第二十二章-曲面積分市公開課一等獎省賽課獲獎課件

第二十二章曲面積分§1第一型曲面積分§2第二型曲面積分§3高斯公式與斯托克斯公式第1頁一、概念引入實例

所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉動.§1第一型曲面積分第2頁分割取近似求和取極限勻質之質量非勻質之質量，用元素法處理第3頁定義1設S為可求面積曲面,為定義在S上函數(shù).對曲面S作分割T,將S分成

n個小曲面塊Si(i=1,2,...,n),Si面積記為在Si任取一點若極限存在,則稱此極限為f(x,

y,z)在S上第一型曲面積分,記作第4頁面積元素被積函數(shù)積分曲面積分和式即第5頁2.對面積曲面積分性質尤其，第6頁3.用曲面積分表示與物質曲面相關物理量第7頁按照曲面不一樣情況分為以下三種：記憶口訣：“一投，二換，三代”.

二第一型曲面積分計算第8頁,則三代：二換：一投：第9頁,則三代：二換：一投：第10頁注：（1）這里積分曲面方程必須是單值顯函數(shù)，不然可利用可加性，分塊計算，結果相加（2）把曲面投影到哪一個坐標面，取決于曲面方程即方程表示形式（3）將曲面方程代入被積函數(shù)目標和意義是把被積函數(shù)化為二元函數(shù)（4）切記任何時候都要換面積元（5）若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS表示式,也可將對面積曲面積分轉化為對參數(shù)二重積分.第11頁定理22.1

設有光滑曲面

f(x,y,z)在S上連續(xù),則第一型曲面積分計算證實第12頁證實

由定義知

而第13頁(

光滑)第14頁例1解第15頁第16頁第17頁思索:若

是球面被平行平面z=±h截出上下兩部分,則第18頁例2解第19頁第20頁所以，第21頁第22頁第23頁第24頁例3解第25頁第26頁第27頁第28頁例4解第29頁第30頁例5第31頁解第32頁（左右兩片投影相同）第33頁第34頁例6

計算曲面積分

其中S為立體邊界曲面.解設第35頁所以第36頁例7

計算

其中

是介于平面

之間圓柱面

分析若將曲面分為前后(或左右)則解取曲面面積元素兩片,則計算較繁.第37頁例8計算

解

取球面坐標系,則第38頁第39頁第40頁四、小結2、對面積曲面積分解法是將其化為投影域上二重積分計算.1、對面積曲面積分概念;（按照曲面不一樣情況分為三種）作業(yè)：P282:1(1)~(4)，2，3.第41頁思索題在對面積曲面積分化為二重積分公式中,有因子,試說明這個因子幾何意義.第42頁思索題解答是曲面元面積,故是曲面法線與軸夾角余弦倒數(shù).第43頁習題二(P193)作業(yè)1；2；4；5；6.第44頁練習題第45頁第46頁練習題答案第47頁第二十二章曲面積分§2第二型曲面積分第48頁?曲面分類

雙側曲面單側曲面莫比烏斯帶曲面分上側和下側曲面分內(nèi)側和外側曲面分左側和右側(單側曲面經(jīng)典)一、基本概念第49頁設連通曲面S上處處有連續(xù)設M0為曲面S上一點，確定方向為正方向，另一個方向為負方向.

L為S上任一經(jīng)過點M0且不超出S邊界閉曲線.設點M從M0出發(fā)，沿L連續(xù)移動，M在M0點與M0變動切平面（或法線）曲面在M0點一個法線有相同法線方向，當點M連續(xù)移動時，其法線方向也連續(xù)變動，最終當M沿L回到M0時，若這時M

法線方向仍與M0點法線方向一致，則稱此曲面S為雙側曲面；若與M0法線方向相反，則稱S為單側曲面第50頁曲面分類:1.雙側曲面;2.單側曲面.經(jīng)典雙側曲面第51頁莫比烏斯帶經(jīng)典單側曲面:播放第52頁曲面法向量指向決定曲面?zhèn)?決定了側曲面稱為有向曲面.上側下側第53頁方向余弦>0為前側<0為后側封閉曲面>0為右側<0為左側>0為上側<0為下側外側內(nèi)側側要求第54頁曲面投影問題:類似地可定義第55頁二、概念引入實例:流向曲面一側流量.第56頁第57頁1.分割則該點流速為.法向量為.第58頁2.求和第59頁3.取極限第60頁三、概念及性質第61頁積分曲面被積函數(shù)有向面積元類似可定義第62頁存在條件:組合形式:物理意義:第63頁性質:第64頁四、計算法第65頁第66頁注意:對坐標曲面積分,必須注意曲面所取側.第67頁這就是把對坐標曲面積分化成二重積分計算公式概括為：代：將曲面方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy）中兩個變量同名坐標面上（如xoy面）定號：由曲面方向，即曲面?zhèn)却_定二重積分正負號一代、二投、三定號、四換域第68頁換域：改變積分域，曲面變投影域注積分曲面方程必須表示為單值顯函數(shù)不然分片計算，結果相加②確定正負號標準：曲面取上側、前側、右側時為正曲面取下側、后側、左側時為負第69頁解例1

計算曲面積分

其中S為球面外側在第一和第五卦限部分.把S分為上下兩部分第70頁第71頁思索第72頁例2

計算平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成空間區(qū)域整個邊界曲面外側oxyz解分成四個部分左側下側后側上側第73頁同理第74頁同理注:對坐標曲面積分對稱性被積表示式含有輪換對稱性，即將被積表示式中全部字母按xyz次序代換后原式不變積分曲面及其側含有對稱性，這是指曲面在各坐標面上投影區(qū)域均相同，且配給符號也相同第75頁例3

計算

其中S是以原點為中心,邊長為

2

正立方體整個表面外側.解其中S1是S頂部取上側

S2是S底部取下側第76頁由對稱性，有第77頁例4

計算

其中S是球面取外側為正向.解設S1是上半球面取上側

S2是下半球面取下側在xy坐標面上投影區(qū)域先計算積分第78頁第79頁同理可得所以第80頁設光滑曲面S，其指定一側法方向余弦為：則沿曲面S指定一側曲面積分五、兩類曲面積分聯(lián)絡第81頁第82頁普通地有其中為曲面S指定一側法方向余弦.第83頁向量形式第84頁解第85頁第86頁1.定義六、小結第87頁2.性質3.計算設上正下負第88頁兩類曲面積分聯(lián)絡:4、物理意義5、計算時應注意以下兩點曲面?zhèn)取耙煌?二代,三定號”第89頁思索題第90頁思索題解答此時左側為負側，而左側為正側.第91頁練習題第92頁第93頁練習題答案第94頁莫比烏斯帶經(jīng)典單側曲面:第95頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第96頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第97頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第98頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第99頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第100頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第101頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第102頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第103頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第104頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第105頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第106頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第107頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第108頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第109頁經(jīng)典單側曲面:莫比烏斯帶第110頁第二十二章曲面積分§3高斯(Gauss)公式與

斯托克斯(stokes)公式第111頁一問題提出前面我們將Newton-Lebniz公式推廣到了平面區(qū)域情況，得到了Green公式。此公式表示了平面閉區(qū)域上二重積分與其邊界曲線上曲線積分之間關系。下面我們再把Green公式做深入推廣，這就是下面將要介紹Gauss公式，Gauss公式表示了空間閉區(qū)域上三重積分與其邊界曲面上曲面積分之間關系，同時Gauss公式也是計算曲面積分一有效方法。第112頁二、高斯公式1.定理:第113頁證實第114頁依據(jù)三重積分計算法依據(jù)曲面積分計算法投影法（先一后二法）第115頁第116頁同理------------------高斯公式和并以上三式得：第117頁Gauss公式實質表示了空間閉區(qū)域上三重積分與其邊界曲面上曲面積分之間關系.由兩類曲面積分之間關系知第118頁注不滿足上述條件，能夠引進若干張輔助曲面分成幾個有限小區(qū)域使之都滿足上述條件注意到沿輔助曲面相反兩側兩個曲面積分絕對值相等，而符號相反，相加時恰好抵消，所以上述公式對這么區(qū)域也成立，故普通地1.若第119頁2.公式成立條件依據(jù)Gauss公式，用三重積分來計算曲面積分是比較方便，但Gauss公式同時也說明，可用曲面積分來計算三重積分第120頁第121頁三高斯公式簡單應用解第122頁(利用柱面坐標得)思索:

若

改為內(nèi)側,結果有何改變?若

為圓柱側面(取外側),又怎樣計算?第123頁第124頁解空間曲面在面上投影域為曲面不是封閉曲面,為利用高斯公式第125頁第126頁故所求積分為第127頁例3計算其中S是由x=y=z=0,x=y=z=a六個平面所圍正立方體表面并取外側為正向.解第128頁例1計算所圍空間區(qū)域表面，方向取外側.解其中S為錐面與平面課堂練習第129頁第130頁設S1為上半球體底面，例3計算外側.解其中S是上半球面取下側.于是第131頁(1).通量定義:3.物理意義:第132頁(2).散度定義:第133頁散度在直角坐標系下形式積分中值定理,兩邊取極限,第134頁高斯公式可寫成第135頁高斯(1777–1855)德國數(shù)學家、天文學家和物理學家,是與阿基米德,牛頓并列偉大數(shù)學家,他數(shù)學成就遍布各個領域,在數(shù)論、級數(shù)、復變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面都有一系列開創(chuàng)性貢獻,他還十分重視數(shù)學應用,地測量學和磁學研究中創(chuàng)造和發(fā)展了最小二乘法、曲面論和位勢論等.他在學術上十分慎重,標準:代數(shù)、非歐幾何、微分幾何、超幾何在對天文學、大恪守這么“問題在思想上沒有弄通之前決不動筆”.第136頁斯托克斯公式建立了沿曲面S曲面積分與沿S

邊界曲線L曲線積分之間聯(lián)絡.對曲面S側與其邊界曲線L方向作以下要求：設人站在曲面S上指定一側，沿邊界曲線L行走，指定側總在人左方，則人前進方向為邊界曲線

L

正向.這個要求方法也稱為右手法則.第137頁二斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式第138頁右手法則是有向曲面正向邊界曲線證實如圖第139頁思緒曲面積分1二重積分2曲線積分第140頁1第141頁根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線第142頁同理可證故有結論成立.第143頁情形2則可經(jīng)過作輔助線把

分成與z軸只交于一點幾部分,在每一部分上應用斯托克斯公式,然后相加,因為沿輔助曲線方向相反兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.證畢曲面

與平行z軸直線交點多于一個,第144頁便于記憶形式另一個形式第145頁

斯托克斯公式實質：第146頁例1

利用斯托克斯公式計算積分

其中

L

為平面x+y+z=1與各坐標面交線，解取逆時針方向為正向如圖所表示.記三角形ABC為S,取上側,則第147頁第148頁解則第149頁即第150頁例3

利用斯托克斯公式計算積分

其中

L

為y2+z2

=1,x=y所交橢圓正向.解記以L為邊界橢圓面為S,其方向按右手法則確定，于是有第151頁第152頁空間曲線積分與路徑無關條件定理22.5

設Ω是空間單連通區(qū)域,函數(shù)P,Q,R

在Ω上含有連續(xù)一階偏導數(shù),則以下四個條件相互等價:(1)對Ω內(nèi)任一按段光滑閉曲線L,有(2)對Ω內(nèi)任一按段光滑曲線L,與路徑無關第153頁(4)在Ω內(nèi)處處有(3)在Ω內(nèi)存在某一函數(shù)u,使第154頁與路徑無關,解:令積分與路徑無關,所以例4.驗證曲線積分并求函數(shù)第155頁五、物理意義---環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量定義:第156頁利用stokes公式,有2.旋度定義:第157頁第158頁斯托克斯公式又一個形式其中第159頁斯托克斯公式向量形式其中第160頁Stokes公式物了解釋:第161頁三、小結3、應用條件4、物理意義2、高斯公式實質1、高斯公式第162頁6,斯托克斯公式成立條件5,斯托克斯公式作業(yè):P295:1,2,3,4,5.第163頁思索題解答曲面應是分片光滑閉曲面.思索題曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？第164頁練習題第165頁第166頁第167頁練習題答案第168頁斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學物理學家.他是19世紀英國數(shù)學物理學派主要代表人物之一,其主要興趣在于尋求解主要數(shù)學物理問題有效且普通新方法,在1845年他導出了著名粘性流體運動方程(后稱之為納維–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收斂概念.他提出斯托克斯公式是向量分析基本公式.他一生工作先后分五卷出版.第169頁曲線積分與曲面積分習題課第170頁（一）曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間聯(lián)絡（三）場論初步

一、主要內(nèi)容第171頁曲線積分曲面積分對面積曲面積分對坐標曲面積分對弧長曲線積分對坐標曲線積分定義計算定義計算聯(lián)絡聯(lián)絡（一）曲線積分與曲面積分第172頁曲線積分對弧長曲線積分對坐標曲線積分定義聯(lián)絡計算三代一定二代一定(與方向相關)第173頁與路徑無關四個等價命題條件等價命題第174頁曲