2024年中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：幾何圖形綜合

初中數(shù)學(xué)幾何圖形綜合題

【題型特征】以幾何學(xué)問為主體的綜合題，簡稱幾何綜合題,主要探討圖形中點(diǎn)與線之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，

以及特定圖形的判定和性質(zhì).一般以相像為中心，以圓為重點(diǎn)，經(jīng)常是圓與三角形、四邊形、相像三角形、銳角三角

函數(shù)等學(xué)問的綜合運(yùn)用.

【解題策略】解答幾何綜合題應(yīng)留意:（1）留意視察、分析圖形，把困難的圖形分解成幾個(gè)基本圖形,通過添加協(xié)助

線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形.（2）駕馭常規(guī)的證題方法和思路；（3）運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題,運(yùn)用方程的思想解

決幾何計(jì)算問題.還要敏捷運(yùn)用其他的數(shù)學(xué)思想方法等.

【小結(jié)】幾何計(jì)算型綜合問題,是以計(jì)算為主線綜合各種幾何學(xué)問的問題.這類問題的主要特點(diǎn)是包含學(xué)問點(diǎn)多、

覆蓋面廣、邏輯關(guān)系困難、解法敏捷.解題時(shí)必需在充分利用幾何圖形的性質(zhì)及題設(shè)的基礎(chǔ)上挖掘幾何圖形中隱含

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，在困難的“背景”下分辨、分解基本圖形，或通過添加協(xié)助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形，并擅長

聯(lián)想所學(xué)學(xué)問，突破思維障礙,合理運(yùn)用方程等各種數(shù)學(xué)思想才能解決.

【提示】幾何論證型綜合題以學(xué)問上的綜合性引人注目.值得一提的是，在近年各地的中考試題中，幾何論證型綜

合題的難度普遍下降，出現(xiàn)了一大批探究性試題,依據(jù)新課標(biāo)的要求,削減幾何中推理論證的難度,加強(qiáng)探究性訓(xùn)練，

將成為幾何論證型綜合題命題的新趨勢(shì).

為了復(fù)習(xí)便利,我們將幾何綜合題分為：以三角形為背景的綜合題；以四邊形為背景的綜合題；以圓為背景的綜合題.

類型1操作探究題

1.在Rt^ABC中，NC=90°,Rt^ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到Rt^ADE的位置，點(diǎn)E在斜邊AB上，連接BD,過點(diǎn)D

作DF±AC于點(diǎn)F.

⑴如圖1,若點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，求證：AC=BC；

（2）若NDAF=/DBA.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在線段CA的延長線上時(shí)，推斷線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)F在線段CA上時(shí)，設(shè)BE=x,請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示線段AF.

解：（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，NBAC=/BAD,

VDF±AC,

AZCAD=90°.

/.ZBAC=ZBAD=45

VZACB=90°，

，NABC=45°.

，AC=BC.

⑵①AF=BE.理由：

由旋轉(zhuǎn)得AD=AB,AZABD=ZADB.

NDAF=ZABD,ZDAF=ZADB.

???AF〃BD.???NBAC=NABD.

ZABD=ZFAD,由旋轉(zhuǎn)得NBAC=ZBAD.

ZFAD=ZBAC=ZBAD=1/3X180°=60°.

由旋轉(zhuǎn)得，AB=AD..?.△ABD是等邊三角形....AD=BD.

在4AFD和ABED中：1.ZF=ZBED=90°；2.AD=BD；3.ZFAD=ZEBD,AAAFD^ABED(AAS).AAF=BE.

②如圖

由旋轉(zhuǎn)得NBAC=NBAD.

ZABD=NFAD=ZBAC+NBAD=2NBAD,

=

由旋轉(zhuǎn)得ADABf

???ZABD=ZADB=2ZBAD.

VZBAD+ZABD+ZADB=180°,

ZBAD+2ZBAD+2ZBAD=180°..'.ZBAD=36°.

設(shè)BD=a,作BG平分NABD,

???NBAD=NGBD=36°.AAG=BG=BD=a.

???DG=AD—AG=AD—BG=AD—BD.

NBDG=ZADB,ABDG^AADB.

???BD/AD=DG/DB..??BD/AD=(AD-BD)/BD???AD/BD=(1+根號(hào)5)/2。

VZFAD=ZEBD,ZAFD=ZBED,AAFD^ABED.

；.BD/AD=BE/AF.；.AF=BD/AD?BE=Q+根號(hào)5)/2*x.

2.如圖1,點(diǎn)。是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長0D到點(diǎn)G,0C到點(diǎn)E,使0G=20D,0E=20C,然后以

OG,0E為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.

⑴求證:DEXAG；

(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<360°)得到正方形OE'『G',如圖2.

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)N0AG'是直角時(shí)，求a的度數(shù)；

②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF'長的最大值和此時(shí)a的度數(shù)，干脆寫出結(jié)果不必說明理由.

解：(1)證明：延長ED交AG于點(diǎn)H,

:點(diǎn)。是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，

.\0A=0D,0A±0D.

在AAOG和ADOE中，1.OA=OD；2.ZAOG=ZD0E=90°；3.0G=0E

.?.△AOG^ADOE..,.ZAGO=ZDEO.

：NAGO+/GAO=90°,/.ZGA0+ZDE0=90°.

AZAHE=90°,BPDEXAG.

(2)①在旋轉(zhuǎn)過程中，/OAG，成為直角有兩種狀況：

(1)。由0。增大到90°過程中，當(dāng)N0AG'=90°時(shí)，

：0A=0D=l/2*0G=l/2*0G',

.,.在RtZV)AG'中，sinZAG,O=OA/OG,=1/2

.'.NAG'0=30°.

VOA±OD,OA_LAG',.\OD//AG,.

/.ZD0G,=/AG'0=30°,即a=30°.

(II)a由90°增大到180°過程中，當(dāng)NOAG'=90°時(shí),

同理可求NBOG'=30°,；.a=180°-30°=150°.

綜上所述，當(dāng)NOAG'=90°時(shí)，a=30°或150°.

②AF'的最大值為2分子根號(hào)2+2,此時(shí)a=315。.

提不：如圖

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A,0,r在一條直線上時(shí)，AF，的長最大，

???正方形ABCD的邊長為1,

.,.0A=0D=0C=0B=2分子根號(hào)2.

V0G=20D,.*.0G,=0G=..,.0F/=2.

/.AF7=AO+OFZ=2分子根號(hào)2+2.：NCOE，=45°,此時(shí)a=315°.

3.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M是邊CD上一點(diǎn)，將AADM沿直線AM對(duì)折，得到△ANM.

⑴當(dāng)AN平分/MAB時(shí)，求DM的長；

⑵連接BN,當(dāng)DM=1時(shí)，求4ABN的面積；

⑶當(dāng)射線BN交線段CD于點(diǎn)F時(shí)，求DF的最大值.

解：（1）由折疊可知△ANMg△ADM,

ZMAN=ZDAM.

：AN平分NMAB,

.?.ZMAN=ZNAB.

ZDAM=ZMAN=ZNAB.

???四邊形ABCD是矩形，

.?.ZDAB=90°..,.ZDAM=30°.

ADM=AD?tan/DAM=3><3分子根號(hào)3=根號(hào)3。

⑵如圖1,延長MN交AB延長線于點(diǎn)Q.

四邊形ABCD是矩形，AB〃DC.

/.ZDMA=ZMAQ.

由折疊可知△ANM之△ADM,

.,.ZDMA=ZAMQ,AN=AD=3,MN=MD=1.

.\ZMAQ=ZAMQ.

；.MQ=AQ.

設(shè)NQ=x,則AQ=MQ=l+x.

在RtZkANQ中，AQ2=AN平方+NQ平方，

（x+1）平方=3的平方+x的平方.解得x=4.

；.NQ=4,AQ=5.

VAB=4,AQ=5,

；.SANAB=4/5*S,ANAQ=4/5?1/2?AN?NQ=24/5.

⑶如圖2,過點(diǎn)A作AH_LBF于點(diǎn)H,則△ABHs^BFC,；.BH/AH=CF/BC.

：AHWAN=3,AB=4,

二當(dāng)點(diǎn)N,H重合（即AH=AN）時(shí)，DF最大.（AH最大，BH最小，CF最小，DF最大）

此時(shí)M,F重合，B,N,M三點(diǎn)共線，段ABFC（如圖3）,

；.DF的最大值為4—根號(hào)7

圖1

類型2動(dòng)態(tài)探究題

4.（2024?自貢）已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.

（1）如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)0,連接AP,OP,0A.若AOCP與4PDA的面積比為1：4,求邊CD的長；

（2）如圖2,在⑴的條件下，擦去折痕A0,線段0P,連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P,A不重合），動(dòng)點(diǎn)N

在線段AB的延長線上，且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作MELBP于點(diǎn)E.試問當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M,N在移動(dòng)的過程中，線

段EF的長度是否發(fā)生改變？若改變，說明改變規(guī)律.若不變，求出線段EF的長度.

解：（1）：四邊形ABCD是矩形，；.NC=ND=90°.

.?.ZAPD+ZDAP=90°.

,由折疊可得NAP0=NB=90°,

.,.ZAPD+ZCP0=90°./.ZCPO=ZDAP.

又：/D=/C,.'.△OCP^APDA.VAOCP與4PDA的面積比為1：4,

設(shè)OP=x,貝!]C0=8—x.在RtZiPCO中，ZC=90°,

由勾股定理得

，^#x=5.->.AB=AP=20P=10..>.CD=1O.

⑵過點(diǎn)M作MQ〃AN,交PB于點(diǎn)Q.

VAP=AB,MQ〃AN,

ZAPB=ZABP=ZMQP.

/.MP=MQ.VBN=PM,.\BN=QM.VMP=MQ,ME±PQ,.\EQ=O.5PQ.

VMQ/7AN,/QMF=ZBNF.

在△MFQ和ANEB中，1.NQFM=/NFB；2.ZQMF=ZBNF；3.MQ=BN

.?.△MFQ^ANFB(AAS).，QF=BF=O.5QB.

；.EF=EQ+QF=O.5PQ+0.5QB=0.5PB.由(1)中的結(jié)論可得PC=4,BC=8,ZC=90°,

...在⑴的條件下，當(dāng)點(diǎn)M,N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2*根號(hào)5.

5.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸和y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5,2),點(diǎn)P

是CB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C,B重合)，連接OP,AP,過點(diǎn)0作射線0E交AP的延長線于點(diǎn)E,交CB邊于點(diǎn)M,且/

AOP=ZCOM,令CP=x,MP=y.

⑴當(dāng)x為何值時(shí)，OPXAP?

(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在x,使aOCM的面積與4ABP的面積之和等于4EMP的面積.若存在，懇求x的

值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：（1）由題意知OA=BC=5,AB=OC=2,ZB=Z0CM=90°,BC〃OA.

VOP±AP,

AZOPC+ZAPB=ZAPB+ZPAB=90°.

.,.ZOPC=ZPAB.

.'.△OPC^APAB.

解得xl=4,x2=l(不合題意，舍去).

.?.當(dāng)x=4時(shí)，OP±AP.

(2)VBC/70A,ZCP0=ZA0P.

VZA0P=ZC0M,.,.ZCOM=ZCPO.

VZOCM=ZPCO,/.AOCM^APCO.

.'.y=x—4/x(2<x<5).

(3)存在x符合題意.過點(diǎn)E作EDLOA于點(diǎn)D,交MP于點(diǎn)F,則DF=AB=2.

A0CM與AABP面積之和等于△EMP的面積，

；.SZ\EOA=S矩形OABC=2X5=l/2?5ED.

.\ED=4,EF=2.

PM〃OA,/.AEMP<^AEOA.

解得y=5/2.

6.如圖1,矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合，且AD=8,AB=6.如圖2,矩形ABCD沿0

B方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)動(dòng)身也以每秒1個(gè)單位長度的速度沿矩形ABCD的邊AB經(jīng)

過點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，矩形ABCD和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t=5時(shí)，請(qǐng)干脆寫出點(diǎn)D,點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出△PBD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍；

⑶點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作

PELx軸，垂足為點(diǎn)E,當(dāng)△PEO與4BCD相像時(shí)，求出相應(yīng)的t值.

解：(l)D(-4,3),P(-12,8).

⑵當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，BP=6—t.

.,.S=0.5BP?AD=O.5(6-t)?8=-4t+24.

當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，BP=t—6.

/.S=0.5BP?AB=O.5(t-6)?6=3t-18.

類型3類比探究題

7.如圖1,在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長線上，且PA=PE,PE交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：PC=PE；

⑵求NCPE的度數(shù)；

⑶如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變，當(dāng)/ABC=120°時(shí)，連接CE,摸索究線段AP與線段CE

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解：(1)證明：在正方形ABCD中，AB=BC,NABP=NCBP=45°,

在4ABP和4CBP中，1.AB=BC;2.PB=PB;3.ZABP=ZCBP

.,.△ABP^ACBP(SAS)./.PA=PC.

又；PA=PE,；.PC=PE.

(2)由(1)知，AABP^ACBP,

.\ZBAP=ZBCP.AZDAP=ZDCP.

：PA=PE,NDAP=/E.

；./DCP=NE.

：NCFP=NEFD(對(duì)頂角相等)，

.?.180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

BPZCPF=ZEDF=90°.

(3)在菱形ABCD中，AB=BC,ZABP=ZCBP=60°，

在4ABP和4CBP中，1.AB=BC;2.PB=PB;3.ZABP=ZCBP

.?.△ABP之△CBP（SAS）.

/.PA=PC,ZBAP=ZBCP.

VPA=PE,.\PC=PE./.ZDAP=ZDCP.

VPA=PE,.\ZDAP=ZAEP.

.?.ZDCP=ZAEP.

：/CFP=/EFD（對(duì)頂角相等），

，180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZAEP,

即/CPF=/EDF=180°-ZADC=180°-120°=60°.

AEPC是等邊三角形.PC=CE.

/.AP=CE.

8.己知AC,EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對(duì)角線，點(diǎn)E在AABC內(nèi)，ZCAE+ZCBE=90°.

⑴如圖1,當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時(shí)，連接BF.

①求證：△CAEs/^CBF；

②若BE=1,AE=2,求CE的長；

⑵如圖2,當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且AB/BC=EF/FC=k時(shí)，若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值；

⑶如圖3,當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為菱形，且/DAB=/GEF=45°時(shí)，設(shè)BE=m,AE=n,CE=p,摸索究m,n,

P三者之間滿意的等量關(guān)系.（干脆寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）

解：（1）證明：①：四邊形ABCD和EFCG均為正方形，

.?.ZACB=45°,ZECF=45°.

ZACB-ZECB=ZECF-ZECB,

即/ACE=NBCF.

.'.△CAE^ACBF.

@VACAE^ACBF,AZCAE=ZCBF,AE/BF=根號(hào)2.

；.BF=根號(hào)2.

又/CAE+/CBE=90°,

.?.ZCBF+ZCBE=90°,即NEBF=90°.

解得CE=根號(hào)6.

⑵連接BF,

VAB/BC=EF/FC=k,ZCFE=ZCBA,

.,.△CFE^ACBA.

.?.ZECF=ZACB,CE/CF=AC/BC.

.?.ZACE=ZBCF..?.△ACE^ABCF./.ZCAE=ZCBF.

VZCAE+ZCBE=90°,/.ZCBF+ZCBE=90°,

題型2與圓有關(guān)的幾何綜合題

9.(2024?成都)如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以CB為半徑作。C,交AC于點(diǎn)D,交AC的延長線于點(diǎn)E,

連接ED,BE.

(1)求證：△ABDs/^AEB；

⑵當(dāng)BC(AB)=3(4)時(shí)，求tanE；

(3)在(2)的條件下，作NBAC的平分線，與BE交于點(diǎn)F,若AF=2,求。C的半徑.

解：(1)證明：VZABC=90°,/.ZABD=90°-ZDBC.

VDE是直徑，

；.NDBE=90°.

AZE=90°-ZBDE.

:BC=CD,ZDBC=ZBDE.

ZABD=ZE.

ZBAD=ZDAB,/.AABD^AAEB.

10.如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,AC的垂直平分線分別與AC,BC及AB的延長線相交于點(diǎn)D,E,F.。0是

△BEF的外接圓，/EBF的平分線交EF于點(diǎn)G,交。0于點(diǎn)H,連接BD,FH.

(1)試推斷BD與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵當(dāng)AB=BE=1時(shí)，求。。的面積；

⑶在⑵的條件下，求HG?HB的值.

解：(1)直線BD與。0

相切.理由：連接0B.

:BD是RtZ\ABC斜邊上的中線，.\DB=DC.

.\ZDBC=ZC.

V0B=0E,

.?.Z0BE=Z0EB.

XVZ0EB=ZCED,.\Z0BE=ZCED.

VDF±AC,.,.ZCDE=90°.

.\ZC+ZCED=90°.

.?.ZDBC+Z0BE=90°.

ABD與。0相切.

(2)連接AE.

在RtZXABE中，AB=BE=1,；.AE=根號(hào)2.

：DF垂直平分AC,；.CE=AE=根號(hào)2.；.BC=1+根號(hào)2.

VZC+ZCAB=90°,ZDFA+ZCAB=90°,AZACB=ZDFA.

又/CBA=NFBE=90°,A

B=BE,.?.△CAB^AFEB,

⑶TAB=BE,ZABE=90°,

；.NAEB=45°.

VEA=EC,.\ZC=22.5°.

AZH=ZBEG=ZCED=90°-22.5°=67.5°.

：BH平分NCBF,

.?.ZEBG=ZHBF=45°.

.,.ZBGE=ZBFH=67.5°.

11.如圖，在AACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑AB在線段AE上.

⑴試說明CE是。。的切線；

⑵若4ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。0的直徑AB；

⑶設(shè)點(diǎn)D是線段AC上隨意一點(diǎn)（