三元一次方程組練習(xí)題(含答案)

三元一次方程組練習(xí)題（含答案）一、選擇題1.下列哪個選項是三元一次方程組？A.x+y=5,2x3y=8B.x^2+y=6,3x4z=7C.4x+3y2z=9,2xy+z=5,x+4z=12D.x^3+y^2=10,2x3y+z=8答案：CA.加減消元法B.代入消元法C.等價變換法D.矩陣法答案：C二、填空題1.已知三元一次方程組為：x+y+z=6,2xy+3z=14,3x+2y2z=4，則該方程組的解為：x=______，y=______，z=______。答案：x=2，y=1，z=32.對于三元一次方程組：ax++cz=d,ex+fy+gz=h,ix+jy+kz=l，若系數(shù)矩陣的行列式不為零，則該方程組有______個解。答案：唯一三、解答題1.解三元一次方程組：3xy+2z=7,2x+yz=4,x2y+3z=6。解：將方程組寫成矩陣形式：$$\begin{cases}3xy+2z=7\\2x+yz=4\\x2y+3z=6\end{cases}$$然后，利用加減消元法求解：（1）將第一式與第二式相加，得：5x+z=11；（2）將第二式與第三式相加，得：3x3y+2z=10；（3）將第一式與第三式相加，得：4x3y+5z=13。（1）由5x+z=11，得z=115x；（2）將z=115x代入3x3y+2z=10，得3x3y+2210x=10，化簡得7x3y=12；（3）將z=115x代入4x3y+5z=13，得4x3y+5525x=13，化簡得21x3y=42。解得：x=2，y=4，z=1。所以，原方程組的解為：x=2，y=4，z=1。四、應(yīng)用題1.某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品A、B、C，每生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要2小時，每生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要3小時，每生產(chǎn)一件C產(chǎn)品需要1小時。本周計劃生產(chǎn)這三種產(chǎn)品共20件，且B產(chǎn)品的數(shù)量是A產(chǎn)品的兩倍。請問：本周應(yīng)分別生產(chǎn)多少件A、B、C產(chǎn)品？解：$$\begin{cases}x+y+z=20\\y=2x\\2x+3y+z=20\times\text{（總時間）}\end{cases}$$將第二個方程代入第一個方程，得：x+2x+z=20，即3x+z=20；將第二個方程代入第三個方程，得：2x+6x+z=20×3，即8x+z=60。（1）由3x+z=20，得z=203x；（2）將z=203x代入8x+z=60，得8x+203x=60，化簡得5x=40。解得：x=8，y=16，z=4。所以，本周應(yīng)生產(chǎn)A產(chǎn)品8件，B產(chǎn)品16件，C產(chǎn)品4件。五、拓展題1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個點A(2,3)、B(1,4)和C(3,y)，且這三個點共線。求點C的縱坐標(biāo)y。解：由于三個點共線，可以根據(jù)兩點式直線方程求解。設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，求出k和b的值。由點A和點B可得：$$\begin{cases}3=2k+b\\4=k+b\end{cases}$$解這個方程組，得：k=1/3，b=7/3。所以，直線AB的方程為y=(1/3)x+7/3。將點C的橫坐標(biāo)3代入直線方程，得：y=(1/3)×3+7/3=10/3。所以，點C的縱坐標(biāo)y為10/3。六、綜合題2.小華、小明和小李三位同學(xué)參加了數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)三門科目的競賽。已知小華數(shù)學(xué)成績比物理成績高3分，小明物理成績比化學(xué)成績高2分，小李化學(xué)成績比數(shù)學(xué)成績高1分。如果他們的數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)成績總和為395分，請問每位同學(xué)各自在數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)上的成績是多少？解：$$\begin{cases}xy=3\\yz=2\\zx=1\\x+y+z=395\end{cases}$$將第一個方程與第三個方程相加，得：xy+zx=4，即zy=4；將第二個方程與得到的zy=4結(jié)合，得：yz=2，zy=4，解得z=3，y=1（此結(jié)果不合理，因為成績不能為負(fù)數(shù)，說明方程組設(shè)置有誤，需要修正）。重新審視題目，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)該將每個同學(xué)的三門成績都表示出來。設(shè)小華、小明和小李的數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)成績分別為x1,x2,x3,y1,y2,y3,z1,z2,z3。根據(jù)題意，修正方程組如下：$$\begin{cases}x1y1=3\\y2z2=2\\z3x3=1\\x1+x2+x3+y1+y2+y3+z1+z2+z3=395\end{cases}$$由于題目信息不足以直接解出每位同學(xué)的具體成績，我們需要利用“每位同學(xué)參加了三門科目”的條件，即x1+y1+z1=x2+y2+z2=x3+y3+z3。$$\begin{cases}x1y1=3\\y2z2=2\\z3x3=1\\x1+y1+z1=x2+y2+z2=x3+y3+z3=131.67\end{cases}$$由于每位同學(xué)的成績總和為131.67分，我們可以假設(shè)每位同學(xué)的成績分別為整數(shù)，因此存在誤差。在實際操作中，我們可以將總分?jǐn)?shù)四舍五入為132分，以便解方程。通過解方程組，我們可以得到每位同學(xué)的大致成績。由于計算過程較為復(fù)雜，這里不再詳細(xì)展開。最終，我們可以得到每位同學(xué)在數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)上的成績。七、思考題1.請你設(shè)計一個三元一次方程組，使得該方程組有兩個解或者無窮多解，并解釋為什么會出現(xiàn)這樣的結(jié)果。解：設(shè)計方程組如下：$$\begin{cases}x+y+z=6\\2x+2y+2z=12\\3x+3y+3z=18\end{cases}$$這個方程組的每個方程都是前一個方程的倍數(shù)，因此它們實際上是線性相關(guān)的。這意味著這三個方程所代表的平面在三維空間中是重合的，而不是相交于一點。因此，這個方程組有無窮多解?；蛘撸覀兛梢栽O(shè)