新高考數(shù)學一輪復習 講與練第11講 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值（解析版）

第11講導數(shù)與函數(shù)的極值、最值學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.函數(shù)的極值一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導，且f′(x0)＝0.(1)如果對于x0左側(cè)附近的任意x，都有f′(x)>0；對于x0右側(cè)附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此時x0是f(x)的極大值點.(2)如果對于x0左側(cè)附近的任意x，都有f′(x)<0；對于x0右側(cè)附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此時x0是f(x)的極小值點.(3)如果f′(x)在x0的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號(或均為負號)，則x0一定不是y＝f(x)的極值點.(4)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.2.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值如果函數(shù)y＝f(x)的定義域為[a，b]且存在最值，函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)可導，那么函數(shù)的最值點要么是區(qū)間端點a或b，要么是極值點.(2)求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.1.求最值時，應(yīng)注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.2.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.考點和典型例題1、利用導數(shù)求函數(shù)的極值【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為開區(qū)間SKIPIF1<0，導函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)SKIPIF1<0在開區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)有極小值點（

）A．SKIPIF1<0個 B．SKIPIF1<0個 C．SKIPIF1<0個 D．SKIPIF1<0個【答案】A【詳解】由導函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的圖象可知，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的圖象與SKIPIF1<0軸有四個公共點，在從左到右第一個點處導數(shù)左正右負，在從左到右第二個點處導數(shù)左負右正，在從左到右第三個點處導數(shù)左正右正，在從左到右第四個點處導數(shù)左正右負，所以函數(shù)SKIPIF1<0在開區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的極小值點有SKIPIF1<0個，故選：A.【典例1-2】（2022·陜西商洛·一模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的極大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以SKIPIF1<0的極大值為SKIPIF1<0，故選：B.【典例1-3】（2022·新疆·三模（文））若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處有極值10，則SKIPIF1<0（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或15 D．6或SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0時SKIPIF1<0有極值10SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處無極值，不符合題意經(jīng)檢驗，SKIPIF1<0時滿足題意SKIPIF1<0故選：B【訓練1-1】（2022·河南新鄉(xiāng)·二模（文））已知SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：C【訓練1-2】（2022·安徽·蒙城第一中學高三階段練習（文））已知SKIPIF1<0為常數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0有兩個極值點，其中一個極值點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】SKIPIF1<0，由函數(shù)SKIPIF1<0有兩個極值點，則等價于SKIPIF1<0有兩個解，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個交點，所以SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0由SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線為SKIPIF1<0，顯然直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0交于不同兩點（如下圖），且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：D.【訓練1-3】（2021·四川省敘永第一中學校高三階段練習（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0時，都取得極值．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的單調(diào)增區(qū)間和極值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，單調(diào)遞減區(qū)間是SKIPIF1<0，函數(shù)的極大值是SKIPIF1<0，函數(shù)的極小值是SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0，由條件可知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，檢驗：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增經(jīng)檢驗SKIPIF1<0與SKIPIF1<0時，都取得極值，滿足條件，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞增極大值SKIPIF1<0單調(diào)遞減極小值SKIPIF1<0單調(diào)遞增有表可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，單調(diào)遞減區(qū)間是SKIPIF1<0，函數(shù)的極大值是SKIPIF1<0，函數(shù)的極小值是SKIPIF1<0.【訓練1-4】（2021·福建·莆田第二十五中學高三階段練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0處都取得極值．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）若對任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由題設(shè)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0的變化情況如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0-0+SKIPIF1<0遞增極大值遞減極小值遞增∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為極大值，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值，要使SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，則只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．2、利用導數(shù)求函數(shù)的最值【典例2-1】（2022·河南·模擬預測（文））當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0取得最小值，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【詳解】解：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值．故選：A.【典例2-2】（2022·北京通州·高二期中）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0無最小值，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得極小值，為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0無最小值，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：A【典例2-3】（2022·上海交大附中高二期中）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，解析式SKIPIF1<0.則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0既有最小值也有最大值 B．函數(shù)SKIPIF1<0有最小值但沒有最大值C．函數(shù)SKIPIF1<0恰有一個極小值點 D．函數(shù)SKIPIF1<0恰有兩個極大值點【答案】A【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時取得極小值，在SKIPIF1<0時取得極大值，故C，D錯誤；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0既有最小值也有最大值；故答案為：A【訓練2-1】（2022·浙江省杭州第二中學高二期中）已知SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】方法一：由題意得：SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.方法二：令SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：A.【訓練2-2】（2022·四川·模擬預測（理））對任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．e【答案】C【詳解】由題SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時SKIPIF1<0取得極小值也即為最小值，最小值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為1．故選：C．【訓練2-3】（2022·北京市第三十五中學高二期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值和最小值；(3)畫出SKIPIF1<0的草圖(要求盡量精確).【答案】(1)增區(qū)間為SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0；(2)最小值為SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0；【解析】(1)由題設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0.(2)由（1）可得如下列表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<04SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<07遞增SKIPIF1<0遞減SKIPIF1<0遞增SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<04SKIPIF1<07SKIPIF1<04SKIPIF1<0SKIPIF1<0結(jié)合（1）的結(jié)論，函數(shù)圖象如下：【訓練2-4】（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學校高二期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值和最小值.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0.【解析】(1)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.(2)由（1）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0.3、綜合應(yīng)用【典例3-1】（2021·陜西咸陽·高三開學考試（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值.(1)求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0有且只有一個零點，求b的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值為SKIPIF1<0.(2)解：由（1）知，SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0有且只有一個零點，則方程SKIPIF1<0有唯一解，即SKIPIF1<0有唯一解，由（1）知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，函數(shù)圖象如下所示：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即b的取值范圍為SKIPIF1<0.【典例3-2】（2021·天津市第一0二中學高三期中）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；(2)求SKIPIF1<0的極大值點與極小值點；(3)求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值與最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)極小值點為SKIPIF1<0，極大值點為SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【解析】(1)由題意得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；(2)令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<