認(rèn)識無理數(shù)（分層練習(xí)）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專題2.2認(rèn)識無理數(shù)（分層練習(xí)）一、單選題1．下列實(shí)數(shù)，，，，中，無理數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．下列各數(shù)中屬于無理數(shù)的是(

)A． B． C． D．3．下列說法不正確的是（）A．無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)B．無限小數(shù)是無理數(shù)C．任何一個分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)D．含有的數(shù)是無理數(shù)4．在…，，0，，中，這5個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（

）A． B．1.5C．面積為2的正方形的邊長 D．3.14159266．下面四個數(shù)中，負(fù)數(shù)是（）A． B． C．0 D．7．下列各數(shù)中，無理數(shù)是（

）A． B． C．0.6 D．5.2121218．下列各數(shù)中，無理數(shù)是(

)A． B． C． D．9．下面的說法中，正確的是（

）A．分?jǐn)?shù)包括小數(shù) B．無限循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)C．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù) D．無限不循環(huán)小數(shù)可以寫成分?jǐn)?shù)的形式10．在實(shí)數(shù)0，，，3.415926，，1.01001000100001…（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次增加1）中，無理數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．寫出一個比5小的正無理數(shù)是______．12．舉例說明命題“兩個無理數(shù)、的和一定是無理數(shù)”是假命題，________，________．13．寫出一個無理數(shù)，使得，則可以是________（只要寫出一個滿足條件的即可）．14．請你寫出兩個和為1的無理數(shù)：_____．15．下列各數(shù)：0.5，0，1.26850349，，，0.21212112…（相鄰兩個2之間1的個數(shù)逐次加1），其中無理數(shù)有_____個．16．在﹣1、0、0.101001…、π、5.1、7的6個數(shù)中，隨機(jī)抽取一個數(shù)，抽到無理數(shù)的概率是_____．17．能說明命題“兩個無理數(shù)、的和一定是無理數(shù)”是假命題的一組，的值可以是______．18．公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)了邊長為1的正方形的對角線長不能用有理數(shù)表示．為了紀(jì)念他，人們把這些數(shù)取名為無理數(shù)．請你寫出一個無理數(shù)______．三、解答題19．把下列各數(shù)的序號分別填入相應(yīng)的括號里：①；②…；③；④；⑤；⑥；（1）負(fù)數(shù)集合：{

…}；（2）無理數(shù)集合：{

…}；20．把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)：，0，，，，300，，，．負(fù)數(shù)集合：{…}；非負(fù)整數(shù)集合：{…}；分?jǐn)?shù)集合：{…}；(4)無理數(shù)集合：{…}．21．已知數(shù)0.101001000100001…，它的特點(diǎn)是：從左向右看，相鄰的兩個1之間依次多一個0．這個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)？為什么？22．兩個無理數(shù)相加、相減、相乘、相除，結(jié)果一定還是無理數(shù)嗎？請舉例說明．23．設(shè)面積為5π的圓的半徑為a．(1)a是有理數(shù)嗎？說說你的理由；(2)估計a的值（結(jié)果精確到0.1），并利用計算器驗(yàn)證你的估計；(3)如果結(jié)果精確到0.01呢？24．如圖，等邊三角形的邊長為，高為，可能是整數(shù)嗎？可能是分?jǐn)?shù)嗎？參考答案1．B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義，即無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，即可解答．【詳解】解：無理數(shù)有，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了無理數(shù)的定義，熟練掌握和運(yùn)用無理數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義，“無限不循環(huán)的小數(shù)是無理數(shù)”逐個分析判斷即可．【詳解】解：在、、、中，、、是有理數(shù)，是無理數(shù)，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了無理數(shù)，解答本題的關(guān)鍵掌握無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有的數(shù)．3．B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義逐個判斷，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故B不正確，符合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．4．A【分析】無理數(shù)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，根據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：在…，，0，，中，…和是無理數(shù)．故選：A【點(diǎn)撥】此題考查了無理數(shù)，熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：是分?jǐn)?shù)，1.5、3.1415926是有限小數(shù)，均為有理數(shù)，故A、B、D不符合要求；面積為2的正方形的邊長為，是無理數(shù)，故C符合要求；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了無理數(shù)的定義．熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】利用正數(shù)負(fù)數(shù)的定義判斷．【詳解】解：，，0，四個數(shù)中，只有是負(fù)數(shù)．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了正數(shù)負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)負(fù)數(shù)的定義．7．A【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：在，，0.6，5.212121中，無理數(shù)是．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了無理數(shù)的定義，能熟記無理數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，無理數(shù)包括以下三方面的數(shù)：①含的，如，②開方開不盡的根式，如，③一些有規(guī)律的數(shù)，如0.010010001...．8．B【分析】根據(jù)無理數(shù)的概念“無限不循環(huán)小數(shù)”進(jìn)行判斷即可，常見的無理數(shù)有、根式、無限不循環(huán)小數(shù)．【詳解】解：、、是有理數(shù)，是無理數(shù)，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了無理數(shù)的概念；熟練掌握無理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)與無理數(shù)、有理數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】A、分?jǐn)?shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不能化為分?jǐn)?shù)，故此選項(xiàng)錯誤；B、無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故此選項(xiàng)錯誤；C、有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，故此選項(xiàng)正確；D、無限不循環(huán)小數(shù)不可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，故此選項(xiàng)錯誤；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查分?jǐn)?shù)與無理數(shù)、有理數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確無限不循環(huán)小數(shù)不能化為分?jǐn)?shù)．10．B【分析】直接根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可．【詳解】在實(shí)數(shù)0，，，3.415926，，1.01001000100001…（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次增加1）中，無理數(shù)有，1.01001000100001…（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次增加1）共2個，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握實(shí)數(shù)的分類是解答本題的關(guān)鍵．實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，無理數(shù)分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)．11．（答案不唯一）【分析】根據(jù)正無理數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】本題考查正無理數(shù)的定義，熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．12．【分析】作為反例，要滿足條件但不能得到結(jié)論，然后根據(jù)這個要求寫出一對a、b的值即可．【詳解】解：當(dāng)時，是有理數(shù)，故答案為：，（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解如何寫出一個命題的反例，難度不大．13．（答案不唯一）【分析】從無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有的數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的定義寫一個無理數(shù)，滿足即可．【詳解】解：無理數(shù)的三種形式為：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有的數(shù)．只要寫出一個滿足條件的即可，比如：．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】本題考查了無理數(shù)的定義，熟練掌握無理數(shù)的三種形式是解題的關(guān)鍵．14．與（答案不唯一）【分析】根據(jù)無理數(shù)加法求解即可．【詳解】解：兩個和為1的無理數(shù)：與，和為：，符合題意，故答案為：與（答案不唯一）【點(diǎn)撥】此題主要考查了無理數(shù)的加法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．15．2【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】在0.5，0，1.26850349，，，0.21212112…（相鄰兩個2之間1的個數(shù)逐次加1）中，無理數(shù)有，0.21212112…（相鄰兩個2之間1的個數(shù)逐次加1），一共2個．故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了無理數(shù)的定義，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有三類：①類，如，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③雖有規(guī)律但卻是無限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001…（兩個1之間依次增加1個0），0.2121121112…（兩個2之間依次增加1個1）等．16．【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【詳解】解：∵在-1、0、0.101001、π、5.1、7的6個數(shù)中，-1、0、7是整數(shù)，有理數(shù)；5.1是有限小數(shù)，有理數(shù)；無理數(shù)有0.101001…、π共2個，∴隨機(jī)抽取一個數(shù)，抽到無理數(shù)的概率是，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．17．，（答案不唯一）【分析】作為反例，要滿足條件但不能得到結(jié)論，然后根據(jù)這個要求寫出一組，的值即可．【詳解】解：當(dāng)，時，，，時，是有理數(shù)．故答案為：，（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解如何寫出一個命題的反例．18．π（答案不唯一）【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義，即可寫出答案．【詳解】解：由題意可得，π是無理數(shù)．故答案為：π(答案不唯一)．【點(diǎn)撥】此題考查了無理數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的三種形式，①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，比較簡單．19．（1）①⑥；（2）②④【分析】根據(jù)無理數(shù)和負(fù)數(shù)的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：①-3是有理數(shù)，是負(fù)數(shù)；②…是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，是正數(shù)；③0是有理數(shù)，既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；④是正數(shù)，是無理數(shù)；⑤是正數(shù)，是有理數(shù)；⑥-9是負(fù)數(shù)，是有理數(shù)，（1）負(fù)數(shù)集合：{①⑥…}；（2）無理數(shù)集合：{②④…}．【點(diǎn)撥】本題主要考查了無理數(shù)和負(fù)數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知二者的定義．20．(1)，，(2)0，300(3)，，，，(4)，【分析】（1）根據(jù)負(fù)數(shù)定義即可得到答案．（2）寫出0和正整數(shù)即可．（3）根據(jù)分?jǐn)?shù)定義即可得到答案．（4）根據(jù)無理數(shù)定義即可得到答案．（1）解：負(fù)數(shù)有：，，故答案為：，，．（2）解：非負(fù)整數(shù)有：0，300故答案為：0，300．（3）解：分?jǐn)?shù)有：，，，，故答案為：，，，，．（4）解：無理數(shù)有：，故答案為：，．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)分類，理解實(shí)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)定義是解題關(guān)鍵．易錯點(diǎn)總結(jié)：大于0的數(shù)叫正數(shù)，只看符號；分?jǐn)?shù)容易漏掉無限循環(huán)小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，屬于分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)．21．無理數(shù)．因?yàn)檫@個數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以它是無理數(shù)．【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義解答．【詳解】解：∵數(shù)0.101001000100001…，它的特點(diǎn)是：從左向右看，相鄰的兩個1之間依次多一個0，∴這個數(shù)是無理數(shù)，因?yàn)檫@個數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以它是無理數(shù)．【點(diǎn)撥】此題考查無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．熟記定義是解題的關(guān)鍵．22．不一定，見解析【分析】根據(jù)無理數(shù)的特點(diǎn),各舉出一個反例即可．【詳解】不一定，理由如下：無理數(shù)，無理數(shù)-，它們的和為：+（-）=0，是有理數(shù)；-=0，是有理數(shù)；×=2，是有理數(shù)；是有理數(shù)，∴兩個無理數(shù)相加、相減、相乘、相除，結(jié)果不一定還是無理數(shù)，舉例不唯一．【點(diǎn)撥】本題考查了無理數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．23．(1)a不是有理數(shù)，見解析(2)a≈2.2(3)a≈2.24【詳解】a不是有理數(shù)．理由如下：因?yàn)棣衋2＝5π，所以a2＝5．因