第01講 集合（八大題型）（講義）（原卷版）

第01講集合目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識點(diǎn)1：元素與集合 4知識點(diǎn)2：集合間的基本關(guān)系 5知識點(diǎn)3：集合的基本運(yùn)算 5知識點(diǎn)4：集合的運(yùn)算性質(zhì) 5解題方法總結(jié) 6題型一：集合的表示：列舉法、描述法 6題型二：集合元素的三大特征 7題型三：元素與集合間的關(guān)系 7題型四：集合與集合之間的關(guān)系 8題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算 9題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合 9題型七：容斥原理 10題型八：集合的創(chuàng)新定義運(yùn)算 1104真題練習(xí)·命題洞見 1205課本典例·高考素材 1306易錯分析·答題模板 15易錯點(diǎn)：在解含參數(shù)集合問題時忽視空集 15答題模板 15

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計考情分析（1）集合的概念與表示（2）集合的基本關(guān)系（3）集合的基本運(yùn)算2024年I卷第1題，5分2023年I卷第1題，5分2023年II卷第2題，5分2022年I卷II卷第1題，5分2021年I卷II卷第1題，5分2020年I卷II卷第1題，5分本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題為主，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.重點(diǎn)是集合間的基本運(yùn)算，主要考查集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，常與一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指數(shù)、對數(shù)不等式解法結(jié)合.同時適當(dāng)關(guān)注集合與充要條件相結(jié)合的解題方法.復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2、理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.3、會求兩個集合的并集、交集與補(bǔ)集.4、能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算．

知識點(diǎn)1：元素與集合1、集合的含義與表示某些指定對象的部分或全體構(gòu)成一個集合．構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對象外，還可以是其他對象．2、集合元素的特征（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素．（2）互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復(fù)出現(xiàn)．（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關(guān)．3、元素與集合的關(guān)系元素與集合之間的關(guān)系包括屬于(記作)和不屬于(記作)兩種．4、集合的常用表示法集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法(韋恩圖)．知識點(diǎn)詮釋：（1）列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用花括號括起來.（2）描述法在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.5、常用數(shù)集的表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號或【診斷自測】（2024·廣東惠州·一模）設(shè)集合，則的元素個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．9 D．無窮多個知識點(diǎn)2：集合間的基本關(guān)系（1）子集：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集：對于兩個集合與，若，且存在，但，則集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：對于兩個集合與，如果，同時，那么集合與相等，記作．（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.【診斷自測】（2024·高三·四川成都·階段練習(xí)）已知集合，則集合的子集個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8知識點(diǎn)3：集合的基本運(yùn)算（1）交集：由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，叫做與的交集，記作，即．（2）并集：由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，叫做與的并集，記作，即．（3）補(bǔ)集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補(bǔ)集，簡稱為集合的補(bǔ)集，記作，即．【診斷自測】（2024·陜西西安·一模）已知全集，集合，，則（

）．A． B． C． D．知識點(diǎn)4：集合的運(yùn)算性質(zhì)（1），，，，．（2），，，，．（3），，．（4）【診斷自測】（2024·江西鷹潭·一模）已知集合，集合，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．解題方法總結(jié)（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．題型一：集合的表示：列舉法、描述法【典例1-1】（2024·廣東江門·一模）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（

）A．0 B．1 C．－1 D．【典例1-2】已知集合，則（

）A． B． C． D．【方法技巧】1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點(diǎn)是直觀、一目了然.2、描述法，注意代表元素.【變式1-1】（2024·新疆·一模）已知集合，則集合的元素個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．4 D．5【變式1-2】（2024·高三·山東泰安·期中）已知集合，，則中的元素個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6題型二：集合元素的三大特征【典例2-1】設(shè)集合，，已知且，則的取值集合為.【典例2-2】由構(gòu)成的集合中，元素個數(shù)最多是.【方法技巧】1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。2、研究兩個或者多個集合的關(guān)系時，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系?！咀兪?-1】（2024·高三·天津河西·期中）含有3個實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則．【變式2-2】（2024·高三·山東濰坊·期中）英語單詞“banana”所含的字母組成的集合中含有個元素.【變式2-3】（2024·云南大理·模擬預(yù)測）已知，其中，則（

）A．0 B．或 C． D．題型三：元素與集合間的關(guān)系【典例3-1】已知集合，，，，若，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2024·高三·山東青島·開學(xué)考試）已知，則的取值為（

）A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【方法技巧】1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別．2、當(dāng)集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點(diǎn)還是數(shù)．【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則下列表示正確的是（

）.A． B．C． D．【變式3-2】（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）若集合，其中且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-3】已知，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型四：集合與集合之間的關(guān)系【典例4-1】（2024·四川德陽·三模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【方法技巧】1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：（1）定義法進(jìn)行判斷（2）數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷【變式4-1】（2024·河南駐馬店·一模）已知集合，則與的關(guān)系是（

）A． B．C．且 D．不能確定【變式4-2】已知集合，若，則（

）A． B． C． D．【變式4-3】（2024·青海西寧·二模）設(shè)集合,若,則（

）A． B． C．1 D．3題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算【典例5-1】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·廣東深圳·二模）對于任意集合，下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【方法技巧】1、注意交集與并集之間的關(guān)系2、全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個概念【變式5-1】已知集合，，，則=（

）A． B．C． D．【變式5-2】（2024·四川德陽·二模）已知集合，則（

）A． B．C． D．題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合【典例6-1】（2024·福建廈門·二模）設(shè)集合，，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（

）A．60 B．100 C．120 D．130【典例6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的三個頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均在集合內(nèi)，則這樣的三角形共有（

）A．64個 B．125個C．432個 D．516個【典例6-3】，且，則稱為N的“有序子集列”．現(xiàn)有，則N的“有序子集列”的個數(shù)為（

）A．540個 B．1280個 C．3240個 D．7680個【方法技巧】利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數(shù)的問題，需要運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法?！咀兪?-1】設(shè)集合，則從A集合到B集合所有不同映射的個數(shù)是（

）A．81 B．64 C．12 D．以上都不正確【變式6-2】已知，則由集合構(gòu)成的集合的個數(shù)為（

）A． B．C． D．【變式6-3】（2024·高三·四川雅安·開學(xué)考試）已知集合，非空集合，且中所有元素之和為奇數(shù)，則滿足條件的集合共有（

）A．12個 B．14個 C．16個 D．18個【變式6-4】（2024·上海靜安·一模）已知直線的斜率大于零，其系數(shù)a、b、c是取自集合中的3個不同元素，那么這樣的不重合直線的條數(shù)是（

）A．11 B．12 C．13 D．14題型七：容斥原理【典例7-1】（2024·高三·北京·強(qiáng)基計劃）一群學(xué)生參加學(xué)科夏令營，每名同學(xué)參加至少一個學(xué)科考試．已知有100名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)考試，50名學(xué)生參加了物理考試，48名學(xué)生參加了化學(xué)考試，學(xué)生總數(shù)是只參加一門考試學(xué)生數(shù)的2倍，也是參加三門考試學(xué)生數(shù)的3倍，則學(xué)生總數(shù)為（

）A．108名 B．120名 C．125名 D．前三個答案都不對【典例7-2】“四書五經(jīng)”是中國傳統(tǒng)文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》．某大學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀“四書”的情況，隨機(jī)調(diào)查了200位學(xué)生，其中閱讀過《大學(xué)》的有60位，閱讀過《論語》的有160位，閱讀過《大學(xué)》或《論語》的有180位，閱讀過《大學(xué)》且閱讀過《論語》及《中庸》的有20位．則該校閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值是（

）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【方法技巧】容斥問題本身存在包容與排斥的一種計數(shù)問題，所以我們在處理這一類問題的時候必須要注意扣除掉重復(fù)的部分，也要保證沒有遺漏，為了使重疊部分不被重復(fù)計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復(fù)計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理.【變式7-1】（2024·高三·湖北·期末）某校高一年級有1200人，現(xiàn)有兩種課外實(shí)踐活動供學(xué)生選擇，要求每個同學(xué)至少選擇一種參加.統(tǒng)計調(diào)查得知，選擇其中一項活動的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%，選擇另一項活動的人數(shù)占50%到55%，則下列說法正確的是（

）A．同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有100人B．同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有180人C．同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有260人D．同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有320人【變式7-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)、英語興趣小組.已知僅參加一個興趣小組的同學(xué)有人，同時參加語文和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有人，同時參加數(shù)學(xué)和英語興趣小組的同學(xué)有人，同時參加語文和英語興趣小組的同學(xué)有人，則同時參加這三個興趣小組的同學(xué)有人.【變式7-3】（2024·江西·模擬預(yù)測）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.題型八：集合的創(chuàng)新定義運(yùn)算【典例8-1】（多選題）（2024·山西·一模）群的概念由法國天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（1811-1832）在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對代數(shù)多項式方程的研究，但在量子力學(xué)?晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個非空集合，“”是一個適用于中元素的運(yùn)算，若同時滿足以下四個條件，則稱對“”構(gòu)成一個群：（1）封閉性，即若，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對中任意元素都有；（3）單位元存在，即存在，對任意，滿足，則稱為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱與互為逆元，記作.一般地，可簡記作可簡記作可簡記作，以此類推.正八邊形的中心為.以表示恒等變換，即不對正八邊形作任何變換；以表示以點(diǎn)為中心，將正八邊形逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換；以表示以所在直線為軸，將正八邊形進(jìn)行軸對稱變換.定義運(yùn)算“”表示復(fù)合變換，即表示將正八邊形先進(jìn)行變換再進(jìn)行變換的變換.以形如，并規(guī)定的變換為元素，可組成集合，則對運(yùn)算“”可構(gòu)成群，稱之為“正八邊形的對稱變換群”，記作.則以下關(guān)于及其元素的說法中，正確的有（

）A．，且B．與互為逆元C．中有無窮多個元素D．中至少存在三個不同的元素，它們的逆元都是其本身【典例8-2】已知全集且集合、是非空集合，定義且，已知，，則.【方法技巧】1、集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方法并不難，難在轉(zhuǎn)化.2、集合的創(chuàng)新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進(jìn)行理解?！咀兪?-1】定義集合運(yùn)算：，集合，則集合所有元素之和為．【變式8-2】如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集，且滿足，那么稱子集組構(gòu)成集合U的一個k劃分．若集合I中含有4個元素，則集合I的所有劃分的個數(shù)為（

）A．7個 B．9個 C．10個 D．14個【變式8-3】（2024·上海嘉定·二模）若規(guī)定集合的子集為的第個子集，其中，則的第211個子集是．1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）集合，則（

）A． B． C． D．3．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．4．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．5．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)全集,集合，（

）A． B．C． D．6．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）