安徽省淮北市樹人高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理

PAGEPAGE26安徽省淮北市樹人高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．以復(fù)數(shù)－24＋mi(m∈R)的實(shí)部為首項(xiàng)，虛部為公差的等差數(shù)列{an}，當(dāng)且僅當(dāng)n＝10時(shí)其前n項(xiàng)和最小，則m的取值范圍是（）A．B．C． D．2．已知集合A={x|-1≤x≤1}和集合B={y|y=x2}，則A∩B等于（）A．{y|0<y<1}B．{y|0≤y≤1}C．{y|y>0}D．{(0，1)，(1，0)}3．我市中學(xué)數(shù)學(xué)探討會(huì)打算從會(huì)員中選拔名男生，名女生組成一個(gè)小組去參與數(shù)學(xué)文化學(xué)問競(jìng)賽，若，滿意約束條件，則該小組最多選拔學(xué)生（）A．24名 B．19名 C．16名 D．14名4．我國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大?小竹子各多少根？每根竹子單價(jià)各是多少錢？則在這個(gè)問題中大竹子每根的單價(jià)可能為（）A．6錢 B．7錢 C．8錢 D．9錢5．函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．6．已知二項(xiàng)式的綻開式的二項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)和為64，，則（）A．20 B．30 C．60 D．807．已知某三角函數(shù)的部分圖象如圖所示，則它的解析式可能是（）A．B．C． D．8．若等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，記則A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差也為dB．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差為2dC．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差為dD．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差為9．已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為A． B． C． D．10．我國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另始終角邊為股，斜邊為弦．若為直角三角形的三邊，其中為斜邊，則，稱這個(gè)定理為勾股定理．現(xiàn)將這肯定理推廣到立體幾何中：在四面體中，，為頂點(diǎn)所對(duì)面的面積，分別為側(cè)面的面積，則下列選項(xiàng)中對(duì)于滿意的關(guān)系描述正確的為A．B．C． D．11．已知點(diǎn)，，P為曲線上隨意一點(diǎn)，則的取值范圍為A． B． C． D．12．已知在上的函數(shù)滿意如下條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；②對(duì)于隨意，；③當(dāng)時(shí)，；④函數(shù)，，若過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象在上恰有8個(gè)交點(diǎn)，在直線斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分.13．過點(diǎn)作函數(shù)的切線，則切線方程是_________．14．已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列滿意，則______.15．已知點(diǎn)在拋物線：上，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則直線的傾斜角的正弦值為______.16．已知三棱錐中，二面角的大小為，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則三棱錐外接球的表面積為______.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）求的取值范圍.18．四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面底面.（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）若與底面所成的角為，求二面角的余弦值.19．東莞的輕軌給市民出行帶來了很大的便利，越來越多的市民選擇乘坐輕軌出行，許多市民都會(huì)開汽車到離家最近的輕軌站，將車停放在輕軌站停車場(chǎng)，然后進(jìn)站乘輕軌出行，這給輕軌站停車場(chǎng)帶來很大的壓力．某輕軌站停車場(chǎng)為了解決這個(gè)問題，確定對(duì)機(jī)動(dòng)車停車施行收費(fèi)制度，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：4小時(shí)內(nèi)（含4小時(shí)）每輛每次收費(fèi)5元；超過4小時(shí)不超過6小時(shí)，每增加一小時(shí)收費(fèi)增加3元；超過6小時(shí)不超過8小時(shí)，每增加一小時(shí)收費(fèi)增加4元，超過8小時(shí)至24小時(shí)內(nèi)（含24小時(shí)）收費(fèi)30元；超過24小時(shí)，按前述標(biāo)準(zhǔn)重新計(jì)費(fèi)．上述標(biāo)準(zhǔn)不足一小時(shí)的按一小時(shí)計(jì)費(fèi)．為了調(diào)查該停車場(chǎng)一天的收費(fèi)狀況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)1000輛車的停留時(shí)間（假設(shè)每輛車一天內(nèi)在該停車場(chǎng)僅停車一次），得到下面的頻數(shù)分布表：（小時(shí)）頻數(shù)（車次）10010020020035050以車輛在停車場(chǎng)停留時(shí)間位于各區(qū)間的頻率代替車輛在停車場(chǎng)停留時(shí)間位于各區(qū)間的概率．（1）現(xiàn)在用分層抽樣的方法從上面1000輛車中抽取了100輛車進(jìn)行進(jìn)一步深化調(diào)研，記錄并統(tǒng)計(jì)了停車時(shí)長(zhǎng)與司機(jī)性別的列聯(lián)表：男女合計(jì)不超過6小時(shí)306小時(shí)以上20合計(jì)100完成上述列聯(lián)表，并推斷能否有90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時(shí)”與性別有關(guān)？（2）（i）表示某輛車一天之內(nèi)（含一天）在該停車場(chǎng)停車一次所交費(fèi)用，求的概率分布列及期望；（ii）現(xiàn)隨機(jī)抽取該停車場(chǎng)內(nèi)停放的3輛車，表示3輛車中停車費(fèi)用大于的車輛數(shù)，求的概率．參考公式：，其中0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02420．如圖，已知橢圓過點(diǎn)，其的左、右頂點(diǎn)分別是，，下、上頂點(diǎn)分別是，，是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線，的斜率，滿意.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.21．已知函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)為.（1）當(dāng)時(shí)，探討的單調(diào)性；（2）設(shè)，方程有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證.選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)、為曲線上的兩點(diǎn)，且，求的最小值．23．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若不等式在實(shí)數(shù)上的解集不是空集，求正數(shù)的取值范圍。參考答案1．D【分析】由題可得，，由可求得.【詳解】由題可得等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)，公差，，由題意知，則可解得.故選：D.2．B【分析】先由二次函數(shù)的值域求得集合B，再運(yùn)用集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)锽={y|y=x2}，所以B={y|y≥0}，A∩B={y|0≤y≤1}．故選：B．3．B【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后求的最大值即可.【詳解】畫出，滿意約束條件表示的平面區(qū)域，如圖所示．要求招入的人數(shù)最多，即取得最大值，目標(biāo)函數(shù)化為，在可行域內(nèi)隨意取，且為正整數(shù)，使得目標(biāo)函數(shù)代表的斜率為定值，截距最大時(shí)的直線過點(diǎn)，聯(lián)立得，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是線性規(guī)劃的學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題.4．C【分析】依據(jù)題意設(shè)買大竹子，每根單價(jià)為，可得，由，解不等式組即可求解.【詳解】依題意可設(shè)買大竹子，每根單價(jià)為，購(gòu)買小竹子，每根單價(jià)為，所以，即，即，因?yàn)椋?，依?jù)選項(xiàng)，，所以買大竹子根，每根元.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了不等式，考查了數(shù)據(jù)處理實(shí)力以及分析實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5．B【分析】分析四個(gè)圖像，從而推斷函數(shù)的性質(zhì)，利用解除法求解．【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上為連續(xù)函數(shù)，可解除A答案；由于，，，所以，可解除C答案；當(dāng)時(shí)，，故解除D答案；故答案選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的推斷與數(shù)形結(jié)合的思想方向的應(yīng)用，屬于中檔題6．C【分析】依據(jù)題意賦值可得，從而求出，再換元，設(shè)，將二項(xiàng)式綻開，即可依據(jù)二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式求出．【詳解】依據(jù)題意，令可得，即設(shè)，即，即，令，解得．∴，可知.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式求某指定項(xiàng)的系數(shù)，以及二項(xiàng)式定理，賦值法的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是換元法的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．7．C【解析】試題分析：,所以所以它的解析式可能是，選C.考點(diǎn)：三角函數(shù)解析式【方法點(diǎn)睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特別點(diǎn)求.8．D【分析】依據(jù)已知寫出若等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，依據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的函數(shù)性質(zhì)推斷即可得出結(jié)論.【詳解】由題可得，，則是關(guān)于n的一次函數(shù)，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故A，B錯(cuò)誤；由是關(guān)于n的一次函數(shù)，得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；又是關(guān)于n的一次函數(shù)，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查等差數(shù)列,是關(guān)于的一次函數(shù)，公差為，嫻熟駕馭等差數(shù)列通項(xiàng)公式的函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9．B【分析】設(shè)，求出，，再依據(jù)向量在向量上的投影向量的定義列式求出，最終利用平面對(duì)量的夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥c向量方向相同的單位向量，設(shè)，則，所以，得，所以，因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队盀?，且向量在向量上的投影向量為，所以，所以，所以，所以，設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量在向量上的投影向量的定義以及平面對(duì)量的夾角公式求解是解題關(guān)鍵.10．C【分析】作四面體，，于點(diǎn)，連接，結(jié)合勾股定理可得答案．【詳解】作四面體，，于點(diǎn)，連接，如圖.即故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理，解題的關(guān)鍵是將勾股定理遷移到立體幾何中，屬于簡(jiǎn)潔題．11．A【分析】結(jié)合已知曲線方程，引入?yún)?shù)方程，然后結(jié)合和角正弦公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)則由可得，令，，，，，，，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，參數(shù)方程的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵.12．A【分析】先由條件①②，得到函數(shù)是周期為的周期函數(shù)；依據(jù)③求出函數(shù)在一個(gè)周期上的表達(dá)式為，依據(jù)④得到的周期為，其圖象可由的圖象壓縮為原來的得到，作出的圖象，結(jié)合圖象，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，由得，即，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)；若，則；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，，則函數(shù)在一個(gè)周期上的表達(dá)式為，因?yàn)?，，所以函?shù)，，故的周期為，其圖象可由的圖象壓縮為原來的得到，作出的圖象如圖：易知過的直線斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，則要使直線與的圖象在上恰有8個(gè)交點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，?故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于，依據(jù)條件，由函數(shù)基本性質(zhì)，得到的圖象，再由函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可求解.13．或【解析】試題分析：設(shè)切點(diǎn)為,,所以切線方程為,即,又切線過,代入方程得:,分解因式得:,即,解得或,當(dāng)時(shí),切線方程為;當(dāng)時(shí),．所以正確答案是或．考點(diǎn)：函數(shù)的切線方程．14．【分析】依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，從而求出，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由題意，解得，所以，所以，則.故答案為：.15．【分析】求出，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得，，依據(jù)向量可得，從而求出直線的傾斜角，即求.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，所以，得，所以，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，所以，所以，設(shè)，，所以，，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)橹本€的斜率，由，所以或，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了基本運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.16．【分析】找到三棱錐外接球球心的位置，求得外接球的半徑，進(jìn)而求得三棱錐外接球的表面積.【詳解】依題意，三角形是等邊三角形，設(shè)其外心為，線段的中點(diǎn)設(shè)為，則，且在線段上、.三角形是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以其外心為.過在三角形內(nèi)作.所以是二面角的平面角，所以.設(shè)外接球球心為，則平面，平面，所以、，所以.在三角形中，，，,所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔題.17．（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)等式整理可得，又，可求，結(jié)合A為內(nèi)角即可求得A的值；（2）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得，可求的范圍，從而可求，即可得解.【詳解】（1）由正弦定理可得，，從而可得，，即，又B為三角形的內(nèi)角，所以，于是，又A為三角形內(nèi)角，因此，.（2）∵，由可知，，所以，從而，因此，，故的取值范圍為.18．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）依據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)、平行四邊形形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（Ⅱ）連結(jié)，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可以證明出底面，這樣可以建立以，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（Ⅰ）四邊形是平行四邊形.又，.又面面，面面，面面且面平面平面.（Ⅱ）連結(jié)，，為中點(diǎn)，又平面，平面平面，平面平面，底面，又，以，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，取平面的法向量，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，，.設(shè)二面角的平面角為又為鈍角，，即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了證明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了利用空間向量夾角公式求二面角的平面角，考查了推理論證實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.19．（1）列聯(lián)表見解析，沒有超過90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時(shí)”與性別有關(guān)；（2）（i）分布列見解析，；（ii）【分析】（1）先依據(jù)頻數(shù)分布表填寫列聯(lián)表,再將數(shù)據(jù)代入公式求解即可；（2）（i）的可取值為5,8,11,15,19,30,依據(jù)頻數(shù)分布表分別求得概率,進(jìn)而得到分布列,并求得期望；（ii）先求得,則,進(jìn)而求得概率即可【詳解】（1）由題,不超過6小時(shí)的頻率為,則100輛車中有40輛不超過6小時(shí),60輛超過6小時(shí),則列聯(lián)表如下：男女合計(jì)不超過6小時(shí)1030406小時(shí)以上204060合計(jì)3070100依據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得所以沒有超過90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時(shí)”與性別有關(guān)（2）（i）由題意知：的可取值為5,8,11,15,19,30,則所以的分布列為：5811151930∴（ii）由題意得,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,考查二項(xiàng)分布,考查離散型分布列及期望,考查數(shù)據(jù)處理實(shí)力與運(yùn)算實(shí)力20．（1）；（2）.【分析】（1）由可得，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入后列出關(guān)于的方程組求解可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，求出點(diǎn)，到直線的距離在，再由直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，表示出四邊形面積為的函數(shù)，由函數(shù)性質(zhì)可得取值范圍．【詳解】（1）設(shè)，則.又，所以.①又由橢圓過點(diǎn)得，②由①②得，，故橢圓方程為.（2），，設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，到直線，的距離分別為，.又由得，所以.四邊形的面積.由得.故四邊形面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交的面積問題．解題時(shí)列出關(guān)于的方程組是求方程的關(guān)鍵．直線與橢圓相交問題可設(shè)出直線方程為，把面積用表示，然后由函數(shù)性質(zhì)得出取值范圍．21．（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【分析】（1）先求導(dǎo)得，再分和探討即可得的單調(diào)性；（2）令函數(shù)，則，結(jié)合（1）得在上單調(diào)遞增，，進(jìn)而得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再結(jié)合，，得，，故.【詳解】解：（1），.若，令解得，即在單調(diào)遞增；令解得時(shí)，即在上單調(diào)遞減.若，易得當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增.故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.（2）令，則.由（1）知在上單調(diào)遞增.又，所以在上，，單調(diào)遞減；在