用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題（同步練習(xí)）（含解析）-2022高二數(shù)學(xué)上（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題

一、單選題

1.在正方體ABCO—AB'C'D中，二面角A-BC-D'的余弦值是（）

A.yB.-yC.1D.-1

2.如圖，在直三棱柱力BC-&B1C1中，ACIBC,AB=5,AC=3,A&=4,則異面直線4cl與&C所成

角的余弦值為（）

A.立B.速C.叵D.也

S555

3.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，47=3,BC=4,CC,=3,ZAC8=90。，則BG與A。所成的角

的余弦值為（）

A.迎B.在C.立D.嶼

10345

4.已知在正四面體A8CO中，點(diǎn)￡是CO上靠近。點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊AC的一動(dòng)點(diǎn)，若所與面BCD

所成角的最大角為。，則sin。為（）

A.1B.克C.巫D.也

3333

5.已知四邊形ABC。為正方形，P為平面48C。外一點(diǎn)，PD±AD,PD=AD=2t二面角尸-4D-C為60。,

則P到AB的距離是（）

A.272B.x/3

C.2D."

6.設(shè)平面a與平面￡的夾角為。，若平面a1的法向量分別為豆后，則|cos6|=（）

雇％I雇石I611項(xiàng)n

/>?一^■IeJD?■?■I*???

1411n2IF,嗎切?叼I

二、多選題

7.正方體48CO-A8CA中，下列敘述正確的有（）

A.直線AB與8。所成角為60

B.直線AC與G。所成角為90

C.直線4。與平面ABCD所成角為45

D.直線AB與平面BCC￡所成角為60

8.如圖，在四棱錐P-A5CD中，底面4BCZ）是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAO為等邊三角形，平面24。_1平

面A8C。，點(diǎn)M在線段m上，AC,80交于點(diǎn)E,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若PD〃平面MAC,則M為PB的中點(diǎn)

B.若M為依的中點(diǎn)，則三棱錐M-F4c的體積為由

3

C.銳二面角的大小為？

D.若麗=4的，則直線MC與平面8OP所成角的余弦值為5

三、填空題

9.己知異面直線m。的方向向量分別為1=(0,2,1),^=(1-1,1),則a,b所成角的余弦值為.

nr

10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，尸￡>!"平面A8CO,AD1DC,AB//DC,PD=AB=AD=——,。為

2

PC的中點(diǎn)，則直線PC與平面BDQ所成角的正弦值為.

四、解答題

11.如圖，四棱錐P-ABCZ)的底面為正方形，尸。_L底面A8CO.設(shè)平面尸4。與平面PBC的交線為/

(1)證明：/_L平面PDC；

(2)己知PQ=4)=L。為/上的點(diǎn)，且PQ=1如圖所示，求網(wǎng)與平面QC。所成角的正弦值.

12.如圖，在四棱錐P-A8C。中，P4_L平面ABC。，PA=AD=CD=2,BC=3,PC=26,E為PB中

從①CZ)_L8C；②5C7/平面尸AO這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，并完成解答；

(1)求證：四邊形A8CO是直角梯形，

(2)求直線AE與平面尸CQ所成角的正弦值.

13.已知四棱錐P-A8CD,底面A8CO為菱形，/加。=(,側(cè)面尸A。為等邊三角形且垂直于底面.

(1)求證：AD1PB；

(2)求二面角4-尸8-。的余弦值.

14.如圖，在直三棱柱ABC-A&G和四棱錐。-BBC。構(gòu)成的幾何體中，N84C=90°，AB=\,

BC=BB1=2,DC\=DC=?,平面CGO_L平面ACGA.

(i)求點(diǎn)o到平面ACGA的距離；

(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使直線。尸與平面8片。所成角的正弦值為且？若存在，求黑的值；若

4oC

不存在，說(shuō)明理由.

參考答案

1.C

【分析】

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可

【詳解】

解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

則D(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),fid,1,1),D(0,0,1),

所以謙=(1,0,1),C4=(l,-l,0),O3=(1,1,0)，

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為正=(x,y,z),則

==0

令y=l,則屑=(1,1,-1),

m-CA=x-y=0

設(shè)平面RCD，的一個(gè)法向量為方=(4b,c),

nCBr=a+c=0

令c=T,則3=(1,-1,-1),

n-D'B'=a+b=0

設(shè)一面角A-6'C-。的平面角為0,由圖可知。為銳角,

mn

所以8S6=

列1〃3

故選：C

2.D

【分析】

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量至J.~CB-西方向分別為X、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)

行求解即可.

【詳解】

由題意可得，BC=＞/AB2-AC2=4,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量不?，CB，鬲方向分別為久、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(3,0,0),Ci(0A4),C(0,0,0),%(0,4,4),

所以福=(-3,0,4)，函=(0,4,4)，西?西=16，|祈|=5，|西|=4左，

因此異面直線AC】與BC1所成角的余弦值等于|cos＜而，砥＞|=腐黑=$=空.

故選：D.

3.A

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出曲，西的坐標(biāo)，由夾角公式可得結(jié)果.

【詳解】

如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4,C8,CG分別為x,J,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),A(3,0,3),3(040),C,(0,0,3),

所以小=(3,0,3),西=(0,-4,3),

即以、)|/|叫西30x510，

所以直線BG與AC所成角的余弦值為逑.

10

故選：A.

4.D

【分析】

將正四面體放入一個(gè)正方體中，且建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求得平面BCO的一個(gè)法向量，設(shè)

CF-ZCA,O<A<1,表示出EF'由sin。-|cos<n,EF>|-品_可求得最大值.

\nl\EF\

【詳解】

如圖所示，將正四面體放入一個(gè)正方體中，且建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為3,

則4(0,0,3),8(030),C(3,0,0),00,3,3),E(3,1,1),

則配=(3,-3,0),麗=(3,0,3),EC=(O,-l,-l),C4=(-3,0,3),

SCF=>IC4=(-32,O,3/1),O</1<1,WOEF=EC+CF=(-32,-1,32-1),

設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為〃=",y,z),

"號(hào)二°,即產(chǎn)-3，=。

令x=l,則y=l,z=?1,即3=(1,1,?1),

n-BD=O(3x+3z=O

n-EF62

貝ijsin9=|cos<〃,EF>|=L.,_!，

剛司石.柳+1+(34-17

當(dāng)N=o時(shí)，sin6=0,

,則當(dāng)那,即行|時(shí),sin。取得最大值,此時(shí)。最大,且sin”手.

piO<A<lM,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查線面角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將正四面體放入一個(gè)正方體中，利用向量關(guān)系表示出sin。.

5.D

【分析】

先作出P到AB的距離尸及再解三角形求出PE.

【詳解】

因?yàn)锳BC。為正方形，所以AO_LDC.

DC1AD)

由DC一八卜="?！銥槎娼鞘?ADC的平面角，即NPDC=60°.

PD1.AD

如圖所示，過(guò)P作P”_LZ)C于

VDCLAD,PD工AD,以7口尸。二。.???4。_1面尸力。,???4。_1面尸”.

又PHI.DC,ADDDC=D,:.PHI.面ABCD,

在平面AC內(nèi)過(guò)”作HE_LAB于E,連接PE,則PE_LAB,

所以線段尸石即為所求.

以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系”-型，

則〃（0,0,0）,A（l,2,0）,4（-120）,E（0,2⑼制0,0,6）

所以〃=（0,2,-6）,???|p￡|=,0+22+1可切

故選:D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：

距離的計(jì)算方法有兩類：

（1）幾何法：利用幾何圖形求值；

（2）向量法：把距離用向量表示出來(lái)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算.

6.B

【分析】

兩個(gè)平面的夾角與其法向量的夾角相等或者互補(bǔ)，結(jié)合向量夾角數(shù)量積公式而得.

【詳解】

由題意，cos〈晨&=。：%二,

IWill?2I

因平面Q與平面/?的夾角。與其法向量晨胃的夾角相等或互補(bǔ),

所以Icos，1=1COS<W,,%〉1=1夕21/三習(xí)

IEllMlKll^l

故選：B

7.AB

【分析】

以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、DC、。?所在直線分別為X、丁、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法

可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

設(shè)正方體A5CO-A4GA的楂長(zhǎng)為1,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC.。。所在直線分別為X、y、z軸

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,O,1)、網(wǎng)1,1,0)、4(1,1,1)、C(OJO)、q(0,1,1),D(0,0,0),

所以，^VB=(O,1,-1),^c=(-u,-i),^c=(-i,o,-i),qp=(o,-i,-i),

~T~nDr'.BjC11

對(duì)于A選項(xiàng)，C°S<A3,4C>=網(wǎng)際p7r訪一

所以，直線AB與BC所成角為60,A對(duì);

對(duì)于B選項(xiàng)，本?麗=-1+1=0,即不，電,

所以，直線AC與所成角為90，B對(duì);

彳-m-A^C-1百

對(duì)于C選項(xiàng)，平面ABC。的一個(gè)法向量為正=(0,0,1),cos<2…麗|=7TF

所以，直線A。與平面A3CD所成角不是45,C錯(cuò);

對(duì)于D選項(xiàng)，平面的一個(gè)法向量為〃=（0,1,0）,

~z~n~n-AiB1V2

cos<AB,n>=-rT=i=-}==—,

i|/TI|-|^B|V22

所以，直線48與平面8CG4所成角為45,D錯(cuò).

故選：AB.

8.ABD

【分析】

對(duì)于A,根據(jù)線面平行性質(zhì)可得ME〃尸。，進(jìn)而得到“為尸8的中點(diǎn)；

對(duì)于3,利用％_詠=3%㈤求解即可；

對(duì)于C，作的中點(diǎn)。，則NAQB為銳二面角8-尸D-A的平面角，再給合余弦定理可求解二面角

4一夕。一人的平面角的余弦值，即可判斷C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，建系，求平面8。尸的法向量，根據(jù)向量的夾角來(lái)求直線MC與平面3。戶所成角的余弦值.

【詳解】

解：對(duì)于A,連接ME,當(dāng)尸。〃平面MAC,根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得ME//PD,從而得到M為依的中

點(diǎn).故A正確；

M為PB的中點(diǎn)‘,Vw-PAC=]%PAC=5匕-八%

取AQ中點(diǎn)尸，連接尸尸，因?yàn)椤鱍4D為等邊一：角形，所以勿AO,又平面R4DJL平面A8CO.

由面面垂直性質(zhì)可得尸/_L底而ABCD,

,??匕》-極？=350?」尸尸=3*3*2*2*舊=^^'AVM_pAC,所以5正確.

連接3尸，因?yàn)槭琠L底面A8CD,又8戶U平面ABCD,所以K_LM,

在RjPBF中，PB=〃產(chǎn)+B尸=,3+5=@=BD,PA=AD=2,

取內(nèi)禮點(diǎn)Q,連接8Q,4Q,.BQLPD,AQ1PD,

AQuy/AD2-QI)2=也2一］2=內(nèi),由余弦定理可得

cos4Q8=嗎嚼薩■=浮，所以NAQBwg,故C錯(cuò)誤.

2?AQ-BQ73

對(duì)于D,建立空間直角坐標(biāo)系尸一孫z,

則4(-1,0,0),B(-l,2,0),C(1,2,0),P(O,0,6),以1,0,0),

因?yàn)辂?4麗，所以M(—吳厚)，

424

..B戶=(1,一2,百)，麗=(1,0,一兩麻=(若,一當(dāng)

.,伍麗=0[x-2y+yf3z=0

設(shè)平面產(chǎn)9的法向量萬(wàn)=(%y,z),則｛，即｛,取z=l,

[nPD=0[x-yf3z=O

解得=所以萬(wàn)=（675/），

76

MCri_4+24_5

cosiMCji)=

而飛+NE

故。正確.

故選：ABD.

9.姮

15

【分析】

利用向量夾角公式計(jì)算出所求的余弦值.

【詳解】

依題意m6所成用的余弦值為

q.e,_1_V15

麗=/='

故答案為：叵

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求線面角的公式即可求出.

【詳解】

建立幻圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

后(02—1),詼=(11,0).=(0,1,；

設(shè)平面5DQ的法向量為7=(x,y,z),

r—x+y=0

則喘k0'%+上。'取i則i-Z，

直線PC與平面8OQ所成角為a,

故答案為：迥

15

11.（1）證明見(jiàn)解析；（2）池.

3

【分析】

（1）首先根據(jù)線面平行的判定易證A。//平面P8C,根據(jù)線面平行的性質(zhì)得到AD〃1,又因?yàn)?O_LOC,

AD1PD,從而得到/_LDC,I上PD,再利用線面垂直的判定即可證明/_L平面PDC.

（2）首先以。為原點(diǎn)，DA,DC,OP分別為工，5，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一個(gè)z,再利用向量法求

解PB與平面QC。所成角即可.

【詳解】

(1)在正方形ABC。中，ADHBC,

因?yàn)?￡)二平面「5r.BCu平面「8c.

所以4。//平面P8C,

又因?yàn)锳Du平面PAD,平面PADPI平面尸AC=/,

所以AD〃1,

因?yàn)樵谒睦忮F尸-ABCQ中，底面ABC。是正方形，

所以4OJ.DC,IA.DC.

且PD_L平面488,所以A￡>_LP￡>，ILPD.

因?yàn)镃DCPD=D

所以/_L平面尸0c

(2)以。為原點(diǎn)，DA,0C,力P分別為X,九z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一個(gè)z,

因?yàn)镻D=AD=1,PQ=1,則有。(0,0,0),C(0,l,0),A(l,0,0),

P(0,0J),8(1JO),0(1,0,1),

則有配=(0,1,0),麗=(1,0,1),=

設(shè)平面QC力的法向量為G=(x,y,z),

JOC?河=0y=0

則《八，即〈%+z=0'令""則z=-L

。。斤=0

所以平面QC。的一個(gè)法向量為3=(1,0,-1),

n~PB2

設(shè)網(wǎng)與平面QCD所成角為依則sin?=

n\\PB-V3-V12+12~3

12.條件選擇見(jiàn)解析(1)證明見(jiàn)解析；(2)顯

6

【分析】

選擇①，由線面垂直的性質(zhì)得PA_LADPA_LC￡>.根據(jù)勾股定理得8?+PD?=PC?.得功,也),再

CDLAD,又CD1BC、可得AD//BC,可得證四邊形A6CO是直角梯形；再求直線4E與平面PCO所成

角的正弦值，過(guò)A點(diǎn)作AO的垂線交BC于M,由線面垂直的性質(zhì)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,由線

面角的向量求法可求得直線AE與平面PC。所成的角的正弦值.

選擇②，同①得8_LA。，再由線面平行的性質(zhì)可證得AO〃BC,可證得四邊形ABCD是直角梯形；再求

直線AE與平面PCO所成角的正弦值，同上①.

【詳解】

選擇①，

(1)因?yàn)镼4_L平面A6CO,所以入_L4XPA_L8,

因?yàn)槊?=A￡)=C￡)=2,所以尸。=2夜，又PC=2《，所以CD?+PD?=PC?,所以CZ)_LP"

又???尸AnPO=?，\CD人面PA。，則C￡>_LAD,又CD_LBC,所以A￡)〃6C,又BC=3,所以

所以四邊形ABCD是直角梯形；

(2)過(guò)A點(diǎn)作A。的垂線交BC于M,因?yàn)镻AL平面4BCD,：.PAIAM,PA1AD,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyzt則4(000),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),B(2,TO),

因?yàn)镋為尸B的中點(diǎn)，.?.《1,一；,1),.?.赤=[1,一；,1),定=(2,2,-2),防=(02-2)，

設(shè)平面尸C￡>的法向量為萬(wàn)=(x,y,z),貝,匕=2'+2y-2z=0,令丁目，則萬(wàn)二的」)，

n-PD=2y-2z=0

—xl+lxl廠

設(shè)直線AE與平面PCD所成的角為Q,則「.sina=|COS(M,4E)|=-------——=,

所以直線AE與平面PC0所成的角的正弦值為它.

6

選擇②，

(1)因?yàn)?4J.平面A8CO,所以尸A_L人。,Q4_LC。，

因?yàn)镽4=AD=C￡)=2,所以PD=2及，又PC=2G，所以CO?+PD?=,所以CD_LP￡>,

又???PAnPQ=P,\CD八面尸AO，則CD上AD,

又BC〃平面尸AO,BCu平面A8CO,面E4OPI面ABC￡>=AD,所以AD//8C,又BC=3,所以ADwBC,

所以四邊形ABC。是直角梯形：

(2)同上①.

【分析】

（1）取AO的中點(diǎn)E,連接PE、BE、BD，證明出A￡>_L平面尸8E,利用線面垂直的性質(zhì)可得出結(jié)論：

（2）證明出尸EJ_平面ABC。，設(shè)A￡>=2,以點(diǎn)E為原點(diǎn)，￡4、EB、所在直線分別為工、》、z軸建

立空向直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角A-M-C的余弦值.

【詳解】

（1）取A。的中點(diǎn)E,連接PE、BE、BD,

因?yàn)樗倪呅蜛8CO為菱形，則AB=AD，因?yàn)?故△54）為等邊三角形，

因?yàn)镋為AO的中點(diǎn)，故應(yīng):_LAZ）,同理可證PE_L4）,

?.?3EnPE=E，/.ADJ■平面尸HE,?.尸8u平面。8石，故4）_L尸8：

（2）因?yàn)槠矫鍽A￡）_L平面ABC。，平面PADfl平面48co=AO,PE工AD，尸Eu平面尸A0,「.PEJ"平

面ABC。，

-BELAD,設(shè)4）=2,不妨以點(diǎn)E為原點(diǎn)，￡4、EB、EP所在直線分別為“、>、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

則A（1,O,O）、網(wǎng)0,6,0）、（7（-2,6,0）、P（0,0,>/3）,

所以，麗=0,一石,0）,麗=（0,一石,G）,5C=（-2,0,0）,

設(shè)平面PAB的法向量為m=(N，y,Z[),

m-BA=x,-J3y,=0(r\

則_1'r，取y=i,可得m=(G」,i,

7

m-BP=-^yl+y/3zl=0'

設(shè)平面P8C的法向最為7=(9,%*2)，

LIn-BP=-\/3y,+y/3z=0_1/、

則｛力2,取必=],可得〃=（04,1）,

7

n-BC=-2x2=0