人教A版高中數(shù)學必修第一冊2.1 第2課時 等式性質與不等式【課件】

2.1

等式性質與不等式性質第2課時

等式性質與不等式性質課標定位素養(yǎng)闡釋1.梳理等式的性質,掌握不等式的性質.2.掌握不等式性質的簡單應用.3.體會學習不等式性質的必要性.4.提升邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習

自主預習·新知導學等式的性質與不等式的性質1.你能說出等式有哪些基本性質嗎?提示:性質1.如果a=b,那么b=a;性質2.如果a=b,b=c,那么a=c;性質3.如果a=b,那么a±c=b±c;性質4.如果a=b,那么ac=bc;2.類比等式的基本性質,你能猜想到不等式的哪些基本性質?提示:性質1

如果a>b,那么b<a;性質2

如果a>b,b>c,那么a>c;性質3

如果a>b,那么a±c>b±c;性質4

如果a>b,c>0,那么ac>bc;

如果a>b,c<0,那么ac<bc.3.

4.(1)設b<a,d<c,則下列不等式一定成立的是(

)A.a-c>b-d

B.ac>bdC.a+c>b+d

D.a+d>b+c(2)如果a>b,那么下列不等式一定成立的是(

)A.c-a>c-b

B.-2a>-2bC.a+c>b+c

D.a2>b2解析:(1)由b<a,d<c,利用性質5,得b+d<a+c.(2)由a>b,利用性質3,得a+c>b+c.答案:(1)C

(2)C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.

合作探究·釋疑解惑探究一

利用不等式的性質判斷命題的真假【例1】

判斷下列四個命題的真假:(1)若a<b<0,則(2)若a>b>c,則有a|c|>b|c|;(3)若a>b,c<d,則有a-c>b-d;(4)若b<a<0,n∈N,n>1,且n為奇數(shù),則有an>bn.∴該命題是假命題.(2)∵a>b,|c|≥0,當c≠0時,|c|>0,∴a|c|>b|c|;當c=0時,|c|=0,∴a|c|=b|c|=0.∴該命題是假命題.(3)∵c<d,∴-c>-d.又a>b,∴a+(-c)>b+(-d).即a-c>b-d.∴該命題是真命題.(4)∵b<a<0,∴-b>-a>0.∴(-b)n>(-a)n(n∈N,n>1).∵n為奇數(shù),∴-bn>-an,∴an>bn.∴該命題是真命題.反思感悟1.運用不等式的性質判斷時,要注意不等式成立的條件,不要弱化條件,尤其是不能憑想當然隨意捏造性質.2.解有關不等式的選擇題時,也可采用特殊值法進行排除,注意取值一定要遵循如下原則:一是滿足題設條件;二是取值要簡單,便于驗證計算.【變式訓練1】

(多選題)已知a,b,c滿足c<b<a,且ac<0,則下列不等式一定成立的是(

)答案:ABD探究二

利用不等式的性質證明不等式【例2】

(1)已知a>b,e>f,c>0,求證:f-ac<e-bc;分析:根據(jù)條件選擇合適的不等式的基本性質證明有關不等式.反思感悟用不等式的性質進行證明時要善于尋找欲證不等式與已知條件的關系,利用相應的不等式性質證明;要注意觀察一個不等式是不是在某個已知條件的兩邊同乘(除以)一個不為0的常數(shù);一個不等式是不是某兩個同向不等式相加得到的;一個不等式是不是將一個不等式的兩邊取了倒數(shù)而得到的等等.探究三

利用不等式的性質求代數(shù)式的取值范圍【例3】

已知-1<x<4,2<y<3.(1)求x-y的取值范圍;(2)求3x+2y的取值范圍.解:(1)因為-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.(2)由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.將本例條件改為“-1<x<y<3”,求x-y的取值范圍.解:因為-1<x<3,-1<y<3,所以-3<-y<1,所以-4<x-y<4.又x<y,所以x-y<0,所以-4<x-y<0.反思感悟1.利用幾個不等式的取值范圍來確定某代數(shù)式的取值范圍是一類常見的綜合問題,解題時要緊扣不等式的基本性質,不能直接將幾個已知不等式相加減或相乘除.2.注意提升邏輯推理和數(shù)學運算能力.【變式訓練3】

若x>1,y>2,則:(1)2x+y>

;

(2)xy>

.

答案:(1)4

(2)2易

錯

辨

析錯用不等式的性質致錯【典例】

已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范圍.錯解:1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4,②以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但實際上答案是錯誤的.那到底是為什么呢?我們先看不等式4a-2b≥3什么時候取等號,由上述解題過程可知,當

,才取等號,而此時a-b=0,不滿足①式,因此4a-2b是不能等于3的.同理可驗證4a-2b也不能等于12.出現(xiàn)上述錯誤的原因是“同向不等式兩邊分別相加所得不等式與原不等式同向”這一性質是單向的,用它來做變形,是非同解變形,因此結論是錯誤的.防范措施1.建立待求取值范圍的整體與已知取值范圍的整體的關系,利用不等式的性質進行運算,求得待求的取值范圍.2.同向(異向)不等式的兩邊可以相加(減),但這種轉化不是等價變形,如果在解題過程中多次使用這種轉化,就有可能擴大其取值范圍,所以我們選用不等式的性質求代數(shù)式的取值范圍時務必小心謹慎,必要時改換求解的思路和方法.【變式訓練】

已知-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范圍.隨

堂

練

習答案:B2.(多選題)下列命題中是真命題的是(

)A.若a>b,則ac2>bc2 B.若a>|b|,則a4>b4C.若|a|>b,則a2>b2 D.若a>b>0,則解析:∵c2≥0,∴當c=0時,有ac2=bc2,故A為假命題;∵a>|b|≥0,∴a4>|b|4=b4,故B為真命題;∵|a|>b,b不一定為正數(shù),當a=-1,b=-2時,有|a|>b,但a2<b2,