直線的傾斜角與斜率

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在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)用坐標(biāo)表示，直線如何表示呢？問題引入xyOlP（x，y）

為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問題，首先探索確定直線位置的幾何要素，然后在坐標(biāo)系中用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來．問題22024/8/19

對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線l，它的位置由哪些條件確定？問題引入問題xyOl32024/8/19

我們知道，兩點(diǎn)確定一條直線．一點(diǎn)能確定一條直線的位置嗎？已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P，直線l的位置能夠確定嗎？問題引入問題xyOll’l’’P(1)它們都經(jīng)過點(diǎn)P.(2)它們的‘傾斜程度’不同.

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過一點(diǎn)P可以作無數(shù)條直線l1，l2

，l3

，…它們都經(jīng)過點(diǎn)P

（組成一個(gè)直線束），這些直線區(qū)別在哪里呢？問題引入問題xyOll’l’’P52024/8/19

容易看出，它們的傾斜程度不同．怎樣描述直線的傾斜程度呢？問題引入問題xyOll’l’’P62024/8/19

當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角（angleofinclination）．xyOl

當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為.直線的傾斜角的取值范圍為：直線的傾斜角72024/8/19

直線的傾斜程度與傾斜角有什么關(guān)系？

平面直角坐標(biāo)系中每一條直線都有確定的傾斜角，傾斜程度不同的直線有不同的傾斜角，度相同的直線其傾斜角相同．傾斜程xyOl

已知直線上的一個(gè)點(diǎn)不能確定一條直線的位置；同樣已知直線的傾斜角α．也不能確定一條直線的位置．但是，直線上的一個(gè)點(diǎn)和這條直線的傾斜角可以唯一確定一條直線．直線的傾斜角82024/8/19

確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：

直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角，

二者缺一不可．確定直線的要素xyOlP92024/8/19日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量？前進(jìn)量升高量問題引入問題102024/8/19問題引入問題前進(jìn)升高例如，“進(jìn)2升3”與“進(jìn)2升2”比較，前者更陡一些，因?yàn)槠露龋ū龋?12024/8/19斜率通常用小寫字母k表示，即

一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率（slope）.

傾斜角是的直線有斜率嗎？

傾斜角是的直線的斜率不存在．直線的斜率如果使用“傾斜角”這個(gè)概念，那么這里的“坡度（比）”實(shí)際就是“傾斜角α的正切”．122024/8/19

如：傾斜角時(shí)，直線的斜率當(dāng)為銳角時(shí)，如：傾斜角為時(shí)，由即這條直線的斜率為直線的斜率傾斜角α不是90°的直線都有斜率，并且傾斜角不同，直線的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直線的傾斜程度．132024/8/19已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，如何計(jì)算直線的斜率？兩點(diǎn)的斜率公式問題

給定兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），并且x1≠x2，如何計(jì)算直線P1P2的斜率k．142024/8/19當(dāng)為銳角時(shí)，在直角中

設(shè)直線P1P2的傾斜角為α（α≠90°），當(dāng)直線P1P2的方向（即從P1指向P2的方向）向上時(shí)，過點(diǎn)P1作x軸的平行線，過點(diǎn)P2作y軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)Q，于是點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y1

）．兩點(diǎn)的斜率公式152024/8/19當(dāng)為鈍角時(shí)，在直角中兩點(diǎn)的斜率公式162024/8/19

同樣，當(dāng)?shù)姆较蛳蛏蠒r(shí)，也有兩點(diǎn)的斜率公式172024/8/19思考？1、當(dāng)直線平行于x軸，或與x軸重合時(shí)，上述公式還適用嗎？為什么？答：成立，因?yàn)榉肿訛?，分母不為0，K=0

182024/8/192、當(dāng)直線平行于y軸，或與y軸重合時(shí)，上述公式還適用嗎？為什么？思考？答：不成立，因?yàn)榉帜笧?。192024/8/19答：與A、B兩點(diǎn)的順序無關(guān)。3、已知直線上兩點(diǎn)、，運(yùn)用上述公式計(jì)算直線AB的斜率時(shí)，與A、B的順序有關(guān)嗎？思考？202024/8/19

當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，上述式子還成立嗎？為什么？

經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式為：思考成立兩點(diǎn)的斜率公式212024/8/19歸納：對于斜率公式要注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)x1=x2時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角

=90o，直線與x軸垂直；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)，即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同時(shí)交換，但分子與分母不能交換；(3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得；(4)當(dāng)y1=y2時(shí)，斜率k=0，直線的傾斜角

=0o，直線與x軸平行或重合.222024/8/19

例1如圖，已知，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．解：直線AB的斜率直線BC的斜率直線CA的斜率

由及知，直線AB與CA的傾斜角均為銳角；由知，直線BC的傾斜角為鈍角．典型例題232024/8/19

例2在平面直角坐標(biāo)系中，畫出經(jīng)過原點(diǎn)且斜率分別為1，-1，2及-3的直線及．即

解：取上某一點(diǎn)為的坐標(biāo)是，根據(jù)斜率公式有:

設(shè)，則，于是的坐標(biāo)是．過原點(diǎn)及的直線即為．xy

是過原點(diǎn)及的直線，是過原點(diǎn)及的直線，是過原點(diǎn)及的直線．典型例題242024/8/19例3.已知三點(diǎn)A(a,2)、B(5,1)、C