高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 13.3 幾何概型題組訓(xùn)練 理 蘇教版

第3講幾何概型基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1．一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，當(dāng)某人到達(dá)路口時看見的是紅燈的概率是________．解析以時間的長短進(jìn)行度量，故P＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)2．取一根長度為4m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1m的概率是________．解析把繩子4等分，當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時，兩段繩子都不少于1m，故所求概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)3．點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長度小于1的概率為________．解析如圖可設(shè)與的長度等于1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長3，則其概率是eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)4．已知如圖所示的矩形，長為12，寬為5，在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲1000粒黃豆，落在陰影部分的黃豆為600粒，則可以估計(jì)出陰影部分的面積為________．解析設(shè)所求的面積為S，由題意，得eq\f(600,1000)＝eq\f(S,5×12)，則S＝36.答案365．(·長沙聯(lián)考)點(diǎn)P在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，則動點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|≤1的概率為______．解析如圖，滿足|PA|≤1的點(diǎn)P在如圖所示陰影部分運(yùn)動，則動點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|≤1的概率為eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(\f(1,4)×π×12,1×1)＝eq\f(π,4).答案eq\f(π,4)6．(·遼寧卷改編)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為________．解析設(shè)AC＝xcm,0＜x＜12，則CB＝(12－x)cm，要使矩形面積大于20cm2，只要x(12－x)＞20，則x2－12x＋20＜0，解得2＜x＜10，所求概率為P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)7．一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為________．解析由已知條件，可知蜜蜂只能在一個棱長為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型，可得蜜蜂“安全飛行”的概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).答案eq\f(1,27)8．(·淮安模擬)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個數(shù)x，cosx的值介于0至eq\f(1,2)之間的概率為________．解析由0≤cosx≤eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，可得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)，或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，結(jié)合幾何概型的概率公式可得所求的概率為P＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)二、解答題9．在1升高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？從中隨機(jī)取出30毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？解1升＝1000毫升，記事件A：“取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子”．則P(A)＝eq\f(10,1000)＝0.01，即取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子的概率為0.01.記事件B：“取30毫升種子含有帶麥銹病的種子”．則P(B)＝eq\f(30,1000)＝0.03，即取30毫升種子含有帶麥銹病的種子的概率為0.03.10．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù)，求方程有實(shí)根的概率．解設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b.試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根據(jù)條件畫出構(gòu)成的區(qū)域(略)，可得所求的概率為P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1.如圖所示，設(shè)M是半徑為R的圓周上一個定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連接MN，則弦MN的長超過eq\r(2)R的概率為________．解析如圖，在圓上過圓心O作與OM垂直的直徑CD，則MD＝MC＝eq\r(2)R，當(dāng)點(diǎn)N不在半圓弧上時，MN＞eq\r(2)R，故所求的概率P(A)＝eq\f(πR,2πR)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)2．(·湖北卷改編)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是________．解析如圖，設(shè)OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S扇形OCD＝eq\f(π,4)，∴在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝eq\f(π,2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)))＝1，所有陰影面積為π－2.故所求概率P＝eq\f(π－1×2,π)＝1－eq\f(2,π).答案1－eq\f(2,π)3．(·徐州二模)已知正三棱錐S－ABC的底邊長為4，高為3，在三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是________．解析三棱錐P－ABC與三棱錐S－ABC的底面相同，VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC就是三棱錐P－ABC的高小于三棱錐S－ABC的高的一半，過高的中點(diǎn)作一平行底面的截面，這個截面下任取一點(diǎn)都符合題意，設(shè)底面ABC的面積為S，三棱錐S－ABC的高為h，則所求概率為：P＝eq\f(\f(1,3)Sh－\f(1,3)×\f(1,4)S×\f(1,2)h,\f(1,3)Sh)＝eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)二、解答題4．設(shè)AB＝6，在線段AB上任取兩點(diǎn)(端點(diǎn)A，B除外)，將線段AB分成了三條線段，(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；(2)若分成的三條線段的長度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率．解(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度所有可能情況是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3種情況，其中只有三條線段長為2,2,2時能構(gòu)成三角形，故構(gòu)成三角形的概率為P＝eq\f(1,3).(2)設(shè)其中兩條線段長度分別為x，y，則第三條線段長度為6－x－y，故全部試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜6，,0＜y＜6，,0＜6－x－y＜6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜6，,0＜y＜6，,0＜x＋y＜6，))所表示的平面區(qū)域?yàn)椤鱋AB.若三條線段x，y,6－x－y能構(gòu)成三角形，則還要滿足e