diǎn)增益模型的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益向量。利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換將傳遞函數(shù)化為零極點(diǎn)增益模型。方式1：zpk(tf([21],[341]))Zero/pole/gain:0.66667(s+0.5)----------------(s+1)(s+0.3333)方式2：[z,p,k]=tf2zp([21],[341])z=-0.5000p=-1.0000-0.3333k=0.6667因此零極點(diǎn)增益模型為利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換三.化零極點(diǎn)增益模型為狀態(tài)空間模型函數(shù)zp2ss用于將零極點(diǎn)增益模型化成狀態(tài)空間模型，zp2ss調(diào)用格式[A，B，C，D]=zp2ss(z，p，k)其中，輸入z，p，k為零極點(diǎn)增益模型的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益向量。輸出A，B，C，D為狀態(tài)空間模型系數(shù)矩陣。利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換零極點(diǎn)增益模型化成狀態(tài)空間表達(dá)式方式1：z=[-2];p=[-1-3-3];k=2;zpksys=zpk(z,p,k);sssys=ss(zpksys)方式2:z=[-2];p=[-1-3-3];k=2;[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換四.化連續(xù)狀態(tài)方程為離散狀態(tài)方程設(shè)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為假設(shè)輸入端加上虛擬采樣開關(guān)和虛擬信號重構(gòu)器，輸出端加一個虛擬采樣開關(guān)，虛擬采樣周期為T，兩者同步。利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換1.采用零階保持器的離散狀態(tài)方程設(shè)kT及(k+1)T為兩個依次相連的采樣瞬時，保持器為零階保持器，u(t)在kT及(k+1)T之間保持不變式(2)－式(1)乘以eAT，可得(1)(2)利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換離散的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中，不變；為采樣周期。利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換2.采用一階保持器的離散狀態(tài)方程保持器使為斜坡函數(shù)(梯形近似)，則對離散的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中，不變。利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

3.連續(xù)系統(tǒng)離散化的MATLAB方法c2d()可以將連續(xù)系統(tǒng)化成等價的離散化模型，格式如下：sysd=c2d(sys，Ts)sysd=c2d(sys，Ts，method)其中，sys為連續(xù)時間系統(tǒng)模型，Ts為采樣周期，單位為秒(s)。method定義離散化方法，method的取(1)‘zoh’——采用零階保持器。(2)‘foh’——采用一階保持器。(3)‘tustin’——采用雙線性(tustin)逼近方法。(4)‘matched’——采用SISO系統(tǒng)的零極點(diǎn)匹配法。默認(rèn)時，method=‘zoh’。利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

采用一階保持器，采樣周期為0.5s，離散化下列狀態(tài)方程MATLAB程序：sys=ss([01;0-2],[01]',[10],0);dss=c2d(sys,0.5,'foh')利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換結(jié)果為：a=x1x2x110.3161x200.3679b=u1x10.1501x20.1998Samplingtime:0.5Discrete-timemodel

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

五.化狀態(tài)空間模型為傳遞函數(shù)消去中間項(xiàng)后，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

對方程式兩端分別取拉普拉斯變換(設(shè)初始條件為零)，得假設(shè)狀態(tài)空間表達(dá)式利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

將狀態(tài)空間方程化為傳遞函數(shù)的方法有：1如果系統(tǒng)只有一個輸入，則可采用[num，den]=ss2tf(A，B，C，D)或[num，den]=ss2tf(A，B，C，D，1)2對多輸入的系統(tǒng)，則可采用[num，den]=ss2tf[A，B，C，D，iu]這里，iu是輸入的標(biāo)號。例如，如果系統(tǒng)有三個輸入(u1，u2，u3)，則iu必須為1、2或3中的一個，其中1表示u1，2表示u2，3表示u3。利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)和零極點(diǎn)增益模型利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換MATLAB命令：A=[010;001;-5-20-1];B=[0;0;1];C=[100];D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D); tf(num,den) [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D); zpk(z,p,k) 利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

Transferfunction:-1.11e-015s^2+1.421e-014s+1---------------------------------s^3+s^2+20s+5Zero/pole/gain:1----------------------------------(s+0.2524)(s^2+0.7476s+19.81)利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

多入單出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式包括兩個傳遞函數(shù)：Y1(s)/U1(s)、Y1(s)/U2(s)(當(dāng)考慮輸入u1時，可設(shè)u2為零。反之亦然)，試將其化成傳遞函數(shù)形式利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

MATLAB命令：A=[010;0 11;-5.008 25.1026-5.032471];B=[01;25.042;121.0053];C=[100];D=[00];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);Sys1=tf(num,den)傳遞函數(shù)Y1(s)/U1(s)為Transferfunction:-3.553e-015s^2+25.04s+247-------------------------------------------s^3+4.032s^2–30.14s+5.008利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2);Sys2=tf(num,den)傳遞函數(shù)Y1(s)/U2(s)為Transferfunction:

s^2+6.032s–17.07---------