2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

里年考點直擊

1.二次函數(shù)的定義

一般地，形如y=ax2+bx+c(a豐O,a.b,c是常數(shù))的函數(shù)，叫作二次函數(shù).

2.二次函數(shù)解析式的表示方法

(1)一般式:y=ax2+bx+c(a+O,a,b,c是常數(shù)).

(2)頂點式:y=a(_x-li)2+k(a#O,a,h,k是常數(shù))或V=。(*+/)+言”.

(3)交點式:y=a(x-xOCx-x2)(a*。,刈,0是拋物線與x軸兩個交點的橫坐標(biāo),即方程a/+打+c=0的兩個根).

注：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但只有與x軸有交點的拋物線的解析式才可以化成交點式；確定拋物線

的解析式一般需要兩個或三個條件，求解析式時要靈活運用條件選擇不同的解析式.

3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

⑴二次函數(shù)的圖象是拋物線，拋物線y=ax?+故+也豐0,a是常數(shù)沖a,b,c的作用如下：

①a決定開口方向及開口大小.

②b和a共同決定拋物線對稱軸的位置：當(dāng)b=0時，對稱軸為y軸；當(dāng)3>0(即a,b同號)時，對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)*0(即

a,b異號)時，對稱軸在y軸右側(cè).

③c的大小決定拋物線與y軸交點的位置：拋物線y=ax2+bx+c(a豐0,a是常數(shù))與y軸有且只有一個交點(0,c),如果c=0,

那么拋物線經(jīng)過原點；如果c>0,那么拋物線與y軸交于正半軸；如果c<0,那么拋物線與y軸交于負(fù)半軸.

(2)拋物線y=ax?+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a/0)關(guān)于直線x=-5對稱，頂點坐標(biāo)為(-).

①當(dāng)a>0時，拋物線開口向上.當(dāng)久〈-/寸，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>一5時，y隨x的增大而增大；當(dāng)"-卷時，y取得

最小值用.

4a

②當(dāng)a<0時，拋物線開口向下.當(dāng)x<寸，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>一方時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x=-方時，y取得

最大值

4a

4.二次函數(shù)圖象變換

(1)平移變換：上加下減，左加右減.

拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a/0)轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a豐0,a,h,k是常數(shù)),確定其頂點坐標(biāo)(h,k),可以由拋物

線、=a/經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭频玫?具體平移方法如下：

向上第>0)［或下(Y0)］平移圍個單位

y=a^y-ajc1±k

向右S>0)［或左(X0)］

向右

向右3>0)平移圍個單位(A>0)

［或左(〃<0)］［或左(〃<0)］

平移I川個單位向上供>0)［或下(Y0)］平移I川個單位

平移同個單位

y=a(x+h)2y=a(H干份生萬

向上依>0)［或下伐<0)］平移圍個單位

⑵對稱變換:

①關(guān)于X軸對稱：拋物線y=a/+.+c(a豐O,a,b,c是常數(shù))的圖象關(guān)于x軸對稱后，得到拋物線y=-a/-bx-c;拋物線y

=a(x-h)2+k(a和,a,h,k是常數(shù))的圖象關(guān)于x軸對稱后，得到拋物線y=-a(x-h)2-k.

②關(guān)于y軸對稱：拋物線y=ax2+bx+c{a豐O,a,b,c是常數(shù))的圖象關(guān)于y軸對稱后，得到拋物線y=ax2-bx+c;拋物線y

=a(x-h)2+k(a豐0,a,h,k是常數(shù))的圖象關(guān)于y軸對稱后，得到拋物線.y=a(x+/i)2+k.

③關(guān)于原點對稱：拋物線y=ax2+bx+c{a豐0,a,b,c是常數(shù))的圖象關(guān)于原點對稱后，得到拋物線y=-ax2+bx-c;拋物線y

=a(x-h)2+k(aW0,a,h,k是常數(shù))的圖象關(guān)于原點對稱后，得到拋物線y=-a(x+h)2-k.

4.關(guān)于頂點對稱(即拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180。)

y=a(x-h)2+k(a豐0,a,h,k是常數(shù))關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y=-a(x-h)2+k.

5.關(guān)于點(m,n)對稱

y=a(x-K)2+k(a豐0,,a,h,k是常數(shù))關(guān)于點(m,n)對稱后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2+2n-k.

例題精講

()

ABCD

ABCD

舉一反三2二次函數(shù)y=x2+2x+山的圖象只經(jīng)過三個象限，則實數(shù)m的取值范圍是___.

2

例2如圖，拋物線G:yx=a(x+l)+2(a*0)與H/:y2=-(x-2>-1交于點B(h-2),,且分別與y軸交于點D,E.過點B

作x軸的平行線，分別交拋物線G,H于點A,C.有以下結(jié)論：

①無論x取何值，%總是負(fù)數(shù)；

②拋物線H可由拋物線G向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；

③當(dāng)一3<x<l時，隨著x的增大,yi-yz的值先增大后減?。?/p>

④四邊形AECD為正方形.

其中正確的是()

A.①③④B.①②④

C.②③④D.①②③④

舉一反三3如圖，將二次函數(shù)月=(久+3)2+2的圖象向下平移k個單位后，與二次函數(shù)y?=(久-2)

+1的圖象相交于點A,過點A作x軸的平行線分別交Y1,y2于點BC當(dāng).AC=并力時，k的值是

()

A.2B.16

C.8D.4

例3閱讀下面的材料：

小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：若1WxW犯求二次函數(shù)y=/-6x+7的最大值.他畫圖研究后發(fā)現(xiàn)，x=l和x=5時的函數(shù)

值相等，于是他認(rèn)為需要對m進(jìn)行分類討論.

他的解答過程如下：

二次函數(shù)y=必-6x+7的對稱軸為直線.x=3,

由對稱性可知，x=l和x=5時的函數(shù)值相等.

若l<m<5,K!Jx=l時,y的最大值為2;

若m25,則x=m時,y的最大值為m2-6m+7.

請你參考小明的思路，解答下列問題：

(1)當(dāng)-2WxW時二次函數(shù)y=2/+4x+1的最大值為____,此時,x=

⑵若pSxWl,求二次函數(shù)y=2公+4x+1的最大值；

(3)若t<x<t+2時，二次函數(shù)y=2x2+4x+1的最大值為31,則.t=.

舉一反三4（黃岡中考）當(dāng)aVxVa+1時，函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1,則a的值為（）

A.—1B.2C.0或20.-1或2

例4如圖，已知拋物線y=必+bx+c與x軸交于點A,B,AB=2,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=2.

⑴求拋物線的函數(shù)解析式；

⑵設(shè)D為拋物線的頂點,連接DA,DB,試判斷A4BD的形狀，并說明理由；

（3）設(shè)P為對稱軸上一動點，要使PC-PB的值最大，求出P點的坐標(biāo).

舉一反三5已知二次函數(shù)y=ax?+"+c（a豐0）,當(dāng)x=3時，y有最小值-4,且圖象經(jīng)過點（（-1，12）.

（1）求此二次函數(shù)的解析式.

（2）該拋物線交x軸于點A,B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C,在拋物線對稱軸上有一動點P,求P4+PC的最小值，并求

當(dāng)PA+PC取最小值時點P的坐標(biāo)

2

例5（烏魯木齊中考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y=x+bx+c經(jīng)過點.4（2,-3）,,且與x軸的一個交點為B（3,0）.

（1）求拋物線（的的解析式.

（2）D是拋物線（Ci與x軸的另一個交點，點E的坐標(biāo)為（m,0）,其中租＞0,△ADE&ADE的面積為今

①求m的值；

②將拋物線的向上平移n個單位，得到拋物線（Q若當(dāng)0Vx0小時，拋物線金與x軸只有一個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求n

的取值范圍.

舉一反三6（北京中考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ad+瓜-5與y軸交于點A，將點A向右平移2個單位長度，得

到點B，點B在拋物線上.

（T）求點B的坐標(biāo)（用含a的式子表示）;

⑵求拋物線的對稱軸；

⑶已知點P-：）,Q（2,2）.若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求實數(shù)a的取值范圍.

基礎(chǔ)夯實

1.（荷澤中考）一次函數(shù).y=acx+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

y

2.（河南中考）已知拋物線y=-x2+bx+4經(jīng)過（（一2,幾）和（4,n）兩點，則n的值為（）

A.—2B.-4

C.2D.4

3.（臨沂中考）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）,自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表：

X-5-4-3-2-10

y40-2-204

下列說法正確的是()

A.拋物線的開口向下

B.當(dāng)無＞一3時,y隨x的增大而增大

C.二次函數(shù)的最小值是一2

D.拋物線的對稱軸是直線x=-|

4.（陜西中考）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y=mx2+2%-n（mW0）與y=-6x2-2x+m-幾關(guān)于x軸對稱，則m,n的

值為()

A.m=-6,n=-3B.m=-6,n=3

C.m=6,n=-3D.m=6,n=3

2

5.(溫州中考)已知(-3,%),(-2,y2),(1,y3)是拋物線y=-3x-12x+m上的點，則()

4y3<y2<yiB.y3<y1<y2

C.y2<73<yiD.yt<y3<y2

6.(眉山中考)若一次函數(shù)y=(a+l)x+a的圖象過第一、三、四象限，則二次函數(shù)y=ax2-ax()

A.有最大值3B.有最大值-?

C.有最小值a/4D.有最小值-：

4

7.(烏魯木齊中考)如圖，拋物線.y=ax2+bx+c(a/))過點(-1,0),且對稱軸為直線x=l,有下列結(jié)論:①abc<0;②10a+3b+c>0;③拋

z

物線經(jīng)過點(4,yj)與點(-3*2)，則yi>y2；@無論a,b,c取何值，拋物線都經(jīng)過同一?點(一(/a,0);⑤am2+bm+aN0.其中正確的結(jié)論是

8.(徐州中考)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P(2,2),頂點為0(0,0).將該圖象向右平移，當(dāng)它再次經(jīng)過點P時，所得拋物線的函數(shù)解析

式為.

9.(杭州中考)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)yi=(x+a)(x-a-l),其中a”

(1)若函數(shù)yi的圖象經(jīng)過點(1,—2),求函數(shù)yi的解析式；

⑵若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與yi的圖象經(jīng)過x軸上同一點，探究實數(shù)a,b滿足的關(guān)系式；

(3)已知點P(x(),m)和Q(l,n)在函數(shù)yi的圖象上，若m<n,求x()的取值范圍.

22

10.(昆明中考)如圖，兩條拋物線.yi=-x+4,y2=-|x+te+c相交于A,B兩點，點A在x軸負(fù)半軸上，目為拋物線y2的

最局點.

(1)求拋物線丫2的解析式和點B的坐標(biāo)；

(2)點C是拋物線yi上A,B兩點之間的一點，過點C作x軸的垂線交y2于點D,當(dāng)線段CD取最大值時.求SABCD.

?二能力拓展

11.（南充中考）如圖，正方形四個頂點的坐標(biāo)依次為（1,1）,（3,1）,（3,3）,（1,3）.若拋物線'=a/（a*0）的圖象與正方形有公共點，則實

數(shù)a的取值范圍是（）

A,-<a<3

9

9

C.1j<a<3

<a<1

12.（河北中考）如圖，現(xiàn)要在拋物線y=x（4—x）上找點P（a,b）,針對b的不同取值,所找點P的個數(shù)，三人的說法如下：

甲:若b=5,則點P的個數(shù)為0;

乙若b=4,則點P的個數(shù)為1;

丙:若b=3,則點P的個數(shù)為1.

下列判斷正確的是（）

A.乙錯,丙對

B.甲和乙都錯

C.乙對,丙錯

D.甲錯，丙對

13.（河南競賽）已知二次函數(shù)y=2#+b久+l（b為常數(shù)）,當(dāng)b取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”，圖中實線所繪拋物線

分別是b取三個不同的值時二次函數(shù)的圖象，它們的頂點在一條拋物線上（圖中虛線所繪拋物線），這條拋物線的解析式是（）

A.y=-2x2+1

1c

B.y=——x2+1

）2