1.2《矩形的性質(zhì)與判定》北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊教案（第1課時）

第一章特殊的平行四邊形1.2矩形的性質(zhì)與判定第1課時一、教學(xué)目標(biāo)1．理解矩形的概念，了解它與平行四邊形之間的關(guān)系．2．經(jīng)歷矩形性質(zhì)定理的探索過程，進一步發(fā)展合情推理能力．3．能夠用綜合法證明矩形的性質(zhì)定理，以及其他相關(guān)結(jié)論，進一步發(fā)展演繹推理能力．4．探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．5．進一步體會探索與證明過程中所蘊含的抽象、推理等數(shù)學(xué)思想．二、教學(xué)重點及難點重點：掌握矩形的性質(zhì)及“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．難點：矩形的性質(zhì)的靈活應(yīng)用．三、教學(xué)用具多媒體課件、直尺或三角板。四、相關(guān)資多張《生活中的矩形》圖片，《平行四邊形變矩形》動畫，《矩形的性質(zhì)》微課，《矩形的性質(zhì)》圖片.五、教學(xué)過程【情境引入】下面圖片中都含有一些特殊的平行四邊形．觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征嗎？師生活動：教師出示問題及圖片，學(xué)生觀察圖片并嘗試回答問題．生：這些特殊的平行四邊形中都有一個角是直角．這就是我們本節(jié)課要研究的矩形．設(shè)計意圖：通過實際生活中的圖片引入本課，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣．【探究新知】矩形的定義．矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．矩形應(yīng)滿足的兩個條件：（1）是平行四邊形；（2）有一個角是直角．師生活動：教師講解，并明確矩形應(yīng)滿足的兩個條件．師：矩形是生活中常見的圖形，你還能舉出一些生活中矩形的例子嗎？與同伴交流。生：……設(shè)計意圖：讓學(xué)生感受到矩形在實際生活中的廣泛應(yīng)用．想一想：矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？（2）矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？師生活動：教師首先引導(dǎo)學(xué)生回憶一般平行四邊形的性質(zhì)，從而得出矩形的一般性質(zhì)，然后再探究矩形的特殊性質(zhì)．答：矩形的一般性質(zhì)：具備平行四邊形的所有性質(zhì)．邊：對邊平行且相等．角：對角相等．對角線：對角線互相平分．中心對稱性：是中心對稱圖形．矩形的特殊性質(zhì)：矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸．教師追問：（3）矩形還有特殊性質(zhì)嗎？師生活動：教師追問，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究矩形的性質(zhì)．發(fā)現(xiàn)：四個內(nèi)角都是直角，兩條對角線長度相等．猜想1：矩形的四個角都是直角．猜想2：矩形的對角線相等．試一試：你能證明一下上面猜想的正確性嗎？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證并完成證明過程．猜想1的證明：已知：四邊形ABCD是矩形，∠B=90°．求證：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∠B=90°，又∵矩形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°．∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即矩形的四個角都是直角．性質(zhì)1：矩形的四個角都是直角．幾何語言：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．猜想2的證明：已知：AC與BD是矩形ABCD的對角線．求證：AC=BD．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB．又BC=CB，∴△ABC≌△DCB．∴AC=BD．性質(zhì)2：矩形的對角線相等．幾何語言：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD．設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力和邏輯推理能力．議一議：如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點E，那么BE是Rt△ABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有什么大小關(guān)系？由此你能得到怎樣的結(jié)論？師生活動：教師出示問題，學(xué)生思考，教師找學(xué)生代表回答，最后得出答案．答：BE是斜邊AC上的中線，BE=．得到的結(jié)論是：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．嘗試完成定理的證明。因為四邊形ABCD是矩形，所以AC與BD互相平分，且AC=BD．所以BE=．設(shè)計意圖：從矩形對角線的相關(guān)性質(zhì)推出直角三角形的性質(zhì)，達到了“學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)”的目的，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．【典例精析】例如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點O，∠AOD=120°，AB=2.5，求這個矩形對角線的長．師生活動：教師出示例題，學(xué)生思考，教師要求學(xué)生用兩種方法解答．分析：因為矩形是特殊的平行四邊形，所以它具有對角線相等且互相平分的特殊性質(zhì)，根據(jù)矩形的這個特性和已知條件，可得△AOB是等邊三角形，因此可求出對角線的長度．解：方法1：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對角線相等），OA=OC=AC，OB=OD=BD（矩形的對角線互相平分）．∴OA=OB．∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°．∴△AOB是等邊三角形．∴OA=OB=2.5．∴AC=BD=5．方法2：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對角線相等），OA=OC=AC，OB=OD=BD（矩形的對角線互相平分）．∴OA=OD．∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°．又∵∠DAB=90°（矩形的四個角都是直角），∴BD=2AB=2×2.5=5．設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力．【課堂練習(xí)】1．矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）．A．對角相等B．對邊相等C．對角線相等D．對角線互相平分2．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線．若∠A=20°，則∠BDC=（）．A．30°B．40°C．45°D．60°師生活動：教師先找學(xué)生代表回答，然后講解出現(xiàn)的問題．3．一直角三角形中，兩條直角邊的長分別為12和5，則斜邊上的中線長為（）．A．26B．13C．8.5D．6.54．如圖，要使□ABCD成為矩形，需添加的條件是（）．A．AB=BCB．AC⊥BDC．∠ABC=90°D．∠1=∠25．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點C′處，折痕為EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC′的度數(shù)為_______度．6．已知：矩形ABCD中，點E是BC上一點，DF⊥AE于F，若AE=BC．求證：CE=EF．7．如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC，BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E．求證：BD=BE；參考答案1．C．2．B．解析：∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，∴BD=CD=AD．∴∠A=∠DCA=20°，∴∠BDC=∠A+∠DCA=20°+20°=40°．故選B．3．D．解析：由勾股定理，得斜邊長為13，又因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．故選D．4．C．解析：因為有一個直角的平行四邊形是矩形．故選C．5．125．解析：由折疊可知，∠DEF=∠BEF，∠EFC=∠EFC′．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°．又∵∠ABE=20°，∴∠AEB=70°．∴∠DEF=55°．在四邊形EFCD中，∵∠EFC=125°，∴∠EFC′=125°．6．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD=BC，AD∥BC．∴∠1=∠2．∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．∴∠B=∠AFD．又∵AE=BC=AD，∴△ABE≌△DFA．∴BE=AF．∴CE=EF．此題還可以連接DE，證明△DEF≌△DEC，得到CE=EF．7．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD．又∵BE∥AC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴BE=AC，∴BD=BE．設(shè)計意圖：通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識．六、課堂小結(jié)1．矩形是如何從平行四邊形演變而來的呢？2．對比平行四邊形的性質(zhì)，矩形還有哪些特殊性質(zhì)？矩形的四個角都是直角．矩形的對角線相等．3．直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．矩形的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化到等腰三角形或直角三角形中解決．師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)