寧夏銀川市興慶區(qū)長慶高級中學2025屆高三數(shù)學下學期一?？荚囋囶}文含解析

PAGE19-寧夏銀川市興慶區(qū)長慶高級中學2025屆高三數(shù)學下學期一模考試試題文（含解析）考試時間：120分鐘留意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3.做選考題時，考生須依據(jù)題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.第Ⅰ卷共60分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調性求出集合B，再利用集合的交運算即可求解.【詳解】由，則.故選：B【點睛】本題考查了集合的角運算，同時考查了利用指數(shù)函數(shù)的單調性解不等式，屬于基礎題.2.已知復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡得到，得到答案.【詳解】，故，即，故選：A．【點睛】本題考查了依據(jù)復數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學生的計算實力.3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列公式干脆計算得到答案.【詳解】依題意，，故，故，故，故選：D．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的計算，意在考查學生的計算實力.4.已知命題；命題，．則下列命題中是真命題的為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別推斷命題為真，命題為真，得到答案.【詳解】取，可知，故命題為真；因為，當且僅當時等號成立，故命題為真；故為真，故選：C．【點睛】本題考查了命題的真假推斷，意在考查學生的推斷實力.5.如圖所示，線段是正方形的一條對角線，現(xiàn)以為一條邊，作正方形，記正方形與的公共部分為（如圖中陰影部分所示），則往五邊形中投擲一點，該點落在內的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】五邊形的面積，陰影的面積為，得到概率.【詳解】不妨設，故五邊形的面積，陰影的面積為，故所求概率為，故選：B．【點睛】本題考查了幾何概型，意在考查學生的計算實力和應用實力.6.已知向量與的夾角的余弦值為，且，則()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】由向量與的夾角的余弦值為，且，則.故選：B【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的定義，需熟記定義，屬于基礎題.7.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則的一個充分不必要條件()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間線面位置關系的判定與性質定理即可得出.【詳解】對于A，，則，故解除A；對于B，，則與相交或，故解除B；對于C，，則，故解除C；對于D，，則；反之，若，與的位置關系不確定，當時，或，故的一個充分不必要條件，故D正確；故選：D【點睛】本題主要考查直線、平面的平行與垂直的推斷、充分條件與必要條件的推斷等基礎學問，意在考查學生的空間想象實力、轉化與化歸實力，屬于基礎題.8.已知中，，，分別是，，的中點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平行四邊形法則求解即可.【詳解】依題意，，故故選A．【點睛】本題主要考查了平面對量基本定理的應用，屬于基礎題.9.《九章算術》是中國古代的數(shù)學珍寶，其第五卷商功中有如下問題：“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺，問積幾何？”翻譯成現(xiàn)代漢語就是：今有三面皆為等腰梯形，其他兩側面為直角三角形的五面體的隧道，前端下寬尺，上寬一丈，深尺，末端寬尺，無深，長尺（注：一丈十尺）．則該五面體的體積為（）A.立方尺 B.立方尺 C.立方尺 D.立方尺【答案】C【解析】【分析】如圖，在，上取，，使得，連接，，，，，計算得到答案.【詳解】如圖，在，上取，，使得，連接，，，，故多面體的體積，故選：C．【點睛】本題考查了幾何體體積的計算，意在考查學生的計算實力和空間想象實力.10.已知函數(shù)在上僅有個最值，且為最大值，則實數(shù)的值不行能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡，依據(jù)在上僅有個最值，且為最大值，得到，解得或，對比選項得到答案.【詳解】，因在上僅有個最值，且為最大值，故，解得，故，或故選：C．【點睛】本題考查了依據(jù)三角函數(shù)最值求參數(shù)，意在考查學生的計算實力和轉化實力.11.已知拋物線的焦點為，準線，點在拋物線上，點在左準線上，若，且直線的斜率，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設準線與軸交于N，所以,直線的斜率，所以,在直角三角形中，，，依據(jù)拋物線定義知，,又,,所以,因此是等邊三角形，故，所以的面積為，故選C.12.若函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：對恒成立，故，即恒成立，即對恒成立，構造，開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點值，故只需保證，解得．故選C．【考點】三角變換及導數(shù)的應用【名師點睛】本題把導數(shù)與三角函數(shù)結合在一起進行考查,有所創(chuàng)新,求解的關鍵是把函數(shù)單調性轉化為不等式恒成立,再進一步轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,留意與三角函數(shù)值域或最值有關的問題,即留意正、余弦函數(shù)的有界性.第Ⅱ卷共90分二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上.13.已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的方程為_______________．【答案】或【解析】【分析】設雙曲線的方程為，依據(jù)焦距計算得到答案.【詳解】設雙曲線的方程為，故，則或，解得或，故雙曲線的方程為或．故答案：或.【點睛】本題考查了雙曲線方程，設方程為是解題的關鍵.14.已知實數(shù)滿意，則的取值范圍為___________________.【答案】【解析】【分析】作出可行域，由得，平移直線，數(shù)形結合可得的取值范圍.【詳解】作出可行域，如圖所示由得，則為直線在軸上的截距.平移直線，當直線過點時，z有最小值0.當直線過點時，z有最大值.解方程組得，即點，.故的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查簡潔的線性規(guī)劃，屬于基礎題.15.已知等比數(shù)列中，，則________.【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，需熟記公式，屬于基礎題.16.已知，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系得出，結合二倍角的余弦公式得出，即可求出的值.【詳解】因為，所以是其次象限角；因為，所以故，故．故答案為：【點睛】本題主要考查了利用同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式化簡求值，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知中，，若，，．（1）證明：為等邊三角形；（2）若的面積為，求的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)余弦定理得到，得到證明.（2）依據(jù)面積得到，再依據(jù)正弦定理計算得到答案.【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理得，所以，解得．又，，所以是等邊三角形．（2）因為，且，故，所以，解得，在中，，所以．在中，由正弦定理得，所以．【點睛】本題考察了正弦定理，余弦定理，面積公式，意在考查學生的計算實力和綜合應用實力.18.共享單車又稱為小黃車，近年來漸漸走進了人們的生活，也成為削減空氣污染，緩解城市交通壓力的一種重要手段．為調查某地區(qū)居民對共享單車的運用狀況，從該地區(qū)居民中按年齡用隨機抽樣的方式隨機抽取了人進行問卷調查，得到這人對共享單車的評價得分統(tǒng)計填入莖葉圖，如下所示（滿分分）：（1）找出居民問卷得分的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）請計算這位居民問卷的平均得分；（3）若在成果為分的居民中隨機抽取人，求恰有人成果超過分的概率．【答案】（1）眾數(shù)為，中位數(shù)為；（2）88（3）【解析】【分析】（1）由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結合眾數(shù)，中位數(shù)的定義即可得出答案；（2）由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結合平均數(shù)的定義，即可得出這位居民問卷的平均得分；（3）由古典概型的概率公式求解即可.【詳解】（1）依題意，居民問卷得分的眾數(shù)為，中位數(shù)為；（2）依題意，所求平均得分為（3）依題意，從人中任選人，可能的狀況為，，，，，，，，，，其中滿意條件的為種，故所求概率；【點睛】本題主要考查了由莖葉圖計算眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)以及利用古典概型概率公式計算概率，屬于中檔題.19.在四棱錐中，平面平面，，，點，分別在線段，上，且，，為棱上一點，且．（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面平行的判定定理證明即可；（2）由面面垂直的性質得出平面，結合棱錐的體積公式即可得出答案.【詳解】（1）因為點，分別在線段，上，且，故，又平面，平面，故平面；因為，故，因為，故四邊形為平行四邊形，故；又平面，平面，故平面因為平面，平面，所以平面平面；（2）因為，平面，平面平面為平面，平面的交線所以平面，即平面由已知可得，，由．【點睛】本題主要考查了證明面面平行，求棱錐的體積，屬于中檔題.20.已知橢圓的離心率為，且橢圓過點，直線與橢圓相交于，兩點，圓是以為直徑的圓．（1）求橢圓的方程；（2）記為坐標原點，若點不在圓內，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)離心率公式以及將點代入橢圓方程，聯(lián)立方程組，即可得出橢圓方程；（2）聯(lián)立橢圓以及直線方程，由判別式大于0，得出的范圍，結合韋達定理得出，的值，將點與圓的位置，轉化為，解不等式，即可得出答案.【詳解】（1）依題意，，，，解得，，故橢圓的方程為；（2）聯(lián)立消去并整理得：因直線與橢圓有兩個交點，即方程有不等的兩實根，故，解得設，，由根與系數(shù)的關系得點不在圓內，即又由解得，故，則或．則滿實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了求橢圓的標準方程以及直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調性；（2）當時，記函數(shù)在區(qū)間的最大值為.最小值為，求的取值范圍.【答案】（1）當時，函數(shù)的增區(qū)間為，無單調減區(qū)間；當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，.分和兩種狀況探討，即求的單調區(qū)間；（2）當時，由（1）可得函數(shù)在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增，則.比較和大小，分和兩種狀況探討，構造函數(shù)，求的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為..當時，恒成立，函數(shù)的增區(qū)間為，無單調減區(qū)間；當時，令可得；令可得，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上，當時，函數(shù)的增區(qū)間為，無單調減區(qū)間；當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）當時，由（1）可得函數(shù)在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增.，，.由.①當時，，有.記，則，函數(shù)在單調遞減，，即.此時的取值范圍為.②當時，，有.記，則，函數(shù)在單調遞增，，即.此時的取值范圍為.綜上，的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性和最值，考查分類探討的數(shù)學思想，屬于難題.（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分.作答時請寫清題號.22.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為（1）若，求直線的極坐標方程以及曲線的直角坐標方程：（2）若直線與曲線交于、兩點，且，求直線的斜率．【答案】（1）直線的極坐標方程為，曲線C的直角坐標方程為（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)，，，求出直線和曲線的直角坐標方程；（2）求出，，依據(jù)，求出直線的斜率即可．【詳解】（1）由題意，直線，可得直線是過原點的直線，故其極坐標方程為，又，故；（2）由題意，直線l的極坐標為，設、對應的極徑分別為，，將代入曲線的極坐標可得：，故，，，故，則，即，，所以