材料力學(xué)之材料疲勞分析算法：熱機械疲勞分析：材料的熱機械疲勞行為分析.Tex.header

材料力學(xué)之材料疲勞分析算法：熱機械疲勞分析：材料的熱機械疲勞行為分析1材料力學(xué)之材料疲勞分析算法：熱機械疲勞分析1.1緒論1.1.1疲勞分析的重要性在工程設(shè)計和材料科學(xué)領(lǐng)域，疲勞分析是評估材料在循環(huán)載荷作用下長期性能的關(guān)鍵步驟。材料在反復(fù)的應(yīng)力或應(yīng)變作用下，即使應(yīng)力水平遠(yuǎn)低于其靜態(tài)強度極限，也可能發(fā)生疲勞破壞。這種破壞模式在航空航天、汽車、能源和制造等行業(yè)中尤其重要，因為它們涉及的結(jié)構(gòu)和部件經(jīng)常承受周期性的熱和機械載荷。熱機械疲勞（ThermalMechanicalFatigue,TMF）分析更進(jìn)一步，它考慮了溫度變化對材料疲勞行為的影響。在許多實際應(yīng)用中，如渦輪葉片、熱交換器和核反應(yīng)堆組件，材料同時受到機械應(yīng)力和溫度波動的雙重作用。這些條件下的疲勞分析需要綜合考慮材料的熱膨脹、熱應(yīng)力、機械應(yīng)力以及它們之間的相互作用，以準(zhǔn)確預(yù)測材料的壽命和可靠性。1.1.2熱機械疲勞的基本概念熱機械疲勞分析基于幾個核心概念：熱應(yīng)力：當(dāng)材料受到溫度變化時，由于熱膨脹或熱收縮，材料內(nèi)部會產(chǎn)生應(yīng)力。如果溫度變化是周期性的，這些應(yīng)力也會隨之周期性變化，導(dǎo)致熱疲勞。機械應(yīng)力：外部載荷或內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化引起的應(yīng)力。在熱機械疲勞分析中，機械應(yīng)力通常與熱應(yīng)力疊加，共同作用于材料。應(yīng)變：材料在應(yīng)力作用下發(fā)生的變形。熱機械疲勞分析中，應(yīng)變包括彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變，以及由溫度變化引起的熱應(yīng)變。疲勞壽命：材料在特定的熱機械載荷下能夠承受的循環(huán)次數(shù)，直到發(fā)生疲勞破壞。損傷累積理論：如Miner法則，用于預(yù)測材料在不同應(yīng)力水平下的疲勞壽命。損傷累積理論認(rèn)為，材料的總損傷是各個應(yīng)力循環(huán)下?lián)p傷的累加。材料模型：用于描述材料在熱機械載荷下的行為，如彈塑性模型、蠕變模型和斷裂力學(xué)模型。1.1.3示例：熱機械疲勞分析的簡化模型假設(shè)我們有一個簡單的熱機械疲勞分析模型，用于評估一個金屬部件在周期性溫度變化和機械載荷下的疲勞行為。我們將使用Python和NumPy庫來實現(xiàn)這個模型。importnumpyasnp

#定義材料屬性

elastic_modulus=200e9#彈性模量，單位：Pa

thermal_expansion_coefficient=12e-6#熱膨脹系數(shù)，單位：1/K

yield_strength=300e6#屈服強度，單位：Pa

#定義熱機械載荷

temperature_cycle=np.array([300,400,300])#溫度循環(huán)，單位：K

mechanical_stress=np.array([100e6,200e6,100e6])#機械應(yīng)力循環(huán)，單位：Pa

#計算熱應(yīng)變

thermal_strain=thermal_expansion_coefficient*(temperature_cycle-temperature_cycle[0])

#計算總應(yīng)變

total_strain=mechanical_stress/elastic_modulus+thermal_strain

#檢查是否超過屈服強度

yield_exceeded=np.any(np.abs(total_strain)>yield_strength/elastic_modulus)

#輸出結(jié)果

ifyield_exceeded:

print("材料在熱機械疲勞分析中超過了屈服強度。")

else:

print("材料在熱機械疲勞分析中未超過屈服強度。")在這個例子中，我們首先定義了材料的彈性模量、熱膨脹系數(shù)和屈服強度。然后，我們定義了溫度和機械應(yīng)力的循環(huán)。通過計算熱應(yīng)變和總應(yīng)變，我們可以檢查材料是否在熱機械疲勞分析中超過了屈服強度。這只是一個非常簡化的模型，實際的熱機械疲勞分析會更復(fù)雜，涉及更詳細(xì)的材料模型和損傷累積理論。通過這個簡化的模型，我們可以開始理解熱機械疲勞分析的基本原理和步驟。在實際應(yīng)用中，這些分析通常在更復(fù)雜的軟件環(huán)境中進(jìn)行，如ANSYS、ABAQUS或Nastran，它們提供了更高級的材料模型和分析工具。然而，理解基本概念和能夠手動或使用簡單的編程工具進(jìn)行初步分析，對于深入學(xué)習(xí)和應(yīng)用熱機械疲勞分析至關(guān)重要。2熱機械疲勞分析基礎(chǔ)2.1材料的熱疲勞特性熱疲勞是材料在溫度周期性變化作用下，由于熱應(yīng)力和熱應(yīng)變的反復(fù)作用而產(chǎn)生的疲勞現(xiàn)象。熱應(yīng)力和熱應(yīng)變主要由材料的熱膨脹系數(shù)和熱導(dǎo)率決定。當(dāng)材料受到熱循環(huán)時，如果熱膨脹受到約束，就會產(chǎn)生熱應(yīng)力；如果熱導(dǎo)率低，材料內(nèi)部的溫度梯度會導(dǎo)致熱應(yīng)變。熱疲勞的分析通常涉及溫度場、熱應(yīng)力場和熱應(yīng)變場的計算。2.1.1示例：熱應(yīng)力計算假設(shè)我們有如下材料參數(shù)和熱循環(huán)條件：材料熱膨脹系數(shù)：α材料彈性模量：E材料泊松比：ν溫度變化：Δ我們可以使用以下公式計算熱應(yīng)力：σ在Python中，我們可以這樣計算：#定義材料參數(shù)

alpha=1.2e-5#熱膨脹系數(shù)

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

dT=100#溫度變化

#計算熱應(yīng)力

sigma_熱=alpha*E*dT*(1-nu)

print(f"熱應(yīng)力為：{sigma_熱}Pa")2.2材料的機械疲勞特性機械疲勞是指材料在反復(fù)機械載荷作用下，即使應(yīng)力低于材料的屈服強度，也會逐漸產(chǎn)生損傷，最終導(dǎo)致材料斷裂的現(xiàn)象。機械疲勞分析通常涉及應(yīng)力-應(yīng)變循環(huán)、疲勞壽命預(yù)測和損傷累積法則。2.2.1示例：S-N曲線的疲勞壽命預(yù)測S-N曲線是描述材料在不同應(yīng)力水平下的疲勞壽命的圖表。假設(shè)我們有以下S-N曲線數(shù)據(jù)：應(yīng)力水平(MPa)疲勞壽命(cycles)1001e61501e52001e4我們可以使用插值方法預(yù)測在175MPa應(yīng)力水平下的疲勞壽命。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

fromerpolateimportinterp1d

#S-N曲線數(shù)據(jù)

stress=np.array([100,150,200])

cycles=np.array([1e6,1e5,1e4])

#創(chuàng)建插值函數(shù)

f=interp1d(stress,cycles)

#預(yù)測175MPa下的疲勞壽命

predicted_cycles=f(175)

print(f"在175MPa應(yīng)力水平下的預(yù)測疲勞壽命為：{predicted_cycles}cycles")

#繪制S-N曲線

plt.loglog(stress,cycles,'o',stress,f(stress),'-')

plt.xlabel('應(yīng)力水平(MPa)')

plt.ylabel('疲勞壽命(cycles)')

plt.title('S-N曲線')

plt.grid(True)

plt.show()2.3熱機械疲勞的耦合效應(yīng)熱機械疲勞分析需要考慮熱效應(yīng)和機械效應(yīng)的耦合。在實際應(yīng)用中，溫度變化引起的熱應(yīng)力和機械載荷引起的機械應(yīng)力會相互影響，導(dǎo)致材料的疲勞行為更加復(fù)雜。耦合效應(yīng)的分析通常需要使用有限元方法，結(jié)合熱傳導(dǎo)方程和彈性力學(xué)方程進(jìn)行綜合求解。2.3.1示例：有限元分析中的熱機械耦合在有限元分析軟件如ANSYS或ABAQUS中，熱機械耦合分析可以通過定義材料屬性、熱邊界條件和機械邊界條件來實現(xiàn)。以下是一個簡化的ABAQUS腳本示例，用于設(shè)置熱機械耦合分析：#ABAQUS腳本示例

fromabaqusimport*

fromabaqusConstantsimport*

fromodbAccessimport*

fromvisualizationimport*

#創(chuàng)建模型

model=mdb.Model(name='ThermoMechanicalCoupling')

#定義材料屬性

material=model.Material(name='Steel')

material.Elastic(table=((200e9,0.3),))

material.Conductivity(table=((40,0.0),))

material.Expansion(table=((1.2e-5,0.0),))

#創(chuàng)建零件

part=model.Part(name='Part-1',dimensionality=THREE_D,type=DEFORMABLE_BODY)

part.BaseSolidExtrude(sketch=ConstrainedSketch(name='__profile__',sheetSize=200.0),depth=10.0)

#定義熱邊界條件

bc=part.Set(name='Set-1',faces=part.faces.findAt(((0.0,0.0,0.0),)))

model.Temperature(name='TempBC',createStepName='Initial',region=bc,distributionType=UNIFORM,field='',magnitude=20.0)

#定義機械邊界條件

bc=part.Set(name='Set-2',edges=part.edges.findAt(((0.0,0.0,10.0),)))

model.DisplacementBC(name='MechBC',createStepName='Initial',region=bc,u1=0.0,u2=0.0,u3=0.0,ur1=UNSET,ur2=UNSET,ur3=UNSET,amplitude=UNSET,fixed=OFF,distributionType=UNIFORM,fieldName='',localCsys=None)

#創(chuàng)建分析步

model.StaticStep(name='Step-1',previous='Initial',initialInc=0.1,maxNumInc=1000)

#提交分析

mdb.Job(name='Job-1',model='ThermoMechanicalCoupling',description='',type=ANALYSIS,atTime=None,waitMinutes=0,waitHours=0,queue=None,memory=90,memoryUnits=PERCENTAGE,getMemoryFromAnalysis=True,explicitPrecision=SINGLE,nodalOutputPrecision=SINGLE,echoPrint=OFF,modelPrint=OFF,contactPrint=OFF,historyPrint=OFF).submit(consistencyChecking=OFF)這個腳本定義了一個三維零件，設(shè)置了材料屬性，包括彈性模量、熱導(dǎo)率和熱膨脹系數(shù)，并定義了熱邊界條件和機械邊界條件。最后，創(chuàng)建了一個靜態(tài)分析步并提交了分析任務(wù)。以上示例和代碼僅用于說明熱機械疲勞分析的基本原理和方法，實際應(yīng)用中需要根據(jù)具體問題調(diào)整參數(shù)和模型。3熱機械疲勞分析方法3.1有限元分析在熱機械疲勞中的應(yīng)用3.1.1原理有限元分析(FiniteElementAnalysis,FEA)是一種數(shù)值模擬技術(shù)，廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計和分析中，特別是在熱機械疲勞分析領(lǐng)域。它通過將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分解成許多小的、簡單的部分（即有限元），然后對每個部分進(jìn)行分析，最后將結(jié)果綜合，來預(yù)測整個結(jié)構(gòu)的性能。在熱機械疲勞分析中，F(xiàn)EA能夠同時考慮溫度變化和機械載荷對材料疲勞行為的影響，通過求解熱傳導(dǎo)方程和應(yīng)力應(yīng)變方程，得到溫度場和應(yīng)力場的分布，進(jìn)而評估材料的疲勞壽命。3.1.2內(nèi)容熱傳導(dǎo)方程求解：在熱機械疲勞分析中，首先需要通過熱傳導(dǎo)方程求解溫度場。這涉及到材料的熱物理性質(zhì)，如熱導(dǎo)率、比熱容和密度，以及邊界條件，如熱源、熱沉和對流條件。應(yīng)力應(yīng)變方程求解：一旦溫度場確定，就可以通過應(yīng)力應(yīng)變方程求解結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變。這一步驟需要考慮材料的熱膨脹系數(shù)，因為溫度變化會導(dǎo)致材料膨脹或收縮，從而產(chǎn)生熱應(yīng)力。疲勞壽命預(yù)測：最后，基于求得的溫度場和應(yīng)力場，使用疲勞分析算法（如S-N曲線、Goodman修正、Miner累積損傷理論等）來預(yù)測材料的疲勞壽命。3.1.3示例假設(shè)我們有一個簡單的金屬板，受到周期性的熱載荷和機械載荷。我們將使用Python的FEniCS庫來演示如何進(jìn)行熱機械疲勞分析。fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,1),10,10)

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant(0),boundary)

#定義材料參數(shù)

rho=7800#密度

cp=500#比熱容

k=50#熱導(dǎo)率

alpha=12e-6#熱膨脹系數(shù)

E=210e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

#定義熱源和機械載荷

q=Expression('sin(2*pi*x[0])*sin(2*pi*x[1])',degree=2)

f=Constant((0,-1e6))

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=rho*cp*inner(grad(u),grad(v))*dx+E/(1-nu**2)*(inner(grad(u),grad(v))*dx+nu*inner(div(u),div(v))*dx)

L=q*v*dx+inner(f,v)*dx

#求解溫度場

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#求解位移場

u_displacement=Function(V)

solve(a==inner(f,v)*dx,u_displacement,bc)

#計算熱應(yīng)力

T=u

d=u.geometric_dimension()

I=Identity(d)

stress=E/(1+nu)*inner(grad(T),grad(T))*I-E/(1-2*nu)*div(grad(T))*I3.2基于壽命預(yù)測的熱機械疲勞分析3.2.1原理基于壽命預(yù)測的熱機械疲勞分析，主要依賴于疲勞分析理論和模型，如S-N曲線、Goodman修正、Miner累積損傷理論等。這些理論和模型能夠根據(jù)材料的應(yīng)力-應(yīng)變循環(huán)和溫度變化，預(yù)測材料的疲勞壽命。在實際應(yīng)用中，這些模型需要與有限元分析的結(jié)果相結(jié)合，以獲得更準(zhǔn)確的壽命預(yù)測。3.2.2內(nèi)容S-N曲線：S-N曲線是描述材料在不同應(yīng)力水平下疲勞壽命的圖表。在熱機械疲勞分析中，需要根據(jù)材料在特定溫度下的S-N曲線來預(yù)測壽命。Goodman修正：Goodman修正是一種將平均應(yīng)力效應(yīng)考慮進(jìn)S-N曲線的方法，適用于非對稱循環(huán)載荷的情況。Miner累積損傷理論：Miner累積損傷理論認(rèn)為，材料的損傷是累積的，每一次循環(huán)載荷都會對材料造成一定的損傷，當(dāng)損傷累積到一定程度時，材料就會發(fā)生疲勞破壞。3.2.3示例假設(shè)我們已經(jīng)得到了材料在不同溫度下的S-N曲線，現(xiàn)在我們將使用這些數(shù)據(jù)和numpy庫來預(yù)測材料的疲勞壽命。importnumpyasnp

#材料在不同溫度下的S-N曲線數(shù)據(jù)

T=np.array([20,100,200,300,400])#溫度

S_N=np.array([[100e6,1e6],[80e6,5e5],[60e6,2e5],[40e6,1e5],[20e6,5e4]])#應(yīng)力-壽命數(shù)據(jù)

#定義溫度和應(yīng)力水平

temperature=200

stress_level=50e6

#使用插值方法找到對應(yīng)溫度下的S-N曲線

S_N_at_T=erp(temperature,T,S_N[:,0]),erp(temperature,T,S_N[:,1])

#預(yù)測壽命

stress=S_N_at_T[0]

N=S_N_at_T[1]

predicted_life=N*(stress_level/stress)**(-1)3.3多物理場耦合分析技術(shù)3.3.1原理多物理場耦合分析技術(shù)是指在分析過程中同時考慮多種物理現(xiàn)象（如熱、機械、電磁等）的相互作用。在熱機械疲勞分析中，這意味著不僅要考慮溫度變化引起的熱效應(yīng)，還要考慮機械載荷引起的應(yīng)力效應(yīng)，以及兩者之間的相互影響。這種技術(shù)能夠提供更全面、更準(zhǔn)確的材料性能預(yù)測。3.3.2內(nèi)容耦合方程：在多物理場耦合分析中，需要同時求解多個物理場的方程，如熱傳導(dǎo)方程、應(yīng)力應(yīng)變方程等，并確保這些方程在邊界條件和材料參數(shù)上相互一致。迭代求解：由于熱效應(yīng)和機械效應(yīng)之間存在相互依賴關(guān)系，通常需要通過迭代求解來獲得耦合問題的解。材料參數(shù)的溫度依賴性：在熱機械耦合分析中，材料的物理和力學(xué)性質(zhì)（如熱導(dǎo)率、彈性模量等）通常隨溫度變化，這需要在分析中予以考慮。3.3.3示例我們將使用FEniCS庫和numpy庫來演示如何進(jìn)行多物理場耦合分析，特別關(guān)注熱效應(yīng)和機械效應(yīng)之間的相互作用。fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,1),10,10)

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant(0),boundary)

#定義材料參數(shù)（隨溫度變化）

defmaterial_properties(T):

rho=7800#密度

cp=500+0.5*T#比熱容隨溫度變化

k=50+0.1*T#熱導(dǎo)率隨溫度變化

alpha=12e-6#熱膨脹系數(shù)

E=210e9-0.1e9*T#彈性模量隨溫度變化

nu=0.3#泊松比

returnrho,cp,k,alpha,E,nu

#定義熱源和機械載荷

q=Expression('sin(2*pi*x[0])*sin(2*pi*x[1])',degree=2)

f=Constant((0,-1e6))

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

T=Function(V)

#求解溫度場

rho,cp,k,_,_,_=material_properties(T)

a=rho*cp*inner(grad(u),grad(v))*dx+k*inner(grad(u),grad(v))*dx

L=q*v*dx

solve(a==L,u,bc)

#更新材料參數(shù)

T.assign(u)

rho,cp,k,alpha,E,nu=material_properties(T)

#求解位移場

a=E/(1-nu**2)*(inner(grad(u),grad(v))*dx+nu*inner(div(u),div(v))*dx)

L=inner(f,v)*dx

solve(a==L,u_displacement,bc)

#計算熱應(yīng)力

d=u.geometric_dimension()

I=Identity(d)

stress=E/(1+nu)*inner(grad(T),grad(T))*I-E/(1-2*nu)*div(grad(T))*I通過上述示例，我們可以看到，熱機械疲勞分析不僅需要考慮單一的物理現(xiàn)象，還需要通過多物理場耦合分析技術(shù)，綜合考慮溫度變化和機械載荷對材料性能的影響，以獲得更準(zhǔn)確的疲勞壽命預(yù)測。4熱機械疲勞模型建立4.1模型的幾何與網(wǎng)格劃分在進(jìn)行熱機械疲勞分析前，首先需要建立準(zhǔn)確的幾何模型。幾何模型應(yīng)詳細(xì)反映材料的形狀、尺寸和結(jié)構(gòu)特征。例如，如果分析的對象是一個渦輪葉片，模型應(yīng)包括葉片的輪廓、厚度、以及任何可能影響熱應(yīng)力分布的細(xì)節(jié)，如冷卻孔。4.1.1網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分是將幾何模型離散化為一系列小單元的過程，這些單元可以是四面體、六面體或其他形狀，具體取決于分析軟件和模型的復(fù)雜性。網(wǎng)格的質(zhì)量直接影響分析的準(zhǔn)確性和計算效率。以下是一個使用Python和FEniCS庫進(jìn)行網(wǎng)格劃分的例子：fromdolfinimport*

#創(chuàng)建幾何模型

mesh=UnitSquareMesh(10,10)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

#創(chuàng)建邊界條件

bc=DirichletBC(VectorFunctionSpace(mesh,"CG",1),Constant((0,0)),boundary)

#定義材料屬性和載荷

E=1.0e+5#彈性模量

nu=0.3#泊松比

rho=1.0#密度

alpha=1.0e-5#熱膨脹系數(shù)

T0=300.0#初始溫度

T1=400.0#應(yīng)用的溫度

f=Constant((0,-1.0))#機械載荷

#定義變分問題

V=VectorFunctionSpace(mesh,"CG",1)

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=(2*mu*inner(sym(grad(u)),sym(grad(v)))+lambda_*div(u)*div(v))*dx

L=inner(f,v)*dx+rho*alpha*(T1-T0)*inner(Constant((1,0)),v)*dx

#求解變分問題

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

file=File("displacement.pvd")

file<<u在這個例子中，我們創(chuàng)建了一個單位正方形網(wǎng)格，并定義了邊界條件、材料屬性和載荷。然后，我們定義了一個變分問題，求解了位移場，并將結(jié)果輸出到一個文件中。4.2材料屬性的定義材料屬性是熱機械疲勞分析的關(guān)鍵參數(shù)，包括彈性模量、泊松比、熱膨脹系數(shù)、熱導(dǎo)率、比熱容和屈服強度等。這些屬性通常在材料數(shù)據(jù)手冊中提供，或者通過實驗測定。在FEniCS中，我們可以如下定義材料屬性：#定義材料屬性

mu=1.0e+3#剪切模量

lambda_=1.0e+3#拉梅常數(shù)

k=1.0#熱導(dǎo)率

cp=1.0#比熱容

sy=1.0e+2#屈服強度4.3熱載荷與機械載荷的施加熱載荷和機械載荷的施加是熱機械疲勞分析的重要步驟。熱載荷通常由溫度變化引起，而機械載荷則包括外力和內(nèi)部應(yīng)力。在FEniCS中，我們可以使用Constant或Expression來定義載荷：#定義熱載荷

T=Expression("300+100*sin(2*pi*x[0])",degree=1)#溫度分布

#定義機械載荷

f=Expression(("0","-1"),degree=0)#作用在y方向的力在這個例子中，我們定義了一個隨位置變化的溫度分布作為熱載荷，以及一個作用在y方向的恒定力作為機械載荷。4.3.1結(jié)合熱載荷和機械載荷在實際分析中，熱載荷和機械載荷通常是同時作用的，這要求我們建立一個耦合的變分問題，同時考慮熱效應(yīng)和機械效應(yīng)。以下是一個結(jié)合熱載荷和機械載荷的變分問題定義：#定義變分問題

a=(2*mu*inner(sym(grad(u)),sym(grad(v)))+lambda_*div(u)*div(v))*dx

L=inner(f,v)*dx+rho*alpha*(T-T0)*inner(Constant((1,0)),v)*dx

#求解變分問題

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)在這個例子中，我們通過在L中加入溫度變化引起的項，將熱載荷和機械載荷結(jié)合在一起。通過以上步驟，我們可以建立一個熱機械疲勞模型，進(jìn)行材料的熱機械疲勞行為分析。這包括了模型的幾何與網(wǎng)格劃分、材料屬性的定義，以及熱載荷與機械載荷的施加，為后續(xù)的疲勞壽命預(yù)測和材料性能評估提供了基礎(chǔ)。5材料的熱機械疲勞行為分析5.1熱機械疲勞的應(yīng)力-應(yīng)變分析熱機械疲勞（ThermalMechanicalFatigue,TMF）是材料在溫度循環(huán)和機械載荷共同作用下發(fā)生的一種疲勞現(xiàn)象。在熱機械疲勞分析中，應(yīng)力-應(yīng)變分析是核心，它涉及到材料在不同溫度下的彈性、塑性以及蠕變行為。5.1.1原理在溫度變化和機械載荷的共同作用下，材料內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變會隨時間而變化。這種變化不僅受到材料本身特性的影響，還受到溫度循環(huán)和載荷循環(huán)的頻率、幅度以及相位的影響。應(yīng)力-應(yīng)變分析通常包括以下幾個步驟：確定材料的熱物理性質(zhì)：包括熱膨脹系數(shù)、熱導(dǎo)率、比熱等，這些性質(zhì)決定了材料在溫度變化下的變形。計算熱應(yīng)力：由于溫度變化引起的熱膨脹或收縮，如果材料的變形受到約束，就會產(chǎn)生熱應(yīng)力。計算機械應(yīng)力：外部機械載荷作用于材料上產(chǎn)生的應(yīng)力。綜合分析：將熱應(yīng)力和機械應(yīng)力疊加，分析材料在熱機械疲勞下的應(yīng)力-應(yīng)變行為。5.1.2內(nèi)容在熱機械疲勞分析中，通常使用有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）來模擬材料的應(yīng)力-應(yīng)變行為。FEM可以處理復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件，是分析熱機械疲勞問題的有效工具。示例：使用Python和FEniCS進(jìn)行熱機械疲勞的應(yīng)力-應(yīng)變分析fromdolfinimport*

importnumpyasnp

#定義材料參數(shù)

E=1e5#彈性模量

nu=0.3#泊松比

alpha=1e-5#熱膨脹系數(shù)

k=10#熱導(dǎo)率

c=1000#比熱

#創(chuàng)建網(wǎng)格和函數(shù)空間

mesh=UnitSquareMesh(10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',2)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義溫度場

T=Function(V)

T.interpolate(Expression('x[0]<0.5?300:400',degree=2))

#定義機械載荷

f=Constant((0,-1e4))

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=(E/(1-nu**2))*inner(grad(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx+alpha*E/(1-nu)*inner(T,div(v))*dx

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

file=File('displacement.pvd')

file<<u此示例使用Python的FEniCS庫來模擬一個單位正方形在溫度梯度和機械載荷下的變形。通過定義材料參數(shù)、網(wǎng)格、邊界條件、溫度場和機械載荷，構(gòu)建了熱機械疲勞的應(yīng)力-應(yīng)變分析模型。5.2溫度與應(yīng)變對疲勞壽命的影響溫度和應(yīng)變是影響材料疲勞壽命的兩個關(guān)鍵因素。在熱機械疲勞中，溫度變化會導(dǎo)致材料的熱應(yīng)力，而應(yīng)變則由機械載荷產(chǎn)生。這兩個因素的綜合作用會加速材料的疲勞損傷，縮短其使用壽命。5.2.1原理溫度對材料疲勞壽命的影響主要體現(xiàn)在以下幾個方面：改變材料的彈性模量和屈服強度：高溫下，材料的彈性模量和屈服強度會降低，導(dǎo)致材料更容易發(fā)生塑性變形。促進(jìn)裂紋的形成和擴展：高溫下，材料的裂紋擴展速率會增加，從而加速疲勞損傷。影響材料的微觀結(jié)構(gòu)：溫度變化可以引起材料微觀結(jié)構(gòu)的變化，如晶粒長大、相變等，這些變化會影響材料的疲勞性能。應(yīng)變對疲勞壽命的影響主要體現(xiàn)在應(yīng)變幅度和應(yīng)變循環(huán)頻率上。應(yīng)變幅度越大，材料承受的應(yīng)力也越大，疲勞損傷越快。應(yīng)變循環(huán)頻率的增加也會加速疲勞損傷的積累。5.2.2內(nèi)容在熱機械疲勞分析中，通常使用S-N曲線（Stress-Life或Strain-Life曲線）來評估材料的疲勞壽命。S-N曲線是在特定溫度下，材料承受的應(yīng)力或應(yīng)變與疲勞壽命的關(guān)系曲線。通過實驗數(shù)據(jù)擬合S-N曲線，可以預(yù)測材料在不同溫度和應(yīng)變條件下的疲勞壽命。5.3熱機械疲勞裂紋擴展分析熱機械疲勞裂紋擴展分析是研究材料在熱機械疲勞作用下裂紋如何形成和擴展的過程。裂紋的擴展速率和路徑對材料的最終失效有決定性影響。5.3.1原理裂紋擴展分析通?；跀嗔蚜W(xué)理論，特別是J積分和裂紋尖端的應(yīng)力強度因子（StressIntensityFactor,SIF）。在熱機械疲勞中，裂紋擴展速率不僅受到機械應(yīng)力的影響，還受到溫度梯度的影響。溫度梯度可以改變裂紋尖端的應(yīng)力分布，從而影響裂紋的擴展方向和速率。5.3.2內(nèi)容裂紋擴展分析通常包括以下幾個步驟：確定裂紋的初始位置和形狀。計算裂紋尖端的應(yīng)力強度因子。根據(jù)裂紋擴展準(zhǔn)則（如Paris公式）預(yù)測裂紋的擴展速率。模擬裂紋的擴展路徑。示例：使用Python和FEniCS進(jìn)行熱機械疲勞裂紋擴展分析fromdolfinimport*

importnumpyasnp

#定義材料參數(shù)

E=1e5#彈性模量

nu=0.3#泊松比

alpha=1e-5#熱膨脹系數(shù)

k=10#熱導(dǎo)率

c=1000#比熱

C=1e-12#Paris公式常數(shù)

m=3#Paris公式指數(shù)

#創(chuàng)建網(wǎng)格和函數(shù)空間

mesh=UnitSquareMesh(10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',2)

#定義裂紋

crack=CompiledSubDomain('near(x[0],0.5)&&near(x[1],0.5)')

#定義溫度場

T=Function(V)

T.interpolate(Expression('x[0]<0.5?300:400',degree=2))

#定義機械載荷

f=Constant((0,-1e4))

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=(E/(1-nu**2))*inner(grad(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx+alpha*E/(1-nu)*inner(T,div(v))*dx

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary))

#計算裂紋尖端的應(yīng)力強度因子

SIF=assemble(Constant(1)*ds(domain=crack))

#根據(jù)Paris公式預(yù)測裂紋擴展速率

da_dt=C*(SIF**m)

#輸出結(jié)果

file=File('displacement.pvd')

file<<u此示例展示了如何使用Python和FEniCS庫來模擬一個單位正方形在溫度梯度和機械載荷作用下裂紋的擴展。通過定義材料參數(shù)、網(wǎng)格、裂紋位置、溫度場和機械載荷，計算了裂紋尖端的應(yīng)力強度因子，并使用Paris公式預(yù)測了裂紋的擴展速率。然而，實際的裂紋擴展分析會更加復(fù)雜，需要考慮裂紋的幾何形狀、材料的斷裂韌性以及溫度和應(yīng)力的動態(tài)變化等因素。以上內(nèi)容僅為熱機械疲勞分析的基本原理和方法的簡要介紹。熱機械疲勞分析是一個復(fù)雜的多學(xué)科交叉領(lǐng)域，涉及到材料科學(xué)、熱力學(xué)、斷裂力學(xué)以及數(shù)值模擬等多個方面的知識。在實際應(yīng)用中，還需要根據(jù)具體材料和工況，選擇合適的分析方法和模型參數(shù)，以確保分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。6熱機械疲勞壽命預(yù)測6.1S-N曲線與疲勞壽命預(yù)測6.1.1原理S-N曲線，即應(yīng)力-壽命曲線，是材料疲勞分析中的一種基本工具，用于描述材料在不同應(yīng)力水平下的疲勞壽命。曲線的一端通常表示材料在高應(yīng)力下的低壽命，另一端表示在低應(yīng)力下的高壽命。S-N曲線的建立基于大量的疲勞試驗數(shù)據(jù)，通過這些數(shù)據(jù)，可以預(yù)測材料在特定應(yīng)力循環(huán)下的預(yù)期壽命。6.1.2內(nèi)容S-N曲線的構(gòu)建需要進(jìn)行疲勞試驗，試驗中材料樣品在不同應(yīng)力水平下進(jìn)行循環(huán)加載，直到樣品發(fā)生疲勞破壞。試驗結(jié)果被整理成應(yīng)力與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系圖，即S-N曲線。在實際應(yīng)用中，S-N曲線可以用于設(shè)計和評估機械部件的疲勞壽命，確保其在預(yù)期的使用條件下不會過早失效。6.1.3示例假設(shè)我們有以下一組S-N曲線數(shù)據(jù)，表示某材料在不同應(yīng)力水平下的循環(huán)次數(shù)至破壞：應(yīng)力（MPa）循環(huán)次數(shù)至破壞1001000015050002002000250800300300我們可以使用這些數(shù)據(jù)來預(yù)測在特定應(yīng)力水平下的材料壽命。例如，如果設(shè)計中材料承受的應(yīng)力為180MPa，我們可以根據(jù)S-N曲線估計其循環(huán)次數(shù)至破壞。#示例代碼：使用S-N曲線數(shù)據(jù)預(yù)測材料壽命

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

fromerpolateimportinterp1d

#S-N曲線數(shù)據(jù)

stress=np.array([100,150,200,250,300])

cycles=np.array([10000,5000,2000,800,300])

#使用插值函數(shù)構(gòu)建S-N曲線

sn_curve=interp1d(stress,cycles,kind='cubic')

#預(yù)測應(yīng)力為180MPa時的循環(huán)次數(shù)

predicted_cycles=sn_curve(180)

print(f"在180MPa應(yīng)力下，材料的預(yù)測循環(huán)次數(shù)至破壞為：{predicted_cycles:.0f}")

#繪制S-N曲線

plt.figure()

plt.plot(stress,cycles,'o',stress,sn_curve(stress),'-')

plt.title('S-N曲線示例')

plt.xlabel('應(yīng)力（MPa）')

plt.ylabel('循環(huán)次數(shù)至破壞')

plt.grid(True)

plt.show()6.2基于斷裂力學(xué)的壽命預(yù)測方法6.2.1原理基于斷裂力學(xué)的壽命預(yù)測方法主要關(guān)注材料中的裂紋擴展行為。這種方法認(rèn)為，材料的疲勞破壞是由裂紋的形成和擴展引起的。通過分析裂紋擴展速率與應(yīng)力強度因子的關(guān)系，可以預(yù)測材料在特定應(yīng)力循環(huán)下的裂紋擴展情況，進(jìn)而估計其疲勞壽命。6.2.2內(nèi)容斷裂力學(xué)方法通常使用Paris公式來描述裂紋擴展速率與應(yīng)力強度因子的關(guān)系。Paris公式為：d其中，da/dN是裂紋擴展速率，ΔK6.2.3示例假設(shè)我們有以下一組Paris公式參數(shù)，用于預(yù)測某材料的裂紋擴展速率：C=1.2×m如果材料中初始裂紋長度為a0=0.1mm，應(yīng)力強度因子范圍為ΔK=#示例代碼：基于斷裂力學(xué)預(yù)測材料壽命

importnumpyasnp

#Paris公式參數(shù)

C=1.2e-12

m=3.5

#初始裂紋長度和臨界裂紋長度

a0=0.1e-3#單位轉(zhuǎn)換為m

ac=1.0e-3#單位轉(zhuǎn)換為m

#應(yīng)力強度因子范圍

delta_K=50#單位為MPa^(0.5)

#預(yù)測裂紋擴展至臨界尺寸所需的循環(huán)次數(shù)

N=(ac-a0)/(C*(delta_K**m))

print(f"裂紋從{a0*1e3:.1f}mm擴展至{ac*1e3:.1f}mm所需的循環(huán)次數(shù)為：{N:.0f}")6.3熱機械疲勞壽命的統(tǒng)計預(yù)測6.3.1原理熱機械疲勞（ThermalMechanicalFatigue,TMF）是材料在溫度和機械載荷同時變化下的疲勞行為。統(tǒng)計預(yù)測方法考慮了材料性能的變異性以及載荷和溫度變化的隨機性，通過概率統(tǒng)計分析來預(yù)測材料的疲勞壽命。6.3.2內(nèi)容統(tǒng)計預(yù)測方法通常包括蒙特卡洛模擬，它通過隨機抽樣來模擬材料在不同載荷和溫度循環(huán)下的行為，從而估計材料壽命的分布。這種方法可以提供更全面的壽命預(yù)測，包括壽命的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及壽命分布的形狀。6.3.3示例假設(shè)我們有以下一組熱機械疲勞試驗數(shù)據(jù)，表示材料在不同溫度和應(yīng)力循環(huán)下的壽命分布：溫度（°C）應(yīng)力（MPa）壽命（cycle）20010010000200100120002001008000300150500030015060003001504000我們可以使用蒙特卡洛模擬來預(yù)測在特定溫度和應(yīng)力循環(huán)下的材料壽命分布。#示例代碼：使用蒙特卡洛模擬預(yù)測熱機械疲勞壽命

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#熱機械疲勞試驗數(shù)據(jù)

temperature=np.array([200,200,200,300,300,300])

stress=np.array([100,100,100,150,150,150])

life=np.array([10000,12000,8000,5000,6000,4000])

#建立溫度和應(yīng)力對壽命的影響模型

#假設(shè)壽命與溫度和應(yīng)力呈線性關(guān)系

coefficients=np.polyfit(np.column_stack((temperature,stress)).ravel(),life,1)

model=np.poly1d(coefficients)

#蒙特卡洛模擬

num_simulations=10000

simulated_temperatures=np.random.normal(250,20,num_simulations)#溫度隨機抽樣

simulated_stresses=np.random.normal(120,10,num_simulations)#應(yīng)力隨機抽樣

simulated_lives=model(np.column_stack((simulated_temperatures,simulated_stresses)).ravel())

#繪制壽命分布

plt.figure()

plt.hist(simulated_lives,bins=50)

plt.title('熱機械疲勞壽命分布')

plt.xlabel('壽命（cycle）')

plt.ylabel('頻率')

plt.grid(True)

plt.show()

#輸出壽命的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差

mean_life=np.mean(simulated_lives)

std_life=np.std(simulated_lives)

print(f"在溫度和應(yīng)力隨機變化下的平均壽命為：{mean_life:.0f}cycle")

print(f"壽命的標(biāo)準(zhǔn)差為：{std_life:.0f}cycle")以上示例展示了如何使用S-N曲線、斷裂力學(xué)以及蒙特卡洛模擬來預(yù)測材料的熱機械疲勞壽命。這些方法在工程設(shè)計和材料選擇中具有重要應(yīng)用價值。7案例研究與應(yīng)用7.1航空發(fā)動機熱機械疲勞分析7.1.1原理與內(nèi)容航空發(fā)動機在運行過程中，由于高溫和機械應(yīng)力的共同作用，其材料會經(jīng)歷復(fù)雜的熱機械疲勞(TMF)過程。TMF分析旨在評估材料在溫度循環(huán)和機械載荷下的壽命，確保發(fā)動機的安全性和可靠性。這一過程通常涉及材料的熱彈性塑性行為、蠕變、裂紋萌生和擴展等多方面因素。熱彈性塑性行為分析熱彈性塑性行為分析是通過計算材料在不同溫度下的彈性模量和塑性變形，來預(yù)測材料的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)。這需要使用材料的熱物理性能數(shù)據(jù)，如熱膨脹系數(shù)、彈性模量、屈服強度等，結(jié)合溫度和載荷條件進(jìn)行計算。蠕變分析蠕變是指材料在恒定應(yīng)力下，應(yīng)變隨時間逐漸增加的現(xiàn)象。在高溫下，蠕變成為影響航空發(fā)動機材料壽命的重要因素。蠕變分析通常采用蠕變本構(gòu)模型，如Norton-Bailey模型，來預(yù)測材料的蠕變行為。裂紋萌生與擴展分析裂紋萌生與擴展分析是評估材料疲勞壽命的關(guān)鍵步驟。在熱機械疲勞條件下，裂紋的萌生和擴展受到溫度和應(yīng)力循環(huán)的影響。使用斷裂力學(xué)理論，如Paris公式，可以預(yù)測裂紋的擴展速率。7.1.2示例：使用Python進(jìn)行航空發(fā)動機熱機械疲勞分析假設(shè)我們有以下數(shù)據(jù)樣例：材料的熱膨脹系數(shù)：α=12e-6/°C彈性模量：E=200e9Pa屈服強度：σy=250e6Pa溫度循環(huán)：Tmin=200°C,Tmax=600°C應(yīng)力循環(huán)：σmin=100e6Pa,σmax=300e6Pa我們將使用Python來分析材料在上述條件下的熱機械疲勞行為。importnumpyasnp

#材料熱物理性能數(shù)據(jù)

alpha=12e-6#熱膨脹系數(shù)

E=200e9#彈性模量

sigma_y=250e6#屈服強度

#溫度和應(yīng)力循環(huán)

Tmin=200

Tmax=600

sigma_min=100e6

sigma_max=300e6

#計算溫度變化引起的應(yīng)變

delta_T=Tmax-Tmin

delta_epsilon_thermal=alpha*delta_T

#計算應(yīng)力變化引起的應(yīng)變

delta_sigma=sigma_max-sigma_min

delta_epsilon_mechanical=delta_sigma/E

#總應(yīng)變

delta_epsilon_total=delta_epsilon_thermal+delta_epsilon_mechanical

#輸出結(jié)果

print(f"溫度變化引起的應(yīng)變:{delta_epsilon_thermal:.6f}")

print(f"應(yīng)力變化引起的應(yīng)變:{delta_epsilon_mechanical:.6f}")

print(f"總應(yīng)變:{delta_epsilon_total:.6f}")示例解釋上述代碼首先定義了材料的熱物理性能數(shù)據(jù)，包括熱膨脹系數(shù)、彈性模量和屈服強度。接著，根據(jù)給定的溫度循環(huán)和應(yīng)力循環(huán)，計算了溫度變化和應(yīng)力變化分別引起的應(yīng)變。最后，將兩者相加得到總應(yīng)變，并輸出結(jié)果。這僅是熱機械疲勞分析的簡化示例，實際分析會更復(fù)雜，涉及更詳細(xì)的材料模型和裂紋擴展預(yù)測。7.2汽車部件的熱機械疲勞評估7.2.1原理與內(nèi)容汽車部件，如發(fā)動機缸體、排氣系統(tǒng)等，在運行中會經(jīng)歷溫度和機械應(yīng)力的周期性變化，導(dǎo)致熱機械疲勞。評估這些部件的熱機械疲勞，需要考慮材料的熱物理性能、部件的幾何形狀、載荷條件以及環(huán)境因素。材料熱物理性能汽車部件材料的熱物理性能，如熱膨脹系數(shù)、導(dǎo)熱系數(shù)、彈性模量等，是評估熱機械疲勞的基礎(chǔ)。這些數(shù)據(jù)用于計算部件在溫度變化下的熱應(yīng)力和應(yīng)變。幾何形狀與載荷條件部件的幾何形狀和載荷條件對熱機械疲勞有顯著影響。復(fù)雜的幾何形狀會導(dǎo)致應(yīng)力集中，而不同的載荷條件（如動態(tài)載荷、靜態(tài)載荷）會影響材料的疲勞行為。環(huán)境因素環(huán)境因素，如腐蝕、氧化等，也會影響材料的熱機械疲勞性能。在評估時，需要考慮這些因素對材料性能的影響。7.2.2示例：使用MATLAB進(jìn)行汽車排氣管熱機械疲勞評估假設(shè)我們有以下數(shù)據(jù)樣例：排氣管材料的熱膨脹系數(shù)：α=15e-6/°C彈性模量：E=210e9Pa屈服強度：σy=280e6Pa溫度循環(huán)：Tmin=20°C,Tmax=800°C應(yīng)力循環(huán)：σmin=50e6Pa,σmax=250e6Pa我們將使用MATLAB來評估汽車排氣管在上述條件下的熱機械疲勞。%材料熱物理性能數(shù)據(jù)

alpha=15e-6;%熱膨脹系數(shù)

E=210e9;%彈性模量

sigma_y=280e6;%屈服強度

%溫度和應(yīng)力循環(huán)

Tmin=20;

Tmax=800;

sigma_min=50e6;

sigma_max=250e6;

%計算溫度變化引起的應(yīng)變

delta_T=Tmax-Tmin;

delta_epsilon_thermal=alpha*delta_T;

%計算應(yīng)力變化引起的應(yīng)變

delta_sigma=sigma_max-sigma_min;

delta_epsilon_mechanical=delta_sigma/E;

%總應(yīng)變

delta_epsilon_total=delta_epsilon_thermal+delta_epsilon_mechanical;

%輸出結(jié)果

fprintf('溫度變化引起的應(yīng)變:%.6f\n',delta_epsilon_thermal);

fprintf('應(yīng)力變化引起的應(yīng)變:%.6f\n',delta_epsilon_mechanical);

fprintf('總應(yīng)變:%.6f\n',delta_epsilon_total);示例解釋此代碼示例與Python示例類似，首先定義了材料的熱物理性能數(shù)據(jù)，然后根據(jù)給定的溫度循環(huán)和應(yīng)力循環(huán)計算了溫度變化和應(yīng)力變化分別引起的應(yīng)變。最后，將兩者相加得到總應(yīng)變，并輸出結(jié)果。MATLAB提供了強大的計算和可視化工具，適用于更復(fù)雜的熱機械疲勞評估。7.3熱機械疲勞在能源行業(yè)的應(yīng)用7.3.1原理與內(nèi)容能源行業(yè)，尤其是核電和火力發(fā)電，對熱機械疲勞分析有極高需求。反應(yīng)堆壓力容器、蒸汽發(fā)生器、渦輪葉片等關(guān)鍵部件在運行中會經(jīng)歷極端的溫度和壓力變化，導(dǎo)致熱機械疲勞。評估這些部件的熱機械疲勞，對于確保能源設(shè)施的安全運行至關(guān)重要。材料的熱機械疲勞行為在能源行業(yè)中，材料的熱機械疲勞行為受到更嚴(yán)格的監(jiān)控。這包括材料在高溫下的蠕變行為、裂紋擴展速率以及材料的熱疲勞壽命預(yù)測。長期運行的疲勞評估能源設(shè)施的部件通常需要長期運行，因此熱機械疲勞評估需要考慮長期疲勞效應(yīng)。這可能涉及使用加速疲勞測試方法，如溫度加速測試，來預(yù)測材料在實際運行條件下的疲勞壽命。安全與維護(hù)策略基于熱機械疲勞分析的結(jié)果，可以制定更有效的安全和維護(hù)策略。例如，確定關(guān)鍵部件的檢查周期、預(yù)測部件的剩余壽命以及優(yōu)化運行條件以減少熱機械疲勞。7.3.2示例：使用Python進(jìn)行核電站渦輪葉片熱機械疲勞分析假設(shè)我們有以下數(shù)據(jù)樣例：渦輪葉片材料的熱膨脹系數(shù)：α=13e-6/°C彈性模量：E=190e9Pa屈服強度：σy=300e6Pa溫度循環(huán)：Tmin=100°C,Tmax=700°C應(yīng)力循環(huán)：σmin=150e6Pa,σmax=450e6Pa我們將使用Python來分析核電站渦輪葉片在上述條件下的熱機械疲勞行為。importnumpyasnp

#材料熱物理性能數(shù)據(jù)

alpha=13e-6#熱膨脹系數(shù)

E=190e9#彈性模量

sigma_y=300e6#屈服強度

#溫度和應(yīng)力循環(huán)

Tmin=100

Tmax=700

sigma_min=150e6

sigma_max=450e6

#計算溫度變化引起的應(yīng)變

delta_T=Tmax-