新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)07 函數(shù)性質(zhì)（易錯(cuò)點(diǎn) 七大題型）（解析版）

秘籍07函數(shù)性質(zhì)目錄【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)稱中心平移和對(duì)稱軸平移后求值問題【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略【題型一】中心對(duì)稱性質(zhì)1：幾個(gè)復(fù)雜的奇函數(shù)【題型二】中心對(duì)稱性質(zhì)2：與三角函數(shù)結(jié)合的中心對(duì)稱【題型三】軸對(duì)稱【題型四】中心對(duì)稱和軸對(duì)稱構(gòu)造出周期性【題型五】畫圖：類周期函數(shù)【題型六】恒成立和存在型問題【題型七】嵌套函數(shù)概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題☆☆☆☆☆考向預(yù)測(cè)函數(shù)圖像的畫法與零點(diǎn)問題函數(shù)知識(shí)無處不在，它可以和任何知識(shí)結(jié)合起來考察，尤其是由數(shù)學(xué)語言來判斷函數(shù)的周期或者對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心，再解決相應(yīng)的問題，所以熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)是基礎(chǔ)，而高考考察的即為延申的代數(shù)問題，包括抽象函數(shù)的理解和圖像的變化。對(duì)于高三的學(xué)生，需要把常見的結(jié)論以及數(shù)學(xué)語言的理解熟練于心，才能保證做題的速度與準(zhǔn)確度。易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)稱中心平移和對(duì)稱軸平移后求值問題若f(x)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和，當(dāng)h(x)m時(shí)，則f(x)關(guān)于點(diǎn)(0，m)中心對(duì)稱，即可以理解為將奇函數(shù)g(x)向上平移了m個(gè)單位，即f(x)f(x)2f(0)2m；當(dāng)h(x)m時(shí)，則有f(x)f(x)2h(x)．推論若f(x)g(x)m，則f(x)max＋f(x)min2f(0)2m．例（1）已知f(x)=，則．（2）已知f(x)=，則．（3）已知函數(shù)，則．（4）已知函數(shù)，則．注意辨別奇函數(shù)g(x)和常數(shù)項(xiàng)m后直接用f(x)f(x)2f(0)2m來破解．變式1：（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】對(duì)于函數(shù)有，，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，由，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以得，則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：由對(duì)稱性可得，所以，故A不正確；由于，，所以，故B正確；又，，所以，故C正確；，且，因?yàn)椋?，故，所以，故D正確.故選：BCD.變式2：（2024·廣西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)的周期為2D．【答案】ABD【詳解】對(duì)A，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)B，，，又，故.即，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)C，由A，，且，又因?yàn)椋?，即，故，?由B，，故，故的周期為4，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且定義域?yàn)镽，則，，又，代入可得，則，又，故，，，，又的周期為4，.則.即，則，故D正確.故選：ABD【題型一】中心對(duì)稱性質(zhì)1：幾個(gè)復(fù)雜的奇函數(shù)中心對(duì)稱的數(shù)學(xué)語言：若滿足，則關(guān)于中心對(duì)稱三次函數(shù)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)即為二次求導(dǎo)的零點(diǎn)?！纠?】（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù)，若，則的取值范圍為．【答案】【詳解】由條件知，令，則，易知，即為奇函數(shù)，又，易知在時(shí)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及奇函數(shù)的性質(zhì)得在R上單調(diào)遞減，對(duì)于，所以.故答案為：.【例2】（多選）（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，，那么（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】BC【詳解】因?yàn)?，所以為偶函?shù)，因?yàn)?，即，所以為奇函?shù)，所以為非奇非偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；，所以為奇函數(shù)，B正確；，所以是奇函數(shù)，C正確；令，，為偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：BC．【例3】（多選）（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)的定義域和值域均為，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足：，且在上單調(diào)遞減，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 D．為奇函數(shù)【答案】BC【詳解】對(duì)于，令，則，因，故得，故A正確；對(duì)于由，令，則，則，即，故是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，于是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則①，把都取成，可得②，將②式代入①式，可得，化簡(jiǎn)可得即為奇函數(shù)，故D正確；對(duì)于C，在上單調(diào)遞減，函數(shù)為奇函數(shù)，可得在上單調(diào)遞減，但是不能判斷在定義域上的單調(diào)性，例如，故C錯(cuò)誤.故選：BC.【變式1】（2024·江西上饒·二模）定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實(shí)數(shù)根，則方程在區(qū)間上所有實(shí)根之和是（

）A．28 B．16 C．20 D．12【答案】A【詳解】由知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∵，是R上的奇函數(shù)，∴，∴，∴的周期為4，考慮的一個(gè)周期，例如，由在上是減函數(shù)知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，對(duì)于奇函數(shù)有，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榉匠淘谏嫌袑?shí)數(shù)根，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則這實(shí)數(shù)根是唯一的，所以方程在上有唯一的實(shí)數(shù)根，則由于，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故方程在上有唯一實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵诤蜕?，則方程在和上沒有實(shí)數(shù)根，從而方程在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)，方程的兩實(shí)數(shù)根之和為，當(dāng)，方程的所有4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為.故選：A.【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的部分圖象為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A；當(dāng)時(shí)，，所以，排除D；當(dāng)時(shí)，，所以，排除C．故選：B．【變式3】（2024·上海徐匯·二模）已知函數(shù)，其中.(1)求證：是奇函數(shù)；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，在中任取一個(gè)實(shí)數(shù)，都有，并且.因此，是奇函數(shù).（2）等價(jià)于即在上有解.記，因?yàn)樵谏蠟閲?yán)格減函數(shù)，所以，，，故的值域?yàn)椋虼?，?shí)數(shù)的取值范圍為.【題型二】中心對(duì)稱性質(zhì)2：與三角函數(shù)結(jié)合的中心對(duì)稱1.三角函數(shù)的對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）有無數(shù)個(gè)，適當(dāng)結(jié)合條件確定合適。2.要注意一個(gè)隱含性質(zhì)：一次函數(shù)是直線，它上邊任何一個(gè)點(diǎn)都可以作為對(duì)稱中心。一般情況下，選擇它與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，或則別的合適的點(diǎn)【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增．由，得．由可得，即，所以，解得．故選：D．【例2】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的周期為8，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由，，，，，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的圖象，如圖，

由圖可得，函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)與圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，又，所以函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.故選：C.【變式1】（多選）（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．不等式無解 D．的最大值為【答案】BD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:不是的周期，故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B:關(guān)于對(duì)稱，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:有解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D:，若，則，若則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，原式取等，故D正確.故選:BD.【變式2】（2024·河南·一模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記.且，，當(dāng)，，則.（用數(shù)字作答）【答案】1012【詳解】由可得，即①又由可得，即，從而，故(是常數(shù))，因當(dāng)時(shí)，則,即得②，由②可得，又由①得，即，故函數(shù)為周期函數(shù)，周期為4.由，可知，因是R上的奇函數(shù)，,則由可得，，，則，于是故答案為：1012.【題型三】軸對(duì)稱數(shù)學(xué)語言：函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，特別地當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；2.如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.3.與關(guān)于直線對(duì)稱。常見的偶函數(shù)：【例1】（多選）（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，則（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．【答案】BCD【詳解】令，，則有，故，即，令，則，即恒成立，故，又函數(shù)的定義域?yàn)?，故為奇函?shù)，故B正確；則，又為偶函數(shù)，故，則，故A錯(cuò)誤；，故C正確；，則，故函數(shù)的周期為，，則，故D正確.故選：BCD.【例2】（2024·寧夏銀川·二模）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，即，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以因?yàn)?，所以所以，所以，即，故選：D.【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù).若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由為奇函數(shù)，得，得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以.又因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，，所以的周期為4，所以.故選：A.【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若定義在上的函數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C． D．是奇函數(shù)【答案】C【詳解】由，所以又，所以，且，所以，故A正確由A可得，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確由A可得，是周期為8的函數(shù)，，又由，得，所以，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D正確，故選：C.【變式2】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的最小正周期為2 D．【答案】ABD【詳解】對(duì)A：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，即，所以是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)C：因?yàn)椋?，則，則，所以的最小正周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，因?yàn)榈膱D象既關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，所以，所以，故D正確．故選：ABD．【變式3】（多選）（2024·河北邢臺(tái)·一模）已知函數(shù)和函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，且，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù)B．C．若在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式為D．【答案】AD【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,可知即所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，則故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),又因?yàn)樗约丛趨^(qū)間上的解析式為故C錯(cuò)誤.因?yàn)?，，所以，所以，所?故D正確.故選：AD.【題型四】中心對(duì)稱和軸對(duì)稱構(gòu)造出周期性基本規(guī)律關(guān)于對(duì)稱中心與對(duì)稱軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論1.若函數(shù)有兩個(gè)對(duì)稱中心（a，0）與（b，0）），則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。2.若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸x=a與x=b，則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。3.若函數(shù)有一個(gè)對(duì)稱中心（a，0）與一條對(duì)稱軸x=b，，則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|?！纠?】（2023·浙江·一模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，，所以，，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，，，，，，，，所以，，又因?yàn)?，所以?故答案為：.【例2】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)滿足，.則.【答案】.【詳解】由函數(shù)滿足，取，可得，令，可得，即則.故答案為：.【例3】（多選）（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】由為奇函數(shù)，得關(guān)于對(duì)稱，且滿足；由為偶函數(shù)，得關(guān)于直線對(duì)稱，且滿足.故，所以是周期函數(shù)，且周期.對(duì)選項(xiàng)A，由，令，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，已知當(dāng)時(shí)，，則，故當(dāng)時(shí)，.則，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，，，，且周期.則，故C正確．對(duì)選項(xiàng)D，，故D正確．故選：CD．【變式1】（多選）（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象關(guān)于中心對(duì)稱，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于中心對(duì)稱，則,故A正確；由，可得，則，取得，在中取可得，則，由，得，故B錯(cuò)誤；由，得①②，②-①得，又，故C正確；又由①，故D正確.故選：ACD.【變式2】（多選）（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，，則（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．C．的周期為4 D．【答案】ACD【詳解】由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；由，得，令，得；由，得，令，得，∴④，又⑤，令，得，故B錯(cuò)誤；④⑤兩式相加，得，得，所以，即函數(shù)的周期為4，故C正確；由，令，得，所以，所以，故D正確.故選：ACD【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，且當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱可得．由，可得，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，得的周期為2．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，則，，畫出在一個(gè)周期內(nèi)的大致圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可得，即．故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：A.【題型五】畫圖：類周期函數(shù)基本規(guī)律“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析：1.是從左往右放大，還是從右往左放大。2.放大（縮?。r(shí)，要注意是否函數(shù)值有0。3.放大（縮?。r(shí)，是否發(fā)生了上下平移。【例1】定義：若存在非零常數(shù)k，T，使得函數(shù)f(x)滿足f(x+T)=f(x)+k對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)f(x)為“k距周期函數(shù)”，其中T稱為函數(shù)的“類周期”．則（

）A．一次函數(shù)均為“k距周期函數(shù)”B．存在某些二次函數(shù)為“k距周期函數(shù)”C．若“1距周期函數(shù)”f(x)的“類周期”為1，且f（1）=1，則f(x)=xD．若g(x)是周期為2函數(shù)，且函數(shù)f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域?yàn)閇0，1]，則函數(shù)f(x)=x+g(x)在區(qū)間[2n，2n+2]上的值域?yàn)閇2n，2n+1]【答案】AD【詳解】A．設(shè)一次函數(shù)為，則，其中，A正確；B．設(shè)二次函數(shù)為（），，若是“k距周期函數(shù)”，則，則，不滿足新定義，B錯(cuò)誤；C．設(shè)，則是“1距周期函數(shù)”，且類周期為1，，C錯(cuò)；D．設(shè)，則，即，則，D正確．故選：AD．【變式1】定義“函數(shù)是上的級(jí)類周期函數(shù)”如下:函數(shù)，對(duì)于給定的非零常數(shù)，總存在非零常數(shù)，使得定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)都有恒成立，此時(shí)為的周期.若是上的級(jí)類周期函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，,且是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵時(shí),，∴當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),，即時(shí),，∵在上單調(diào)遞增，∴且，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式2】（多選）（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)定義域?yàn)镽，滿足，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)為，，，(其中表示不超過的最大整數(shù))，則（

）A．是偶函數(shù) B． C． D．【答案】BC【詳解】函數(shù)，顯然，而，即，因此不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)的部分圖象，如圖，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，因?yàn)?，因此，，而滿足的整數(shù)有個(gè)，即，B正確；顯然，所以，C正確；，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC【題型六】恒成立和存在型問題基本規(guī)律常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；【例1】（2024·上海黃浦·二模）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，上式成立；當(dāng)，，明顯函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，令，則在上恒成立，又開口向下，對(duì)稱軸為，所以的最大值為，所以，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意恒有，且當(dāng)時(shí)，．若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】法一：令，得，所以；令，則有，即，則，故是定義在上的奇函數(shù)．設(shè)，則，又當(dāng)時(shí)，，則有，即，則，故在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以，解得．故選D．法二：令，則．因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)榇嬖冢沟贸闪?，所以為在區(qū)間上的最大值．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，所以．解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D．【例3】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，.綜上可得函數(shù)的最小值為.因?yàn)?，使得成立，所以，解得：?故選：C.【變式1】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意x，，恒成立，且，則（

）A．函數(shù)的圖象過點(diǎn)B．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，令，則，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，用代替y，得，又，整理得，所以為偶函數(shù)，且，故B不正確；對(duì)于C，用代替x，代替y，得．又，所以，即，進(jìn)一步可得．又，，故，所以，由此規(guī)律可得．用2x代替x，0代替y，得①．代替x，0代替y，得②，由①+②得．又為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，由對(duì)C選項(xiàng)的分析知，，故D正確，故選：ACD．【變式2】（2024·上海奉賢·二模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其圖象是連續(xù)的曲線，且存在定義域也為的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)在點(diǎn)的切線方程；(2)已知，當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，存在非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)使得恒成立？(3)若函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足.試判斷對(duì)任意的實(shí)數(shù)是否恒成立，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)答案見解析(3)恒成立，理由見解析【詳解】（1）由題可知，，所以切線的斜率為，且，所以函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為，即；（2）由題可知，又因?yàn)槎x域上對(duì)任意的實(shí)數(shù)滿足，所以，即，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以是偶函數(shù)，因?yàn)椋?，即，即，因?yàn)?，所以，即，所以是周期為的函?shù)，所以，所以.【變式3】（21-22高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求不等式的解集；(2)若，，使得能成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)或；(2).【詳解】（1）依題意，得，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得；綜上，不等式的解集為或．（2）依題意，，又，故，令，，

結(jié)合的圖象知，，故，∴m的取值范圍為．【題型七】嵌套函數(shù)在某些情況下，我們可能需要將某函數(shù)作為另一函數(shù)的參數(shù)使用，這一函數(shù)就是嵌套函數(shù)．在函數(shù)里面調(diào)用另外一個(gè)函數(shù)，就叫做函數(shù)嵌套．如果調(diào)用自己本身，就叫做遞歸調(diào)用，也叫遞歸嵌套．一嵌套函數(shù)解析式問題的解題方法：換元法：將被嵌套的部分換為一個(gè)主元t，即求出yf(t)解析式，屬于通法．待定系數(shù)法：將被嵌套部分換成一個(gè)常數(shù)，最后解出這個(gè)常數(shù)即可．二不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)f(x)(xD)，我們把方程f(x)x的解x稱為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，即yf(x)與yx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．例如：函數(shù)f(x)2x1有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為1，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，1．穩(wěn)定點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)f(x)(xD)，我們把方程f[f(x)]x的解x稱為函數(shù)f(x)的穩(wěn)定點(diǎn)，即yf[f(x)]與yx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。很顯然，若為函數(shù)yf(x)的不動(dòng)點(diǎn)，則必為函數(shù)yf(x)的穩(wěn)定點(diǎn)．證明：因?yàn)閒()，所以f(f())f()，故也是函數(shù)yf(x)的穩(wěn)定點(diǎn)．【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及絕對(duì)值的意義可作出函數(shù)的圖象如圖所示．

令，則，數(shù)形結(jié)合可知要使有6個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，不妨令，有如下兩種情況：若，但，故排除此種情況，若，對(duì)于二次函數(shù)開口向上，又，則，得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A【例2】（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石．簡(jiǎn)單來說就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．若存在個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱為“型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，令，即．因?yàn)闈M足，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，即．易判斷在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．令，得，解得，此時(shí)，所以直線與曲線相切于點(diǎn)．所以直線與曲線共有兩個(gè)交點(diǎn)，所以為“2型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，作出的圖象，如圖所示．易知其與直線有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即有三個(gè)不同的解，所以為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故D正確．故選：D.【例3】（2023·浙江溫州·二模）定義：對(duì)于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”集合分別記為和，即.(1)證明下面兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：若函數(shù)單調(diào)遞增，則；(2)已知函數(shù)，若集合中恰有1個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)或【詳解】（1）不妨設(shè)，則由題知，則，故，所以，所以性質(zhì)1得證；設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以存在唯一，使，若，則，得到，與矛盾；若，則，得到，與矛盾，故必有，所以，即，又由性質(zhì)（1）知，所以，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增，，故性質(zhì)2得證.（2）由題設(shè)可得在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，因?yàn)?，故在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，若，則在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，符合題意.若，則，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故在上的解即為上的解.由題設(shè)，在上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故，故在上為增函數(shù)，故，不合題意，舍.當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故，若即，則在上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，符合題意.若即，此時(shí)，而，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故，故此時(shí)在上僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，不符合題意.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，（i），，則，所以單調(diào)遞減，又無限趨向于0時(shí)，函數(shù)無限趨向于正無窮大，且，所以只有1個(gè)零點(diǎn)，即集合中恰有1個(gè)元素，（ii），則，又當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在單調(diào)遞減，又，，故存在，使得，即，，又，所以，，又，，所以存在，，有，時(shí)，，，單調(diào)遞減，時(shí)，，，單調(diào)遞增，時(shí)，，，單調(diào)遞減，，，，所以極小值，極大值，又，且，，且，故存在，，存在，，即有3個(gè)零點(diǎn)，且，集合中有3個(gè)元素，綜上，或時(shí)，集合中恰有1個(gè)元素，【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）取名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理.該定理表明：對(duì)于滿足一定條件的圖象連續(xù)不間斷的函數(shù)，在其定義域內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，則稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，那么下列函數(shù)具有“不動(dòng)點(diǎn)”的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】對(duì)于，假設(shè)函數(shù)存在不動(dòng)點(diǎn)，則方程有解，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知：方程有解，所以函數(shù)存在不動(dòng)點(diǎn)，故選項(xiàng)滿足；對(duì)于，假設(shè)函數(shù)存在不動(dòng)點(diǎn)，則方程有解，也即，因?yàn)榕袆e式，所以方程無解，故假設(shè)不成立，也即函數(shù)不存在不動(dòng)點(diǎn)，故選項(xiàng)不滿足；對(duì)于，假設(shè)函數(shù)存在不動(dòng)點(diǎn)，則方程有解，當(dāng)時(shí)，方程為無解；當(dāng)時(shí)