第02講 等式與不等式（原卷版）

第02講等式與不等式（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析2019年天津卷，第10題,5分解不含參數(shù)的一元一次不等式2017年天津卷，第2題,5分必要條件的判定及性質(zhì)解不含參數(shù)的一元一次不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度為低難度與中檔難度，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握不等式的性質(zhì)，能夠運用不等式的性質(zhì)進行比較大小2.能掌握一元二次不等式的性質(zhì)3.掌握一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系4.會解一元二次不等式、能夠解決一元二不等式的恒成立與存在成立等問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般考查不等式的性質(zhì)，一元二次不等式的性質(zhì)等。知識講解知識點一.等式與不等式的性質(zhì):1.兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法a-b>0?a>b，a-b=0?a=b,a-b<0?a<b.(2)作商法ababab2.等式的性質(zhì)(1)對稱性:若a=b，則b=a.(2)傳遞性:若a=b，b=c，則a=c.(3)可加性:若a=b，則a+c=b+c.(4)可乘性:若a=b，則ac=bc;若a=b，c=d，則ac=bd3.不等式的性質(zhì)(1)對稱性:a>b?b<a;(2)傳遞性:a>b，a>c?a>c;(3)可加性a>b?a+c>b+c;a>b,c>d?a+c>b+d(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<cb;a>b>0，c>d>0?ac>bd;(5)可乘方:a>b>0?an>bn(6)可開方a>b>0?na>nb(n知識點二.一元二次不等式1.一元二次不等式的概念定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)2.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??3.一元二次不等式的解法1.將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．2.求出相應(yīng)的一元二次方程的根．3.利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集．方程的根→函數(shù)草圖→觀察得解，對于的情況可以化為的情況解決注：對于二次型一元二次不等式應(yīng)首先考慮二次項系數(shù)的情況，當二次項系數(shù)為0時，按照一次不等式來解決，對于二次項系數(shù)為負數(shù)的情況一般將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)之后再解。注：對于含參一元二次不等式內(nèi)容首先考慮能不能因式分解，然后就二次方程根進行分類討論，同時注意判別式韋達定理的應(yīng)用。4.三個“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??考點一、等式與不等式的性質(zhì)1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）若a>b，則下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)2>b2 B．lg(a?b)>0 2．（2024·山東濱州·二模）下列命題中，真命題的是（

）A．若a>b，則ac>bc B．若a>b，則aC．若ac2≥bc2，則a≥b1．（22-23高三上·甘肅定西·階段練習）已知a>b>0,c<0，則下列正確的是（

）A．a(chǎn)c>bc B．a(chǎn)c>bc C．2．（2024·安徽淮北·二模）已知a,b∈RA．若ab=1，則a+b≥2B．若1a<C．若a>b，則lnD．若a>b>0，則a+3.（2024·天津·一模）已知a,b∈R，則“b>a”是“aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.（2023·山西臨汾·模擬預(yù)測）若a，b∈R，則“a<b”是“aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件考點二、比較大小1.（22-23高三上·天津河東·期中）若a=ln264，b=ln2ln3，A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>a>c2.（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知a，b為實數(shù)，則使得“a>b>0”成立的一個必要不充分條件為（

）A．1a>1C．a(chǎn)3>b1．（22-23高三上·天津河西·期末）若a，b，c∈R，a>bA．1a<1b B．a(chǎn)2<2．（2023·天津·一模）設(shè)a>0，b>0，則“a>b”是“1aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（23-24高三上·天津和平·開學考試）已知a是實數(shù)，則“a>1”是“a+1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·北京西城·一模）設(shè)a=t?1t,b=t+A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a考點三、最值與取值范圍問題1.（2024高三·全國·專題練習）已知12<a<60,15<b<36，則a?b的取值范圍是，ab的取值范圍是2.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)x，y滿足?1<x<y<1，則x+y的取值范圍是1.（2024高三·全國·專題練習）若實數(shù)x，y滿足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，則xy5的取值范圍是．2.（2024·河北石家莊·二模）若實數(shù)x,y,z≥0，且x+y+z=4,2x?y+z=5，則M=4x+3y+5z的取值范圍是.3.（23-24高三下·重慶渝北·階段練習）已知三個實數(shù)a、b、c，其中c>0,b≤2a+3c且bc=a2，則a?2cb4.（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知正數(shù)a，b，c滿足a25.（2024·廣東·三模）設(shè)實數(shù)x、y、z、t滿足不等式1≤x≤y≤z≤t≤100，則xy+z考點四、一元二次不等式1.（2024·上?！じ呖颊骖}）已知x∈R,則不等式x2?2x?3<0的解集為2.（23-24高三上·河北石家莊·階段練習）不等式3x?22x+3A．x?23C．{x|x<?23或x>32}1.（23-24高三下·陜西安康·階段練習）在區(qū)間0，5內(nèi)隨機取一個實數(shù)a，則關(guān)于x的不等式A．25 B．310 C．152.（2024高三·全國·專題練習）已知a?,?b∈R且ab≠0，若A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0 C．b<0 D．3.（23-24高三下·上?！るA段練習）設(shè)a>0，若關(guān)于x的不等式x2?ax<0的解集是區(qū)間0,1的真子集，則a的取值范圍是4.（2023·全國·模擬預(yù)測）定義：若集合A,B滿足A∩B≠?，存在a∈A且a?B，且存在b∈B且b?A，則稱集合A,B為嵌套集合．已知集合A=x2x?x2≤0且x∈A．(2,3) B．(?∞,1) C．(1,3) 考點五、一元二次方程跟的分布1.（23-24高三上·四川·階段練習）若關(guān)于x的方程x2?2ax+a+2=0在區(qū)間?2,1上有兩個不相等的實數(shù)解，則A．?65,?1C．?∞,?62.（21-22高三上·江蘇南通·期中）已知關(guān)于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集為m,4mA．－2 B．1 C．2 D．81.（2024高三·全國·專題練習）關(guān)于x的方程ax2+a+2x+9a=0有兩個不相等的實數(shù)根xA．?27<a<C．a(chǎn)<?27 2.（2023·北京海淀·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．若關(guān)于x的不等式x2+ax?b<0的解集為（D．若關(guān)于x的不等式x2+ax+b<c的解集為（x13.（21-22高三上·上海浦東新·階段練習）如果二次方程x2?px?q=0(p,q∈N考點六、一元二次不等式恒成立1.（2024高三·全國·專題練習）若不等式a?2x2+2A．?∞,2 C．?2,2 D．?2.（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）當1≤x≤2時，不等式x2?ax+1≤0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是1.（2024高三·全國·專題練習）已知b>0，若對任意的x∈0,+∞，不等式4ax3+82.（22-23高三上·河北衡水·階段練習）已知對任意實數(shù)x>0,不等式2x2?ax?10lnx3.（2024·陜西榆林·三模）已知α∈0,2π，若當x∈0,1時，關(guān)于x的不等式sinA．π12,5π12 B．π64.（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=n2+mA．?2 B．0 C．1 D．21．（2021·天津和平·一模）設(shè)a∈R，則“2<a<3”是“a+1a?6A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·河北唐山·一模）已知x∈R，p：“x2?x>0”，q：“x>1”，則pA．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（23-24高三上·天津北辰·期中）設(shè)x∈R，則“x2>1A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2022·天津·二模）設(shè)x∈R，則“x≤3”是“x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024·天津·一模）設(shè)x∈R，則“x<0”是“x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2024高三下·全國·專題練習）已知2<a<3，?2<b<?1，則a+2b的取值范圍為．7．（2024高三下·全國·專題練習）若關(guān)于x的不等式m?3x2?2mx?8>0的解集是一個開區(qū)間，且區(qū)間的長度L滿足L∈1,2，求實數(shù)m的取值范圍（注：開區(qū)間1．（2024·福建寧德·三模）函數(shù)f(x)=xlnx，若關(guān)于x的不等式[f(x)]2A．2ln2,C．3ln3,2．（2022·河南南陽·模擬預(yù)測）已知命題p：?x∈R，x2+4x?m≥0恒成立；命題q：fx=?x2+m?1xA．?4,?3 B．?5,?4C．?∞,?5∪3．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）不等式x2A．?1,12 B．?12,14．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)fx=x2+ax+ba,b∈R的最小值為0，若關(guān)于xA．9 B．8 C．6 D．45．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知條件q：“不等式a2?4x2+a+2x?1≥0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2024·廣東·一模）已知a,b,c∈R且a≠0，則“ax2+bx+c>0的解集為xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2025高三·全國·專題練習）已知x2+x+5≤ax2+2ax+c≤2x21．（江西·高考真題）當a>0,b>0時，不等式?b<1A．x<?1b或x>1C．x<?1a或x>1b 2．（安徽·高考真題）函數(shù)fx

A．a(chǎn)>0，b<0，c>0，d>0 B．a(chǎn)>0，b<0，c<0，d>0C．a(chǎn)<0，b<0，c>0，d>0 D．a(chǎn)>0，b>0，c>0，3．（2023·全國