數(shù)學(xué)建模第八講層次分析法

第八講層次分析法8.1層次分析模型問題分析問題:選擇旅游地

假期到了，現(xiàn)有桂林、黃山、北戴河三個旅游地供你選擇，如何在三個目的地中選擇？8.1層次分析模型

影響決定的因素有景色、費用、居住、飲食，和旅途條件,不同的人對這些因素的關(guān)注程度是不同的，從而會選擇不同的目的地。目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途用層次結(jié)構(gòu)描述問題金屬塊銀金銅C3C1C2C4C5引例：金銀銅含量的確定

有一塊含金銀銅的單位重量金屬，分成5塊。（1）每塊的重量未知，5塊重量兩兩之比已知；（2）每塊中金、銀、銅的含量未知，三種金屬含量兩兩之比已知。求金屬塊中金、銀、銅的含量。模型建立及求解構(gòu)造成對比較陣

元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度。

設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對目標(biāo)O的重要性比較尺度

當(dāng)比較Ci和Cj對上層因素O的影響時如何選取aij？AHP(層次分析法)的創(chuàng)始人Saaty建議取aij的范圍為1—9，1—1/9。1—9尺度aij的含義尺度aij含義1Ci與Cj的影響相同35792,4,6,81,1/2,…,1/9Ci比Cj的影響稍強Ci比Cj的影響強Ci比Cj的影響明顯的強Ci比Cj的影響絕對的強上述相鄰判斷的中間值Cj與Ci的影響之比為aij的互反數(shù)某人利用成對比較得到陣A是正互反陣

同樣方法構(gòu)造第3層(方案層)對第2層的每個準(zhǔn)則的成對比較陣，例如要由A確定C1,…,C5對O的相對重要性的權(quán)數(shù)。

如果正互反陣A滿足則稱A為一致陣。

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n。

A的任一列向量是對應(yīng)于n的特征向量。

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量。

對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根

的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)特值近似算法一致性檢驗

所謂一致性檢驗就是對A確定不一致的允許范圍。已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標(biāo)RI—隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI。RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110

定義一致性比率CR=CI/RI。當(dāng)CR<0.1時，通過一致性檢驗。Saaty的結(jié)果如下準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗最大特征根

=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗。

方案層對于準(zhǔn)則Ck的權(quán)向量及一致性檢驗因此，w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T

可以作為準(zhǔn)則層（Ck）對目標(biāo)層（O）的相對權(quán)重。求出相應(yīng)的最大特征根、一致性指標(biāo)和相應(yīng)的歸一化特征向量。第3層對第2層的計算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗。組合權(quán)向量方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權(quán)向量第3層對第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對第1層的組合權(quán)向量對于3個層次的組合權(quán)向量

更一般地，對于s個層次的決策問題，第k層對第1層(設(shè)只有一個元素)的組合權(quán)向量為

w(k)=W(k)w(k-1),k=3,4,…s.其中W(k)是以第k層對第k-1層的權(quán)向量為列向量組成的矩陣。w(s)=W(s)W(s-1)…W(3)w(2)。

于是第s層對第1層的組合權(quán)向量為

組合一致性檢驗

在旅游問題中，第2層對第1層的成對比較矩陣A及第3層對第2層的成對比較矩陣B1,…,B5都通過了一致性檢驗，但B1,…,B5是獨立作出的，還需檢驗其組合一致性。

記B1,…,B5的一致性指標(biāo)分別為CI1(3),…,CI5(3),則反映了B1,…,B5對第1層的整體不一致程度。相應(yīng)地構(gòu)造第3層通過組合一致性檢驗我們認(rèn)為整體通過了一致性檢驗。其中為隨機一致性指標(biāo)(相等)。第3層的組合一致性比率為第3層對第1層的組合一致性比率為層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型

深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)—準(zhǔn)則或指標(biāo)—方案或?qū)ο螅蠈邮芟聦佑绊?，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。2）構(gòu)造成對比較陣

用成對比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗

對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量。