反常積分的收斂判別法省公開(kāi)課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第二節(jié)反常積分收斂判別法二、無(wú)窮區(qū)間形式三、無(wú)界函數(shù)形式四、小結(jié)重點(diǎn)：反常積分收斂判別

難點(diǎn):反常積分收斂應(yīng)用一、Cauchy收斂原理1/38一、反常積分Cauchy收斂原理2/38二、無(wú)窮區(qū)間形式1、非負(fù)函數(shù)反常積分收斂判別法3/384/385/386/387/388/382、絕對(duì)收斂與條件收斂9/382、絕對(duì)收斂與條件收斂證2即收斂.10/38例1證11/383、普通函數(shù)反常積分收斂判別法12/3813/3814/3815/3816/38阿貝爾（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威數(shù)學(xué)家。狄利克萊Dirichlet,JohannPeterGustavLejeune(1805-1859)

國(guó)際性數(shù)學(xué)獎(jiǎng)除了菲爾茲獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)（WolfMedal）之外，年又增加了一個(gè)新組員——一項(xiàng)獎(jiǎng)金額約80萬(wàn)美金數(shù)學(xué)終生成就獎(jiǎng)——阿貝爾獎(jiǎng)。17/38非凡數(shù)學(xué)家——阿貝爾阿貝爾（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威數(shù)學(xué)家。1802年8月5日生于芬島，1829年4月6日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在奧斯陸）教區(qū)窮牧師六個(gè)孩子之一。盡管家里很貧困，父親還是在1815年把阿貝爾送進(jìn)克里斯蒂安尼亞一所中學(xué)里讀書(shū)，15歲時(shí)優(yōu)異數(shù)學(xué)教師洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）發(fā)覺(jué)了阿貝爾數(shù)學(xué)天才，對(duì)他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚興趣。16歲時(shí)阿貝爾寫(xiě)了一篇解方程論文。18/38丹麥數(shù)學(xué)家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看過(guò)這篇論文后，為阿貝爾數(shù)學(xué)才華而驚嘆，當(dāng)初數(shù)學(xué)界正興起對(duì)橢圓積分研究，于是他給阿貝爾回信寫(xiě)到：“...與其著手處理被認(rèn)為非常難解方程問(wèn)題，不如把精力和時(shí)間投入到對(duì)解析學(xué)和力學(xué)研究上。比如，橢圓積分就是很好題目，相信你會(huì)取得成功...”。于是阿貝爾開(kāi)始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)研究。19/38

阿貝爾18歲時(shí)，父親逝世了，這使生活變得愈加貧困。1821年在洪堡老師幫助下，阿貝爾進(jìn)入克里斯蒂安尼亞大學(xué)。1823年，他發(fā)表了第一篇論文，是關(guān)于用積分方程求解古老“等時(shí)線”問(wèn)題。這是對(duì)這類方程第一個(gè)解法，開(kāi)了研究積分方程先河。1824年，他處理了用根式求解五次方程不可能性問(wèn)題。這一論文也寄給了格丁根高斯，不過(guò)高斯連信都未開(kāi)封。

1825年，他去柏林，認(rèn)識(shí)了業(yè)余數(shù)學(xué)興趣者克萊爾（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他與斯坦納提議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學(xué)刊物《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》。這個(gè)雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾22篇包含方程論、無(wú)窮級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)論等方面論文。

20/381826年，阿貝爾來(lái)到巴黎，他會(huì)見(jiàn)了柯西、勒讓德、狄利赫萊和其它人，但這些見(jiàn)面也是虛應(yīng)故事，人們并沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)到他天才。阿貝爾又太靦腆，不好意思在陌生人面前談?wù)撍碚摗＜词箾](méi)有像克萊爾那樣熱心人，但他依然堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)研究工作。撰寫(xiě)了“關(guān)于一類極廣泛超越函數(shù)普通性質(zhì)”論文，提交給巴黎科學(xué)院。阿貝爾在給洪堡信中，非常自信地說(shuō)：“...已確定在下個(gè)月科學(xué)院例會(huì)上宣讀我論文,由柯西審閱,恐怕還沒(méi)有來(lái)得及過(guò)目。不過(guò)，我認(rèn)為這是一件非常有價(jià)值工作，我很想能盡快聽(tīng)到科學(xué)院權(quán)威人士意見(jiàn)，現(xiàn)在正抬頭以待...?！?1/38

可是，負(fù)責(zé)給阿貝爾審稿柯西把論文放進(jìn)抽屜里，一放了之。（這篇論文原稿于1952年在佛羅倫薩重新發(fā)覺(jué)）阿貝爾等到年末，了無(wú)音信。一氣之下離開(kāi)了巴黎，在柏林作短暫停留之后于1827年5月20日回到了挪威。他原希望回國(guó)后能被聘為大學(xué)教授，不過(guò)他這一希望又一次落空。他靠給私人補(bǔ)課謀生，一度當(dāng)過(guò)代課教師。因?yàn)檫^(guò)渡疲勞和營(yíng)養(yǎng)不良，在旅途上感染了肺結(jié)核。這在當(dāng)初是不治之癥,但他一邊與病魔作斗爭(zhēng)一邊繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究,該病一直折磨阿貝爾直到1829年逝世。22/38阿貝爾和雅可比（CarlGustavJacobi1804-1851）是公認(rèn)橢圓函數(shù)論創(chuàng)始人。這是作為橢圓積分反函數(shù)而為他所發(fā)覺(jué)。這一理論很快就成為十九世紀(jì)分析中主要領(lǐng)域之一，他對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)物理以及代數(shù)幾何有許多應(yīng)用。阿貝爾發(fā)覺(jué)了橢圓函數(shù)加法定理、雙周期性。另外，在交換群、二項(xiàng)級(jí)數(shù)嚴(yán)格理論、級(jí)數(shù)求和等方面都有巨大貢獻(xiàn)。這些工作使他成為分析學(xué)嚴(yán)格化推進(jìn)者。在這個(gè)時(shí)候，阿貝爾名聲伴隨克萊爾雜志廣泛發(fā)行而傳遍了歐洲全部數(shù)學(xué)中心。雅可比看見(jiàn)這篇橢圓函數(shù)論文，而且知道了巴黎科學(xué)院所作蠢事之后，非常吃驚，在1829年3月14日寫(xiě)信給巴黎科學(xué)院表示抗議：23/38“...這在我們生活這個(gè)世紀(jì)中，恐怕是數(shù)學(xué)中最主要發(fā)覺(jué)，即使向‘老爺們’研究院提交此論文達(dá)兩年之久，但一直沒(méi)有得到諸位先生注意，這是為何呢？...”。而因?yàn)榘⒇悹柹硖幑侣崖勚?，?duì)于這一切一無(wú)所知。阿貝爾病情不停發(fā)展，甚至連醫(yī)生也束手無(wú)策了。

1829年4月5日夜間，阿貝爾病情急劇惡化，于4月6日早晨11點(diǎn)逝世。作為命運(yùn)捉弄人是，在他逝世后第二天，克萊爾寫(xiě)信給阿貝爾“...我國(guó)教育部決定招聘您為柏林大學(xué)教授...，一個(gè)月之內(nèi)就能發(fā)出招聘書(shū)...?！边@封信還提到，希望阿貝爾能盡可能用最好藥品治療，不要考慮費(fèi)用支出。他親人們聽(tīng)到這一消息，禁不住淚流滿面。24/38

克萊爾在他《學(xué)報(bào)》中所寫(xiě)紀(jì)念文章里這么贊揚(yáng)阿貝爾：“阿貝爾在他全部著作中都打下了天才烙印和表現(xiàn)出了不起思維能力。我們能夠說(shuō)他能夠穿透一切障礙深入問(wèn)題根底，含有似乎無(wú)堅(jiān)不摧氣勢(shì)...。他又以品格純樸高尚以及罕見(jiàn)謙遜精神出眾，使他人品也像他天才那樣受到人們不一樣尋常愛(ài)戴?！辈贿^(guò)數(shù)學(xué)家們另有他法紀(jì)念他們中偉人，因?yàn)槲覀兂Ｕf(shuō)阿貝爾積分、阿貝爾積分方程、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾群、阿貝爾級(jí)數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾收斂判別法、阿貝爾可和性。極少有幾個(gè)數(shù)學(xué)家能使他名字同數(shù)學(xué)中這么多概念和定理聯(lián)絡(luò)在一起。誰(shuí)也不難想象，要是他活到正常壽命話該