讓思維在操作后的思辨中向更深處漫溯-以“有余數(shù)的除法”一課教學(xué)為例

讓思維在操作后的思辨中向更深處漫溯——以“有余數(shù)的除法”一課教學(xué)為例心理學(xué)研究表明：小學(xué)生思維的基本特點(diǎn)是從具體形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到抽象邏輯思維。而培養(yǎng)抽象邏輯思維能力，是學(xué)生深刻理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的必要條件。因此，課堂教學(xué)中，教師要合理利用直觀形象的手段，促進(jìn)學(xué)生抽象邏輯思維能力的發(fā)展。

蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“兒童的智慧在他的手指尖上?！眲?dòng)手操作可以讓學(xué)生獲取大量的感性認(rèn)識(shí)，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，有利于學(xué)生深刻理解和掌握所學(xué)的知識(shí)。但動(dòng)手操作了，不表示思維就獲得發(fā)展了，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生在直觀操作的基礎(chǔ)上根據(jù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行理性思辨，才能使學(xué)生的思維逐步向更深處漫溯。下面，筆者結(jié)合“有余數(shù)的除法”一課的教學(xué)，談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

一、對(duì)操作結(jié)果據(jù)理分類，讓思維更加有序

布魯納的多元表征理論認(rèn)為：“對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)概念可以有多種表征方式，多種方式之間要建立聯(lián)系，才能深化對(duì)概念的理解?！?/p>

如“余數(shù)一定要比除數(shù)小”是“有余數(shù)的除法”的核心算理，要讓學(xué)生真正理解這一算理的本質(zhì)，首先要幫助學(xué)生建立余數(shù)這一概念?！坝杏鄶?shù)的除法”的教學(xué)注重引導(dǎo)學(xué)生在表內(nèi)除法的基礎(chǔ)上理解余數(shù)的含義，為此，教師教學(xué)時(shí)可通過(guò)對(duì)概念的不同表征方式，引導(dǎo)學(xué)生理解余數(shù)的含義。

教學(xué)片斷：

師：數(shù)學(xué)中有很多的平面圖形，如果老師送你一些小棒，你想圍哪些我們學(xué)過(guò)的平面圖形呢？

生：三角形，正方形，五邊形……

師：在這些圖形中，老師最喜歡三角形。圍１個(gè)三角形要用３根小棒，那１０根小棒最多可以圍幾個(gè)這樣的三角形？想試試嗎？（生動(dòng)手操作，師巡視）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你是怎么圍的？

生1：我用１０根小棒圍成３個(gè)三角形，還剩１根小棒。

師：10根小棒可以圍３個(gè)三角形，那剩下的這１根小棒還能再圍一個(gè)這樣的三角形嗎？為什么？

生2：不能。因?yàn)閲粋€(gè)這樣的三角形需要３根小棒，現(xiàn)在只有１根小棒了。

師：你想用這１０根小棒圍正方形、五邊形、六邊形嗎？（想）還是用剛才的這１０根小棒，選擇你最喜歡的一種圖形圍一圍，圍完后把你圍了幾個(gè)圖形、還剩下幾根小棒等情況，記錄到你的表格里。（生動(dòng)手操作）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你是怎么圍的？

生3：我用１０根小棒圍了２個(gè)正方形，還剩下２根小棒。

生4：我圍的是五邊形，圍了２個(gè)，沒有剩下小棒。

生5：我圍的是六邊形，圍了１個(gè)，還剩下４根小棒。

……

師（指下表）：我們用１０根小棒圍不同的圖形，得到了不同的結(jié)果，那你能根據(jù)這些剩下小棒的根數(shù)，把這四種情況分一分類嗎？

生6：將剩下小棒的為一類，將沒有剩下小棒的為一類。

師：為什么這樣分？

生6：１０根小棒圍三角形、四邊形、六邊形到最后都有剩下小棒，而圍五邊形沒有剩下小棒。

師：圍三角形后還剩１根小棒，剩下的這１根小棒還能再圍一個(gè)這樣的三角形嗎？為什么？

生7：因?yàn)閲粋€(gè)這樣的三角形需要３根小棒，現(xiàn)在只有１根小棒了，所以圍不成三角形。

師：圍四邊形后還剩下２根小棒，剩下的這２根小棒還能再圍一個(gè)這樣的四邊形嗎？為什么？

生8：因?yàn)閲粋€(gè)這樣的四邊形需要４根小棒，現(xiàn)在只有２根小棒了，所以圍不成四邊形。

師：圍六邊形后還剩下４根小棒，剩下的這４根小棒還能再圍一個(gè)這樣的六邊形嗎？為什么？

生9：因?yàn)閲粋€(gè)這樣的六邊形需要６根小棒，現(xiàn)在只有４根小棒了，所以圍不成六邊形。

師：看來(lái)，每５根小棒圍一個(gè)五邊形，１０根小棒可以圍２個(gè)五邊形，正好用完小棒，你能用除法算式來(lái)表示嗎？

生：１０÷５＝２（個(gè)）。

師：有剩余的情況也能用除法算式表示。

引導(dǎo)學(xué)生邊交流邊板書：

１０÷３＝３（個(gè)）……１（根）

１０÷４＝２（個(gè)）……２（根）

１０÷６＝１（個(gè)）……４（根）

師：比較一下，這３個(gè)算式和１０÷５＝２（個(gè)）有什么不同？

生：有剩下來(lái)的數(shù)。

師：這些剩下來(lái)的或者說(shuō)多余下來(lái)的數(shù)叫余數(shù)，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“有余數(shù)的除法”。（師板書課題）

……

上述教學(xué)，教師先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行開放性的操作活動(dòng)，再讓他們根據(jù)剩下的小棒根數(shù)進(jìn)行分類，最后交流分類的依據(jù)。在交流過(guò)程中，教師充分挖掘圖表對(duì)學(xué)生思維有序引領(lǐng)的作用，順利地把學(xué)生的注意力聚焦到余數(shù)這一關(guān)鍵點(diǎn)上，引導(dǎo)學(xué)生清晰地建立起余數(shù)這一概念。這樣的思辨過(guò)程，給學(xué)生的思維以一種明確的方向性，培養(yǎng)了學(xué)生思維的有序性。

二、對(duì)操作結(jié)果分析比對(duì)，讓思維更加靈敏

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)找到教學(xué)的切入點(diǎn)，適時(shí)地利用操作結(jié)果的比對(duì)辨析，提升學(xué)生的思維水平，讓操作與思維共融，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈敏性。

“有余數(shù)的除法”一課的教學(xué)難點(diǎn)在于讓學(xué)生理解“余數(shù)一定要比除數(shù)小”，所以在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)抓住除數(shù)和余數(shù)這兩個(gè)量的關(guān)系，組織學(xué)生進(jìn)行如下操作。

教學(xué)片斷：

師：１２根小棒，每４根一份，可以分成這樣的幾份？（在黑板上畫圖，如下）

列算式：１２÷４＝３（份）

師：如果有１３根小棒，每４根一份，會(huì)有什么結(jié)果？你能畫一畫，再列出算式嗎？（生畫后列式，如下）

列算式：１３÷４＝３（份）……１（根）

師：如果是１４根、１５根小棒，你會(huì)分嗎？先畫一畫，再列式。（生進(jìn)行操作活動(dòng)）誰(shuí)來(lái)匯報(bào)？

生１：１４÷４＝３（份）……２（根）。

生２：１５÷４＝３（份）……３（根）。

師：比較一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生３：除數(shù)都是４，余數(shù)不相同。

師：如果是１６根小棒，每４根一份，可以分成幾份？

生4：可以分成４份。

師：如果是１７根小棒呢？

生5：可以分成４份，余１根。

師：如果是１８根、１９根小棒呢？

生6：18根小棒分成４份余２根，19根小棒分成４份余３根。

板書如下：

除數(shù)余數(shù)

１２÷４＝３（份）

１３÷４＝３（份）……１（根）

１４÷４＝３（份）……２（根）

１５÷４＝３（份）……３（根）

１６÷４＝４（份）

１７÷４＝４（份）……１（根）

１８÷４＝４（份）……２（根）

１9÷４＝４（份）……３（根）

師：這些算式中的除數(shù)都是幾？余數(shù)呢？

生7：除數(shù)都是4，余數(shù)分別是1、2、3。

師：余４根可以嗎？

生8：不行，因?yàn)椋锤挚梢苑殖梢环荨?/p>

師：余５根行嗎？

生9：不行，因?yàn)椋蹈€可以再分。

師：余６根、７根行嗎？

生１0：都不行，只有余３根、２根、１根可以。

師：這些數(shù)有什么共同點(diǎn)？

生：都比４小。

師：看來(lái)，在有余數(shù)的除法中，余數(shù)一定要比除數(shù)小。

……

上述教學(xué)，學(xué)生通過(guò)操作得出一組除數(shù)不變、被除數(shù)遞增而引起余數(shù)遞增的算式，教師將不變的除數(shù)和變化的余數(shù)進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生把思考的重點(diǎn)放在除數(shù)和余數(shù)上。在這一過(guò)程中，學(xué)生的思維被激活了，順利地分析、歸納出余數(shù)的變化規(guī)律，教學(xué)的難點(diǎn)也就不攻自破。

三、對(duì)操作結(jié)果追溯反思，讓思維更加深刻

受年齡特征的影響，小學(xué)生的思維容易停留在直觀表象上，遇到問題不愿深入思考。因此，課堂教學(xué)中，教師要組織具有一定挑戰(zhàn)性的操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生展開有效的討論，幫助學(xué)生系統(tǒng)地理解和掌握算理，培養(yǎng)思維的深刻性。

本課教學(xué)中，在學(xué)生初步理解“余數(shù)一定要比除數(shù)小”的基礎(chǔ)上，教師設(shè)計(jì)如下活動(dòng)。

教學(xué)片斷：

師：有一堆小棒，每幾根分成一份，分成了５份，還剩４根，這堆小棒可能有幾根？把結(jié)果填在下面的算式里。（生動(dòng)手操作）

（）÷（）＝５……４

生１：這堆小棒可能有２９根。

師：你是怎么分的？

生１：我是每５根一份，分成５份是２５根，再加上剩下的４根，一共是２９根小棒。

師：可以每４根小棒一份去分嗎？為什么？

生２：不可以。每４根小棒為一份，就不會(huì)有剩下的小棒了，因?yàn)槭Ｏ碌模锤“粲挚梢苑殖梢环荨?/p>

師：可以每３根小棒為一份嗎？

生３：也不可以。這樣就不會(huì)剩下４根小棒了，因?yàn)椋锤镉挚梢栽俜殖鲆环?，余１根小棒了?/p>

師：也就是說(shuō)，至少每幾根一份，才能保證這個(gè)算式成立？

生４：至少要滿５根一份。

師：這就說(shuō)明在有余數(shù)的除法里，除數(shù)一定要比余數(shù)大。

……

上述教學(xué)，教師打破原有的操作活動(dòng)形式，直接給出操作的結(jié)果，讓學(xué)生從結(jié)果出發(fā)進(jìn)行推理，去追溯操作的過(guò)程。此時(shí)的操作，不再是教師指令下的動(dòng)手活動(dòng)，而是學(xué)生邊推理邊操作。這樣的反例操作，既能幫助學(xué)生克服思維定式的影響，又能把操