3、平行四邊形的判定 - 答案

平行四邊形的判定復(fù)習(xí)：1.平行四邊形1.定義：兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形，平行四邊形ABCD可表示為□ABCD2.平行四邊形的特質(zhì)：⑴平行四邊形的兩組對邊分別________________⑵平行四邊形的兩組對角分別__________________⑶平行四邊形的對角線________________________必會知識點：1、平行四邊形是對稱圖形，對稱中心是。過對角線交點的任一直線被一組對邊截得的線段該直線將原平行四邊形分成全等的兩個部分2.平行四邊形的判定：（1）用定義判定_____________________________（2）兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形（3）一組對邊的四邊形是平行四邊形（4）對角線的四邊形是平行四邊形必會知識點：特別的：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形和一組對邊相等、一組對角相等的四邊形都不能保證是平行四邊形例1、在四邊形ABCD中，AB=CD,AB=CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【答案】詳見解析【詳解】證明：如圖所示：連接BD，又∵AB=CD,DB=BD，AD=BC∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB=∠CBD,，∠ABD=∠CDB∴AD∥BC，AB∥CD∴四邊形ABCD為平行四邊形．例2、在四邊形ABCD中，AB//CD,AB=CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【答案】詳見解析【詳解】證明：如圖所示：連接BD，∵AB//CD，∴∠ABD=∠BDC，又∵AB=CD,DB=BD，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴∠ADB=∠CBD,，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．例3、如圖，在四邊形中，，相交于點O，且．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【詳解】證明：∵，，∴．∴．∴．同理．∴四邊形是平行四邊形．題型一：平行四邊形的判定1．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對角相等 B．對角線互相平分C．一組對邊平行，另一組對邊相等 D．對角線互相垂直【答案】B【詳解】解：如圖：A、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤，不符合題意；B、∵、，∴四邊形是平行四邊形，故本選項正確，符合題意；C、“一組對邊平行，另一組對邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形，例如：等腰梯形，故本選項錯誤，不符合題意；D、對角線互相垂直的四邊形不一定是平形四邊形，例如：箏形，故本選項錯誤，不符合題意．故選：B．2．如圖，在四邊形中，與相交于點，下列條件不能判定四邊形為平行四邊形的是（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】解：A．根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；B．根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；C．“一組對邊平行，另一組對邊相等”的四邊形也可能是等腰梯形，故本選項符合題意；D．根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；故選：C．3．如圖，在四邊形中，已知，添加下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵，，∴由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，∴項能判定四邊形是平行四邊形，故項不符合題意；∵，，∴由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，∴項能判定四邊形是平行四邊形，故項不符合題意；∵，但和不一定平行，∴項不能判定四邊形是平行四邊形，故符合題意；∵，∴，∵，，∴，∴，∴項能判定四邊形是平行四邊形，故項不符合題意；故選：．4．如圖所示，在四邊形中，已知，添加下列一個條件，不能判斷四邊形成為平行四邊形的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A．∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故選項A不符合題意；B．∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，故選項B不符合題意；C．∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，故選項C不符合題意；D．∵，∴，∵，∴四邊形可以是等腰梯形，故選項D符合題意；故選：D．5．已知四邊形ABCD，有以下四個條件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB=CD；④∠ABC=∠ADC．從這四個條件中任選兩個，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】B【詳解】解：從四個條件中任選兩個，共有以下6種組合：①②、①③、①④、②③、②④、③④；具備①②時，四邊形ABCD滿足兩組對邊分別平行，是平行四邊形；具備①③時，四邊形ABCD滿足一組對邊平行且相等，是平行四邊形；具備①④時，如圖，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°．∵∠ABC∠ADC，∴∠ADC+∠C=180°．∴AD∥CB.所以四邊形ABCD是平行四邊形；具備②③時，等腰梯形就符合一組對邊平行，另一組對邊相等，但它不是平行四邊形，故具備②③時，不能判斷是否是平行四邊形；具備②④時，類似于上述①④，可以證明四邊形ABCD是平行四邊形；具備③④時，如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC，作AE垂直BC于E；在EB上截取EC'=EC，連接AC'，則△AEC'≌△AEC，AC'=AC.把△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)∠CAC'的度數(shù)，則AC與AC'重合.顯然四邊形ABC'D'滿足：AB=CD=C'D'；∠B=∠D=∠D'，而四邊形ABC'D'并不是平行四邊形.綜上，從四個條件中任選兩個，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法共有4種.故選B.題型二：平行四邊形的判定證明1．如圖，點D，C在上，，，．

(1)求證；(2)連接，，猜想四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)四邊形為平行四邊形，理由見解析【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，即，在與中，∴，∴；（2）猜想：四邊形為平行四邊形，理由如下：由（1）知，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形．2．已知，如圖，在四邊形中，，點E，F(xiàn)為對角線上兩點，且，．求證：四邊形為平行四邊形．【答案】見解析【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，，∵，∴四邊形為平行四邊形．3．已知：如圖，是的一條對角線．延長至F，反向延長至E，使．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【詳解】證明：如圖，連接，與交于點G，因為，所以，因為，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形．4．已知：如圖，等邊三角形與等邊三角形的一邊重合．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若的邊長為，求所組成的平行四邊形各組對邊之間的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)平行四邊形各組對邊之間的距離為．【詳解】（1）證明：∵等邊三角形與等邊三角形的一邊重合．∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：作，，∵等邊的邊長為，∴，，∵，∴，∴，∴，同理：∵等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，即平行四邊形各組對邊之間的距離為．題型三：平行四邊形的判定和性質(zhì)1．如圖，將平行四邊形的對角線向向兩個方向延長，分別至點和點，且使得，求證：四邊形為平行四邊形．

【答案】見解析【詳解】連接，與交于點O．如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵，∴，即．∴四邊形是平行四邊形．2．如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】見解析.【詳解】∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°，又∵DE＝BF，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．3．如圖，在平行四邊形中，點E是邊的中點，連接并延長交的延長線于點F，連接．

(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）證明：∵在平行四邊形中，，∴，∵點E是邊的中點，∴，在和中,∴．（2）證明：∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．4．如圖，四邊形是平行四邊形，，且分別交對角線于點E、F，連接，．求證：．【答案】證明見解析【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，．，，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，，．5．已知：如圖，在中，對角線交于點O，，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)不添加輔助線，圖中還有哪些平行四邊形？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)平行四邊形、平行四邊形，理由見解析【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∵，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．（2）圖中還有平行四邊形、平行四邊形．理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴，．∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．又∵．∴四邊形是平行四邊形．又∵，，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．6．如圖，平行四邊形中，，．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，和中，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形．題型一：平行四邊形的綜合應(yīng)用1．如圖，已知是等邊三角形，點D、F分別在線段、上，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）證明：如圖，連接，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，在與中，，，．2．已知：如圖，在四邊形中，，垂足分別為E，F(xiàn)，延長，分別交于點H，交于點G，若，．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)5【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∵，∴∴，在中，∵，∴，∴，∴．∴．3．如圖，在中，，M、N分別是的中點．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【詳解】（1）證明：∵是平行四邊形，∴，．∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：如圖：連接ND，∵是平行四邊形，∴．∵N是BC的中點，∴．∵，∴．∵，∴是等邊三角形，∴，，∵是的外角，∴，∵，∴，∴，∴，∴．4．如圖，為?的對角線，若，，，和分別平分和．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)求平行四邊形的面積；(3)連接，求的長度．【答案】(1)見解析(2)(3)【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵和分別平分和，∴，∴，∴，又，即，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，，，∴，∴，如圖所示，過點作于點，∵是的角平分線，，∴，在中，，∴，∴，則，設(shè)，則，在中，，，解得：，∴，∴平行四邊形的面積為，（3）解：如圖所示，連接，交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，在中，，∴．課后練習(xí)：1．如圖，能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】根據(jù)平行四邊形的判定可知：A、若，，可能是平行四邊形，也可能是梯形，故A錯誤，B、兩組鄰角相等也有可能是等腰梯形，故B錯誤．C、連接．由得∴∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴四邊形ABCD是平行四邊形的條件，故C正確．D、此條件下無法判定四邊形的形狀，還可能是等腰梯形，故D錯誤．故選：C．2．下面有四個定理：①平行四邊形的兩組對邊分別相等；②平行四邊形的兩組對角分別相等；③平行四邊形的兩組對邊分別平行；④平行四邊形的對角線互相平分；其逆命題正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】解：平行四邊形的兩組對邊分別相等的逆命題是兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，是真命題；平行四邊形的兩組對角分別相等的逆命題是兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，是真命題；平行四邊形的兩組對邊分別平行的逆命題是兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，是真命題；平行四邊形的對角線互相平分的逆命題是對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，是真命題．故選D3．如圖，在中，點E，F(xiàn)分別在邊上，連接，添加選項中的條件后不能判定四邊形是平行四邊形的是（）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，故選項A說法正確，不符合題意；∵四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，故選項B說法正確，不符合題意；∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴∴四邊形是平行四邊形，故選項C說法正確，不符合題意；∵四邊形為平行四邊形，∴，，由不能判定四邊形是平行四邊形，故選項D說法錯誤，符合題意；故選：D．4．在四邊形中，給出下列條件：①；②；③；④，選其中兩個條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】A【詳解】由①④，可以推出四邊形是平行四邊形；由②④也可以提出四邊形是平行四邊形；①③或③④組合能根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，從而利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形來判定．①②一起不能推出四邊形ABCD是平行四邊形.故選．5．已知四邊形的對角線、相交于點，給出下列條件：①，②，③，④，⑤．(1)從以上5個條件中任意選取2個條件，能推出四邊形是平行四邊形的有（用序號表示）_________________；（至少寫出三種情況）(2)從（1）中選出推理在兩步以上的一種情況進(jìn)行證明．（要求畫出圖形，寫出證明過程即可）【答案】(1)①③，①⑤，①④，①②，②⑤，④⑤（寫出三種情況即可）(2)選①②或①④，見解析【詳解】（1）解：根據(jù)平行四邊形的判定方法，能推出四邊形是平行四邊形的有①③，①⑤，①④，①②，②⑤，④⑤（寫出三種情況即可）；（2）解法一：若選①②，如圖，，．又，，．．四邊形是平行四邊形．解法二：若選①④．如圖，，度．又，度．．四邊形是平行四邊形．6．如圖，在?中，，是AB，上的點，且，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【詳解】證明：連接、，如圖所示：四邊形是平行四邊形，，且，，，，四邊形是平行四邊形．7．如圖，四邊形的對角線、相交于點，，過點且與、分別相交于點、，(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接，若，周長是15，求四邊形的周長.【答案】(1)證明見解析；(2)30.【詳解】(1)∵，∴，∴

∴，∴∵∴，∴∴四邊形是平行四邊形.

(2)∵，∴∴即

∵中∴的周長是.8．如圖，在平行四邊形中，點在上，連接，交于點，與相交于點，與相交于點，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】詳見解析【詳解】在平行四邊形中，，即有.∵DF//BE，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，即.又由知，∴四邊形是平行四邊形，∴.即有.而由DF//BE可知，ME//N