人教版初中數(shù)學(xué)同步講義七年級(jí)下冊(cè)第05講 專題1 解一元一次不等式（組）及其實(shí)際應(yīng)用（解析版）

第05講專題1解一元一次不等式（組）與實(shí)際應(yīng)用類型一：解普通的不等式（組）類型二：解“連續(xù)型”不等式組類型三：解含有絕對(duì)值的不等式類型四：解“分式型”不等式類型五：一元一次不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用類型一：解普通的不等式（組）1．解不等式或者不等式組：（1）3x﹣2≥1；（2）．【分析】（1）先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，即可作答．（2）分別算出每個(gè)不等式，再取它們的公共解集，即可作答．【解答】解：（1）3x﹣2≥1，3x≥1+2，3x≥3，x≥1；（2），去括號(hào)，去分母，得，解得，即6＜x≤9．2．解下列不等式（組）．（1）x﹣4≤3（x﹣2）；（2）．【分析】（1）按照解一元一次不等式的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）x﹣4≤3（x﹣2），x﹣4≤3x﹣6，x﹣3x≤﹣6+4，﹣2x≤﹣2，x≥1；（2），解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥﹣6，∴原不等式組的解集為：﹣6≤x＜2．3．（1）解不等式；．（2）解不等式組并用數(shù)軸表示不等式組的解集．【分析】（1）按照去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解不等式即可；（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．【解答】解：（1），去分母得：2（2x﹣3）≤x+2，去括號(hào)得：4x﹣6≤x+2，移項(xiàng)得；4x﹣x≤2+6，合并同類項(xiàng)得：3x≤8，系數(shù)化為1得：；（2），解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：，∴不等式組的解集為，數(shù)軸表示如下所示：4．解下列不等式或不等式組：（1）3x﹣4≤2x．（2）解不等式組．【分析】（1）移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可；（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．【解答】解：（1）3x﹣2x≤4，x≤4．（2），由①得：；由②得：x≤0；則不等式組的解集為．5．求下列不等式（組）的解集，并在數(shù)軸上表示解集：（1）﹣＞1；（2）．【分析】（1）先根據(jù)解一元一次不等式的方法解答，然后在數(shù)軸上表示出不等式的解集即可；（2）先解出每個(gè)不等式的解集，即可得到不等式組的解集，然后在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．【解答】解：（1）﹣＞1，去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）＞6，去括號(hào)，得：4x﹣2﹣15x﹣3＞6，移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得：﹣11x＞11，系數(shù)化為1，得：x＜﹣1，其解集在數(shù)軸上表示如下：；（2），解不等式①，得：x＞﹣6，解不等式②，得：x＜6，∴該不等式組的解集是﹣6＜x＜6，其解集在數(shù)軸上表示如下：．6．解下列不等式（組）：（1）6x﹣1＞9x﹣4．（2）．【分析】（1）先移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，然后再將系數(shù)化為1即可；（2）分別求出兩個(gè)不等式的解集，然后再求出不等式組的解集即可．【解答】解：（1）6x﹣1＞9x﹣4，移項(xiàng)得：6x﹣9x＞1﹣4，合并同類項(xiàng)得：﹣3x＞﹣3，系數(shù)化為1得：x＜1；（2），解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤5，∴不等式組的解集為﹣1＜x≤5．7．計(jì)算：（1）解不等式：3（1﹣2x）＜7﹣2（x﹣4），并將解集表示在數(shù)軸上．（2）解不等式組：．【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟求解即可；（2）求出每個(gè)不等式的解集，再求公共解集即可．【解答】解：（1）去括號(hào)得：3﹣6x＜7﹣2x+8，移項(xiàng)得：﹣6x+2x＜7+8﹣3，合并同類項(xiàng)得：﹣4x＜12，兩邊同時(shí)除以﹣4得：x＞﹣3；把解集表示在數(shù)軸上如下：（2），解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜1，∴不等式組的解集為﹣2≤x＜1．類型二：解“連續(xù)型”不等式組8．不等式組2＜x﹣3≤7的解集是5＜x≤10．【分析】分別解出兩個(gè)不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．【解答】解：由x﹣3＞2，得：x＞5；由x﹣3≤7，得：x≤10，∴不等式組的解集為：5＜x≤10．故答案為：5＜x≤10．9．已知k為整數(shù)，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足2022＜x﹣y＜2024，則整數(shù)k值為（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】先利用加減消元法推出x﹣y＝k﹣1，再由2022＜x﹣y＜2024推出2023＜k＜2025，據(jù)此可得答案．【解答】解：，①+②得：3x﹣3y＝3k﹣3，∴x﹣y＝k﹣1，∵2022＜x﹣y＜2024，∴2022＜k﹣1＜2024，∴2023＜k＜2025，∴整數(shù)k值為2024，故選：C．10．滿足不等式﹣1＜≤2的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）個(gè)．A．5 B．4 C．3 D．無數(shù)【分析】求出不等式組的解集，確定出整數(shù)解即可．【解答】解：由題意得，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得x≤3.5，∴不等式組的解集為﹣1＜x≤3.5，非負(fù)整數(shù)解為0，1，2，3共4個(gè)，故選：B．11．若滿足不等式﹣4＜2x﹣1＜8的最大整數(shù)解為a，最小整數(shù)解為b．則a+b之值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】不等式整理后求出x的范圍，確定出最小、最大整數(shù)解進(jìn)而求出a與b的值，即可求出所求．【解答】解：不等式整理得：﹣＜x＜，最小整數(shù)解為x＝﹣1，最大整數(shù)解為x＝4，即a＝4，b＝﹣1，則a+b＝4﹣1＝3，故選：B．類型三：解含有絕對(duì)值的不等式12．【閱讀材料】我們知道，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是指在數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．例如|x|＝|x﹣0|表示數(shù)軸上表示x這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么式子|x﹣1|可理解為：數(shù)軸上表示x這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到表示1這個(gè)數(shù)的點(diǎn)的距離．于是解不等式|x﹣1|≤2則是要在數(shù)軸上找出到1的距離小于等于2的所有點(diǎn)，觀察數(shù)軸可以看出，在數(shù)軸上到1距離小于等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)都在﹣1和3之間（包含﹣1和3兩個(gè)點(diǎn)），這樣我們就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集為：﹣1≤x≤3；【解決問題】參考閱讀材料，借助數(shù)軸，解答下列問題：（1）不等式|x|≤5的解集為﹣5≤x≤5；（2）不等式|x﹣2|≥2的解集為x≤0或x≥4；（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集為﹣5≤x≤3；（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集為﹣4.5＜x＜3.5；（5）對(duì)于任意數(shù)x，若不等式|x+3|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義及數(shù)軸求解；（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義及數(shù)軸求解；（3）先把不等式變形，再根據(jù)絕對(duì)值的意義及數(shù)軸求解；（4）結(jié)合數(shù)軸，再根據(jù)絕對(duì)值的意義及數(shù)軸求解；（5）根據(jù)絕對(duì)值的意義及數(shù)軸求解．【解答】解：（1）不等式|x|≤5的解集為：﹣5≤x≤5；故答案為：﹣5≤x≤5；（2）不等式|x﹣2|≥2的解集為：x≤0或x≥4；故答案為：x≤0或x≥4；（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集為：﹣5＜x＜3；故答案為：﹣5＜x＜3；（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集為：﹣4.5＜x＜3.5；故答案為：﹣4.5＜x＜3.5；（5）當(dāng)x≤﹣3時(shí)，|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3﹣x+2＝﹣2x﹣1≥5，當(dāng)﹣3＜x≤2時(shí)，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5，當(dāng)x＞2時(shí)，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝2x+1＞5，∴|x+3|+|x﹣2|≥5，∴a≤5．13．請(qǐng)閱讀求絕對(duì)值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的過程．對(duì)于絕對(duì)值不等式|x|＜3，從圖1的數(shù)軸上看：大于﹣3而小于3的數(shù)的絕對(duì)值小于3，所以|x|＜3的解集為﹣3＜x＜3；對(duì)于絕對(duì)值不等式|x|＞3，從圖2的數(shù)軸上看：小于﹣3或大于3的數(shù)的絕對(duì)值大于3，所以|x|＞3的解集為x＜﹣3或x＞3．（1）絕對(duì)值不等式|x|＞2的解集為x＞2或x＜﹣2．（2）求絕對(duì)值不等式|x﹣3|＞2的解集．（3）已知絕對(duì)值不等式|2x﹣1|＜a的解集為b＜x＜3，求a﹣2b的值．【分析】（1）由絕對(duì)值的幾何意義即可得出答案；（2）由絕對(duì)值的幾何意義即可得出答案；（3）由|2x﹣1|＜a知﹣a＜2x﹣1＜a，據(jù)此得出，再結(jié)合b＜x＜3可得出關(guān)于a、b的方程組，解之即可求出a、b的值，從而得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)絕對(duì)值的定義得：x＞2或x＜﹣2，故答案為：x＞2或x＜﹣2；（2）根據(jù)絕對(duì)值的定義得：x﹣3＞2或x﹣3＜﹣2，解得x＞5或x＜1；（3）∵|2x﹣1|＜a，∴﹣a＜2x﹣1＜a，解得，∵解集為b＜x＜3，∴，解得，則a﹣2b＝5+4＝9．14．先閱讀絕對(duì)值不等式|x|＜6和|x|＞6的解法，再解答問題．①因?yàn)閨x|＜6，從數(shù)軸上（如圖1）可以看出只有大于﹣6而小于6的數(shù)的絕對(duì)值小于6，所以|x|＜6的解集為﹣6＜x＜6．②因?yàn)閨x|＞6，從數(shù)軸上（如圖2）可以看出只有小于﹣6的數(shù)和大于6的數(shù)的絕對(duì)值大于6．所以|x|＞6的解集為x＜﹣6或x＞6．（1）|x|＜2的解集為﹣2＜x＜2，|x|＞5的解集為x＞5或x＜﹣5；（2）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足|x+y|≤3，其中m是負(fù)整數(shù)，求m的值．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料的結(jié)論即可解答；（2）先將二元一次的方程組的兩方程求和可得x+y＝﹣m﹣1，再代入|x+y|≤3得到關(guān)于m的絕對(duì)值方程，然后求解，最后確定滿足題意的m的值即可．【解答】解：（1）由閱讀材料提供方法可得：|x|＜2的解集為﹣2＜x＜2；|x|＞5的解集為x＞5或x＜﹣5．故答案為﹣2＜x＜2；x＞5或x＜﹣5．（2）∵二元一次方程組，∴①+②可得：3x+3y＝﹣3m+6，即x+y＝﹣m+2，∵|x+y|≤3，∴|﹣m+2|≤3，即|m﹣2|≤3，∴﹣3≤m﹣2≤3，∴﹣1≤m≤5，∵m是負(fù)整數(shù)，∴m＝﹣1．類型四：解“分式型”不等式15．閱讀下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式．李陽在解分式不等式時(shí)，是這樣思考的：根據(jù)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)．原分式不等式可轉(zhuǎn)化為下面兩個(gè)不等式組：①或②．解不等式組①得，解不等式組②：不等式組無解，所以原不等式的解集為．請(qǐng)你參考李陽思考問題的方法，解分式不等式．【分析】先根據(jù)有理數(shù)的除法法則得出①或②．再分別求解即可得出答案．【解答】解：根據(jù)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)．原分式不等式可轉(zhuǎn)化為下面兩個(gè)不等式組：①或②．解不等式組①得x＞2，解不等式組②：x≤，所以原不等式的解集為x＞2或x≤．16．閱讀下面材料后，解答問題．分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它們的解集呢？根據(jù)我們學(xué)過的有理數(shù)除法法則可知：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，其字母表達(dá)式為：（a）若a＞0，b＞0，則，若a＜0，b＜0，則；（b）若a＞0，b＜0，則，若a＜0，b＞0，則．請(qǐng)解答下列問題：（1）①若，則或；②若，則或；（2）根據(jù)上述規(guī)律，求不等式的解集．【分析】（1）根據(jù)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)解答；（2）先根據(jù)同號(hào)得正把不等式轉(zhuǎn)化成不等式組，然后根據(jù)一元一次不等式組的解法求解即可．【解答】解：（1）①若＞0，則或；②若＜0，則或；故答案為：；，；（2）若＞0．則①或②，解不等式組①得：x＞2；解不等式組②得：x＜﹣1，所以不等式＞0的解集是x＞2或x＜﹣1．17．感知：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式＞0時(shí)，是這樣思考的：根據(jù)“兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”，原分式不等式可轉(zhuǎn)化為下面兩個(gè)不等式組：①或②解不等式組①，得x＞3，解不等式組②，得x＜﹣．所以原分式不等式的解集為x＞3或x＜﹣．探究：請(qǐng)你參考小亮思考問題的方法，解不等式＜0．應(yīng)用：不等式（x﹣3）（x+5）≤0的解集是﹣5≤x≤3．【分析】先轉(zhuǎn)化成不等式組，再求出不等式組的解集，最后求出答案即可．【解答】解：探究：＜0．根據(jù)“兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”，原分式不等式可轉(zhuǎn)化為下面兩個(gè)不等式組：①，或②，解不等式組①，得＜x＜2，解不等式組②得此不等式組無解．所以原分式不等式的解集為＜x＜2；應(yīng)用：（x﹣3）（x+5）≤0，原不等式可化為不等式組：①或②，解不等式組①得：不等式組無解，解不等式組②得：﹣5≤x≤3，所以不等式（x﹣3）（x+5）≤0的解集是﹣5≤x≤3，故答案為：﹣5≤x≤3．18．自學(xué)下面材料后，解答問題．分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它們的解集呢？根據(jù)我們學(xué)過的有理數(shù)除法法則可知：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)．其字母表達(dá)式為：若a＞0，b＞0，則＞0；若a＜0，b＜0，則＞0；若a＞0，b＜0，則＜0；若a＜0，b＞0，則＜0．（1）反之：若＞0，則或若＜0，則或．（2）根據(jù)上述規(guī)律，求不等式＞0的解集．（3）直接寫出分式不等式的解集x＞3或．【分析】（1）根據(jù)兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù)解答；（2）先根據(jù)同號(hào)得正把不等式轉(zhuǎn)化成不等式組，然后根據(jù)一元一次不等式組的解法求解即可；（3）根據(jù)分式的意義把不等式轉(zhuǎn)化成不等式組，然后根據(jù)一元一次不等式組的解法求解即可．【解答】解：（1）若＜0，則或；故答案為：或；（2）不等式轉(zhuǎn)化為或，所以，x＞2或x＜﹣1．（3）不等式轉(zhuǎn)化為0＜x﹣3＜3x﹣2或x﹣3＜3x﹣2＜0，所以x＞3或，故答案為x＞3或．類型五：一元一次不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用19．中央大街工藝品店銷售冰墩墩徽章和冰墩墩擺件，若購買4個(gè)冰墩墩徽章和2個(gè)冰墩墩擺件需要130元，購買3個(gè)冰墩墩徽章和5個(gè)冰墩墩擺件需要220元，（1）求每個(gè)冰墩墩徽章和每個(gè)冰墩墩擺件各需要多少錢？（2）若某旅游團(tuán)計(jì)劃買冰墩墩徽章和冰墩墩擺件共50個(gè)，所用錢數(shù)不超過1150元，則該旅游團(tuán)至少買多少個(gè)冰墩墩徽章？【分析】（1）設(shè)每個(gè)冰墩墩徽章x元，每個(gè)冰墩墩擺件y元，根據(jù)“購買4個(gè)冰墩墩徽章和2個(gè)冰墩墩擺件需要130元，購買3個(gè)冰墩墩徽章和5個(gè)冰墩墩擺件需要220元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該旅游團(tuán)購買m個(gè)冰墩墩徽章，則購買（50﹣m）個(gè)冰墩墩擺件，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過1150元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)冰墩墩徽章x元，每個(gè)冰墩墩擺件y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：每個(gè)冰墩墩徽章15元，每個(gè)冰墩墩擺件35元；（2）設(shè)該旅游團(tuán)購買m個(gè)冰墩墩徽章，則購買（50﹣m）個(gè)冰墩墩擺件，根據(jù)題意得：15m+35（50﹣m）≤1150，解得：m≥30，∴m的最小值為30．答：該旅游團(tuán)至少買30個(gè)冰墩墩徽章．20．文具店計(jì)劃購進(jìn)若干數(shù)量某品牌的圓規(guī)和筆袋．如果購進(jìn)5個(gè)圓規(guī)和10個(gè)筆袋，那么需花費(fèi)130元；如果購進(jìn)20個(gè)圓規(guī)和30個(gè)筆袋，那么需花費(fèi)440元．（1）求每個(gè)圓規(guī)和每個(gè)筆袋的進(jìn)價(jià)．（2）該文具店決定購進(jìn)圓規(guī)和筆袋共100個(gè)，且總費(fèi)用不超過920元，那么該文具店最多可以購進(jìn)多少個(gè)圓規(guī)？【分析】（1）設(shè)每個(gè)圓規(guī)的進(jìn)價(jià)是x元，每個(gè)筆袋的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)“購進(jìn)5個(gè)圓規(guī)和10個(gè)筆袋，需花費(fèi)130元；購進(jìn)20個(gè)圓規(guī)和30個(gè)筆袋，需花費(fèi)440元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該文具店購進(jìn)m個(gè)圓規(guī)，則購進(jìn)（100﹣m）個(gè)筆袋，利用進(jìn)貨總價(jià)＝進(jìn)貨單價(jià)×進(jìn)貨數(shù)量，結(jié)合進(jìn)貨總價(jià)不超過920元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)圓規(guī)的進(jìn)價(jià)是x元，每個(gè)筆袋的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：每個(gè)圓規(guī)的進(jìn)價(jià)是10元，每個(gè)筆袋的進(jìn)價(jià)是8元；（2）設(shè)該文具店購進(jìn)m個(gè)圓規(guī)，則購進(jìn)（100﹣m）個(gè)筆袋，根據(jù)題意得：10m+8（100﹣m）≤920，解得：m≤60，∴m的最大值為60．答：該文具店最多可以購進(jìn)60個(gè)圓規(guī)．21．為了響應(yīng)國家發(fā)展科技的號(hào)召，某公司計(jì)劃對(duì)A、B兩類科研項(xiàng)目投資研發(fā)．已知研發(fā)1個(gè)A類科研項(xiàng)目比研發(fā)1個(gè)B類科研項(xiàng)目少投資75萬元，且投資1200萬元研發(fā)A類科研項(xiàng)目的個(gè)數(shù)與投資1500萬元研發(fā)B類科研項(xiàng)目的個(gè)數(shù)相同．（1）研發(fā)一個(gè)A類科研項(xiàng)目所需的資金是多少萬元？（2）該公司今年計(jì)劃投資研發(fā)A、B兩類科研項(xiàng)目共40個(gè)，且該公司投入研發(fā)A、B兩類科研項(xiàng)目的總資金不超過1億3200萬元，則該公司投資研發(fā)A類科研項(xiàng)目至少是多少個(gè)？【分析】（1）設(shè)研發(fā)一個(gè)A類科研項(xiàng)目所需的資金是x萬元，則研發(fā)一個(gè)B類科研項(xiàng)目所需的資金是（x+75）萬元，根據(jù)投資1200萬元研發(fā)A類科研項(xiàng)目的個(gè)數(shù)與投資1500萬元研發(fā)B類科研項(xiàng)目的個(gè)數(shù)相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該公司投資研發(fā)y個(gè)A類科研項(xiàng)目，則資研發(fā)（40﹣y）個(gè)B類科研項(xiàng)目，根據(jù)該公司投入研發(fā)A、B兩類科研項(xiàng)目的總資金不超過1億3200萬元，可列出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)研發(fā)一個(gè)A類科研項(xiàng)目所需的資金是x萬元，則研發(fā)一個(gè)B類科研項(xiàng)目所需的資金是（x+75）萬元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝300，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝300是所列方程的解，且符合題意．答：研發(fā)一個(gè)A類科研項(xiàng)目所需的資金是300萬元；（2）設(shè)該公司投資研發(fā)y個(gè)A類科研項(xiàng)目，則資研發(fā)（40﹣y）個(gè)B類科研項(xiàng)目，根據(jù)題意得：300y+（300+75）（40﹣y）≤13200，解得：y≥24，∴y的最小值為24．答：該公司投資研發(fā)A類科研項(xiàng)目至少是24個(gè)．22．體育的興衰與國家強(qiáng)盛息息相關(guān)，“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”．黨的十八大以來，全民健身事業(yè)在新時(shí)代經(jīng)歷了飛速發(fā)展，運(yùn)動(dòng)成為滿足人民美好生活需要的重要組成，全民健身蔚然成風(fēng)，正展開一幅盎然生機(jī)的時(shí)代畫卷．黨的十八大以來，以習(xí)近平同志為核心的黨中央高度重視關(guān)心體育工作，親自謀劃推動(dòng)體育事業(yè)改革發(fā)展，將全民健身上升為國家戰(zhàn)略，廣泛開展全民健身運(yùn)動(dòng)，推動(dòng)全民健身和全民健康深度融合．某街道為了響應(yīng)國家號(hào)召?zèng)Q定對(duì)小區(qū)的健身器材進(jìn)行升級(jí)，購買甲和乙兩種健身器材，其中甲種器材每套500元，乙種器材每套460元．（1）若購買甲和乙的健身器材共40套，且恰好支出18880元，求甲和乙的健身器材各購買多少套？（2）若購買甲和乙的健身器材共40套，且支出不超過19500元，求乙種健身器材至少要購買多少套？【分析】（1）根據(jù)購買甲和乙的健身器材共40套，且恰好支出18880元，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可，注意購買的套數(shù)為整數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)甲健身器材購買了a套，則乙健身器材購買了（40﹣a）套，由題意可得：500a+460（40﹣a）＝18880，解得a＝12，∴40﹣a＝28，答：甲健身器材購買了12套，乙健身器材購買了28套；（2）設(shè)乙健身器材購買了x套，則甲健身器材購買了（40﹣x）套，由題意可得：500（40﹣x）+460x≤19500，解得x≥12.5，∵x為整數(shù)，∴x的最小值為13，答：乙種健身器材至少要購買13套．23．為了更好治理河流水質(zhì)，保護(hù)環(huán)境，某市治污公司決定購買10臺(tái)污水處理設(shè)備，現(xiàn)有A，B兩種型號(hào)的設(shè)備，其中每臺(tái)的價(jià)格及月處理污水量如表：A型B型價(jià)格（萬元/臺(tái)）ab處理污水量（噸/月）220180經(jīng)調(diào)查：購買一臺(tái)A型設(shè)備比購買一臺(tái)B型設(shè)備多4萬元，購買3臺(tái)A型設(shè)備比購買5臺(tái)B型設(shè)備少4萬元．（1）求a，b的值；（2）經(jīng)預(yù)算：市治污公司購買污水處理設(shè)備的資金不超過90萬元，你認(rèn)為該公司有哪幾種購買方案；（3）在（2）問的條件下，若每月要求處理的污水量不低于1840噸，為了節(jié)約資金，請(qǐng)你為治污公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購買方案．【分析】（1）根據(jù)“購買一臺(tái)A型設(shè)備比購買一臺(tái)B型設(shè)備多4萬元，購買3臺(tái)A型設(shè)備比購買5臺(tái)B型設(shè)備少4萬元”，可列出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可求出a，b的值；（2）設(shè)該公司購買x臺(tái)A型設(shè)備，則購買（10﹣x）臺(tái)B型設(shè)備，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過90萬元，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范圍，再結(jié)合x，10﹣x均為自然數(shù)，即可得出各購買方案；（3）根據(jù)每月要求處理的污水量不低于1840噸，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論，可得出各購買方案，再求出各方案所需資金，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，解得：．答：a的值是12，b的值是8；（2）設(shè)該公司購買x臺(tái)A型設(shè)備，則購買（10﹣x）臺(tái)B型設(shè)備，根據(jù)題意得：12x+8（10﹣x）≤90，解得：x≤，又∵x，10﹣x均為自然數(shù)，∴x可以為0，1，2，∴該公司共有3種購買方案，方案1：購買10臺(tái)B型設(shè)備；方案2：購買1臺(tái)A型設(shè)備，9臺(tái)B型設(shè)備；方案3：購買2臺(tái)A型設(shè)備，8臺(tái)B型設(shè)備；（3）根據(jù)題意得：220x+180（10﹣x）≥1840，解得：x≥1，∴該公司共有2種購買方案，方案1：購買1臺(tái)A型設(shè)備，9臺(tái)B型設(shè)備，此時(shí)該公司購買污水處理設(shè)備的資金為12×1+8×9＝84（萬元）；方案2：購買2臺(tái)A型設(shè)備，8臺(tái)B型設(shè)備，此時(shí)該公司購買污水處理設(shè)備的資金為12×2+8×8＝88（萬元）．∵84＜88，∴最省錢的購買方案為：購買1臺(tái)A型設(shè)備，9臺(tái)B型設(shè)備．24．每年的4月23日為“世界讀書日”．為了迎接第30個(gè)世界讀書日，某校計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進(jìn)的圖書，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種書柜3個(gè)、乙種書柜2個(gè)，共需資金1020元；若購買甲種書柜4個(gè)、乙種書柜3個(gè)，共需資金1440元．（1）甲、乙兩種書柜每個(gè)的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）若該校計(jì)劃購進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共20個(gè)，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多能夠提供資金4320元，一共有哪幾種購買方案？【分析】（1）設(shè)每個(gè)甲種書柜的進(jìn)價(jià)是x元，每個(gè)乙種書柜的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)“購買甲種書柜3個(gè)、乙種書柜2個(gè)，共需資金1020元；購買甲種書柜4個(gè)、乙種書柜3個(gè)，共需資金1440元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買m個(gè)甲種書柜，則購買（20﹣m）個(gè)乙種書柜，根據(jù)“購買乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，且學(xué)校至多能夠提供資金4320元”，可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出各購買方案．【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)甲種書柜的進(jìn)價(jià)是x元，每個(gè)乙種書柜的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：每個(gè)甲種書柜的進(jìn)價(jià)是180元，每個(gè)乙種書柜的進(jìn)價(jià)是240元；（2）設(shè)購買m個(gè)甲種書柜，則購買（20﹣m）個(gè)乙種書柜，根據(jù)題意得：，解得：8≤m≤10，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為8，9，10，∴該校共有3種購買方案，方案1：購買8個(gè)甲種書柜，12個(gè)乙種書柜；方案2：購買9個(gè)甲種書柜，11個(gè)乙種書柜；方案3：購買10個(gè)甲種書柜，10個(gè)乙種書柜．25．為了實(shí)現(xiàn)縣域教育均衡發(fā)展，某縣計(jì)劃對(duì)A，B兩類學(xué)校分批進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)預(yù)算，改造一所A類學(xué)校和兩所B類學(xué)校共需資金242萬元，改造兩所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校共需資金220萬元．（1）改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校所需的資金分別是多少萬元？（2）該縣計(jì)劃今年對(duì)A、B兩類學(xué)校共6所進(jìn)行改造，改造資金由國家財(cái)政和地方財(cái)政共同承擔(dān)．若今年國家財(cái)政撥付的改造資金不超過380萬元，地方財(cái)政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財(cái)政投入到A、B兩類學(xué)校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元，請(qǐng)你通過計(jì)算求出改造方案？【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，再解即可；（2）列出不等式組，再解即可；【解答】解：（1）設(shè)改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校所需的資金分別是x，y萬元，由題意得：，解得，答：改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校所需的資金分別是66，88萬元；（2）設(shè)改造A類學(xué)校m所，則改造B類學(xué)校（6﹣m）所，由題意得：，解得，∵m為正整數(shù)，∴m＝4，∴6﹣m＝6﹣4＝2，故改造A類學(xué)校4所，改造B類學(xué)校2所．26．中醫(yī)藥是中華民族的寶貴財(cái)富．為更好地弘揚(yáng)中醫(yī)藥傳統(tǒng)文化，傳播中醫(yī)藥知識(shí)，增進(jìn)青少年對(duì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的了解與認(rèn)知．明德麓谷學(xué)校開展“中草藥種植進(jìn)校園傳承中醫(yī)藥文化”活動(dòng)，特開設(shè)中草藥種植課程，計(jì)劃購買甲、乙兩種中草藥種子，經(jīng)過調(diào)查得知：每斤甲種種子的價(jià)格比每斤乙種種子的價(jià)格貴40元，買5斤甲種種子和10斤乙種種子共用1100元．（1）求每斤甲、乙種子的價(jià)格分別是多少元？（2）若學(xué)校需購進(jìn)乙種中草藥種子m斤（其中m為整數(shù)），且甲、乙兩種中草藥種子共120斤，總費(fèi)用低于8500元，并且要求購進(jìn)乙種的數(shù)量必須不超過甲種數(shù)量的3倍，問有幾種購買方案？最低費(fèi)用是多少？【分析】（1）設(shè)每斤甲種中草藥種子的價(jià)格是x元，每斤乙種中草藥種子的價(jià)格是y元，根據(jù)“每斤甲種種子的價(jià)格比每斤乙種種子的價(jià)格貴40元，買5斤甲種種子和10斤乙種種子共用1100元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）由購進(jìn)甲、乙兩種中草藥種子數(shù)量間的關(guān)系，可得出需購進(jìn)甲種中草藥種子（120﹣m）斤，根據(jù)“總費(fèi)用低于8500元，且購進(jìn)乙種的數(shù)量必須不超過甲種數(shù)量的3倍”，可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，結(jié)合m為正整數(shù)，可得出該學(xué)校共有3種購買方案，再求出各購買方案所需費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每斤甲種中草藥種子的價(jià)格是x元，每斤乙種中草藥種子的價(jià)格是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：每斤甲種中草藥種子的價(jià)格是100元，每斤乙種中草藥種子的價(jià)格是60元；（2）∵學(xué)校需購進(jìn)乙種中草藥種子m斤（其中m為整數(shù)），且甲、乙兩種中草藥種子共120斤，∴需購進(jìn)甲種中草藥種子（120﹣m）斤．根據(jù)題意得：，解得：＜m≤90，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為88，89，90，∴該學(xué)校共有3種購買方案，方案1：購買32斤甲種中草藥種子，88斤乙種中草藥種子，所需費(fèi)用為100×32+60×88＝8480（元）；方案2：購買31斤甲種中草藥種子，89斤乙種中草藥種子，所需費(fèi)用為100×31+60×89＝8440（元）；方案3：購買30斤甲種中草藥種子，90斤乙種中草藥種子，所需費(fèi)用為100×30+60×90＝8400（元）．∵8480＞8440＞8400，∴最低費(fèi)用是8400元．答：該學(xué)校共有3種購買方案，最低費(fèi)用是8400元．27．為響應(yīng)習(xí)總書記“扶貧先扶志，扶貧必扶智”的號(hào)召，我州北部某市向南部某貧困縣中小學(xué)捐贈(zèng)一批書籍和實(shí)驗(yàn)器材共360套，其中書籍比實(shí)驗(yàn)器材多120套．（1）求書籍和實(shí)驗(yàn)器材各有多少套？（2）現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種型號(hào)的貨車共8輛，一次性將這批書籍和實(shí)驗(yàn)器材運(yùn)往該縣．已知每輛甲種貨車最多可裝書籍40套和實(shí)驗(yàn)器材10套，每輛乙種貨車最多可裝書籍30套和實(shí)驗(yàn)器材20套．運(yùn)輸部門安排甲、乙兩種型號(hào)的貨車時(shí)，有幾種方案？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來．（3）在（2）的條件下，如果甲種型號(hào)的貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)1000元，乙種型號(hào)的貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)900元．假設(shè)你是決策者，應(yīng)選擇哪種方案可使運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少元？【分析】（1）設(shè)書籍和實(shí)驗(yàn)器材分別為x、y套，根據(jù)題意書籍和實(shí)驗(yàn)器材共360套，其中書籍比實(shí)驗(yàn)器材多120套，列方程解答即可；（2）設(shè)安排甲型號(hào)的貨車a輛，則安排乙型號(hào)的貨車（8﹣a）輛，根據(jù)題意列不等式求a的取值范圍，根據(jù)a取整數(shù)，可得a的取值為0，1，2，3，4，故有4種方案；（3）根據(jù)（2）中的5種方案和甲種型號(hào)的貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)1000元，乙種型號(hào)的貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)900元，分別求得運(yùn)費(fèi)，求出最少運(yùn)費(fèi)即可；【解答】解：（1）設(shè)書籍和實(shí)驗(yàn)器材分別為x、y套．根據(jù)題意得：解得：故書籍和實(shí)驗(yàn)器材分別為240套，120套．（2）設(shè)安排甲型號(hào)的貨車a輛，則安排乙型號(hào)的貨車（8﹣a）輛．根據(jù)題意得：解得：0≤a≤4又∵a取整數(shù)，∴a＝0，1，2，3，48﹣a＝8，7，6，5，4，∴共有5種方案，如下：方案一：甲0輛，乙8輛方案二：甲1輛，乙7輛方案三：甲2輛，乙6輛方案四：甲3輛，乙5輛方案五：甲4輛，乙4輛（3）方案一所需運(yùn)費(fèi)：1000×0+8×900＝7200（元）方案二所需運(yùn)費(fèi)：1000+7×900＝7300（元）方案三所需運(yùn)費(fèi)：2×1000+6×900＝7400（元）方案四所需運(yùn)費(fèi)：3×1000+5×900＝7500（元）方案五所需運(yùn)費(fèi)：4×1000+4×900＝7600（元）故運(yùn)輸部門應(yīng)選擇方案一，他的運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是7200元．28．某校決定組織學(xué)生開展校外拓展活動(dòng)，若每位老師帶17個(gè)學(xué)生，還剩12個(gè)學(xué)生沒人帶；若每位老師帶18個(gè)學(xué)生，就有一位老師少帶4個(gè)學(xué)生．現(xiàn)有甲乙兩種大客車，它們的載客量和租金如下表所示．學(xué)校計(jì)劃此次拓展活動(dòng)的租車總費(fèi)用不超過3100元，為了安全，每輛客車上至少要有2名老師．客車甲種乙種載客量/（人/輛）3042租金（元/輛）300400（1）參加此次拓展活動(dòng)的老師有多少人？參加此次拓展活動(dòng)的學(xué)生有多少人？（2）