新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)10 導(dǎo)數(shù)（易錯(cuò)點(diǎn)+九大題型）（原卷版）

秘籍10導(dǎo)數(shù)目錄【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)【應(yīng)試秘籍】總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)數(shù)單身狗、指數(shù)找基友【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略【題型一】公切線求參【題型二】“過(guò)點(diǎn)”切線條數(shù)【題型三】切線法解題【題型四】恒成立求參【題型五】能成立求參【題型六】零點(diǎn)與隱零點(diǎn)【題型七】雙變量問(wèn)題【題型八】構(gòu)造函數(shù)求參【題型九】極值點(diǎn)偏移概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題、解答題☆☆☆☆☆考向預(yù)測(cè)導(dǎo)數(shù)構(gòu)造導(dǎo)數(shù)在新結(jié)構(gòu)試卷中的考察重點(diǎn)偏向于小題，原屬于導(dǎo)數(shù)的壓軸題有所改變，但導(dǎo)數(shù)在高考中的考察依然屬于重點(diǎn)，題型很多，結(jié)合的內(nèi)容也偏多，比如常出現(xiàn)的比較大小和恒成立問(wèn)題等都結(jié)合著構(gòu)造函數(shù)的思想，而如何構(gòu)造就需要學(xué)生對(duì)出題人的出題思路再根據(jù)構(gòu)造函數(shù)的思維從而進(jìn)行推理，是不簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)數(shù)單身狗、指數(shù)找基友在處理含對(duì)數(shù)的等式、不等式時(shí)，通常要將對(duì)數(shù)型的函數(shù)“獨(dú)立分離”出來(lái)，這樣再對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，就不含對(duì)數(shù)了，從而避免了多次求導(dǎo).這種讓對(duì)數(shù)“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過(guò)程，俗稱之為“對(duì)數(shù)單身狗”.目標(biāo)希望是這樣的：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；在處理含指數(shù)的等式、不等式時(shí)，通常要將指數(shù)型函數(shù)與其它函數(shù)（乘或除）結(jié)合起來(lái)，這樣再對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，就避免了多次求導(dǎo).俗稱之為“指數(shù)找朋友”或“指數(shù)常下沉”.乘法：SKIPIF1<0；除法：SKIPIF1<0.例已知當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是．變式1：已知函數(shù)SKIPIF1<0．⑴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；⑵若當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【題型一】公切線求參(1)以曲線上的點(diǎn)(x0，f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡(jiǎn)．(2)如果已知點(diǎn)(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，y0)，解方程組SKIPIF1<0得切點(diǎn)(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程．【例1】（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0若對(duì)任意SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0處的切線互相平行或重合，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上存在不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，使得曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線都與直線SKIPIF1<0垂直，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線與曲線SKIPIF1<0相切于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為.【變式2】（2024·四川瀘州·三模）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若總存在兩條直線和曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都相切，求SKIPIF1<0的取值范圍.【變式3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公切線的條數(shù)；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【題型二】“過(guò)點(diǎn)”切線條數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問(wèn)題：一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．【例1】（2024·山西呂梁·二模）若曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線過(guò)原點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【例2】（2024·北京海淀·一模）已知SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切的直線的條數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值分別為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線SKIPIF1<0的切線，則切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【題型三】切線法解題涉及到交點(diǎn)或者零點(diǎn)的小題題型，函數(shù)圖像通過(guò)求導(dǎo)，大多數(shù)屬于凸凹型函數(shù)，則可以用切線分隔（分界）思維來(lái)求解。切線，多涉及到“過(guò)點(diǎn)”型切線，【例1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0的圖象在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線與直線SKIPIF1<0垂直，求SKIPIF1<0的值;(2)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性與極值.【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，且曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0．(1)求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)證明：函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)．【變式1】（2024·四川攀枝花·三模）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【變式2】（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，且SKIPIF1<0．(1)若曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線為SKIPIF1<0，求k，b的值；(2)在（1）的條件下，證明：SKIPIF1<0．【題型四】恒成立求參不等式的恒成立求參數(shù)問(wèn)題，不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)SKIPIF1<0恒成立(SKIPIF1<0即可)或SKIPIF1<0恒成立（SKIPIF1<0即可）；②數(shù)形結(jié)合(SKIPIF1<0圖像在SKIPIF1<0上方即可)；③討論最值SKIPIF1<0或SKIPIF1<0恒成立.涉及到不等式整數(shù)解的問(wèn)題時(shí)，要充分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性考查整數(shù)解相鄰整數(shù)點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題，列不等式求解，考查運(yùn)算能力與分析問(wèn)題的能力.在研究函數(shù)時(shí)用導(dǎo)數(shù)求極值研究極值時(shí)，無(wú)法正常求出極值點(diǎn)，可設(shè)出極值點(diǎn)構(gòu)造等式或者方程作分析，進(jìn)行合適的等量代換或者合適的換元消元消參，考查了分析推理能力，運(yùn)算能力，綜合應(yīng)用能力，難度很大.【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【例2】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)，不等式SKIPIF1<0恒成立，則b的最大值為．【例3】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍.【變式1】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0交于點(diǎn)A，直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0交于點(diǎn)B，且函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)A處的切線與函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)B處的切線相互平行，求a的取值范圍；(2)函數(shù)SKIPIF1<0在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【題型五】能成立求參對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．【例1】已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)二次函數(shù)SKIPIF1<0，在“①曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有1個(gè)交點(diǎn)；②SKIPIF1<0”中選擇一個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明；(2)若關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上能成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【例2】已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；(2)若關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上能成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【變式1】已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；（2）若存在正實(shí)數(shù)t，使得當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0能成立，求SKIPIF1<0的值．【變式2】設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0.（1）求在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；（2）求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，使得不等式SKIPIF1<0能成立的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【題型六】零點(diǎn)與隱零點(diǎn)隱零點(diǎn)問(wèn)題是指對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過(guò)一種整體代換和過(guò)渡，再結(jié)合題目條件最終解決問(wèn)題；極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對(duì)稱性，隱零點(diǎn)與極值點(diǎn)偏移問(wèn)題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，這類題往往對(duì)思維要求較高，過(guò)程較為煩瑣，計(jì)算量較大，難度大．解題思路：(1)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程f′(x0)＝0，并結(jié)合f′(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的取值范圍．(2)以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)，進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式．(3)將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明，有時(shí)(1)中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮?。纠?】已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax的圖象在x＝0處的切線方程是x＋y＋b＝0.(1)求a，b的值；(2)求證：f(x)有唯一的極值點(diǎn)x0，且f(x0)>－eq\f(3,2).【例2】已知f(x)＝ex＋1－eq\f(2,x)＋1，g(x)＝eq\f(lnx,x)＋2.(1)求g(x)的極值；(2)當(dāng)x>0時(shí)，證明：f(x)≥g(x).【變式1】已知實(shí)數(shù)a滿足a≥eq\r(e)＋eq\f(1,\r(e))－2，且函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(x2,2)－(a＋2)x恰有一個(gè)極小值m和極大值M，求m－M的最大值.【變式2】已知函數(shù)f(x)＝x－alnx－1(a∈R).(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求證：f(x)≥0；(2)若x＝1是f(x)唯一的零點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.【題型七】雙變量問(wèn)題一般地，若SKIPIF1<0時(shí)，涉及到雙變量的不等式的證明，函數(shù)的最值問(wèn)題可以使用比值換元，令SKIPIF1<0，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.【例1】（2024·廣東佛山·二模）已知SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0有兩個(gè)極值點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【例2】（2024·廣東·二模）已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上是否存在兩點(diǎn)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），使得直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在SKIPIF1<0處的切線平行？若存在，請(qǐng)求出直線SKIPIF1<0；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【例3】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0．【變式1】（2024·四川德陽(yáng)·二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)極值點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的零點(diǎn)，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【變式3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0為實(shí)數(shù).(1)討論函數(shù)SKIPIF1<0的極值；(2)若存在SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【題型八】構(gòu)造函數(shù)求參1.構(gòu)造函數(shù)法求解函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，常用以下方法：（1）利用含導(dǎo)數(shù)方程還原原表達(dá)式需要結(jié)合導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算特征，如本題中同乘SKIPIF1<0移項(xiàng)后就得到除法對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)公式；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,如遇導(dǎo)數(shù)不能判斷正負(fù)的情況下，往往需要再次求導(dǎo)，通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)判斷一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，再通過(guò)一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的增減.2.幾種導(dǎo)數(shù)的常見(jiàn)構(gòu)造：對(duì)于SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0若遇到SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0對(duì)于SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0對(duì)于SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0對(duì)于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0對(duì)于SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0對(duì)于SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0【例1】（2024·浙江嘉興·二模）已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例2】（23-24高二下·四川宜賓·階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，對(duì)任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（23-24高二下·四川眉山·期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)為SKIPIF1<0，對(duì)任意的正數(shù)SKIPIF1<0，都滿足SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型九】極值點(diǎn)偏移(1)(對(duì)稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對(duì)結(jié)論x1＋x2>(<)2x0型，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；對(duì)結(jié)論x1x2>(<)xeq\o\al(2,0)型，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))，通過(guò)研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換t＝eq\f(x1,x2)化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．【例1】（2024·湖南邵陽(yáng)·一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)討