ChapSec數(shù)值積分與數(shù)值微分n省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

楊東武ydw_1978@126.com機(jī)電工程學(xué)院第1頁上節(jié)課內(nèi)容回顧1.

什么是三次樣條插值？慣用邊界條件類型有哪些？3.已知下面數(shù)據(jù)表對應(yīng)函數(shù)形式近似為：f(x)=ax+bx3，請經(jīng)過最小二乘擬合確定函數(shù)f(x).153352210100-11-1f(x)x2.請給出矛盾方程組法方程：第2頁主要內(nèi)容數(shù)值積分意義插值積分公式結(jié)構(gòu)插值積分公式精度龍貝格積分公式第3頁主要內(nèi)容數(shù)值積分意義插值積分公式結(jié)構(gòu)插值積分公式精度龍貝格積分公式第4頁在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求被積函數(shù)f(x)?有解析表示式；?f(x)原函數(shù)F(x)為初等函數(shù)．為何要數(shù)值積分？F(x)有解析表示式第5頁問題f(x)沒有解析表示式，只有數(shù)表形式

e.g.

x12345f(x)44.5688.5f(x)有表示式，但原函數(shù)不是初等函數(shù)e.g.，它們原函數(shù)都不是初等函數(shù)。第6頁求定積分就得經(jīng)過近似計(jì)算－數(shù)值積分求得積分近似值?；舅枷?是對被積函數(shù)進(jìn)行近似，給出數(shù)值積分，同時考慮近似精度。可采取數(shù)據(jù)插值方法取得f(x)近似函數(shù)第7頁各插值點(diǎn)函數(shù)值（常量）由插值節(jié)點(diǎn)決定，與f(x)無關(guān),記為Ak插值求積公式，Ak為求積系數(shù)(可事先求出)數(shù)值積分就是將定積分計(jì)算簡化為計(jì)算被積函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值線性組合。求積系數(shù)確實(shí)定以及求積公式誤差分析成為數(shù)值積分研究主要內(nèi)容。第8頁用過點(diǎn)A(a,f(a))和B(b,f(b))線段近似代替曲線y=f(x),x

[a,b].1.梯形公式:

f(x)abf(a)f(b)兩節(jié)點(diǎn)插值（一次插值）設(shè)x1為a和b中間點(diǎn)，用過點(diǎn)A(a,f(a))，C(x1,f(x1))和B(b,f(b))拋物線近似代替曲線y=f(x),x

[a,b].2.辛甫生公式:

注：Simpson公式又叫拋物線公式。三節(jié)點(diǎn)插值（拋物線插值、二次插值）第9頁（五節(jié)點(diǎn)插值）將[a,b]分成四份，xk=a+(b-a)k/4(k=0,1,2,3,4)，類似于前面推導(dǎo)過程，能夠得到3.柯特斯公式:

Cotes公式通常求積區(qū)間[a,b]上已知節(jié)點(diǎn)個數(shù)都>4，而高次插值公式精度不見得就好，類似于分段低次插值概念，我們通常使用復(fù)化求積公式第10頁1.復(fù)化梯形公式h稱為步長復(fù)化梯形公式，有時也簡稱為梯形公式特點(diǎn)：全部內(nèi)部節(jié)點(diǎn)函數(shù)值2倍加首末節(jié)點(diǎn)函數(shù)值和，乘以步長除以2。第11頁2.復(fù)化辛甫生公式復(fù)化辛甫生公式3.復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式第12頁主要內(nèi)容數(shù)值積分意義插值積分公式結(jié)構(gòu)插值積分公式精度龍貝格積分公式第13頁問題：當(dāng)區(qū)間[a,b]為8個等分子區(qū)間時，我們該怎樣選取求積公式？哪一個求積公式精度更高呢？結(jié)果會一樣嗎？8個子區(qū)間分別應(yīng)用梯形公式組成復(fù)化梯形求積公式4個子區(qū)間分別應(yīng)用辛甫生公式組成復(fù)化辛甫生求積公式2個子區(qū)間分別應(yīng)用柯特斯公式組成復(fù)化柯特斯求積公式第14頁例5.1：計(jì)算解：其中=3.138988494其中=3.141592502結(jié)論：相同節(jié)點(diǎn)個數(shù)時，辛甫生求積公式精度更高第15頁插值積分公式截?cái)嗾`差分析插值積分公式截?cái)嗾`差復(fù)化辛甫生公式復(fù)化柯特斯公式復(fù)化梯形公式似乎沒有可比性怎么辦？哪個公式精度更高呢？第16頁代數(shù)精度概念定義5.1:若某個求積公式對f(x)=xk(k=0,1,…,m)

準(zhǔn)確成立，但對f(x)=xm+1不準(zhǔn)確成立，則稱此求積公式代數(shù)精度為m。代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：

如梯形公式：

代數(shù)精度=1。第17頁輕易驗(yàn)證:梯形公式1次精度辛甫生公式3次精度柯特斯公式5次精度第18頁主要內(nèi)容數(shù)值積分意義插值積分公式結(jié)構(gòu)插值積分公式精度龍貝格積分公式第19頁實(shí)際問題：1、對于f(x)在區(qū)間[a,b]上定積分計(jì)算，怎樣知道該劃分出多少個子區(qū)間才能得到準(zhǔn)確解慣用做法：判斷|T2N-TN|是否足夠小，即第20頁實(shí)際問題：2、假如已經(jīng)計(jì)算出劃分為n個子區(qū)間時積分值TN，而且發(fā)覺該計(jì)算結(jié)果不夠準(zhǔn)確，在計(jì)算TN+1時，是否能利用上一次計(jì)算結(jié)果TN以防止重復(fù)計(jì)算（降低計(jì)算工作量）呢？需要尋求T2N與TN之間遞推關(guān)系第21頁梯形公式遞推關(guān)系全區(qū)間二等份四等份2k等份只計(jì)算新增節(jié)點(diǎn)給出賠償量前面不是說梯形公式精度不夠高嗎？那豈不是要多計(jì)算好多節(jié)點(diǎn)函數(shù)值嗎？第22頁龍貝格求積公式突出貢獻(xiàn)：給出了由低精度求積公式到高精度求積公式轉(zhuǎn)換時組合系數(shù)。梯形公式到辛甫生公式（m=1）T1為[a,b]上直接求積結(jié)果T2為[a,b]二等份后求積結(jié)果T4為[a,b]四等份后求積結(jié)果…………………T2k為[a,b]2k等份后求積結(jié)果梯形公式遞推關(guān)系已知，于是遞推同時又能提升積分精度第23頁龍貝格求積公式突出貢獻(xiàn)：給出了由低精度求積公式到高精度求積公式轉(zhuǎn)換時組合系數(shù)。辛甫生公式到柯特斯公式（m=2）第24頁龍貝格求積公式突出貢獻(xiàn)：給出了由低精度求積公式到高精度求積公式轉(zhuǎn)換時組合系數(shù)?？绿厮构降烬堌惛窆剑╩=3）第25頁龍貝格求積計(jì)算過程k區(qū)間等份數(shù)N=2k梯形公式T2k辛甫生公式S2k柯特斯公式C2k龍貝格公式R2k01T112T2S124T4S2C138T8S4C2R1416T16S8C4R2532T32S16