6.1數(shù)列的概念答案

6.1數(shù)列的概念課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)3.了解遞推公式的概念及數(shù)列前n項(xiàng)和的定義由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式通過(guò)數(shù)列概念和表示方法的理解,能歸納猜想數(shù)列通項(xiàng)公式,培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)由Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式通過(guò)Sn與an的關(guān)系,會(huì)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式通過(guò)遞推關(guān)系,會(huì)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下面結(jié)論正確的有().A.當(dāng)自變量x依次取1,2,3,…時(shí),函數(shù)f(x)=2x+1的值構(gòu)成一個(gè)數(shù)列B.數(shù)列通項(xiàng)公式的表達(dá)式是唯一的C.數(shù)列2n+1n的第k項(xiàng)為D.任何一個(gè)數(shù)列都具有單調(diào)性答案AC解析依據(jù)數(shù)列的定義和數(shù)列項(xiàng)的定義可知選項(xiàng)A,C是正確的;搖擺數(shù)列的通項(xiàng)公式不是唯一的且沒(méi)有單調(diào)性故B,D錯(cuò)誤.2.(對(duì)接教材)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2+3n+2,則()是數(shù)列的項(xiàng).A.2 B.56 C.18 D.6答案B解析當(dāng)an=n2+3n+2=56時(shí),n=6或n=9(舍).3.(對(duì)接教材)已知函數(shù)f(x)=2x-12x(x∈R),數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{anA.遞增 B.遞減C.常數(shù) D.搖擺答案A解析因?yàn)閍n+1an=1?12n+11?12n=12n+1>0,所以4.(易錯(cuò)自糾)(多選)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足Snn+1=2n1,則下列敘述正確的是(A.數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列 B.an+1an=4C.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 D.an=2,答案ACD解析由于Snn+1=2n1,所以Sn=2n2+n1,Sn+1Sn=4n+3>0,故數(shù)列{S當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2,當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn1=4n1,因此an=2,n=1,由于a2>a1,且an+1>an,選項(xiàng)C正確.由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式典例1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)4,6,8,10,…;(2)1,22,12,24(3)12,14,58,1316,(4)9,99,999,9999,….答案(1)an=2(n+1)(n∈N*)(2)an=22n-1(n∈N*)(3)an=(1)n2n-32n(n∈N*)(4)an=解析(1)此數(shù)列各數(shù)都是偶數(shù),且最小為4,所以通項(xiàng)公式an=2(n+1)(n∈N*).(2)注意到此數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值都等于22,所以通項(xiàng)公式an=22n-1(n(3)分母規(guī)律明顯,而第2,3,4,…項(xiàng)的絕對(duì)值的分子比分母少3,因此可考慮將第1項(xiàng)變?yōu)??32這樣原數(shù)列可化為21-321,22-322,23-323,24-324,2(4)原數(shù)列可化為1011,1021,1031,1041,…,所以通項(xiàng)公式an=10n1(n∈N*).根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí),需仔細(xì)觀察分析,注意以下幾個(gè)方面:(1)分式中分子、分母的各自特點(diǎn);(2)相鄰項(xiàng)之間的聯(lián)系;(3)拆項(xiàng)后各部分的特點(diǎn);(4)符號(hào)的變化規(guī)律.解決涉及這些方面的問(wèn)題時(shí),應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比、分析,從整體到局部多角度觀察、歸納、猜想.訓(xùn)練1根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值,寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)12,4,272,32,1252,…;(2)12,16(3)1,2,1,2,1,2,…;(4)5,55,555,5555,….解析(1)此數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項(xiàng)都統(tǒng)一寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式再觀察:12,82,272,642,1252,…,故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的乘積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,故它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(1)n·1n(3)這是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)是1,偶數(shù)項(xiàng)是2,故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=1,(4)將原數(shù)列改寫(xiě)為59×9,59×99,59×999,…,易知數(shù)列9,99,999,…的通項(xiàng)公式為10n1,故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=59Sn與an的關(guān)系典例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n22n+1,則它的通項(xiàng)公式為an=.

答案an=0,解析因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n22n+1,所以當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=0;當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn1=n22n[(n1)22(n1)]=2n3,當(dāng)n=1時(shí)上式不成立.所以an=0,已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)當(dāng)n=1時(shí),利用a1=S1求出a1.(2)當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn1.(3)對(duì)n=1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式,如果符合,就把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě);如果不符合,就寫(xiě)成分段形式.訓(xùn)練2(2023·南師附中模擬改編)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足3a1+32a2+33a3+…+3nan=2n2答案an=3n4n-1解析因?yàn)?a1+32a2+33a3+…+3nan=則當(dāng)n=1時(shí),3a1=3,則a1當(dāng)n≥2時(shí),得3a1+32a2+33a3+…+3n則①②得3nan=4n1,則an又a1=1滿(mǎn)足上式,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n4n-1,由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式典例3(1)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1n+1=ann+ln1+1A.a8 B.2+(n1)lnnC.1+n+lnn D.2n+nlnn(2)已知a1=1,an=n(an+1an)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是().A.an=n B.an=nC.an=n2 D.an=2n1(3)已知數(shù)列{an}中,a1=14,當(dāng)n>1時(shí),an=11an-1,則a2024A.14 B.45C.5 答案(1)D(2)A(3)C解析(1)由題意得an+1n+1=a則ann=an-1n-1+lnnn-1,an-1n-1=由累加法得ann=a11+lnnn-1+lnn即ann=a1+ln則ann=2+ln又a1=2適合上式,所以an=2n+nlnn.(2)由an=n(an+1an)(n∈N*)得(n+1)an=nan+1(n∈N*),即an+1an=n+1則anan-1=nn-1,an-1an-2由累乘法可得ana1=n,又因?yàn)閍1=1,所以(3)由題意得a2=11a1=5,a3=11a2=45,a4=11a3=14,…,則數(shù)列{an}的周期為3,則a2024=a674×形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系,可采用累加法,然后結(jié)合等差或等比數(shù)列的求和公式求解通項(xiàng)公式;形如an+1=anf(n)的遞推關(guān)系,可采用累乘法求解通項(xiàng)公式.當(dāng)數(shù)列的遞推關(guān)系不容易轉(zhuǎn)化時(shí),可以通過(guò)列舉法,從前幾項(xiàng)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,判斷是否為周期數(shù)列.訓(xùn)練3(1)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+12(2n+1)an+1=an2+(2n+1)an,則數(shù)列{(2)若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1=an+2n,則a10=().A.511 B.1023 C.1025 D.2047(3)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=12,an+1=1+an1?an(n∈N*),則aA.12 B.3C.2 D.答案(1)an=n2(2)B(3)A解析(1)由已知得an+12an2(2n+1)(an+1即(an+1+an)(an+1an2n1)=0.又an>0,故an+1an=2n+1,即anan1=2n1(n≥2且n∈N*).所以當(dāng)n≥2時(shí),an=a1+(a2a1)+(a3a2)+…+(anan1)=1+3+5+…+(2n1)=n2,當(dāng)n=1時(shí),a1=1也滿(mǎn)足上式.所以an=n2.(2)由題意知an+1an=2n,則有a2a1=21,a3a2=22,a4a3=23,…,a10a9=29,由累加可得a10a1=21+22+23+…+29,即a10=1+21+22+23+…+29=1×(1?210)1?2=210(3)因?yàn)閿?shù)列{an}滿(mǎn)足a1=12,an+1=1+an1?a所以a2=1+121?12=3,a3=1+31?3=2,a4=1?21+2=13則{an}是以4為周期的周期數(shù)列,所以a2025=a506×4+1=a1=12數(shù)列的單調(diào)性與最值因?yàn)閿?shù)列可以看作一類(lèi)特殊的函數(shù),所以數(shù)列也具備函數(shù)的性質(zhì),可以借助函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的性質(zhì),但一定要注意自變量的特殊性.典例(1)(2023·福建模擬)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足:①先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增;②當(dāng)n=3時(shí)取得最小值.寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式:an=.

(2)(2023·江蘇南通期末模擬)已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且an=(3-t)n-8,n≤6,A.(2,3) B.[2,3)C.107,3答案(1)(n3)2(n∈N*)(答案不唯一)(2)C解析(1)設(shè)an=(n3)2(n∈N*),則an+1=(n2)2,an+1an=(n2)2(n3)2=2n5,當(dāng)1≤n≤2時(shí),an+1an=2n5<0,數(shù)列單調(diào)遞減,當(dāng)n≥3時(shí),an+1an=2n5>0,數(shù)列單調(diào)遞增,即a1>a2>a3<a4<…,可得當(dāng)n=3時(shí)數(shù)列{an}取得最小值,故滿(mǎn)足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以為an=(n3)2(n∈N*).(2)因?yàn)閍n=(3-t)n-8,所以3?t>0,t>1,所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為107,3解決數(shù)列的單調(diào)性與最值問(wèn)題可用以下三種方法:①作差比較法,根據(jù)an+1an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列;②用作商比較法,根據(jù)an+1an(an>0或關(guān)系進(jìn)行判斷;③可以將數(shù)列看成定義域?yàn)檎麛?shù)集上的函數(shù),結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷或求函數(shù)最值的思想求解.在利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列最值相關(guān)問(wèn)題時(shí),需要注意定義域的取整問(wèn)題.訓(xùn)練(1)(2023·江蘇南京高三月考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,“數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列”是“a2023>a2022”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)已知bn=3n-133n-14,則數(shù)列{bA.有最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng) B.有最小項(xiàng),無(wú)最大項(xiàng)C.既無(wú)最大項(xiàng),又無(wú)最小項(xiàng)D.既有最大項(xiàng),又有最小項(xiàng)答案(1)D(2)D解析(1)若數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列,則T2023>T2022,即a2023>0,推不出a2023>a2022,不滿(mǎn)足充分性,比如反例:{an}是各項(xiàng)為正數(shù),公比小于1的等比數(shù)列;若a2022<a2023<0,則數(shù)列{Tn}是遞減數(shù)列,不滿(mǎn)足必要性.故“數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列”是“a2023>a2022”的既不充分也不必要條件.(2)因?yàn)閎n=3n-133n-14當(dāng)n≥5,n∈N*時(shí),{bn}單調(diào)遞減,故b5>b6>b7>…>1,且b5=2,故{bn}的最大值為2;當(dāng)1≤n<5,n∈N*時(shí),{bn}單調(diào)遞減,故1>b1>b2>b3>b4,且b1=1011,b4=12,故{bn}的最小值為綜上,{bn}即有最大項(xiàng),又有最小項(xiàng).一、單選題1.若數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=3n,則數(shù)列{an}是().A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列 D.擺動(dòng)數(shù)列答案A解析an+1an=3n+13n=2×3n>0,所以an+1>an,即{an}是遞增數(shù)列.2.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=an+2n,且a1=33,則a6等于().A.61 B.62 C.63 D.64答案C解析由題設(shè),當(dāng)n≥2時(shí),an=a1+(a2a1)+…+(anan1)=33+2+4+…+2(n1)=n2n+33,又n=1時(shí),a1=33滿(mǎn)足此式,故a6=63.3.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Sn=n2+2n,則a2025等于().A.4051 B.4049C.4047 D.2025答案A解析因?yàn)镾n=n2+2n,所以a2025=S2025S2024=20252+2×2025(20242+2×2024)=4051.4.已知數(shù)列{an}中,a1=1,nan+1=2(a1+a2+…+an)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為().A.an=n B.an=2n1C.an=n+12n D.a答案A解析由nan+1=2(a1+a2+…+an)①,得(n1)an=2(a1+a2+…+an1)②,①②得nan+1(n1)an=2an,即nan+1=(n+1)an,an+1a所以an=a1·a2a1·a3a2·…·anan-1=當(dāng)n=1時(shí),a1=1也滿(mǎn)足上式,所以an=n(n∈N*).二、多選題5.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=n·kn(n∈N*,0<k<1),下列命題正確的有().A.當(dāng)k=12時(shí),數(shù)列{an}為遞減數(shù)列B.當(dāng)k=45時(shí),數(shù)列{aC.當(dāng)0<k<12時(shí),數(shù)列{an}為遞減數(shù)列D.當(dāng)k=34時(shí),數(shù)列{a答案BCD解析當(dāng)k=12時(shí),a1=a2=1當(dāng)k=45時(shí),an+1an=45·n+1n,若n<4,則an+1an所以可判斷{an}一定有最大項(xiàng),B正確;當(dāng)0<k<12時(shí),an+1an=kn+1當(dāng)k=34時(shí),an+1an=3n+34n,當(dāng)n<3時(shí),an+1>an,當(dāng)n>3時(shí),an+1<an結(jié)合B,數(shù)列{an}必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng),故D正確.6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Snan=(n1)2,bn=2anSnA.Sn=n2 B.an=2nC.數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列 D.數(shù)列{bn}的最小值為32答案AD解析因?yàn)閍n=SnSn1(n≥2),所以Snan=Sn1,則Sn1=(n1)2,即Sn=n2(n∈N*),所以a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=n2(n1)2=2n1,又a1=1滿(mǎn)足上式,所以an=2n1(n∈N*),故A正確,B錯(cuò)誤;易知bn>0,因?yàn)閎n=22n-1n4,bn+1=22n+1(n+1)4,所以bn+1bn=22n4(n+1)4=2nn+14,當(dāng)2nn+1>1時(shí),n>三、填空題7.定義函數(shù)f(x)如下表所示:x12345f(x)54312對(duì)于數(shù)列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,…,則a2025答案4解析因?yàn)閍1=4,an=f(an1),所以a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1,由上可知,數(shù)列{an}是4,1,5,2,4,1,…,是周期為4的周期數(shù)列,所以a2025=a2024+1=a1=4.8.若a1=1,an+1=2nan,則通項(xiàng)公式an=.

答案2解析由an+1=2nan,得an+1an所以a2a1=21,a3a2=22,a4a3=23所以a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=21所以ana1=21+2+3+…+(因?yàn)閍1=1,所以an=21+2+3+…+(n1)=2n因?yàn)閍1=1滿(mǎn)足上式,所以an=2n四、解答題9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=12n2+12n+1,n∈N*,求數(shù)列{an解析當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=12+12+1當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn1=12n2+12n+112(n1)212(綜上,an=2,10.(2023·江蘇無(wú)錫月考改編)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為bn,且a1b1+a2b2+…+anbn=n2+n解析因?yàn)閍1b1+a2b2+…+anbn=n2+n2①,所以a1由①②可得anbn=n(n≥2),又a1b1=1也滿(mǎn)足上式,所以anb所以an-1bn-1