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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.點(diǎn)在所在的平面內(nèi),,,,,且,則()A. B. C. D.2.已知集合,,則()A. B.C. D.3.設(shè),,則的值為()A. B.C. D.4.從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.5.已知集合,將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,則()A.1194 B.1695 C.311 D.10956.已知函數(shù)為奇函數(shù),則()A. B.1 C.2 D.37.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.8.在中,點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn),,,則()A. B.-2 C. D.29.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個(gè)面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.10.函數(shù)f(x)=的圖象大致為()A. B.C. D.11.已知函數(shù),為圖象的對稱中心,若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是()A. B. C. D.12.把滿足條件(1),,(2),,使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”,下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為()①②③④⑤A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,已知扇形的半徑為1,面積為,則_____.14.若變量,滿足約束條件,則的最大值為__________.15.已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),P為拋物線上的點(diǎn),且,若雙曲線C中心在原點(diǎn),F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn),且過P點(diǎn),當(dāng)m取最小值時(shí),雙曲線C的離心率為______.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且滿足,則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為了加強(qiáng)環(huán)保知識的宣傳,某學(xué)校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設(shè)置了四個(gè)箱子,分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”;另有卡片若干張,每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取張,按照自己的判斷將每張卡片放入對應(yīng)的箱子中.按規(guī)則,每正確投放一張卡片得分,投放錯(cuò)誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子,得分,放入其它箱子,得分.從所有參賽選手中隨機(jī)抽取人,將他們的得分按照、、、、分組,繪成頻率分布直方圖如圖:(1)分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù);(2)從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機(jī)選取名選手,以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)設(shè)函數(shù),().(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求實(shí)數(shù)a、m的值;(2)若對任意恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)關(guān)于x的方程能否有三個(gè)不同的實(shí)根?證明你的結(jié)論.19.(12分)已知集合,,,將的所有子集任意排列,得到一個(gè)有序集合組,其中.記集合中元素的個(gè)數(shù)為,,,規(guī)定空集中元素的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí),求的值;利用數(shù)學(xué)歸納法證明:不論為何值,總存在有序集合組,滿足任意,,都有.20.(12分)在中,角,,所對的邊分別為,,,且.求的值;設(shè)的平分線與邊交于點(diǎn),已知,,求的值.21.(12分)已知拋物線C:x24py(p為大于2的質(zhì)數(shù))的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線交C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E,拋物線C在點(diǎn)A,B處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面積為S.(1)求點(diǎn)G的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S是否為整數(shù)?若是,請求出所有滿足條件的S的值;若不是,請說明理由.22.(10分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
確定點(diǎn)為外心,代入化簡得到,,再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由可知,點(diǎn)為外心,則,,又,所以①因?yàn)?,②?lián)立方程①②可得,,,因?yàn)?,所以,即.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量模長的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2.A【解析】
根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運(yùn)算可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
利用倍角公式求得的值,利用誘導(dǎo)公式求得的值,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值,進(jìn)而求得的值,最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】,,,,,,,,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題,涉及到的知識點(diǎn)有誘導(dǎo)公式,正切倍角公式,同角三角函數(shù)關(guān)系式,正切差角公式,屬于基礎(chǔ)題目.4.A【解析】
設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,分別計(jì)算出,再利用公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.5.D【解析】
確定中前35項(xiàng)里兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù),數(shù)列中第35項(xiàng)為70,這時(shí)可通過比較確定中有多少項(xiàng)可以插入這35項(xiàng)里面即可得,然后可求和.【詳解】時(shí),,所以數(shù)列的前35項(xiàng)和中,有三項(xiàng)3,9,27,有32項(xiàng),所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列分組求和,掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ).解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項(xiàng)中有多少項(xiàng)是中的,又有多少項(xiàng)是中的.6.B【解析】
根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性,判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù),為偶函數(shù),所以為偶函數(shù),故,也即,化簡得,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率.根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率,,離心率,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,解題時(shí)要注意挖掘隱含條件.8.A【解析】
設(shè),用表示出,求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由,,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算,需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
根據(jù)三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,將其放在一個(gè)長方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識別,復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí),一般借助長方體來實(shí)現(xiàn).10.D【解析】
根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個(gè)選項(xiàng),再根據(jù)特殊值可區(qū)分剩余兩個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閒(-x)=≠f(x)知f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱,排除選項(xiàng)B,C.又f(2)==-<0.排除A,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的對稱性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象,屬于中檔題.11.A【解析】
結(jié)合已知可知,可求,進(jìn)而可求,代入,結(jié)合,可求,即可判斷.【詳解】圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,即,,,且,,,,,,當(dāng)時(shí),為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),而.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡單應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.12.B【解析】
滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對稱,分別對所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對稱,①不滿足(2);②不滿足(1);③不滿足(2);④⑤均滿足(1)(2).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的問題,涉及到函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生邏輯推理與分析能力,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)題意,利用扇形面積公式求出圓心角,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出,利用向量的數(shù)量積公式求出.【詳解】設(shè)角,則,,所以在等腰三角形中,,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式和向量的數(shù)量積公式,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
根據(jù)約束條件可以畫出可行域,從而將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題的求解,通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定過時(shí),取最大值,代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:將化為,則最大時(shí),直線在軸截距最大;由直線平移可知,當(dāng)過時(shí),在軸截距最大,由得:,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解,關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問題,通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.15.【解析】
由點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線方程,由此得到坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;過作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線定義可得,可知當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),取得最小值;利用拋物線切線的求解方法可求得點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)雙曲線定義得到實(shí)軸長,結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)拋物線方程為,準(zhǔn)線方程為過作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,則設(shè)直線的傾斜角為,則當(dāng)取得最小值時(shí),最小,此時(shí)直線與拋物線相切設(shè)直線的方程為,代入得:,解得:或雙曲線的實(shí)軸長為,焦距為雙曲線的離心率故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解問題,涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用;關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)取得最小值時(shí),直線與拋物線相切,進(jìn)而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點(diǎn)坐標(biāo).16.1【解析】
由得時(shí),,兩式作差,可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步求出數(shù)列的和.【詳解】解:數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且滿足,①當(dāng)時(shí),,②①-②得:,整理得:(常數(shù)),故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以(首項(xiàng)不符合通項(xiàng)),故,所以:,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)分別為人、人;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)將分別乘以區(qū)間、對應(yīng)的矩形面積可得出結(jié)果;(2)由題可知,隨機(jī)變量的可能取值為、、,利用超幾何分布概率公式計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率,可得出隨機(jī)變量的分布列,并由此計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】(1)由題意知,所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有(人),得分落在組的人數(shù)有(人).因此,所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有人,得分落在組的人數(shù)有人;(2)由題意可知,隨機(jī)變量的所有可能取值為、、,,,,所以,隨機(jī)變量的分布列為:所以,隨機(jī)變量的期望為.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖計(jì)算頻數(shù),同時(shí)也考查了離散型隨機(jī)變量分布列與數(shù)學(xué)期望的求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18.(1),;(2);(3)不能,證明見解析【解析】
(1)求出,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解;(2)構(gòu)造,則原題等價(jià)于對任意恒成立,即時(shí),,利用導(dǎo)數(shù)求最值即可,值得注意的是,可以通過代特殊值,由求出的范圍,再研究該范圍下單調(diào)性;(3)構(gòu)造并進(jìn)行求導(dǎo),研究單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】(1),,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,,解得.(2)記,整理得,由題知,對任意恒成立,對任意恒成立,即時(shí),,,解得,當(dāng)時(shí),對任意,,,,,即在單調(diào)遞增,此時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍為.(3)關(guān)于的方程不可能有三個(gè)不同的實(shí)根,以下給出證明:記,,則關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根,等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),,當(dāng)時(shí),,記,則,在單調(diào)遞增,,即,,在單調(diào)遞增,至多有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),記,則,在單調(diào)遞增,即在單調(diào)遞增,至多有一個(gè)零點(diǎn),則至多有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間,至多有兩個(gè)零點(diǎn).因此,不可能有三個(gè)零點(diǎn).關(guān)于的方程不可能有三個(gè)不同的實(shí)根.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,屬于難題.19.;證明見解析.【解析】
當(dāng)時(shí),集合共有個(gè)子集,即可求出結(jié)果;分類討論,利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】當(dāng)時(shí),集合共有個(gè)子集,所以;①當(dāng)時(shí),,由可知,,此時(shí)令,,,,滿足對任意,都有,且;②假設(shè)當(dāng)時(shí),存在有序集合組滿足題意,且,則當(dāng)時(shí),集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè),因?yàn)槭?的整數(shù)倍,所以令,,,,且恒成立,即滿足對任意,都有,且,綜上,原命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查集合的自己個(gè)數(shù)的研究,結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,屬于難題.20.;.【解析】
利用正弦定理化簡求值即可;利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式,結(jié)合正弦定理求出的值.【詳解】解:,由正弦定理得:,,,,,又,為三角形內(nèi)角,故,,則,故,;(2)平分,設(shè),則,,,,則,,又,則在中,由正弦定理:,.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式,二倍角公式,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.21.(1)(2)當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S不是整數(shù).【解析】
(1)先求解導(dǎo)數(shù),得出切線方程,聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程;(2)先求解弦長,再分別求解點(diǎn)到直線的距離,表示出四邊形的面積,結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.【詳解】(1)設(shè),則,拋物線C的方程可化為,則,所以曲線C在點(diǎn)A處的切線方程為,
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