2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)日壇中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)日壇中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，其中符合題意的選項只有一個.1．（3分）下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）⊙O的半徑為3cm，若點P在⊙O內(nèi)，則OP的長可能是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm3．（3分）如圖，點A，B，C均在⊙O上，連接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度數(shù)為（）A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°4．（3分）方程x2﹣4x+5＝0根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝3時，原方程應(yīng)變形為（）A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝4 D．（x﹣1）2＝46．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c上的部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…以下結(jié)論正確的是（）A．拋物線y＝ax2+bx+c的開口向下 B．拋物線的對稱軸是y軸 C．方程ax2+bx+c＝0的根為0和2 D．當(dāng)x＜3時，y隨x增大而增大7．（3分）過山車在軌道上運行的過程中有一段路線可以看作是拋物線的一部分，點A，B，C為該拋物線上的三點，如圖y表示運行的豎直高度（單位：m），x表示水平距離（單位：m）．由此可推斷出，此過山車運行到最低點時，所對應(yīng)的水平距離x可能為（）A．4 B．5 C．7 D．98．（3分）如圖，矩形OABC中，A（﹣3，0），C（0，2），拋物線y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的頂點M在矩形OABC內(nèi)部或其邊上，則m的取值范圍是（）A．﹣3≤m≤0 B．﹣3≤m≤﹣1 C．﹣1≤m≤2 D．﹣1≤m≤0二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有一個根為1，則k的值等于．10．（2分）如果方程mx2+2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，那么m的取值范圍是．11．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，如果＝，則∠ACD的度數(shù)是．12．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點．若∠BAC＝40°，則∠ADC＝°．13．（2分）某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻長20米），另外三邊用籬笆圍成如圖所示，所用的籬笆長為32米，請問當(dāng)垂直于墻的一邊的長為米時，花圃的面積有最大值，最大值是．14．（2分）已知拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸交于（﹣2，0）、（4，0），則關(guān)于x的一元二次方程：a（x﹣h+3）2+k＝0的解為．15．（2分）如圖，△ABC是等邊三角形，若將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α后得到AC'，連接BC'和CC'，則∠BC'C的度數(shù)為．16．（2分）如圖是某劇場第一排座位分布圖．甲、乙、丙、丁四人購票，所購票數(shù)分別為2，3，4，5．每人選座購票時，只購買第一排的座位相鄰的票，同時使自己所選的座位號之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后順序購票，那么甲購買1，2號座位的票，乙購買3，5，7號座位的票，丙選座購票后，丁無法購買到第一排座位的票．若丙第一個購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫出一種滿足條件的購票的先后順序．三、解答題（本題共60分，第17-24題每小題5分；第25題6分，第26-27每小題5分）17．（5分）解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．18．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．（1）以點C為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A'B'C；（2）在（1）的條件下，①點A經(jīng)過的路徑AA'的長度為（結(jié)果保留π）；②點B'的坐標為．19．（5分）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）．（1）填空：拋物線的對稱軸為直線x＝，拋物線與x軸的另一個交點D的坐標為；（2）畫出二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象；（3）把橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．那么該拋物線在直線AB下方的部分與線段AB組成的圖形內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為．20．（5分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，圖1，點P表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O為圓心，5m為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦AB長為8m，求筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度．21．（5分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．22．（5分）某騎游公司每月的租賃自行車數(shù)的增長率相同，今年四月份的騎游人數(shù)約為9000人，六月份的騎游人數(shù)約為16000人，求該騎游公司租賃自行車數(shù)的月平均增長率（精確到0.01）．23．（5分）如圖，D是等腰三角形ABC底邊的中點，過點A、B、D作⊙O．（1）求證：AB是⊙O的直徑；（2）延長CB交⊙O于點E，連接DE，求證：DC＝DE；（3）若BC＝5，CD＝4，求BE長．24．（5分）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m．身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．25．（6分）如圖，已知點M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）的圖象上，且x2﹣x1＝4．（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，1）．①求這個二次函數(shù)的表達式；②若y1＝y(tǒng)2，求頂點到MN的距離；（2）當(dāng)x1≤x≤x2時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為1，點M，N在對稱軸的異側(cè)，直接寫出a的取值范圍．26．（7分）在等邊△ABC中，將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到線段AD．（1）若線段DA的延長線與線段BC相交于點E（不與點B，C重合），寫出滿足條件的α的取值范圍；（2）在（1）的條件下連接BD，交CA的延長線于點F．①依題意補全圖形；②用等式表示線段AE，AF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．27．（7分）在平面直角坐標系xOy中，已知點M（a，b），N．對于點P給出如下定義：將點P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|個單位長度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|個單位長度，得到點P'，點P'關(guān)于點N的對稱點為Q，稱點Q為點P的“對應(yīng)點”．（1）如圖，點M（1，1），點N（2，2），點N在線段OM的延長線上，若點P（2，0），點Q為點P的“對應(yīng)點”．①在圖中畫出點Q；②連接PQ，交線段ON于點T．求證：；（2）⊙O的半徑為t，M是⊙O上一點，點N在線段OM上，若點N與點O重合，P為⊙O外一點，點Q為點P的“對應(yīng)點”．當(dāng)點M在⊙O上運動時，直接寫出點Q所構(gòu)成的圖形的面積（用含t的式子表示）．

2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)日壇中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，其中符合題意的選項只有一個.1．（3分）下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C．是中心對稱圖形，故本選項符合題意；D．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2．（3分）⊙O的半徑為3cm，若點P在⊙O內(nèi)，則OP的長可能是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】根據(jù)點在圓內(nèi)，點到圓心的距離小于圓的半徑進行判斷．【解答】解⊙O的半徑為3cm，點P在⊙O內(nèi)，∴OP＜3cm．故選：A．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．3．（3分）如圖，點A，B，C均在⊙O上，連接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度數(shù)為（）A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°【分析】根據(jù)垂直求出∠AOB＝90°，根據(jù)圓周角定理得出∠C＝AOB，再代入求出答案即可．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠C＝AOB＝45°，故選：B．【點評】本題考查了垂直定義和圓周角定理，能根據(jù)圓周角定理得出∠C＝AOB是解此題的關(guān)鍵．4．（3分）方程x2﹣4x+5＝0根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【分析】先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，∴方程無實數(shù)根．故選：D．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝3時，原方程應(yīng)變形為（）A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝4 D．（x﹣1）2＝4【分析】配方，即可得出選項．【解答】解：x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，故選：D．【點評】本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．6．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c上的部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…以下結(jié)論正確的是（）A．拋物線y＝ax2+bx+c的開口向下 B．拋物線的對稱軸是y軸 C．方程ax2+bx+c＝0的根為0和2 D．當(dāng)x＜3時，y隨x增大而增大【分析】將表格內(nèi)點坐標代入y＝ax2+bx+c中求出拋物線解析式，然后逐個判斷求解．【解答】解：將（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x，A．∵a＝1，∴拋物線開口向上，故A錯誤，不符合題意；B．∵圖象對稱軸為直線x＝1，故B錯誤，不符合題意；C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的根為0和2，故C正確，符合題意；D．∵圖象對稱軸為直線x＝1，開口向上，∴當(dāng)x＞1時，y隨x增大而增大∴x＜3時，y隨x不全是增大，故D錯誤，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，求出二次函數(shù)解析式求解．7．（3分）過山車在軌道上運行的過程中有一段路線可以看作是拋物線的一部分，點A，B，C為該拋物線上的三點，如圖y表示運行的豎直高度（單位：m），x表示水平距離（單位：m）．由此可推斷出，此過山車運行到最低點時，所對應(yīng)的水平距離x可能為（）A．4 B．5 C．7 D．9【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，可以得到對稱軸x的取值范圍，從而可以得到哪個選項是正確的．【解答】解：設(shè)該拋物線的對稱軸為x，由圖象可得，解得6＜x＜9，故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出對稱軸x的取值范圍．8．（3分）如圖，矩形OABC中，A（﹣3，0），C（0，2），拋物線y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的頂點M在矩形OABC內(nèi)部或其邊上，則m的取值范圍是（）A．﹣3≤m≤0 B．﹣3≤m≤﹣1 C．﹣1≤m≤2 D．﹣1≤m≤0【分析】先求出頂點坐標，再確定頂點橫、縱坐標的取值范圍，解不等式組即可．【解答】解：∵拋物線y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1，∴頂點M（m，﹣m+1），∵A（﹣3，0），C（0，2），頂點M在矩形OABC內(nèi)部或其邊上∴，解得：﹣1≤m≤0．故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是確定二次函數(shù)頂點橫縱坐標的取值范圍．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有一個根為1，則k的值等于2．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把把x＝1代入方程得關(guān)于k的一次方程1﹣3+k＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程得1﹣3+k＝0，解得k＝2．故答案為2．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．10．（2分）如果方程mx2+2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，那么m的取值范圍是m＜1且m≠0．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式的意義可得Δ＝4﹣4m＞0且m≠0，求出m的取值范圍即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程mx2+2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＞0且m≠0，∴4﹣4m＞0且m≠0，∴m＜1且m≠0，故答案為：m＜1且m≠0．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式Δ＝b2﹣4ac．當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．11．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，如果＝，則∠ACD的度數(shù)是60°．【分析】根據(jù)垂徑定理求出＝，求出、、的度數(shù)，即可求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∴＝，∵＝，∴＝＝，即、、的度數(shù)是＝120°，∴∠ACD＝°＝60°，故答案為：60°．【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識點，能求出的度數(shù)是進而此題的關(guān)鍵．12．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點．若∠BAC＝40°，則∠ADC＝130°．【分析】連接BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得∠ACB＝90°，則∠B＝90°﹣40°＝50°．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補求得∠ADC＝180°﹣50＝130°．【解答】解：連接BC，如圖：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝40°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．故答案為：130．【點評】本題考查了圓周角定理的推論．解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，以及圓內(nèi)接四邊形的對角互補的性質(zhì)．13．（2分）某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻長20米），另外三邊用籬笆圍成如圖所示，所用的籬笆長為32米，請問當(dāng)垂直于墻的一邊的長為8米時，花圃的面積有最大值，最大值是128．【分析】設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，可得S＝（32﹣2x）x＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【解答】解：設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為（32﹣2x）米，根據(jù)矩形面積公式可得：S＝（32﹣2x）x＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝8時，靠墻一邊32﹣2x＝16＜20，S有最大值，最大面積為128．答：當(dāng)垂直于墻的一邊的長為8米時，S有最大值128米2，故答案為：8，128．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．14．（2分）已知拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸交于（﹣2，0）、（4，0），則關(guān)于x的一元二次方程：a（x﹣h+3）2+k＝0的解為x1＝﹣5，x2＝1．【分析】由拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸的交點可得拋物線y＝a（x﹣h+3）2+k與x軸的交點坐標，進而求解．【解答】解：∵拋物線y＝a（x﹣h+3）2+k是由拋物線線y＝a（x﹣h）2+k向左平移3個單位所得，且物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸交于（﹣2，0）、（4，0），∴拋物線y＝a（x﹣h+3）2+k與x軸交點坐標為（﹣5，0），（1，0），∴x1＝﹣5，x2＝1為方程a（x﹣h+3）2+k＝0的解，故答案為：x1＝﹣5，x2＝1．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．15．（2分）如圖，△ABC是等邊三角形，若將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α后得到AC'，連接BC'和CC'，則∠BC'C的度數(shù)為30°．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC＝AC'，∠CAC'＝α，由三角形的內(nèi)角和定理求出∠AC'C的度數(shù)，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝AC'，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠AC'B的度數(shù)，則可得出答案．【解答】解：∵將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α后得到AC'，∴AC＝AC'，∠CAC'＝α，∴∠ACC'＝∠AC'C＝，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AB＝AC'，∴∠AC'B＝＝60°﹣，∴∠BC'C＝∠AC'C﹣∠AC'B＝＝30°．故答案為：30°．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖是某劇場第一排座位分布圖．甲、乙、丙、丁四人購票，所購票數(shù)分別為2，3，4，5．每人選座購票時，只購買第一排的座位相鄰的票，同時使自己所選的座位號之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后順序購票，那么甲購買1，2號座位的票，乙購買3，5，7號座位的票，丙選座購票后，丁無法購買到第一排座位的票．若丙第一個購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫出一種滿足條件的購票的先后順序丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲或丙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲．【分析】先判斷，丙購4票（3124）后，左余6座，右余5座，即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，丙第一個購票，只能購買3，1，2，4號票，此時，3號左邊有6個座位，4號右邊有5個座位，即甲、乙購買的票只要在丙的同側(cè)，四個人購買的票全在第一排，①第二個丁可以購買3號左邊的5個座位，另一側(cè)的座位甲和乙購買，即丙（3，1，2，4）、?。?，7，9，11，13）、甲（6，8）、乙（10，12，14），或丙（3，1，2，4）、?。?，7，9，11，13）、乙（6，8，10）、甲（12，14）；②第二個由甲或乙購買，此時，只能購買5，7號票，第三個購買的只能是丁，且只能購買6，8，10，12，14號票，此時，四個人購買的票全在第一排，即丙（3，1，2，4）、甲（5，7）、?。?，8，10，12，14）、乙（9，11，13），或丙（3，1，2，4）、乙（5，7，9）、?。?，8，10，12，14）、甲（11，13），因此，第一個是丙購買票，丁只要不是最后一個購買票的人，都能使四個人購買的票全在第一排，故答案為：丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲或丙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲．【點評】此題主要考查了推理與論證，判斷出甲、乙購買的票在丙的同側(cè)是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共60分，第17-24題每小題5分；第25題6分，第26-27每小題5分）17．（5分）解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，可得x﹣3＝0或x+1＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．18．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．（1）以點C為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A'B'C；（2）在（1）的條件下，①點A經(jīng)過的路徑AA'的長度為（結(jié)果保留π）；②點B'的坐標為（﹣1，3）．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義作出點A、B繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)點，再順次連接可得；（2）①根據(jù)弧長公式列式計算即可；②根據(jù)（1）中所作圖形可得點B'的坐標．【解答】解：（1）如圖所示，△A′B′C即為所求；（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，∴點A經(jīng)過的路徑的長為＝，故答案為：；②由圖知點B′的坐標為（﹣1，3），故答案為：（﹣1，3）．【點評】本題主要考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心作出對應(yīng)點．19．（5分）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）．（1）填空：拋物線的對稱軸為直線x＝2，拋物線與x軸的另一個交點D的坐標為（3，0）；（2）畫出二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象；（3）把橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．那么該拋物線在直線AB下方的部分與線段AB組成的圖形內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為7．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可得拋物線對稱軸為直線x＝2，由點C坐標為（1，0）可得點D坐標為（3，0）；（2）由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后根據(jù)解析式作出圖象；（3）通過觀察圖象可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵點A（0，3）、B（4，3）關(guān)于直線x＝2對稱，∴對稱軸為直線x＝2，∵C（1，0）關(guān)于直線x＝2對稱點為（3，0），∴點D坐標為（3，0），故答案為：2；（3，0）；（2）將A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣4x+3．圖象如下：（3）由圖象可得：該拋物線在直線AB下方的部分與線段AB組成的圖形內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為7個，故答案為：7．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握求二次函數(shù)解析式的方法，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．20．（5分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，圖1，點P表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O為圓心，5m為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦AB長為8m，求筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】過O點作半徑OD⊥AB于E，如圖，利用垂徑定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理計算出OE，然后計算出DE的長即可．【解答】解：過O點作半徑OD⊥AB于E，如圖，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為2m．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?1．（5分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【分析】（1）先根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根列出關(guān)于m的一元二次方程，求出m的值即可；（2）根據(jù)題意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根據(jù)方程兩個根均為正整數(shù)，可求m的最小值．【解答】（1）證明：依題意，得Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝m2+6m+9﹣4m﹣8＝（m+1）2．∵（m+1）2≥0，∴△≥0．∴方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，∵方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，∴m+2≥1．∴m≥﹣1．∴m的最小值為﹣1．【點評】本題考查的是根的判別式及一元二次方程的解的定義，在解答（2）時得到方程的兩個根是解題的關(guān)鍵．22．（5分）某騎游公司每月的租賃自行車數(shù)的增長率相同，今年四月份的騎游人數(shù)約為9000人，六月份的騎游人數(shù)約為16000人，求該騎游公司租賃自行車數(shù)的月平均增長率（精確到0.01）．【分析】設(shè)該騎游公司租賃自行車數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)四月份及六月份的騎游人數(shù)，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該騎游公司租賃自行車數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意得：9000（1+x）2＝16000，解得：1+x＝±，∴x1＝0.33＝33%，x2＝﹣0.67（舍去）．答：該騎游公司租賃自行車數(shù)的月平均增長率為33%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23．（5分）如圖，D是等腰三角形ABC底邊的中點，過點A、B、D作⊙O．（1）求證：AB是⊙O的直徑；（2）延長CB交⊙O于點E，連接DE，求證：DC＝DE；（3）若BC＝5，CD＝4，求BE長．【分析】（1）連接BD，由AB＝CB，AD＝CD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明BD⊥AC，則∠ADB＝90°，所以AB是⊙O的直徑；（2）根據(jù)圓周角定理證明∠E＝∠A，根據(jù)“等邊對等角”得∠C＝∠A，所以∠E＝∠C，則DC＝DE；（3）可由∠E＝∠A，∠C＝∠C，證明△EDC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求CE的長，再由BE＝CE﹣BC求BE的長；也可以作DF⊥BC于點F，由勾股定理求得BD＝3，再列面積等式BC?DF＝CD?BD＝S△BCD，則DF＝＝＝，所以CE＝2×＝，則BE＝CE﹣BC＝．【解答】（1）證明：連接BD，∵AB＝CB，AD＝CD，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴AB是⊙O的直徑．（2）證明：∵∠E＝∠A，∠C＝∠A，∴∠E＝∠C，∴DC＝DE．（3）解法一：∵∠E＝∠A，∠C＝∠C，∴△EDC∽△ABC，∵BC＝5，CD＝4，∴＝＝，CA＝2CD＝8，∴CE＝×8＝，∴BE＝CE﹣BC＝﹣5＝，∴BE長是．解法二：作DF⊥BC于點F，則∠CFD＝90°，∵∠BDC＝90°，BC＝5，CD＝4，∴BD＝＝3，∵BC?DF＝CD?BD＝S△BCD，∴DF＝＝＝，∴CF＝＝，∴BE＝CE﹣BC＝2×﹣5＝，∴BE長是．【點評】此題重點考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（5分）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m．身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．【分析】（1）由拋物線頂點（5，3.2），設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系數(shù)法可得拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+；（2）當(dāng)y＝1.6時，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得她與爸爸的水平距離為2m或6m．【解答】解：（1）由題意知，拋物線頂點為（5，3.2），設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣5）2+3.2，將（0，0.7）代入得：0.7＝25a+3.2，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+，答：拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+；（2）當(dāng)y＝1.6時，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，∴她與爸爸的水平距離為3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），答：當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時，與爸爸的水平距離是2m或6m．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．25．（6分）如圖，已知點M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）的圖象上，且x2﹣x1＝4．（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，1）．①求這個二次函數(shù)的表達式；②若y1＝y(tǒng)2，求頂點到MN的距離；（2）當(dāng)x1≤x≤x2時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為1，點M，N在對稱軸的異側(cè)，直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）①把點（3，1）代入二次函數(shù)的解析式求出a即可；②判斷出M，N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求出點M的縱坐標，可得結(jié)論；（2）分兩種情形：若M，N在對稱軸的異側(cè)，y1≥y2，若M，N在對稱軸的異側(cè)，y1≤y2，x1＜2，分別求解即可．【解答】解：（1）①∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）經(jīng)過（3，1），∴1＝9a﹣12a+4a﹣1，∴a＝2，∴二次函數(shù)的解析式為二次函數(shù)y＝2x2﹣8x+7；②∵y1＝y(tǒng)2，∴M，N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∵y＝2x2﹣8x+7＝2（x﹣2）2﹣1，∴對稱軸是直線x＝2，頂點為（2，﹣1），∵x2﹣x1＝4，∴x1＝0，x2＝4，當(dāng)x＝0時，y1＝2×（0﹣2）2﹣1＝7，∴當(dāng)y1＝y(tǒng)2時，頂點到MN的距離＝7+1＝8；（2）若M，N在對稱軸的異側(cè)，y1≥y2，∴x1+4＞2，≤2，∴x1＞﹣2，∵x2﹣x1＝4，∴x1≤0，∴﹣2＜x1≤0，∵函數(shù)的最大值為y1＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值為﹣1，∴y﹣（﹣1）＝1，∴a＝，∵4≤（x1﹣2）2＜16，∴＜a≤．若M，N在對稱軸的異側(cè)，y1≤y2，∴x1＜2，≥2，∵x2﹣x1＝4，∴x1≥0，∴0≤x1＜2，∵函數(shù)的最大值為y2＝a（x2﹣2）2﹣1，最小值為﹣1，∴y2﹣（﹣1）