2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題（新高考II卷）

2024年新高考1卷解析

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合4={同―5</<5},B={-3,—1,0,2,3},則=

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2)

【答案】A

【解析】AnB={—1,0},選A

2.若z1=i+i,則z=

z—1

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

[答案】。

3.已知向量4=(0,1),(2,力)，若廣_L(b—4a),則x—

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】。

KM9flb—^a—(2,3；—4),b_L(S-4a)，:.b(b—4a)=0,

4+力(力-4)=0,???力=2,選D

4.已知cos(a+6)=rn,tana?tan0=2,則cos(a—0)=

A.—3TTIB.-C.D.37TL

oo

r答案】A

cosdfcos/?—sinasinf=m

(sinasin/3=—2m

【解析】sinasin0,.*

[cosacos/3=—m

、cosacosQ

cos(a-0)=cosacos/?+sinasin0=—m—2m=—3m,選A.

5.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為四,則圓錐的體積為

A.2岳B.3A/3TTC.6A/3TCD.9A/3TU

【答案】B

【麗

設(shè)它們底面半徑為，，圓錐母線I,：,2兀仆后=Krl,/.I=2A/3=V3+r2,

=3,V=3?兀?9?V3=3A/3TC,選B.

O

6.已知函數(shù)為/3）=（二,―2ac—a,‘<°在H上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

卜,+山（工+1）,工>0

A.（—oo,0]B.[—1,0]C.[—1,1]D.[0,+8）

【答案】B

【解析】/⑺在R上遞增,（一一，???—IWaWO,選以

7.當(dāng)力G[0,2兀]時，曲線g=sine與g=2sin（3劣-專）的交點個數(shù)為

A.3B.4C.6D.8

【答案】。

【解析】畫圖可得6個交點，選C.

8.已知函數(shù)/(c)的定義域為H,/(二)>/(a;—1)+/(工一2),且當(dāng)eV3時,f(x)=x,

則下列結(jié)論中一定正確的是

A./(10)>100B./(20)>1000C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】方法1：逐個計算

/⑴=1,/(2)=2)/(3)>/(2)+/⑴=3,/⑷>八3)+/⑵>5

/(5)>/(4)+/(3)>8,f(6)>f(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21

/(8)>/(7)+/(6)>34J(9)>/(8)+/(7)>55J(10)>/(9)+/(8)>89

/(H)>/(W)+/(9)>144J(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(II)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,/(16)>1000

.?./(20)>1000,選B.

方法2：斐波那契敦列

/(a：)>/(rr-l)+/(rr-2),當(dāng)x<3,/(rr),則

xC[3,4)時，/(c)>x—1+rr—2=2rr—3,=/(3)>3

xG[4,5)Ht,f(x)>2(a;-1)—3+a;-2=3a;-7,/(4)>5

xE[5,6)時，/(工)>3(二一1)-7+23—2)—3=52-17,/(5)>8

xG[fc.fc+1)時，f(x)>mx—6

構(gòu)成了斐波那契數(shù)列

1,1,2,3,5,8,13,21,34.55,89,--■6465

=>fc=10時，/(IO)>89.A錯誤

nA;=20時，/(20)>1000,B正確

C,D沒有上界估計,所以錯誤.故選B

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部

選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.為了解推動出口后的畝收入（單位:萬元）情況,從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入

的樣本均值又=2.1,樣本方差$2=0.01,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布

N（L8O12）,假設(shè)推動出口后的畝收入y服從正態(tài)分布N（用$2）,則（若隨機變量Z服從正態(tài)

分布N(〃“2)，則P(Z<//+(T)~0.8413)

A.F(X>2)>0.2B.F(X>2)<0.5C.F(K>2)>0.5D.F(y>2)<0.8

【答案】BC

【解析】X?N(L8,0/2),y?N(2.1,0.12)

對于A,P(X>2)=P(X>〃+2(T)<P(X>〃+(T)=1—0.8413=0.1587,A錯.

對于B,P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,B對.

對于C,2=2.1-0.1=〃一cr,P(y>2)>P(y>2.1)=0.5,。對.

對于D,F(y>2)=F(y>z/-o-)=P(y<〃+Q=0.8413>0.8,0錯.

選BC

10.設(shè)函數(shù)/(工)=(工—1)2(/—4),則

A.rr=3是/(/)的極小值點B.當(dāng)OVcVl時,f⑸<f(x2)

C.當(dāng)1</<2時，-4</(2a;-l)<0D.當(dāng)一1<劣<1時,/(2—工)>/(工)

【答案以CD

【解析】4對，因為/'(工)=3(/—1)(工一3)；

B錯，因為當(dāng)0<。<1時/3)>0且所以/(/)</Q)；

。對，因為/(2/—1)=4(rr-l)2(2x-5)<0,/(2rr-l)+4=4(x-2)2(2x-l)>0

。對，因為/(2—工)—f{x}=(rr—1)2(—2—x)—(x—l)2(x—4)=(rr—1)2(—2a?+2)=—2(rr—I)3,

當(dāng)—l<;c<1時,/(2—a；)—f(a;)>0,故/(2—h)>f(x)

11.造型?可以看作圖中的曲線。的一部分，已知。過坐標(biāo)原點。，且。上的點滿足橫坐標(biāo)大于

—2,到點F(2,0)的距離與到定直線/=a(a<0)的距離之積為4,則

A.a=—2

B.點(22,0)在。上

C.。在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1

D.當(dāng)點(熱,％)在。上時，渙《二號

力o十/

【答案】

【解析】人對，因為。在曲線上，所以。到土=a的距離為一a,而。尸=2,

所以有一a*2=4na=—2,那么曲線的方程為(s+2)V(x-2')2+y2=4.

B對，因為代入(2V2.0)知滿足方程；

。錯，因為"=(德了―(/一2)2=/(二)，求導(dǎo)得廣(力)=一譚了一2Q—2),

那么有/(2)=1,尸(2)=—3<0,于是在土=2的左側(cè)必存在一小區(qū)間(2-￡,2)上滿足/Q)>1,

因此最大值一定大于1;

。對'因為加2=(^1)。(0-

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.設(shè)雙曲線C：馬--《=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為E,以過用作平行于沙軸的直線交。

ab

于兩點，若㈤川=13,\AB\=10,則。的離心率為,

【答案居

方法1:A￡=5,2a=13—5=8,2c=RE=2c=12,.

r22_2

方法2：由⑹=10知㈤*=5,即*=發(fā)2=5,而后月_LE4,所以㈤倒二⑵

即0=6,代回去解得。=4,所以?=等.

13.若曲線g=6+力在點(0,1)處的切線也是曲線g=ln(/+1)+Q的切線,則a=_.

【答案】ln2

【解析】方法1：切點A(0,1),式=e"+1,k=2,切線g—1=2力，即g=26+1

切點B(g,ln(g+l)+Q)，K=—^-,k=—切線沙一(ln(力o+l)+a)=-6一g)

X~r1XQ十1XQ~r1

,=“工一部+足(g+1)+。，

M—=2

g+1

?,?<

ln(g+l)-----+a=l

lg+1

_1

g—一_5,外

2,a=ln2.

、a=ln2

方法2：易知切線為g=2劣+1,設(shè)其與g=ln(2+1)+Q的切點橫坐標(biāo)為g,

則一j-r=2ng=-，又2g+1=ln(力()+1)+a,代入得a=ln2.

XQ~T1N

14.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡

片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪比賽,在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中

隨機選一張,并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分，然后各自

棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小

于2的概率為

【答案】專

【解析】甲出1一定輸，所以最多3分，要得3分，就只有一種組合1一8、3—2、5—4、7—6.

得2分有三類，分別列舉如下：

（1）出3和出5的贏,其余輸：1—6,3—2,5—4,7—8

（2）出3和出7的贏,其余輸：1—4,3—2,5—8,7—6；1—8,3—2,5—6,7—41—6,3—2,5—8,

7-4

⑶出5和出7的贏,其余輸：1—2,3—8,5—4,7—6；1—4,3—8,5—2,7—6；

1—8,3—4,5—2,7—6;1—6,3—8,5—2,7—4；1—8,3—6,5—4,7—2

1—8,3—6,5—2,7—4,1—6,3—8,5—4,7—2；

共12種組合滿足要求,而所有組合為4!,所以甲得分不小于2的概率為普=力.

注:此題背景應(yīng)該是田忌賽馬

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）記△48。的內(nèi)角4石,。的對邊分別為,已知sinC=V2cosB,a2+62—c2=

V2ab.（1）求3⑵若△AB。的面積為3+通，求C.

22

【解析】（1）已知^+b-c=V2ab,根據(jù)余弦定理cosG=@2之/2,

2ab

可得:cosC=與普=察.因為CC（0,兀），所以。=}.

2ab24

又因為sinC=，^cos8,即sin^-=V2cosB,=，^cos石，解得cos8=寺.

因為（0,兀），所以8=爺.

o

⑵由⑴知3=,，。=￡,則人=兀一8—。=兀一年一卷=需.

已知的面積為3+g，且S^BC=^-absmC,

則tabsin手=3+V3，即~x~abX=3+>/3，ab=2（3+2-\/3）.

asinC_bsinC

又由正弦定理，可得c=

sinAsinBsin。sinAsinB

.07T?兀

csin-rx-csm石

則-^―=%，a=-----且-，同理b=-----

.兀?5兀.兀?兀

sin-^sin32-sin?sin^

2?5兀?7T2/V2+V6\V3

csm于ysmq-Cl.)x_

所以ab=-----;3=---------±_---------9-=2(3+2V3)

弧號f

解得c=2囂.

16.(15分)已知4(0,3)和P(3《)為橢圓。:名+方=l(a>b>0)上兩點.

(1)求。的離心率;

(2)若過P的直線力交。于另一點B,且△ABP的面積為9,求心的方程.

[0,9_

a?+b2T

a2=12

【解析】⑴將A(0,3),F(3,1)代入橢圓,9，則

9,Z_〃=9

障+溟T

⑵當(dāng)L的斜率不存在時，入言=3,B(3,-y),P3=3，人到PB距離d=3

此時S△的=：x3x3=1~#9不滿足條件.

②當(dāng)L的斜率存在時，設(shè)PBg-y=出C―3),令PQi,%),B(x2,y2)

g=k(>_3)+'

22,消g可得(4r+3)/2—(24肥—12k)N+36肥—36k—27=0

-^-+—=1

1129

,24r—12k

4^3Vfc2+13fc2+9fc+

電+電=父^PB=

_36^-36^-27'4k2+3

X1X2=—4^+3

3k+等4A/^A/k?+1J3k2+9k+3k+等

4至IJPB總巨離d=,S=1=9

Vfc2+i4k2+3Vfc2+i

L:y—或y=~^*劣-3.

17.(15分)如圖，四棱錐P—ABCD中，。AJ.底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=Vi.

(1)若AD_LPB,證明：4D〃平面PB。；

(2)若且二面角A—CP—。的正弦值為考2,求AD.

【麗

⑴2±面ABCD,ADc平面ABCD,：.PA_LAD

又?/AD±PB,PBnP4=P,PB,PAu平面PAB

：.A。_L面PAB,：.ABu平面PAB,：.AD±AB

△ABC中,相+BC2=AC2,：.AB±BC

?.?42。,。四點共面，：.人。〃8。

又BCu平面PBC,ADqt平面PBC

：.AD〃平面PBC.

(2)以ZM,。。為名,夕軸過。作與平面ABCD垂直的線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。—

xyz

令A(yù)D=t,則4(t,0,0),P(t,0,2),。(0,0,0),J4T2,。(0,J4—巴0)

設(shè)平面24cp的法向量是=(力1,%,為)

%*AC=0.J_txi+N4—/?/1—0

濟屐=0,(221=0

不妨設(shè)/i=J4—F,則％=力之1=0荷=(V4—t2,t,0)

設(shè)平面CP。的法向量為定=（62，92，之2）

n-DP=0J施2+2之2=0

2不妨設(shè)方=力則為2=—2,紡=0,游=（一2,0,力）

n2,DC=01〃―春"二。

???二面角A—CP—。的正弦值中,則余弦值為卒

耳?茂I=2a

I洲向2/廿+4

/.t=V3,AD=V3.

3

18.（17分）已知函數(shù)/（劣）=In2：力+ax+I）

（1）若b=0,且/（力）>0,求Q的最小值；

（2）證明：曲線g=/（力）是中心對稱圖形；

（3）若/（力）>-2,當(dāng)且僅當(dāng)1V力V2,求b的取值范圍.

（1）6=0時,/（力）=1口2,力十0力，

/'（力）=—+---Fa>0對V0V力V2恒成立而—+---FQ=——--+Q>2+Q,

x2—力x2-x力（2—力）

當(dāng)且僅當(dāng)力=1時取“="，故只需2+Q>0NQ>—2,即a的最小值為一2.

（2）方法1：/E（0,2）,/（2—①）+/（%）

=In2J+a（2—a?）+6（1—a;）3+In+ax+b（6—1丫=2Q

???/（6）關(guān)于（l,a）中心對稱.

方法2：

將/（力）向左平移一個單位=/（力+1）=In;主:+Q（e+1）+bd關(guān)于（0,a）中心對稱

平移回去0/（力）關(guān)于（La）中心對稱.

（3）V/（a?）>—2當(dāng)且僅當(dāng)l<x<2,=-2na=—2

3

力）=In2：力—2rr+b（x—l）>—2對V1VxV2恒成立

（（"）=：+土—2+3b（c—l）=1^^+3”工—iy=（±—1）2[^^+3“

令g（力）=，~-+3b，.二必有g(shù)（l）=2+3b>0=>b>—1~（必要性）

以2—力）J

否則b<一得■，存在，C(1,3)使廣⑺<0/⑺在(1,2)上/,."⑺</(1)=-2

O

當(dāng)b>―時，對VcG(1,2),/(力)>ln5弓---2x—^-(x—I)3=h[x)

O/XJ

“⑺二言—一？儂一1)'2^一】)[莉匕y-i]>。

對VcE(1,2)恒成立，，以力)>/z(l)=-2符合條件，

綜上:b>—1-.

O

19.(17分)設(shè)力為正整數(shù)，數(shù)列alta2,…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項0和

%(i</)后剩余的4m項可被平均分為館組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列出,

a2,…，a4m+2是(ij)—可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫出所有的(i,4),1&iW6,使數(shù)列5Q,…,是億，)一可分?jǐn)?shù)列；

⑵當(dāng)山>3時，證明：數(shù)列加a?,…，a4m+2是(2,13)—可分?jǐn)?shù)列；

(3)從1,2,???,4m+2中一次任取兩個數(shù)i和/(i<，)，記數(shù)列alta2,■■■,0^+2是(ij)—可分?jǐn)?shù)列

的概率為耳，證明：%>4.

O

【麗：

方法1:

⑴以下(i,4)滿足:(1,2))(1,6),(5,6)

⑵易知:tip,a’,a,等差op,q,T,s等差

故只需證明：1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14可分

分組為(1,4,7,10),(3,6,9,12),(5,8,11,14)即可

其余時15WkW4館+2,按連續(xù)4個為一組即可

(3)由第(2)問易發(fā)現(xiàn)：ai,a2,…,a4a+2是(i,j)可分的=1,2,-??4m+2是(i,j)可分的.

易知：1,2,…，4M+2是(4fc+l,4r+2)可分的(OWkWrWm)

因為可分為(1,2,3,4),…(4%—3,4%—2,4%—1,4k)與

(4(r+l)—l,4(r+l),4(r+l)+l,4(r+l)+2),???,(4m—l,4m,4m+l,4m+2)

此時共Cm+i+(館+1)=-^-(m+1)(m+2)種

再證：1,2,…，4nz+2是(4%+2,4r+l)可分的(OWkCrWm)

易知1?4%與4r+2?4m+2是可分的

只需考慮4k+1,4k+3,4k+4,???,4r—l,4r,4r+2

記0=7—k￡N*,只需證:1,3,4,5,…，4p—l,4p,4p+2可分

1?4P+2去掉2與4p+1

觀察：p=1時，1,3,4,6無法做到；

0=2時，1,3,4,5,6,7,8,10,可以做至!)；

0=3時，1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14

0=4時，1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18

(1,5,9,13),(3,7,11,15),(4,8,12,16),(6,10,14,18)滿足

故Vp>2,可劃分為：

(1,p+1,2P+1,3p+1),(3,p+3,2P+3,3p+3),(4,p+4,2P+4,3p+4)

(5,p+5,2p+5,3p+5),…，(p,2P,3p,4p),(p+2,2p+2,3p+2,4p+2)

共p組

事實上，就是(i,p+i,2p+i,3p+i),i=l,2,3,…,p,且把2換成4p+2

此時(k,k+p),p>2均可行，共僚+1-m=1)組

(0,1),(1,2),l,m)不可行

綜上，可行的(4fc+2,4r+l)與(4fc+l,4r+2)至少￡館(小-1)+￡(館+1)(山+2)組

故已4專(2:：2館+2)=叱3=叫+-+1>［得證！

2

CA+2(2m+l)(4m+l)8m+6m+l8

方法2：

(l)(ij)=(l,6),(l,2),(5,6)

(2)當(dāng)7n=3時，QiQQ,。5,。6,。7,。8,。9,Q10,Qn，012,Q14

可分成三組:。1，。4，。7，。10；。3，。6，。9，。12；。5?8，。11，。14每組均為公差為3d的等差數(shù)列，力;3時符合.

???772>3時,數(shù)列Q1，電，…，。4m+2去掉。2,。13以后，分成小組

只需讓前面的3組還按館=3時的分法，即Q1，。4,a7g0；。3,。6,。9,。8,。14

后面的每4個相鄰的項一組即可，即。15，。16，。17，。18；…，^4m—15a4rn，^4m+2

每一組都能構(gòu)成等差數(shù)列，???數(shù)列的,電，…，。.+2是（2,13）—可分?jǐn)?shù)列.

⑶法一：當(dāng)772=1時,數(shù)列：Q1，o2,。3,。4,恁，。6為可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm=W

當(dāng)館=2時，數(shù)列aiQQ,…，5。為可分?jǐn)?shù)列的概率為/=1=工>!

G10爸

以此類推,且易知1,2,…，4力+2是(4fc+l,4r+2)可分的(OWkWrWm)

此時共有C^+i+m+1=+m+1=-^-(m+l)(m+2)種

且易證數(shù)列也是(4fc+2,4r+l)可分的，至少有(7^+2—m=1)

綜上:可行的(4fc+2,4r+l)與(4fc+l,4r+2)至少

+-^-(m+1)(m+2)=m2+m+1

.p>Tn2+m+1_n^+m+l_7n2+?n+1)工

7n2

?,lClm+2(2m+l)(4m+l)8m+6m+l8,

法二:QiQ,…，。4m+2為(4/+1,4/+4沙+2)可分?jǐn)?shù)列(04力/)

易證:…，&］為連續(xù)4劣項，。4計2，。4計3,…，。4計%+1為連續(xù)4V項

。4計4g+3-。4團(tuán)+2為連續(xù)4(772-力一沙)項等差數(shù)列

(m+2)(m+1)m(m—1)

p_______2+2_7nUm+l>1

(4m+2)(4m+l)(2m+l)(4m+l)8"

2

方法2：

⑴枚舉法

(ij)=(1,2),剩余數(shù)列:Q3，Q4，Q5，a6(i，，)=(1,3),剩余數(shù)列:。2，。4，。5，。6

(i,j)=(1,4),剩余數(shù)列:。2，。3，。5，。6(1，)=(1,5),剩余數(shù)列:但。3，。4，。6

(i,j)=(1,6),剩余數(shù)列:。2，。3，。4，。5(1，)=(2,3),剩余數(shù)列:的,。4，。5，。6

(i,/)=(2,4),剩余數(shù)列:=(2,5),剩余數(shù)列:電心甌詼

(i,j)=(2,6),剩余數(shù)列:。1，。3，。4，。56，)=(3,4),剩余數(shù)列:電《2，。5，。6

(ij)=(3,5),剩余數(shù)列:01，電，。