高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)訓(xùn)練 理 新人教A版選修4-1

【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)訓(xùn)練理新人教A版選修4-1[備考方向要明了]考什么怎么考1.了解平行線截割定理．2.會證明并應(yīng)用直角三角形射影定理.以解答題形式考查，考查一般以基礎(chǔ)知識為主，難度不大，如年新課標全國T22.[歸納·知識整合]1．平行線的截割定理(1)平行線等分線段定理定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等．推論1經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊．推論2經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰．(2)平行線分線段成比例定理定理三條平行線截兩條直線，兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應(yīng)線段成比例．推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例．[探究]1.平行線分線段成比例定理的推論的逆命題正確嗎？提示：正確．如果一條直線截三角形的兩邊或兩邊的延長線所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三條邊，該命題正確．2．相似三角形的判定定理定理內(nèi)容判定定理1兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似[探究]2.三角形相似是否具有傳遞性？提示：三角形相似具有傳遞性．3．相似三角形的性質(zhì)定理定理與推論內(nèi)容性質(zhì)定理相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方推論相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方4.直角三角形相似的判定定理定理內(nèi)容判定定理1如果兩個直角三角形一組銳角對應(yīng)相等，那么它們相似判定定理2如果兩個直角三角形的兩直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似判定定理3斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似5．直角三角形射影定理直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積．[自測·牛刀小試]1.如圖所示，E是?ABCD的邊AB延長線上的一點，且DC∶BE＝3∶2，求AD∶BF.解：∵AB∥CD，∴eq\f(DC,BE)＝eq\f(DF,EF)＝eq\f(DE－EF,EF)＝eq\f(3,2)，從而eq\f(DE,EF)＝eq\f(5,2).又BC∥AD，∴eq\f(AD,BF)＝eq\f(DE,EF)＝eq\f(5,2)，即AD∶BF＝5∶2.2.如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D點，BC2＝BD·AB，求∠ACB.解：∵CD⊥AB，∴CDB＝90°.∵BC2＝BD·AB，∴eq\f(BC,BD)＝eq\f(BA,BC)，又∠B是公共角，∴△BDC∽△BCA，∴∠ACB＝∠CDB＝90°.3．如圖，在△ABC中，M、N分別是AB、BC的中點，AN、CM交于點O，求△MON與△AOC的面積的比．解：∵M、N分別是AB、BC的中點，∴eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2)，且MN∥AC，∴△MON∽△AOC.∴S△MON∶S△AOC＝1∶4.4．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝6，DB＝5，求AD的長．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，設(shè)AD＝x，則AB＝x＋5，又AC＝6，∴62＝x(x＋5)，即x2＋5x－36＝0，解得x＝4.∴AD＝4.5．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求證：AE·AB＝AF·AC.證明：∵AD⊥BC，∴△ADB為直角三角形．又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.平行線截割定理的應(yīng)用[例1]如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于點O，過點O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF.[自主解答]∵AD∥BC，∴eq\f(OB,OD)＝eq\f(BC,AD)＝eq\f(20,12)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8).∵OE∥AD，∴eq\f(OE,AD)＝eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8).∴OE＝eq\f(5,8)AD＝eq\f(5,8)×12＝eq\f(15,2)，同理可求得OF＝eq\f(3,8)BC＝eq\f(3,8)×20＝eq\f(15,2)，∴EF＝OE＋OF＝15.本例條件不變，求證：OE＝OF.證明：∵EF∥BC，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC，∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(AE,AB)，eq\f(OF,BC)＝eq\f(DF,DC).∵EF∥AD∥BC，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(DF,DC).∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(OF,BC)，∴OE＝OF.———————————————————平行線截割定理的作用平行線截割定理一方面可以判定線段成比例，另一方面，當不能直接證明要證的比例成立時，常用這個定理將兩條線段的比轉(zhuǎn)化為另外兩條線段的比．1．已知E是正方形ABCD的邊AB延長線上一點，DE交CB于M，MN∥AE交CE于N，求證：MN＝MB.證明：∵MB∥AD，∴△BEM∽△AED.∴eq\f(BM,AD)＝eq\f(EM,ED).∵MN∥AE∥CD，∴△MNE∽△DCE.∴eq\f(MN,DC)＝eq\f(EM,ED).∴eq\f(BM,AD)＝eq\f(MN,DC).又∵AD＝CD，∴MN＝MB.相似三角形的判定與性質(zhì)[例2]如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE∥CA，且交BA的延長線于E，求證：ED·CD＝EA·BD.[自主解答]在梯形ABCD中，∵AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB.又BC＝BC，∴△ABC≌△DCB.∴∠BAC＝∠BDC.∵AC∥ED，AD∥BC，∴∠E＝∠BAC＝∠BDC，∠EAD＝∠ABC＝∠DCB，∴△EAD∽△DCB.∴eq\f(EA,DC)＝eq\f(ED,DB)，即ED·CD＝EA·BD.———————————————————證明等積式的方法證明等積式的一般方法是化為等積的比例式．(1)若題目中無平行線，需利用相似三角形的性質(zhì)證明．(2)若所證比例線段所在的兩三角形不相似，需考慮能否利用線段替換或等比替換等．2．如圖所示，已知?ABCD中，G是DC延長線上一點，AG分別交BD和BC于E，F(xiàn)兩點，證明：AF·AD＝AG·BF.證明：因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB∥DC，AD∥BC，所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.所以△ABF∽△GDA，從而有eq\f(AF,AG)＝eq\f(BF,AD)，即AF·AD＝AG·BF.射影定理及其應(yīng)用[例3]如圖所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于點D，BE是∠ABC的角平分線，交AD于點F，求證：eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).[自主解答]∵BE是∠ABC的角平分線，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(BD,AB)，①eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,BC).②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即eq\f(BD,AB)＝eq\f(AB,BC).③由①③得eq\f(DE,AF)＝eq\f(AB,BC)，④由②④得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).———————————————————巧用射影定理解題已知條件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜邊上的高時，應(yīng)首先考慮射影定理，注意射影定理與斜邊的對應(yīng)法則，根據(jù)題目中的結(jié)論分析并選擇射影定理中的等式，并分清比例中項．3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，CD＝6，E為AB的中點，AD∶DB＝2∶3，求AC及CE.解：設(shè)AD＝2t，DB＝3t，由射影定理得CD2＝AD·DB，∴62＝2t·3t，∴t＝eq\r(6)(t＝－eq\r(6)舍去)，∴AD＝2eq\r(6)，DB＝3eq\r(6)，所以斜邊AB＝AD＋DB＝2eq\r(6)＋3eq\r(6)＝5eq\r(6).故CE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(5,2)eq\r(6).再由射影定理得AC2＝AD·AB＝2eq\r(6)·5eq\r(6)＝60，∴AC＝2eq\r(15).2個注意——運用平行線分線段成比例定理的注意點(1)平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例，在運用平行線分線段成比例定理時要注意平行線的不同位置，以及在三角形與四邊形中的靈活應(yīng)用．(2)證明線段成比例，若已知條件中沒有平行線，但有三角形相似的條件(如角相等，有相等的比例式等)，?？紤]相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造比例或利用中間比求解．3種思路——判定三角形相似的三種思路(1)條件中若有一對角相等，可找另一對角相等或找夾這對角的兩邊成比例．(2)條件中若有兩邊的比相等，可找夾角相等或證明另外一組對應(yīng)邊的比等于已知兩邊的比．(3)條件中若有等腰三角形，可找頂角相等或找一對底角相等或兩個三角形的底和腰的比對應(yīng)相等．1個技巧——等積式證明方法證明等積式，化成比例式，用分子、分母四個字母構(gòu)造三角形，或等號同側(cè)四個字母構(gòu)造三角形，證此兩三角形相似．不能構(gòu)成三角形或三角形不相似需轉(zhuǎn)化.答題模板——相似三角形的判定[典例](·新課標全國卷)(10分)如圖所示，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點．若CF∥AB，證明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.[快速規(guī)范審題]第(1)問：1．審條件，挖解題信息觀察條件：由D，E分別為AB，AC的中點?DE∥BC；由D為AB的中點?CF＝AD.2．審結(jié)論，明確解題方向觀察所求結(jié)論：證明CD＝BC.3．建聯(lián)系，找解題突破口分析條件：D，E分別為AB，AC的中點eq\o(→,\s\up7(中位線定理),\s\do5())DE∥BCeq\o(→,\s\up7(CF∥AB))四邊形BCFD是平行四邊形eq\o(→,\s\up7(中位線定理),\s\do5())CF＝BD＝ADeq\o(→,\s\up7(CF∥AB))四邊形ADCF是平行四邊形?CD＝AF?CD＝BC.第(2)問：1．審條件，挖解題信息觀察條件：FG∥BC，由(1)可知BD＝CF.2．審結(jié)論，明確解題方向觀察所求結(jié)論：△BCD∽△GBD.3．建聯(lián)系，找解題突破口分析條件：FG∥BC?GB＝CF，由(1)可知BD＝CF?GB＝BD?∠DGB＝∠EFC＝∠DBC?△BCD∽△GBD.[準確規(guī)范答題](1)因為D，E分別為AB，AC的中點，所以DE∥BC.?(2分)又已知CF∥AB，故四邊形BCFD是平行四邊形，本題中的平行關(guān)系比較多，易分辨不清而致錯.所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，連結(jié)AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.因為CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.?(5分)(2)因為FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.?(8分)從而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.?(10分)[答題模板速成]判斷三角形相似的一般步驟：第一步審條件盡量多的找出角相等、邊成比例的情況?第二步審結(jié)論三角形相似需角相等或邊成比例?第三步建聯(lián)系找出或證明三角形相似的條件是已具備的?第四步寫步驟將過程按要求寫出答題過程1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，求BF的長．解：eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)?eq\f(6,BC)＝eq\f(3,5)?BC＝10，故BF＝10－6＝4.2．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，DE∥AC，EF⊥BC，eq\f(BE,EA)＝eq\f(3,2)，BD＝6，求FC的長．解：由DE∥AC，eq\f(BE,EA)＝eq\f(3,2)，BD＝6知DC＝4.又EF∥AD，故eq\f(6－FD,FD)＝eq\f(3,2)，解得FD＝eq\f(12,5)，故FC＝FD＋DC＝eq\f(32,5).3．(·陜西高考)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，求BE.解：由于∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD，故△ABE∽△ADC，從而得eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC)，解得AE＝2，故BE＝eq\r(AB2－AE2)＝4eq\r(2).4．在△ABC中，∠BAC＝90°，BC邊的垂直平分線EM和AB以及CA的延長線分別交于D、E，連結(jié)AM，求證：AM2＝DM·EM.證明：∵∠BAC＝90°，M是BC邊的中點，∴AM＝CM，∠MAC＝∠C，又∵EM⊥BC，∴∠E＋∠C＝90°，又∵∠BAM＋∠MAC＝90°，∴∠E＝∠BAM.又∵∠EMA＝∠AMD，∴△AMD∽△EMA.∴eq\f(AM,DM)＝eq\f(EM,AM)，∴AM2＝DM·EM.5．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求證：EF∶DF＝BC∶AC.證明：∵∠BAC＝90°，且AD⊥BC，∴由射影定理得AC2＝CD·BC，∴eq\f(AC,CD)＝eq\f(BC,AC).①∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴eq\f(AE,DF)＝eq\f(AC,CD).又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF，∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(AC,CD).②由①②得eq\f(EF,DF)＝eq\f(BC,AC)，即EF∶DF＝BC∶AC.1．在△ABC中，點D是AC的中點，點E是BD的中點，AE交BC于點F，求eq\f(BF,FC)的值．解：過點D作DM∥AF交BC于點M.∵點E是BD的中點，∴在△BDM中，BF＝FM.又點D是AC的中點，∴在△CAF中，CM＝MF，∴eq\f(BF,FC)＝eq\f(BF,FM＋MC)＝eq\f(1,2).2.如圖所示，平行四邊形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若△AEF的面積等于1cm2，求△CDF的面積．解：∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AE,CD)＝eq\f(1,3).又DC∥AE，∴△DCF∽△EAF.∴eq\f(S△DCF,S△EAF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,AE)))2＝9，即S△DCF＝9(cm2)．3．如圖所示，已知直線FD和△ABC的BC邊交于D，與AC邊交于E，與BA的延長線交于F，且BD＝DC，求證：AE·FB＝BC·FA.證明：過A作AG∥BC，交DF于G點．∴eq\f(FA,FB)＝eq\f(AG,BD).又∵BD＝DC，∴eq\f(FA,FB)＝eq\f(AG,DC).∵AG∥BC，∴eq\f(AG,DC)＝eq\f(AE,EC)，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(FA,FB)，即AE·FB＝EC·FA.eq\a\vs4\al(第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系)[備考方向要明了]考什么怎么考1.會證明并應(yīng)用圓周角定理，圓的切線的判定定理與性質(zhì)定理．2.會證明并應(yīng)用相交弦定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.與圓有關(guān)的切線、割線以及三角形問題是高考的熱點內(nèi)容．以解答題形式考查，一般以基礎(chǔ)知識為主，難度不大，如年新課標T22等.[歸納·知識整合]1．圓周角定理圓周角的度數(shù)等于其所對弧的度數(shù)的一半O為圓心，A、B、C為圓上任意三點，則有∠ACB＝eq\f(1,2)∠AOB＝弧度數(shù)的一半推論1同弧或等弧所對的圓周角相等O為圓心，A、B、C、D為圓上任意四點，則有∠ACB＝∠ADB＝eq\f(1,2)∠AOB同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等O為圓心，A、B、C、D為圓上任意四點，且∠CAD＝∠ACB，則有＝推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角O為圓心，A、B、C為圓上三點，且BC為圓的直徑，則有∠BAC＝90°90°的圓周角所對的弦為直徑O為圓心，A、B、C為圓上三點，且∠BAC＝90°，則BC為圓的直徑[探究]1.圓周角具有的兩個特征是什么？提示：頂點在圓上，角的兩邊與圓相交是圓周角的兩個基本特征．2.圓的切線判定定理過圓的半徑的外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線O為圓心，A為圓上一點，直線l經(jīng)過點A且垂直于OA，則直線l是圓的一條切線，切點為A性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑O為圓心，直線l與圓相切于點A，則l垂直于OA切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角O為圓心，C為圓外的一點，由C向圓作切線，分別切圓于點A、B，則有CA＝CB，∠OCA＝∠OCB.3．弦切角定理及其推論定理弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半AB是⊙O的切線，∠BAC的度數(shù)等于eq\f(1,2)的度數(shù)推論弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角AB是⊙O的切線，C、D為圓上兩點，則∠BAC＝∠ADC4．圓中的比例線段相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，每條弦被交點分成的兩條線段長的積相等PA·PB＝PC·PD割線定理從圓外一點引圓的兩條割線，該點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等PA·PB＝PC·PD切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項PA·PB＝PC25．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理和判定定理性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形對角互補四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A＋∠C＝π，∠B＋∠D＝π判定定理如果四邊形的對角互補，則此四邊形內(nèi)接于圓在四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝π或∠B＋∠D＝π，則四邊形ABCD內(nèi)接于圓[探究]2.任意一個四邊形是否有外接圓，三角形呢？提示：任意一個四邊形不一定有外接圓，但一個三角形一定有外接圓，并且外接圓惟一．[自測·牛刀小試]1．從圓外一點P向圓O所引的一條切線為PA(切點為A)，連結(jié)PO并延長交圓O于點B，若PA＝eq\r(3)，PB＝3，求圓O的周長．解：由切割線定理，得PA2＝PC·PB.所以PC＝1.從而BC＝2，圓O的半徑R＝1，周長為2πR＝2π.2．如圖，已知⊙O的弦AB交半徑OC于點D，若AD＝3，BD＝2，且D為OC的中點，求CD的長．解：延長CO交圓O于E，由相交弦定理，得AD·DB＝DC·DE，又DE＝3DC，所以3×2＝3DC2，DC＝eq\r(2).3.如圖，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交邊AC于點D，AD＝2，求∠C的大?。猓哼B結(jié)BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.4.如圖，從圓O外一點P引圓的切線PC和割線PBA，已知PC＝2PB，BC＝eq\r(3)，求AC的長．解：∵∠PCB＝∠PAC，∠CPB＝∠APC，∴△PBC∽△PCA，∴eq\f(PB,PC)＝eq\f(BC,AC)，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,2)，∴AC＝2eq\r(3).5.如圖，已知EB是半圓O的直徑，A是BE延長線上一點，AC是半圓O的切線，切點為D，BC⊥AC于C，若BC＝6，AC＝8，求AE.解：設(shè)圓的半徑為R，連結(jié)DO，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10，eq\f(BC,DO)＝eq\f(AB,AO)，eq\f(6,R)＝eq\f(10,10－R)，R＝eq\f(15,4)，AE＝10－2R＝10－eq\f(15,2)＝eq\f(5,2).圓周角及弦切角的性質(zhì)[例1]如圖，已知圓上的?。?，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點．求證：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.[自主解答](1)因為＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，根據(jù)弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因為∠ECA等于上的圓周角，∠ACB等于上的圓周角，所以∠ECB等于上的圓周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE×CD.———————————————————弦切角定理的應(yīng)用弦切角定理經(jīng)常作為工具，進行三角形相似的證明，然后利用三角形相似進一步確定相應(yīng)邊之間的關(guān)系，在圓中證明比例式或等積式，常常需要借助于三角形相似處理．1.如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點C，∠CAB＝28°.(1)求∠ACM的度數(shù)；(2)在MN上是否存在一點D，使AB·CD＝AC·BC？為什么？解：(1)∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°.又∵∠CAB＝28°，∴∠CBA＝62°.∵MN是切線，C為切點，∴∠ACM＝62°.(2)在MN上存在符合條件的點D.證明如下：過點A作AD⊥MN，垂足為D，如圖，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵MN切半圓于點C，∴∠ABC＝∠ACD.∴△ABC∽△ACD.∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BC,CD).∴AB·CD＝AC·BC.同理，過B點向MN作垂線，垂足D′同樣符合條件．圓的切線的判定及性質(zhì)[例2]如圖，已知弦AB與⊙O的半徑相等，連結(jié)OB并延長使BC＝OB.(1)問AC與⊙O的位置關(guān)系是怎樣的；(2)試在⊙O上找一點D，使AD＝AC.[自主解答](1)∵AB與⊙O的半徑相等，∴△OAB為正三角形，∠OAB＝60°＝∠OBA.又∵BC＝OB＝AB，∴∠BAC＝∠C＝30°，故∠OAC＝90°，∴AC與⊙O相切．(2)延長BO交⊙O于D，連結(jié)AD，則必有AD＝AC.理由如下：∵∠BOA＝60°，OA＝OD，∴∠D＝30°.又∵∠C＝30°，∴∠C＝∠D，∴AD＝AC.———————————————————證明直線是圓的切線的方法證明直線是圓的切線的方法：若已知直線經(jīng)過圓上某點(或已知直線與圓有公共點)，則連結(jié)圓心和這個公共點，設(shè)法證明直線垂直于這條半徑；如果已知條件中直線與圓的公共點不明確(或沒有公共點)，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，得到垂線段，設(shè)法證明這條垂線段的長等于圓的半徑．2．如圖，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于點P，且⊙O1過點O2，PB是⊙O2的直徑，A為⊙O2上的點，連結(jié)AB，過O1作O1C⊥AB于點C，連結(jié)CO2，若PA＝eq\f(4,3)，PB＝4，求證：BA是⊙O1的切線．證明：∵O1C⊥AB，∴∠O1CB又∵⊙O1和⊙O2內(nèi)切于點P,PB是⊙O2的直徑，∴PB過O1且∠PAB＝90°，∴O1C∥PA，∴eq\f(PA,O1C)＝eq\f(PB,O1B).∵⊙O1過點O2，PB＝4，∴O1B＝3，O1P＝1.又PA＝eq\f(4,3)，∴O1C＝1.∴BA是⊙O1的切線．與圓有關(guān)的比例線段問題[例3](·天津高考改編)如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝eq\f(3,2)，求線段CD的長．[自主解答]因為AF·FB＝CF·FE，所以CF＝2，又eq\f(CF,BD)＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(3,4)?BD＝eq\f(8,3)，設(shè)CD＝x，則AD＝4x，又BD2＝x·4x?x＝eq\f(4,3).———————————————————與圓有關(guān)的比例線段問題的解題方法涉及與圓有關(guān)的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似，在相似三角形中尋找比例線段；也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實際應(yīng)用中，一般涉及兩條相交弦應(yīng)首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時要注意應(yīng)用切割線定理．3.如圖所示，PA切⊙O于點A，割線PBC交⊙O于點B，C，∠APC的角平分線分別與AB，AC相交于點D，E，求證：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.證明：(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.因為PE是∠APC的角平分線，故∠EPC＝∠APD.又PA是⊙O的切線，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.(2)∵PE是∠APC角平分線，AD＝AE，∴eq\f(EC,AD)＝eq\f(PC,PA)；eq\f(AE,DB)＝eq\f(PA,PB).又PA是切線，PBC是割線?PA2＝PB·PC?eq\f(PA,PB)＝eq\f(PC,PA).故eq\f(EC,AD)＝eq\f(AE,DB)，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC.3個結(jié)論——直線與圓位置關(guān)系的三個相關(guān)結(jié)論(1)切點與圓心的連線與圓的切線垂直；過切點且與圓的切線垂直的直線過圓心；(2)相離兩圓的內(nèi)公切線夾在外公切線間的線段長等于兩圓外公切線的長；(3)若兩點在一條線段同側(cè)且對該線段張角相等，則此兩點與線段兩個端點共圓，特別地，對定線段張角為直角的點共圓．5種方法——與圓有關(guān)的輔助線的五種方法(1)有弦，作弦心距；(2)有直徑，作直徑所對的圓周角；(3)有切點，作過切點的半徑；(4)兩圓相交，作公共弦；(5)兩圓相切，作公切線．2種思路——解決與圓有關(guān)的成比例線段問題的兩種思路(1)直接應(yīng)用相交弦、切割線定理及其推論；(2)當比例式(等積式)中的線段分別在兩個三角形中時，可轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形→比例式→等積式”．在證明中有時還要借助中間比來代換，解題時應(yīng)靈活把握.易誤警示——與圓有關(guān)的計算問題中的誤區(qū)[典例](·陜西高考改編)如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB＝6，AE＝1，求DF·DB.[解]由相交弦定理可知，DE2＝AE×EB＝5，又易知△EBD∽△FED，得DF·DB＝DE2＝5.eq\a\vs4\al([易誤辨析])(1)因不知道相交弦定理，得不出AE×EB＝DE2；(2)因找不出相似三角形，得不出等積式；(3)解答此類問題還易對基本知識了解不夠、定理記憶不準等而出現(xiàn)錯誤．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練])如圖所示，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，連結(jié)DB，DE，OC.若AD＝2，AE＝1，求CD的長．解：由切割線定理得AD2＝AE·AB，所以AB＝4，EB＝AB－AE＝3.又∵∠OCD＝∠ADE＝90°－∠CDB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACO，∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(AC,AO)，即eq\f(2,1)＝eq\f(CD＋2,2.5)，CD＝3.故CD的長等于3.1．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以BC為直徑的圓O交AC于點D，連結(jié)OD，并延長交BA的延長線于點E，圓O的切線DF交EB于F.(1)證明：AF＝BF；(2)若ED＝8，sinE＝eq\f(4,5)，求OC的長．解：(1)證明：連結(jié)BD，則∠BDC＝90°，由DF是切線，得FB＝FD，∠FDO＝∠EDF＝90°，∵∠FDA＋∠ADE＝∠FDA＋∠BCD＝90°，∠BAD＋∠BCD＝90°.∴∠FDA＝∠BAD.∴FA＝FD，∴AF＝BF.(2)sinE＝eq\f(OC,OC＋ED)＝eq\f(4,5)，eq\f(OC,OC＋8)＝eq\f(4,5)，OC＝32.2．如圖，已知AP是圓O的切線，P為切點，AC是圓O的割線，與圓O交于B、C兩點，圓O在∠PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點．(1)證明A、P、O、M四點共圓；(2)求∠OAM＋∠APM的大?。猓?1)證明：連結(jié)OP、OM.因為AP與圓O相切，所以O(shè)P⊥AP.因為M是圓的弦BC的中點，所以O(shè)M⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A、P、O、M四點共圓．(2)由(1)，得A、P、O、M四點共圓，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)，得OP⊥AP.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.3.(·宿遷模擬)如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F.求證：(1)∠AED＝∠AFD；(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.證明：(1)連結(jié)AD.因為AB為圓的直徑，所以∠ADB＝90°，又EF⊥AB，∠EFA＝90°，則A、D、E、F四點共圓．∴∠DEA＝∠DFA.(2)由(1)知，BD·BE＝BA·BF.連結(jié)BC，顯然△ABC∽△AEF，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AC,AF).即AB·AF＝AE·AC.∴BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB(BF－AF)＝AB2.4．(·遼寧高考)如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連結(jié)DB并延長交⊙O于點E.證明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.證明：(1)由AC與⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.從而eq\f(AC,AD)＝eq\f(A