微分方程的最大值原理及應(yīng)用

重慶郵電學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(論文)PAGEIII重慶郵電學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(論文)重慶郵電學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文）設(shè)計（論文）題目：___微分方程的最大值原理及應(yīng)用___單位（二級學(xué)院）：____計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院學(xué)生姓名：____呂坤______________專業(yè)：____信息與計算科學(xué)______班級：____430103______________學(xué)號：____01430323____________指導(dǎo)教師：胡學(xué)剛_____________答辯組負責(zé)人：_______________填表時間：2005年6月重慶郵電學(xué)院教務(wù)處制微分方程的最大值原理及應(yīng)用摘要眾所周知，最大值原理是微分方程研究中應(yīng)用最廣而且最為人們熟知的工具之一，它在物理、力學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。簡要地說，微分方程最大值原理就是對于某些類型的微分方程的解必在所定義的空間或時間邊界上取得最大值。常微分方程、橢圓型偏微分方程和拋物型偏微分方程相關(guān)的定解問題的解在一定條件下通常都滿足最大值原理。因此，研究最值原理在何種情況下成立是一個十分具有理論價值和應(yīng)用價值的重要問題。本文主要討論有關(guān)常微分方程、拋物偏微分方程、橢圓偏微分方程的最大值原理。首先討論了常微分方程的最大值原理，它涉及到二階常微分方程，并在此基礎(chǔ)上深入討論了廣義最大值原理，給出了六個與最大值原理有關(guān)的定理和一些簡單的推論；然后討論拋物型偏微分方程的最大值原理，通過引入強最大值原理和Cauchy問題的最大值原理給出了解的唯一性定理的另一種證明，并把最大值原理應(yīng)用于討論比較原理和爆破問題；最后討論橢圓型偏微分方程的最大值原理，通過強最大值原理和邊界點引理給出了兩個新的推廣結(jié)果，并將最大值原理應(yīng)用于邊值問題、最小曲面方程等。關(guān)鍵詞：最大值原理；比較原理；爆破；重慶郵電學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(論文)MaximumprincipleofdifferentialequationAnditsapplicationABSTRACTAsisknown,themaximumprincipleisoneoftoolswhichareusedinmanyareasandfamiliartopeopleintheresearchofpartialdifferentialequation.Anditalsoisappliedintheareasofphysics,mechanicsandengineeringtechnique.Shortly,themaximumprincipleofdifferentialequationmeansthatforsomekindsofdifferentialequations,theycangetthemaximumsolutionintheboundaryofdefinedtimeorspace.Parabolictypeandelliptictypepartialdifferentialequationsareveryimportanceinallkindsofdifferentialequations.Thesolutionoftheirrelationdefinedsolutionquestiongenerallysatisfiesmaximumprinciple，soitisavaluableoftheoreticandpracticalitythingtostudythatinwhichsituationmaximumprinciplecomesintoexistence.Thispaperisfocusonthemaximumprincipleofordinarydifferentialequations,ellipticpartialdifferentialequationandparabolicpartialdifferentialequations.Firstly,Iintroducethemaximumprincipleoftwoorderordinarydifferentialequation,followedbysixtheoremsandfivereferences;Toparabolicpartialdifferentialequation，wegottwouniqueaxiomsofsolutionindoublesituationsbyimportingthestrongmaximumprincipleandmaximumprincipleofCauchy.Andweusethemaximumprincipleincomparisonprincipleandblowingupquestions.Inthelast,wediscussthemaximumprincipleofellipticpartialdifferentialequation.ByimportingthestrongmaximumprincipleandHopflemmaofboundary，andpresentstworesultswhichareunknownbefore.AndappliedmaximumtotheproblemofPoissonandtheminimalsurfaceequation.【keywords】maximumprinciple；comparisonprinciple；blowup重慶郵電學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(論文)目錄HYPERLINK\o"中文摘要"中文摘要……………………Ⅱ英文摘要…………………Ⅲ1緒論…………………………12常微分方程的最大值原理及應(yīng)用………………42.1一維最大值原理…………………42.2一維廣義最大值原理及其應(yīng)用…………43拋物型偏微分方程的最大值原理及應(yīng)用…………………113.1偏微分方程的基本理論…………………113.2非負最大值原理和比較原理……………123.3拋物型偏微分方程的最大值原理的應(yīng)用………153.3.1最大值原理證明唯一性定理……………153.3.2最大值原理應(yīng)用于爆破問題………164橢圓型偏微分方程的最大值原理及應(yīng)用…………………194.1橢圓型偏微分方程的基本理論………19 4.1.1橢圓型方程的非負最大值原理和邊界點引理………194.2橢圓型偏微分方程的最大值原理的應(yīng)用………204.2.1最大值原理應(yīng)用的兩個例子………………204.2.2最大值原理推廣的兩個新推論………………214.2.3最大值原理結(jié)合第三恒等式的應(yīng)用……225結(jié)論與展望………………25致謝……………………26參考文獻……………………27附件……………28一、英文資料譯文……………28二、英文資料原文……………43PAGE11緒論所謂微分方程，就是聯(lián)系著自變量，未知函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)的等式。只含一個自變量的微分方程稱為常微分方程，自變量多于一個的微分方程稱為偏微分方程。微分方程是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實際的重要渠道之一，幾乎在自然科學(xué)和工程技術(shù)的每一個部門都與微分方程有關(guān)。為了解決實際問題，有必要建立微分方程自身的基礎(chǔ)理論，這需要用到數(shù)學(xué)其它分支學(xué)科的知識，有時甚至感到很不夠用，這些因素不僅豐富了微分方程學(xué)科的理論體系，而且促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展。反過來，微分方程學(xué)科的發(fā)展又能更好地解決生產(chǎn)實際和工程技術(shù)中的問題。在常微分方程和偏微分方程的研究中所用到的最有用而且最為人們熟知的工具之一就是最大值原理。這個原理是微積分學(xué)中下述事實的推廣：若在區(qū)間上滿足不等式的任何函數(shù)必在該區(qū)間的一個端點達到它的最大值，則稱不等式的解滿足最大值原理。更一般地，若函數(shù)在區(qū)域中滿足一個微分不等式，并在的邊界上達到它的最大值，則稱該函數(shù)具有最大值原理。在微分方程的定性理論研究中，不需要求出解本身而對于某些方程要求出解是不可能的，但是利用最大值原理就使我們得到有關(guān)微分方程解的信息。人們常常利用最大值原理來證明解的唯一性，估計解的范圍，研究解的爆破模式，爆破速率，解的一致有界性等，因此對于所給定的定解問題，其解是否滿足最大值原理是一個是至關(guān)重要的問題。我們知道，常微分方程、橢圓型偏微分方程和拋物型偏微分方程相關(guān)的定解問題的解在一定條件下最大值原理成立。所以，研究常微分方程、橢圓型偏微分方程和拋物型偏微分方程的最值原理在何種條件下成立具有十分重要的意義。本文主要討論有關(guān)常微分方程、拋物型偏微分方程、橢圓型偏微分方程的最大值原理。首先討論了二階常微分方程的最大值原理，并在此基礎(chǔ)上給出了六個定理和五個推論；對于拋物型偏微分方程，通過引入強最大值原理和Cauchy問題的最大值原理證明了二種情形下解的唯一性定理，并將其應(yīng)用于比較原理和解的爆破問題；最后討論橢圓型偏微分方程的最大值原理，通過強最大值原理和邊界點引理給出了兩個新的結(jié)果，并將其應(yīng)用于邊值問題、最小曲面問題。PAGE3PAGE2本文各部分的具體安排如下：第二節(jié)討論二階常微分方程的最大值原理；第三節(jié)主要介紹拋物型偏微分方程的最大值原理，給出解的唯一性定，并應(yīng)用于比較原理、爆破問題；第四節(jié)主要研究紹橢圓型偏微分方程的最大值原理及其應(yīng)用。本文中用到的主要記號如下：1.1導(dǎo)數(shù)記號(1)，；(2)設(shè)，其中每個分量都是非負整數(shù)，則稱的重指標的階為；(3)；(4)表示的梯度，即。(5)設(shè)為中的開集合，為其邊界則（=1\*romani）如果是，則沿指向外向的單位法向量定義為；（=2\*romanii）令，則為u的法向?qū)?shù)。(6)；1.2函數(shù)空間記號(1)={|是次連續(xù)可微的}，={|是對所有一致連續(xù)}，其中是非負整數(shù)；(2)={|無窮可微}=，；(3)、表示這些函數(shù)在、上并且具有緊支集；(4)表示在內(nèi)對第一個變量具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對第二個變量具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)空間。(5)={|是勒貝格可測度，}。(6)1.3其它符號定義(1)設(shè)和都是定義在上的函數(shù)所組成的集合，.如果對任意的常數(shù)，所有的函數(shù)，都有成立，則稱是線性的。(2)設(shè)為一個正數(shù)，,拋物柱體，那么有以及定義拋物邊界,即為拋物柱體的邊界除去上頂.(3)表示在內(nèi)以點為中心,半徑的開球；表示在內(nèi)以點為中心,半徑的閉球PAGE42常微分方程的最大值原理及應(yīng)用2.1一維最大值原理我們知道，閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必在該區(qū)間的某一點處取得它的最大值。容易發(fā)現(xiàn)以下事實：如果函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，而且存在，使得在點處取得最大值，則有，（2.1）假設(shè)在開區(qū)間內(nèi)，是有界函數(shù)，且函數(shù)滿足，（2.2）的微分不等式，那么，在中的任何點關(guān)系式（2.1）不能成立。因此滿足微分不等式（2.2）的函數(shù)在閉區(qū)間的最大植必在區(qū)間的邊界（端點）處取得。這一事實為常微分方程的最大值原理最簡單的情形。在（2.2）中要求不等式嚴格成立，在微分方程的研究和應(yīng)用中，這樣的要求太強了。然而非嚴格的不等式，（2.3）若容許，顯然最大值原理不成立。但是下列結(jié)論是成立的。定理（一維最大值原理）假設(shè)在區(qū)間內(nèi)是有界函數(shù)，且函數(shù)滿足微分不等式（2.3），如果函數(shù)在內(nèi)的一點取得最大值，則。我們稱定理2.1為一維最大值原理，它的實質(zhì)是滿足（2.3）的非常數(shù)函數(shù)不能在內(nèi)點達到最大值。在定理2.1中，若用替代則有相應(yīng)的一維最小值原理。2.2一維廣義最大值原理及應(yīng)用對于更一般的嚴格微分不等式，（2.4）在開區(qū)間內(nèi)成立，則不能在的內(nèi)點取得非負最大值。事實上，在任意這樣的最大值點，我們有，，，與上面的嚴格不等式矛盾。對于這樣的非嚴格不等式，我們將定理2.1的證明方法進行改進，來證明下面的定理。定理（一維廣義最大值原理）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足微分不等式，（2.5）其中，且函數(shù)和在區(qū)間的每一閉子區(qū)間上有界。若在內(nèi)點上達到非負的最大值,則，。證明假設(shè)不恒為常數(shù)，至少存在一點使得，不妨令。構(gòu)造輔助函數(shù)（2.6）其中為待定正常數(shù)，注意到當(dāng)時，當(dāng)時，而。經(jīng)計算給出因為，以及和的有界性，只要充分的大，可以使得（2.7）式成立。，（2.7）此時有當(dāng)時。現(xiàn)在我們定義，其中是一個選定的正常數(shù)，滿足不等式。由于以及從（2.6）式可知，因此這樣的是存在的。于是有因為時，所以，（2.8）由的定義可以知道：，（2.9）然而在點有，（2.10）因此不妨在取一內(nèi)點，有，則在區(qū)間上，根據(jù)（2.4）式的結(jié)論，的非負最大值在端點或取到。然而，，，矛盾。所以注：在上面的證明中，若，則定義輔助函數(shù)和當(dāng)時取滿足，則用類似上面的證法可以得出同樣的結(jié)論。根據(jù)定理2.2容易得到：推論2.1如果不恒等于零，則滿足定理2.2條件的非負常數(shù)只有。推論2.2如果在內(nèi)，且函數(shù)和在區(qū)間的每一閉子區(qū)間上有界，且不恒為常數(shù)并滿足微分不等式（2.4），則在上的最大值必在邊界,或處取得。證明若不然，存在，使得在內(nèi)點上達到最大值。因為，所以0，根據(jù)定理2.2知，，，矛盾。推論2.2得證。推論2.3如果在內(nèi)，且函數(shù)和在區(qū)間的每一閉子區(qū)間上有界，且不恒為常數(shù)并滿足微分不等式（2.4），則在上的最小值必在邊界,或處取得。證明在推論2.2中，用替代即得證。推論2.4如果在內(nèi)，且函數(shù)和在區(qū)間的每一閉子區(qū)間上有界，是下列微分方程的一個非負解則在上的最大值必在邊界,或處取得。在微分不等式（2.4）中，若函數(shù)在點取得非負的最大值，則。下面的定理說明的情況不會發(fā)生。定理2.3設(shè)是微分不等式（2.4）的非常數(shù)解，在和有單側(cè)導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間內(nèi)，且函數(shù)和在區(qū)間的每一閉子區(qū)間上有界。如果在點有非負的最大值，且函數(shù)有下界，則；若在點取得非負的最大值，且函數(shù)有上界，則有。證明假設(shè)和當(dāng)時，又假設(shè)有一內(nèi)點使得，現(xiàn)定義，其中為待定正常數(shù)。當(dāng)時選取滿足，（2.11）使得。事實上，這樣的是存在的。由于，只要，（2.12）那么（2.11）就成立。又因為函數(shù)有下界和在區(qū)間的每一閉子區(qū)間上有界，則在上存在一個下界不設(shè)為，因此可以選取充分大的滿足，現(xiàn)在我們構(gòu)造函數(shù)，其中是一個選定的正常數(shù)。滿足不等式，又因為，故在區(qū)間的非負最大值必在某個端點上達到。我們有，和，所以最大值點在點取到，則在的單側(cè)導(dǎo)數(shù)不可能是正的。有，（2.13）可是則有。同理可證，。推論2.5如果在內(nèi)，是滿足微分不等式（2.4）而且為不恒為零的連續(xù)函數(shù)，的非常數(shù)解，且。那么，在在內(nèi)。在上面的定理2.2和定理2.3中，都要求在區(qū)間內(nèi)?，F(xiàn)在考慮去掉這個限制后的最大值原理定理2.2和定理2.3會發(fā)生怎樣的變化。定理2.4假設(shè)在上的一個正值函數(shù)滿足：，，（2.14）其中有界而有下界。如果函數(shù)滿足，。那么，函數(shù)滿足在定理2.2和定理2.3所給出的最大值原理。證明因為則，代入可以得到，（2.15）又因為為正值函數(shù)，式（2.15）兩端同時除于可得令和，將上式變?yōu)?，?.16）根據(jù)題設(shè)條件有界而有下界以及具有二階可導(dǎo)性，推知和在區(qū)間的每一閉子區(qū)間上有界，另外有，這樣滿足定理2.2和定理2.3的條件，因此函數(shù)滿足在定理2.2和定理2.3所給出的最大值原理。注：滿足定理2.4的條件的函數(shù)是存在的。事實上如果適當(dāng)?shù)倪x取常數(shù)則函數(shù)可以選，（2.17）為證明這一點我們計算，（2.18）根據(jù)假設(shè)，和都有界，因此存在常數(shù)和使得和，，如果區(qū)間充分小，使得（2.19）成立。和，（2.19）又由于也有上界，我們可以選取使得（2.20）成立，（2.20）從而在上和。定理2.5假設(shè)在區(qū)間內(nèi)滿足常微分方程不等式,另外和在區(qū)間的每一子區(qū)間上有界。此時如果在內(nèi)點有一個極大值，則該內(nèi)點實際上為區(qū)間上的最小值。證明因為內(nèi)點極大值點，則存在一個包含c的區(qū)間滿足。由定理2.2可知，另外分別把定理2.3用于區(qū)間可得由的任意性可知實際上為區(qū)間上的最小值。定義2.1(水平拐點)：如果而在某個包含為內(nèi)點的區(qū)間上嚴格增加或嚴格減少，則稱在有水平拐點。定理2.6假設(shè)在區(qū)間內(nèi)滿足常微分方程不等式,另外和在區(qū)間的每一子區(qū)間上有界，則在區(qū)間內(nèi)不可能有水平拐點。證明反證，假設(shè)存在這樣一個內(nèi)點使得，由水平拐點的定義若存在區(qū)間為而且嚴格增加，當(dāng)時有和，選取區(qū)間，顯然在取得最大值，利用定理2.3可知與假設(shè)矛盾。若存在區(qū)間為而且嚴格減少，當(dāng)時有和，選取區(qū)間，顯然在取得最大值，利用定理2.3可知與假設(shè)矛盾。綜述和可知結(jié)論成立。定理2.7令，其中和在區(qū)間的每一子區(qū)間上有下界。假設(shè)在中滿足而滿足如果在中又若和則在內(nèi)，。證明定義，根據(jù)定理2.5存在其大小只依賴于和，并存在一個正函數(shù)，使得在區(qū)間中的最大值必在端點處達到．又，（2.21）利用定理2.3可知在，恒為常數(shù)，且。特別有和，（2.22）繼續(xù)下去，經(jīng)過有限次重復(fù)可以推出在內(nèi)。即有在在內(nèi)，。重慶郵電學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(論文)3拋物型偏微分方程的最大值原理及應(yīng)用拋物型偏微分方程是一種典型的偏微分方程之一，它的最大值原理在整個微分系統(tǒng)里面占有相當(dāng)重要的地位。3.1偏微分方程的基本理論為了引入最大值原理和敘述方便，本小節(jié)先給出一些定義和記號。定義3.1（k階偏微分方程）關(guān)于一個含有兩個或兩個以上變量的未知函數(shù)及各階偏導(dǎo)數(shù)的方程稱為偏微分方程；記為。若方程中出現(xiàn)的最高階偏導(dǎo)數(shù)為k階，則稱為k階偏微分方程。形如：即為k階PDE。定義3.2（線性偏微分方程）：關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是線性的偏微分方程稱為線性偏微分方程。形如：，其中是給定函數(shù)。定義3.3（完全非線性偏微分方程）方程中含有最高階導(dǎo)數(shù)的非線性項的偏微分方程稱為完全非線性偏微分方程。定義3.4（半線性偏微分方程）關(guān)于最高階的導(dǎo)數(shù)為線性的，且其系數(shù)僅為自變量的函數(shù)的偏微分方程稱為半線性偏微分方程。形如：定義3.5（擬線性偏微分方程）關(guān)于最高階的導(dǎo)數(shù)為線性的，但其系數(shù)可含低階導(dǎo)數(shù)的偏微分方程稱為擬線性偏微分方程。形如：其中完全非線性偏微分方程、半線性偏微分方程和擬線性偏微分方程統(tǒng)稱為非線性偏微分方程。在中，二階線性偏微分方程的一般形式為：，其中，都是的函數(shù)，現(xiàn)在對一般的二階方程（3.1）進行分類。設(shè)表示中的一點，表示矩陣在點的值。則分類如下：定義如果在點，是正定或負定，則方程在點稱為橢圓型的。如果的特征值除一個為0其余個特征值同為正或為負，方程在點稱為拋物型的。如果的特征值皆非0且有個特征值同號時，方程稱為雙曲型方程。定義（一致拋物型算子）方程（3.1）稱為區(qū)域中是拋物型的：如果在中的每一點都是拋物型的。在中是一致拋物型的，如果對中的每一點都是拋物型的并且存在一個正常數(shù)使得個特征值同時滿足或同時滿足對中的所有成立。（為特征值）3.2非負最大值原理和比較原理，其中，都是的函數(shù)，若則稱齊次的熱傳方程，否則為非齊次的熱傳導(dǎo)方程。下面一個定理給出非齊次的熱傳導(dǎo)方程的一般的最大值原理和強最大值原理。定理:(熱傳導(dǎo)方程的非負最大值原理)假如是方程（3.2）的解，且在中是一致拋物型的和,則在上的非負最大值必在的拋物邊界上達到,即。若單連通且存在使得，則有。通常把稱為熱傳導(dǎo)方程的最大值原理,為熱傳導(dǎo)方程的強最大值原理.從物理上看，如果物體內(nèi)部沒有“熱源”，則在整個熱傳導(dǎo)的過程中，溫度總是趨于平衡，溫度最高處熱量向周圍傳遞，溫度最低處的溫度趨于上升，因此物體的最高溫度和最低溫度總是在初始時刻或物體的邊界上達到。物理上的這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述就是所謂“極值原理”。定理3.1給出了一個一般的最大值原理，然而對于一具體的問題可能所得出的最大值原理有它獨特的地方，不妨看一下問題的最大值原理并給出證明。定理3.2(問題的最大值原理)如果是下面問題的解,，（3.3）而且還滿足和為大于0的常數(shù).則有證明（）首先假設(shè);則存在一個滿足（3.4）固定并且定義w函數(shù)為,t>0其中函數(shù)為熱傳導(dǎo)方程的基礎(chǔ)解,則顯然滿足（3.3）式的齊次方程.適當(dāng)?shù)剡x取一個正數(shù)r和集合這樣根據(jù)熱傳導(dǎo)方程的最大值原理有如果時，（3.5）當(dāng)時.由（3.4）式知代入計算得，（3.6）其中，r的選取要使（3.6）式成立。綜合（3.5）（3.6）兩式并讓有（）當(dāng)（3.4）式不成立時，只要把區(qū)間分細，總可以找到使得式成立。另外在微分方程中與極大值原理地位同等重要的另一個原理是比較原理，下面用最大值原理給出其中一類拋物方程的比較原理證明。定理（一類反應(yīng)擴散方程的比較原理）定義其中為有界域上的有界函數(shù)。如果還存在兩個函數(shù)滿足：初始邊界上，初始邊界表示為則有結(jié)論：。證明因為為有界域上的有界函數(shù)，令則有：令和代入算子可得令，則滿足下式，若在內(nèi)點取得非負的最大值設(shè)為有矛盾因此不存在非負最大值，即有結(jié)論成立注：和是偏微分方程描述兩條曲線的變形，而且第一條曲線嚴格在第二條曲線內(nèi)，那么這兩條曲線間的距離滿足極值原理。3.3拋物型偏微分方程的最大值原理的應(yīng)用3.3.1最大值原理證明唯一性定理極值原理是偏微分方程理論的一個基本而且重要的結(jié)論。這個原理有助于證明解得唯一性和其它一些微分方程的性質(zhì)。定理3.4（有界域上解的唯一性）設(shè)則下面的初值或邊值問題至多存在一個解。證明設(shè)是滿足的兩個解，令代入方程得，利用定理3.1可知，結(jié)論得證。定理3.5（Cauchy問題解的唯一性）設(shè),則至多存在一個解滿足Cauchy問題并且還有和為大于0的常數(shù).證明設(shè)是滿足的兩個解，令代入方程得，利用定理3.2可知，結(jié)論得證?，F(xiàn)階段人們研究得最多的方面是結(jié)合最大值原理運用于泛函極值和爆破問題，下面對最大值原理運用于爆破問題進行一點討論。3.3.2最大值原理用于爆破問題為了說明爆破現(xiàn)象，我們首先引入爆破的定義，然后舉一個例子進行說明。定義3.8（爆破）一個含有時間參數(shù)的解在有限時間內(nèi)失去正規(guī)性，而產(chǎn)生奇性，即解的本身或某些導(dǎo)數(shù)在有限時間內(nèi)趨于無窮，這種現(xiàn)象稱為解的爆破。例子3.1如下非線形熱傳導(dǎo)方程的混合初值-問題求解區(qū)域是柱形區(qū)域，其側(cè)邊界為，而為中的有界區(qū)域，為其邊界且適當(dāng)光滑。證明當(dāng)時該混合邊界問題不可能在上存在整體的經(jīng)典解，即在有限時間域內(nèi)解發(fā)生爆破（blowup）。為了證明本問題，我們引入文獻[6]中的一個定理。即定理設(shè)是下述熱傳導(dǎo)方程的邊界問題的解，當(dāng)滿足下列條件成立時，，其中存在參數(shù)滿足。則在有限的時間內(nèi)爆破?，F(xiàn)在我們來證明例3.1。證明容易驗證：，，，其中取參數(shù)時因此滿足定理3.6的條件，故在有限時間域內(nèi)解發(fā)生爆破注：事實上，例3.1也可以采用下面的方法來證明。證明令對方程（3.13）式兩端對積分可得，利用散度定理并注意到邊界條件（3.14）有：，所以就可以得到，注意利用不等式有：其中表示區(qū)域的體積，代入式可得，而，若記為下述方程的問題的解顯然有解，然而問題有解其中時當(dāng)時就有，即解發(fā)生破裂，只有在時間區(qū)間上有局部解。因此必在有限時間內(nèi)趨于無窮，從而原始混合問題的解必在有限時間內(nèi)爆破。重慶郵電學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(論文)4橢圓型偏微分方程的最大值原理及應(yīng)用振動趨于平衡、熱傳導(dǎo)趨于穩(wěn)定以及保守場等的數(shù)學(xué)描述方程可以歸結(jié)為橢圓型偏微分方程的最大值原理。下面具體考慮此類方程的最大值原理及其應(yīng)用。4.1橢圓型偏微分方程的基本理論為了充分展示最大值原理的應(yīng)用，我們首先對相關(guān)理論進行介紹。4.1.1橢圓型方程的非負最大值原理和邊界點引理定義4.（一致橢圓型算子）在點稱為橢圓型的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個非負函數(shù)使得對所有的n維實數(shù)組成立。算子稱為區(qū)域中是橢圓型的，如果在中的每一點都是橢圓型的。在中是一致橢圓型的，如果對中的每一點都是橢圓型的并且存在一個正常數(shù)使得對中的所有成立。定理(非負最大值原理)假設(shè)為（4.2）式的任意一個解，且滿足在中是一致橢圓型的和及的系數(shù)一致有界,則u在上的非負最大值必在的邊界上達到,即若單連通而且存在一點,使得則有通常把稱為橢圓型方程的最大值原理,為橢圓型方程的強最大值原理注：對于一個穩(wěn)定溫度場，內(nèi)部有熱匯，那么溫度的最大值必在邊界達到，物理上的這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述就是所謂“極值原理”。定理（邊界點引理）如果為方程（4.2）的任一解且在中是一致橢圓型的和以及的系數(shù)一致有界,假設(shè)存在使得在內(nèi)連續(xù)且滿足內(nèi)部球條件即存在一個球使得.如果是點任意外方向矢量,則,除非在內(nèi)如果在點處的導(dǎo)數(shù)不存在,則外方向?qū)?shù)可以表示：。4.2橢圓型偏微分方程的最大值原理的應(yīng)用4.2.1應(yīng)用最大值原理的兩個例子例4.1單位圓上的方程的邊值問題：因為，顯然滿足橢圓型偏微分方程的最值原理，如圖1所示.圖1圖2注：對于一個穩(wěn)定溫度場，內(nèi)部有熱匯，那么溫度的最大值必在邊界達到，又因為邊界對稱，所以在邊界各點均達到最大值。例4.2最小曲面問題：在平面區(qū)域的邊界上給定函數(shù)值，即給定空間一條曲線：，那么最小值問題就是求一張曲面使曲面的面積最小，數(shù)學(xué)表述為：利用變分原理可以把該問題轉(zhuǎn)換為一個非線性的橢圓型偏微分方程。注：因為方程和同時成立，并且和-也同時滿足方程，則解在邊界可以取到最大值和最小值。又因為在邊界上大于0，因此。如圖2。4.2.2最大值原理推廣的兩個新推論定理4.1和定理4.2都要求滿足的條件。我們發(fā)現(xiàn)取消的限制，并將定理的某些條件做相應(yīng)改變，仍有一些結(jié)論，且此推廣了定理4.1和定理4.2。定理4.3設(shè)為開集，而且其中算子的主部在中一致橢圓型的和的系數(shù)在U中一致有界，若在中的某內(nèi)點處的值為0，則。證明令，很顯然有而且有關(guān)系等式，從而乘以可得，所以，有強最大值原理可得定理4.4設(shè)為開集，而且其中算子的主部在中一致橢圓型的和的系數(shù)在U中一致有界。如果存在一個點,若，則u在P處的任何外方向的偏導(dǎo)數(shù)都是正的，即證明：令，從而令，則式子變?yōu)?，根?jù)題目所給條件推知存在使得，和，并且在為一個最大值，這樣有使得，由于，有邊界點引理可知在P處的任何外方向的導(dǎo)數(shù)為正。因此證畢。下面我們給出最大值原理在第三恒等式的應(yīng)用。4.2.3最大值原理結(jié)合第三恒等式的應(yīng)用下面考慮三維空間的方程（4.3），，（4.3）假設(shè)方程（4.3）的任一解和引入和為函數(shù)以及考慮邊界條件，則它還可以表示出具體的公式形式（4.4）即為第三恒等式。，考慮下面的一般三維空間的邊值問題，把最大值原理運用于第三恒等式得出一些結(jié)論。定理4.5假設(shè)是下面邊值問題的一個解，為函數(shù)，運用第三恒等式和最大值原理證明下面結(jié)論。結(jié)論：若，若不全部恒等于0，則。證明設(shè)為函數(shù)也就是調(diào)和函數(shù)（事實上不要求整個區(qū)域調(diào)和可以除去一點），由定義有，（4.8）函數(shù)滿足：（為到的距離，取代入（4.4）式有（4.12）（4.13）（4.14）將代入（4.12）則結(jié)論得證。由為函數(shù)的定義知道當(dāng)趨近于時趨近于，作為以為中心的充分小的球，在中除了以外是正的。于是有則由非負最大值原理可知中，因此當(dāng)，除無定義外。并且由邊界引理知的外法向?qū)?shù)為負。由結(jié)論很容易推知結(jié)論：若不全部恒等于0，則。因此從上面的證明過程知下面的任意多個自變量的橢圓型方程有大于0的解。重慶郵電學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(論文)5結(jié)論與展望1主要結(jié)論：前面我們詳細討論了常微分方程最大值原理、拋物型偏微分方程最大值原理、橢圓型偏微分方程最大值原理。在討論常微分方程最大值原理中，首先討論了二階常微分方程的最大值原理，證明了廣義最大值原理并在此基礎(chǔ)上做了一些詳細的討論，最后給出了6個有用定理和5個簡單的推論；對于拋物型偏微分方程，通過引入強最大值原理和Cauchy問題的最大值原理得到出了二種情形下解的唯一性定理，并把最大值原理應(yīng)用于比較原理、爆破問題；最后討論橢圓型偏微分方程的最大值原理，通過強最大值原理和邊界點引理給出了2個新的推廣結(jié)果，并將最大值原理應(yīng)用于邊值問題、最小曲面方程和第三恒等式。。由于雙曲型偏微分方程最大值原理問題要視邊界條件而定，一般來說，它是比較復(fù)雜的，所以只會出現(xiàn)在一些特殊的問題中，因此本文沒有給出相關(guān)討論。2后續(xù)研究工作的展望：加強對最大值原理的研究，如證明解的唯一性，估計解的范圍，研究解的爆破模式，爆破速率，解的一致有界性，以及研究泛函極值等問題。3在下面一些方面拓寬它的應(yīng)用：①應(yīng)用最大值原理對梯度的更進一步估計，因為很多物理問題的參數(shù)與梯度的模有關(guān)②最大值原理應(yīng)用于拋物型方程解的爆破問題，分析整體解得存在性和爆破時刻的上界估計，以及解得爆破率的上界估計③最值原理討論偶數(shù)階微分方程的周期解的存在條件，上下界估計并且構(gòu)造極值解④最值原理在控制中的應(yīng)用，如選擇化學(xué)反應(yīng)的最佳溫度分布，飛行器在垂直平面內(nèi)的最優(yōu)上升軌跡⑤最大值原理應(yīng)用于定性理論的討論，泛函極值問題和臨界點問題重慶郵電學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(論文)致謝本文的研究工作是在我的導(dǎo)師胡學(xué)剛老師的精心指導(dǎo)和悉心關(guān)懷下完成的，在我的學(xué)業(yè)和論文的研究工作中無不傾注著導(dǎo)師辛勤的汗水和心血。胡老師嚴謹治學(xué)態(tài)度、淵博的知識、無私的奉獻精神使我深受的啟迪。從他身上，我不僅學(xué)到了扎實、寬廣的專業(yè)知識，也學(xué)到了做人的道理。在此我要向我的導(dǎo)師致以最衷心的感謝和深深的敬意。在大學(xué)四年的學(xué)習(xí)生活中，還得到了許多領(lǐng)導(dǎo)和老師的熱情關(guān)心和幫助，如朱偉、楊春德、張清華、羅燕、張杰、李玲等老師。在寫這篇論文的過程中