陜西省漢中市洋縣第一中學2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中試題含解析

PAGE21-陜西省漢中市洋縣第一中學2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中試題（含解析）本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.留意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、座位號等相關信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準運用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必需保持答題卡的整齊.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設,命題“若且,則”的逆否命題是()A.若且,則 B.若或,則C.若,則且 D.若,則或【答案】D【解析】【分析】干脆利用逆否命題的定義解答得解.【詳解】命題“若且,則”的逆否命題是“若,則或”，故答案為D【點睛】本題主要考查逆否命題的定義和邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定，意在考查學生對這些學問的駕馭水平和分析推理實力.2.橢圓的焦距為2，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得橢圓的焦點在軸上且，由焦距可得：，代入公式即可得解.【詳解】由，設短軸長為，可知：橢圓的焦點在軸上，且，由焦距可得：，所以由，所以，故選：A.【點睛】本題考查了橢圓的基本量的運算，考查了橢圓的基本性質(zhì)，是概念題，屬于基礎題.3.萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意先求大橢圓離心率為，依據(jù)兩個橢圓的離心率相同，小橢圓的離心率為，再依據(jù)小橢圓的短軸長為10cm，代入公式即可得解.【詳解】由大橢圓和小橢圓扁平程度相同，可得兩橢圓的離心率相同，由大橢圓長軸長為40cm，短軸長為20cm，可得焦距長為cm，故離心率為，所以小橢圓離心率為，小橢圓的短軸長為10cm，即cm，由，可得：cm，所以長軸為cm.故選：B.【點睛】本題考查了利用離心率求橢圓基本量的問題，考查了公式的理解應用，屬于基礎題.4.命題“且”與命題“或”都是假命題，則下列推斷正確的是（）A.命題“且”是真命題B.命題“”與“”至少有一個是假命題C.命題“”與“”真假相同D.命題“”與“”真假不同【答案】A【解析】【分析】由已知條件可知、均為假命題，再由復合命題的真假可推斷各選項的正誤.【詳解】由于命題“且”與命題“或”都是假命題，則、均為假命題.所以，命題“且”是真命題，命題“”與“”都為真命題，命題“”與“”真假不同，命題“”與“”真假相同.故選：A.【點睛】本題考查利用復合命題的真假推斷復合命題的真假，解題的關鍵就是推斷出兩個簡潔命題的真假，考查推理實力，屬于基礎題.5.已知點為橢圓上的隨意一點，為原點，滿意，則點的軌跡方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設點坐標為，則有，設，依據(jù)，可得：，代入橢圓方程即可得解.【詳解】設點坐標為，則有，，依據(jù)，可得：，代入橢圓方程可得：，故選：B.【點睛】本題考查了相關點代入法求軌跡方程，題型相對比較典型，解題關鍵是依據(jù)條件聯(lián)系變量之間的關系，屬于基礎題.6.設，是兩個非零向量，則使成立的一個必要非充分條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積求出兩個向量的夾角即可推出結(jié)果．【詳解】解：，是兩個非零向量，則，，，．．，是兩個非零向量，則使成立的一個必要非充分條件是．故選：D．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積以及充要條件的判定，考查邏輯推理實力．7.直線過點與拋物線交于兩點，若恰為線段的中點，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用點差法，兩式相減，利用中點坐標求直線的斜率.【詳解】設，，兩式相減得，即，當時，，因為點是的中點，所以，，解得：故選：A【點睛】本題考查中點弦問題，重點考查點差法，屬于基礎題型.8.已知拋物線的焦點F恰好是雙曲線的右焦點，且兩條曲線的交點的連線過點F，則該雙曲線的離心率為（）A. B.2 C.＋1 D.－1【答案】C【解析】試題分析：如圖所示，，∵兩條曲線交點的連線過點Ｆ，∴兩條曲線交點為（），代入雙曲線方程得１，又，化簡得，，，，故選C.考點：拋物線的簡潔性質(zhì)；雙曲線的簡潔性質(zhì).9.已知橢圓的兩個焦點為，點在橢圓上且滿意，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，分析可得，由橢圓的標準方程和定義可得，，將兩式聯(lián)立可得的值，由三角形面積公式計算可得答案．【詳解】解：依據(jù)題意，點在橢圓上，滿意，，又由橢圓的方程為，其中，則有，，聯(lián)立可得，則△的面積；故選：C．【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及勾股定理與三角形的面積，關鍵是駕馭橢圓的幾何性質(zhì)．10.已知為拋物線上一個動點，為圓上一個動點，那么點到點的距離與點到拋物線的焦點的距離之和的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)圖像，準線于，設圓心，坐標為求到點的距離與點到拋物線的焦點的距離之和的最小值，依據(jù)拋物線的性質(zhì)以及點和圓的位置關系，可以轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離和點到拋物線的準線的距離之和的最小值，可得當三點共線時，距離之和最小，代入數(shù)值即可得解.【詳解】如圖，準線于，設圓心，坐標為求到點的距離與點到拋物線的焦點的距離之和的最小值，依據(jù)拋物線性質(zhì)以及點和圓的位置關系，可以轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離和點到拋物線的準線的距離之和的最小值，由點到直線的距離垂線段最短，可得當三點共線時，距離之和最小，此時，此時點為與圓的交點，所以到點的距離與點到拋物線的焦點的距離之和的最小值，故選：B.【點睛】本題考查了拋物線和圓的最短距離問題，考查了拋物線的定義以及點和圓的位置關系，主要考查了轉(zhuǎn)化思想，計算量不大，屬于基礎題.11.設、分別是橢圓（）的左、右焦點，若在直線上存在點，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由線段的中垂線過點得，設交軸于點，若在直線上存在點，使線段的中垂線過點，則，帶值即可得解.【詳解】由線段的中垂線過點得，設交軸于點，若在直線上存在點，使線段的中垂線過點，則，故，即，故，即.故選：D.【點睛】本題考查了橢圓的離心率范圍問題，考查了橢圓和幾何關系的結(jié)合，關鍵點是正確的把幾何關系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系，屬于基礎題.12.已知橢圓的焦點為，過的直線與交于兩點.若，，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，則，，由橢圓定義知，所以，所以，故點為橢圓的上（下）頂點，即，由，得，代入橢圓方程即可得解.【詳解】設，則，，由橢圓定義知，所以，所以，故點為橢圓的上（下）頂點，即，由，得，點在橢圓上，故，解得，又由，可得，故橢圓方程為.故選：D.【點睛】本題考查了橢圓基本量的運算，考查了橢圓的定義，關鍵點是把幾何關系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系，考查了轉(zhuǎn)化思想，有肯定的計算量，屬于基礎題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.13.拋物線的準線方程為______.【答案】【解析】試題分析：拋物線的標準方程是，所以準線方程是考點：拋物線方程14.雙曲線的其中一條漸近線方程為，且焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為_______【答案】【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程可得，再由焦點到漸近線的距離為可得，即可得答案；詳解】由題意得：，雙曲線的方程為，故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程和焦點到漸近線的距離為，考查運算求解實力，屬于基礎題.15.如圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬【答案】2米【解析】【詳解】如圖建立直角坐標系，設拋物線方程為，將A（2，-2）代入，得m=-2，∴，代入B得，故水面寬為米，故答案為米．考點：拋物線的應用16.圓的半徑為定長，是圓所在平面上與不重合的一個定點，是圓上隨意一點，線段的垂直平分線和直線相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡是________①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤一個點【答案】①②④⑤【解析】【分析】由題設條件線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合圓錐曲線的定義，分類探討，即可求解.【詳解】（1）因為為圓內(nèi)的肯定點，為上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點，可得，即動點到兩定點的距離之和為定值，①當不重合時，依據(jù)橢圓的定義，可知點的軌跡是：以為焦點的橢圓；②當重合時，點的軌跡是圓；（2）當為圓外的肯定點，為上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點，可得，即動點到兩定點的距離之差為定值，依據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡是：以為焦點的雙曲線；（3）當為圓上的肯定點，為上的一動點，此時點的軌跡是圓心.綜上可得：點的軌跡可能是點、圓、橢圓和雙曲線.故答案為：①②④⑤【點睛】本題主要考查了橢圓、雙曲線和圓的定義及其應用，其中解答中嫻熟應用線段垂直平分線的性質(zhì)，以及橢圓和雙曲線的定義是解答的關鍵，著重考查推理與論證實力，以及轉(zhuǎn)化思想的應用.三、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.17.的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，.（1）求邊；（2）設為邊上的一點，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，求得，在中，由余弦定理列出方程，即可求解；（2）在中，由余弦定理求得，再在中，利用正弦定理，求得，得到點是的中點，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，在中，因為，由余弦定理，可得，解得，或（舍去）.（2）如圖所示，在中，由余弦定理，可得在中，，所以，所以是的中點，所以的面積.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎題．18.已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，數(shù)列滿意，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）設等比數(shù)列的公比為q，運用對數(shù)的運算性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程即可得到公比，可得所求通項公式；（Ⅱ）bn＝log2an＝log24n＝2n，?nan4n4n，運用分組求和和裂項相消求和，化簡可得所求和．【詳解】（Ⅰ）由和得，∴.設等比數(shù)列的公比為，∵∴，計算得出∴（Ⅱ）由（1）得，設數(shù)列的前項和為，則設數(shù)列的前項和為，則，∴【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和和裂項相消求和，考查化簡整理的運算實力，屬于中檔題．19.如圖，在三棱錐中,側(cè)面與側(cè)面均等邊三角形,為中點.（Ⅰ）證明：平面（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）平面（Ⅱ）二面角的余弦值為【解析】【詳解】證明：（Ⅰ）由題設AB=AC=SB=SC=SA.連結(jié)OA，△ABC為等腰直角三角形，所以OA=OB=OC=SA，且AO⊥BC.又△SBC為等腰三角形，故SO⊥BC，SO=SA，從而OA2+SO2=SA2，所以△SOA為直角三角形，.又AO∩BC=O，所以SO⊥平面ABC.（Ⅱ）解法一：取SC中點M,連結(jié)AM,OM,由（Ⅰ）知,得OM⊥SC，AM⊥SC.為二面角的平面角.由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC得AO⊥平面SBC，所以AO⊥OM.又，故所以二面角的余弦值為解法二：以O為坐標原點，射線OB、OA分別為x軸、y軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系設B(1,0,0)，則SC的中點，.故MO⊥SC，MA⊥SC，等于二面角的平面角.所以二面角的余弦值為20.設拋物線的焦點為，是拋物線上的點.（1）求拋物線的方程；（2）若過點的直線與拋物線交于不同的兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由是拋物線上的點，代入方程可得拋物線的方程；（2）設，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理和拋物線的定義求出直線的斜率，進而得出直線方程．【詳解】（1）因為是拋物線上的點，所以，又，解得，則拋物線C的方程為.（2）設，設直線方程為由得，由拋物線的定義知則解得，所以直線的方程為【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的方程和定義，屬于中檔題．21.甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比、比例系數(shù)為b；固定部分為a元．(1)把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(