5.4數(shù)列的應用課件高二下學期數(shù)學人教B版選擇性

5.4數(shù)列的應用第五章人教B版

數(shù)學選擇性必修第三冊課標定位素養(yǎng)闡釋1.理解并掌握“等額本金還款法”“等額本息還款法”及應用.2.理解并掌握政府支出的“乘數(shù)”效應及數(shù)列的其他應用.3.進一步提升數(shù)學建模、邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng).自主預習新知導學一、“等額本金還款法”與“等額本息還款法”1.假如你購房時向銀行貸款本金A0元,打算分成m期償還,并且每一期的利率為r(r>0),記每一期的還款錢數(shù)構成的數(shù)列為a1,a2,a3,…,am.(1)如果采用“等額本金還款法”,那么你能寫出第n期所要還的錢數(shù)an的表達式嗎?(2)如果采用“等額本息還款法”,那么你能寫出第n期所要還的錢數(shù)an的表達式嗎?2.(1)“等額本金還款法”是將

本金

平均分配到每一期進行償還,每一期的還款金額由兩部分組成,一部分為

每期本金

,即貸款本金除以還款期數(shù),另一部分是

利息

,即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率.因此這種方式中,(2)“等額本息還款法”是將

本金

和

利息

平均分配到每一期進行償還,因此每一期所還錢數(shù)相等,即a1=a2=a3=…=am.

二、政府支出的“乘數(shù)”效應與數(shù)列1.為落實惠民政策,假設政府增加某項支出a億元,每個受惠的居民會將此部分額外收入以r(r>0)的比率用于國內消費(最初政府支出也算是國內消費).(1)如果設第n輪消費的金額為an億元,那么an與a和r具有什么關系呢?提示:an=arn.(2)那么經(jīng)過n輪影響之后,最后的國內消費總額是多少億元呢?2.上述問題中,最后的國內消費總額將會是a億元的倍數(shù),也就是說有了“乘數(shù)

”效應.3.有些食物中含有一定量的微量元素,當人體攝入微量元素以后,微量元素會隨著尿液、汗液等部分排出.假設某人每天吃進某微量元素amg,該微量元素每天以r(r>0)的比率排出,則30天后在此人身體中積累了多少該微量元素(設一開始某人體內該微量元素為0)?解:30天后在此人身體中積累的該微量元素為a(1-r)+a(1-r)2+…+a(1-r)n【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)“等額本金還款法”每一期的還款金額由兩部分組成,一部分為每期本金,即貸款本金除以還款期數(shù),另一部分是利息,即貸款本金乘利率.(×)(2)“等額本息還款法”是將本金和利息平均分配到每一期進行償還,每一期所還錢數(shù)相等.(√)合作探究釋疑解惑探究一“等額本金還款法”與“等額本息還款法”的應用【例1】

某技術研發(fā)單位打算向銀行貸款2400萬元用于某電子產品升級改造,在12個月內還清,月利率為5%,如果采用“等額本金還款法”,那么,(1)設每期還款錢數(shù)為an萬元,求出an的表達式;(2)該單位累計還款多少萬元?

1.本題屬于與等差數(shù)列通項公式及前n項和有關的實際應用問題,求解的關鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關知識.2.遇到與正整數(shù)有關的實際應用問題時,常常考慮與數(shù)列知識的聯(lián)系,建立適當?shù)臄?shù)列模型進行求解.反思感悟【變式訓練1】

本例條件不變,如果采用“等額本息還款法”,那么該單位每期還款多少萬元?累計還款多少萬元?(結果精確到0.01元)探究二政府支出的“乘數(shù)”效應與數(shù)列【例2】

假設一政府單位增加某項支出120億元,每個受惠的居民會將75%的額外收入用于國內消費(最初政府支出也算是國內消費).求經(jīng)過20輪影響之后,最后的國內消費總額是多少億元?(結果精確到1億元)反思感悟解數(shù)列應用題的主要事項:(1)抓住數(shù)量關系,聯(lián)想數(shù)學知識和數(shù)學方法,恰當引入?yún)?shù)變量,將文字語言翻譯成數(shù)學語言,將數(shù)量關系用數(shù)學式子表達.(2)將實際問題抽象為數(shù)學問題,將已知與所求聯(lián)系起來,列出滿足題意的數(shù)學關系式.【變式訓練2】

假設某地政府單位增加某項優(yōu)惠政策支出200億元,每個受惠的居民會將65%的額外收入用于國內消費(最初政府支出也算是國內消費).求經(jīng)過10輪影響之后,最后的國內消費總額是多少億元?(結果精確到1億元)探究三數(shù)列的綜合應用【例3】

一種擲骰子走跳棋的游戲:棋盤上標有第0站、第1站、第2站…第100站,共101站,設棋子跳到第n站的概率為Pn.一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次骰子,棋子向前跳動一次,若擲出奇數(shù)點,則棋子向前跳動一站;若擲出偶數(shù)點,則向前跳動兩站,直到棋子跳到第99站(獲勝)或100站(失敗)時,游戲結束.(1)求P0,P1,P2,并根據(jù)棋子跳到第n站的情況,試用Pn-2和Pn-1表示Pn;(2)求證:數(shù)列{Pn-Pn-1}(n=1,2,…,100)是等比數(shù)列;(3)求該游戲獲勝的概率.(1)解:根據(jù)題意,棋子跳到第n站的概率為Pn,則P0即棋子跳到第0站的概率,則P0=1,本題考查的是數(shù)列的應用以及概率及其性質.數(shù)列常常與函數(shù)、不等式等知識相結合,考查學生的理解能力、轉化能力及計算能力.反思感悟【變式訓練3】

黃河被稱為我國的母親河,因為攜帶大量泥沙,所以河水呈現(xiàn)黃色.黃河的水源來自青海高原,上游1000km的河水是非常清澈的,只是中游流經(jīng)黃土高原,又有太多攜帶有大量泥沙的河流匯入才造成黃河的河水逐漸變得渾濁.在劉家峽水庫附近,清澈的黃河和攜帶大量泥沙的洮河匯合,在兩條河流的交匯處,水的顏色一清一濁,互不交融,涇渭分明,形成了一條奇特的水中分界線.設黃河和洮河在汛期的水流量均為2000m3/s,黃河水的含沙量為2kg/m3,洮河水的含沙量為20kg/m3,假設從交匯處開始沿岸設有若干個觀測點,兩股河水在流經(jīng)相鄰的觀測點的過程中,其混合效果相當于兩股河水在1s內交換1000m3的水量,即從洮河流入黃河1000m3的水混合后,又從黃河流出1000m3的水到洮河再混合.(1)求經(jīng)過第二個觀測點時,兩股河水的含沙量;(2)從第幾個觀測點開始,兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3?(不考慮泥沙沉淀)(2)設在第n(n∈N+)個觀測點時黃河的含沙量為an,洮河的含沙量為bn,由題意有a1=2,b1=20,即3n-1>1

800,解得n>7.又由n∈N+,所以從第8個觀測點開始.【思想方法】

數(shù)學建模在數(shù)列實際問題中的應用

(1)設n(n∈N+)年內(本年度為第1年)總投入為an萬元,旅游業(yè)總收入為bn萬元,寫出an,bn的表達式;(2)至少經(jīng)過幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?分析:(1)建立等比數(shù)列模型求解;(2)列出與數(shù)列有關的不等式求解.所以至少經(jīng)過5年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.解答數(shù)列實際應用問題的一般步驟(1)第一步,確定數(shù)列類型.理解題意,分析是哪類數(shù)列,一般有等差數(shù)列、等比數(shù)列、簡單的遞推數(shù)列.基本特征如下表:方法點睛數(shù)列模型基本特征等差數(shù)列均勻增加或者減少等比數(shù)列指數(shù)增長,常見的是增產率問題、存款復利問題簡單的遞推數(shù)列指數(shù)增長的同時又均勻減少,如年收入增長率為20%,每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開銷,即年底可支配資金構成的數(shù)列{an}滿足an+1=1.2an-a(2)第二步,準確求解模型.根據(jù)數(shù)列知識,求數(shù)列的通項、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等,此時要注意運算的準確性.(3)第三步,還原實際問題.實際應用問題最后要把求解的數(shù)學結果化為解決實際問題的方法,在解題中不要忽視了這點.【變式訓練】

某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費獎勵科研人員,第1名得全部資金的一半多一萬元,第二名得剩下資金的一半多一萬元,以名次類推都得剩下資金的一半多一萬元,到第10名恰好分完資金,求此科研單位共拿出多少萬元資金進行獎勵.解:設單位共拿出x萬元資金,第1名到第10名所得資金構成數(shù)列{an},前n項和為Sn,∴2an=x-Sn-1+2,2an+1=x-Sn+2,兩式相減得2an+1-2an=-an,∴2an+1=an.故單位共拿出2

046萬元資金進行獎勵.隨堂練習1.一彈性球從100米高處自由落下,每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下,則第10次著地時所經(jīng)過的路程和是

米.(結果精確到1)

解析:依題意,設小球第n次著地時經(jīng)過的路程為an,則a1=100,a2=100,a3=50……答案:3002.一個七層的塔,每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍,一共點381盞燈,則底層所點燈的盞數(shù)是

.

答案:1923.某人的月工資由基礎工資和績效工資組成,2012年每月的基礎工資為2100元,績效工資為2000元.從2013年起每月基礎工資比上一年增加210元,績效工資為上一年的110%.照此推算,此人2024年的年薪為

萬元.(結果精確到0.01)

解析:由題意可得,基礎工資是以2

100元為首項,以210元為公差的等差數(shù)列,績效工資是以2

000元為首項,以1.1為公比的等比數(shù)列.則此人2024年每月的基礎工資為2

100+(2

024-2

012)×210=4

620元,每月的績效工資為2

000×1.12

024-2

012≈6

276.86元,則此人2024年的年薪為12×(4

620+6

276.86