1.1.3直線的方程（第3課時直線方程的一般式點法式）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

1.3直線的方程第3課時直線方程的一般式、點法式第一章直線與圓北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.了解直線方程的一般式的形式特征,理解直線方程的一般式與二元一次方程的關(guān)系.2.能正確地進行直線方程的一般式與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化.3.能運用直線方程的一般式解決有關(guān)問題.4.了解直線方程的點法式,會利用方向向量推導(dǎo)出直線的一般方程.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

直線方程的一般式1.定義在平面直角坐標系中,對于任何一條直線,都有一個表示這條直線的關(guān)于x,y的

;任何關(guān)于x,y的二元一次方程都表示

.方程

稱為直線方程的一般式.

結(jié)構(gòu)特征:①方程是關(guān)于x,y的二元一次方程.②方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x,y,常數(shù)的先后順序排列.③x的系數(shù)一般不為分數(shù)和負數(shù).二元一次方程

一條直線

Ax+By+C=0(其中A,B不全為0)2.直線方程的一般式與其他形式的互化

思考辨析在方程Ax+By+C=0中,A,B,C滿足什么條件時,(1)方程表示直線?(2)方程表示過原點的直線?提示

(1)A,B不全為0.(2)A,B不全為0,C為0.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)在平面上任何直線的方程都能表示為一般式.(

)(2)在平面上任何一條直線的方程的一般式都能與直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式互化.(

)(3)對于二元一次方程Ax+By+C=0,當(dāng)A=0,B≠0時,方程表示斜率不存在的直線.(

)√××××2.[人教A版教材習(xí)題]根據(jù)下列條件,寫出直線的方程,并把它化為一般式.(1)經(jīng)過點A(8,-2),斜率是-;(2)經(jīng)過點B(4,2),平行于x軸;(3)經(jīng)過點P1(3,-2),P2(5,-4);(4)在x軸、y軸上的截距分別是,-3.解

(1)y+2=-(x-8),一般式為x+2y-4=0.(2)y-2=0.3.[人教B版教材例題]已知直線l的一般式方程為2x-3y+6=0,求直線l的斜率以及在x軸和y軸上的截距.在方程中令y=0,可得x=-3,因此l在x軸上的截距為-3.知識點2

直線方程的點法式1.法向量與直線的方向向量

的向量稱為直線的法向量,直線的法向量和方向向量都反映了直線的方向.若直線l經(jīng)過點P,且一個法向量為n,則直線l上不同于點P的任意一點M都滿足

.反之,滿足n·=0的任意一點M一定在直線l上.

垂直

2.直線方程的點法式在平面直角坐標系中,已知直線l經(jīng)過點P(x0,y0),且它的一個法向量為n=(A,B),直線l上的任意一點M的坐標為(x,y),則方程

稱為直線方程的點法式.

名師點睛確定直線方程的點法式需要知道直線的法向量和一個確定的點,這個點可以是直線上任意一點;如果已知直線上兩點也可以用點法式確定直線的方程,首先求出直線的方向向量,然后求出直線的法向量代入點法式即可.A(x-x0)+B(y-y0)=0自主診斷1.[人教B版教材習(xí)題](1)如果直線l過點P(-1,-2),且直線l的方向向量為a=(1,-2),求直線l的方程;(2)如果直線l過點P(x0,y0),且直線l的方向向量為a=(u,v),求直線l的方程.解

(1)k=-2,∴l(xiāng):y+2=-2(x+1),即l:y=-2x-4.2.[人教B版教材習(xí)題](1)如果直線l過點P(1,3),且直線l的法向量為a=(-3,1),求直線l的方程;(2)如果直線l過點P(x0,y0),且直線l的法向量為a=(u,v),求直線l的方程.解

(1)k=3,∴l(xiāng):y-3=3(x-1),即l:y=3x.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一直線方程的一般式【例1】

(1)根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式.①斜率是,且經(jīng)過點A(5,3);②經(jīng)過點A(-1,5),B(2,-1)兩點.★(2)求適合下列條件的直線的方程的一般式:①經(jīng)過點A(2,-3),并且其傾斜角等于直線x-y+1=0的傾斜角的2倍的直線方程;②求經(jīng)過點A(-2,2)并且和兩條坐標軸圍成的三角形的面積是1的直線方程.規(guī)律方法

1.2.當(dāng)求直線方程時,設(shè)一般式有時并不簡單,常用的還是根據(jù)給定條件選擇四種特殊形式之一求方程,然后再轉(zhuǎn)化為一般式.變式訓(xùn)練1(1)直線2x-y-2=0繞它與y軸的交點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°所得的直線方程是(

)A.x-2y+4=0 B.x+2y-4=0C.x-2y-4=0 D.x+2y+4=0D★(2)[2024浙江杭州模擬]數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,這條直線稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點A(0,0),B(0,2),C(-6,0),則其歐拉線方程的一般式為(

)A.3x+y=1 B.3x-y=1C.x+3y=0 D.x-3y=0C探究點二直線方程的點法式【例2】

已知直線l經(jīng)過點A(3,2),而且v=(3,-4)是直線l的一個法向量,求直線l方程的一般式.變式探究將本例中的“v=(3,-4)是直線l的一個法向量”改為“v=(3,-4)是直線l的一個方向向量”,求直線方程的一般式.解

設(shè)直線的法向量為n=(a,b),則n·v=3a-4b=0,令a=4,得b=3,∴n=(4,3).∴直線方程的點法式為4(x-3)+3(y-2)=0,化簡,得直線的一般式為4x+3y-18=0.變式訓(xùn)練2已知P是直線l上一點,且v是直線l的一個法向量,根據(jù)下列條件分別求直線l的方程.(1)P(1,2),v=(3,-4);(2)P(-1,2),v=(3,4).解

(1)∵直線l過點P(1,2),其法向量是v=(3,-4),∴直線l的方程是3(x-1)+(-4)(y-2)=0,整理,得3x-4y+5=0.(2)∵直線l過點P(-1,2),其法向量是v=(3,4),∴直線l的方程是3(x+1)+4(y-2)=0,整理,得3x+4y-5=0.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1819201.[探究點一]過點(2,1),斜率k=-2的直線方程為(

)A.x-1=-2(y-2) B.2x+y-1=0C.y-2=-2(x-1) D.2x+y-5=0D解析

根據(jù)直線方程的點斜式可得,y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.12345678910111213141516171819202.

[探究點一、二]已知直線l經(jīng)過點(-1,4),且它的一個方向向量為n=(-2,4),則(

)D.直線l的一般式方程為x+2y-7=0C解析

因為直線l的一個方向向量為n=(-2,4),所以直線l的斜率k==-2.因為直線l經(jīng)過點(-1,4),所以直線l的點斜式方程為y-4=-2(x+1),斜截式方程為y=-2x+2,截距式方程為x+=1,一般式方程為2x+y-2=0.123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819203.[探究點一]點M(x0,y0)是直線Ax+By+C=0上的點,則直線方程可表示為(

)A.A(x-x0)+B(y-y0)=0B.A(x-x0)-B(y-y0)=0C.B(x-x0)+A(y-y0)=0D.B(x-x0)-A(y-y0)=0A12345678910111213141516171819204.[探究點二]若直線l的一個方向向量是n=(,1),則直線l的傾斜角是(

)A1234567891011121314151617181920A12345678910111213141516171819206.

[探究點二]寫出直線l:2x-y-1=0的一個法向量a=

.

(2,-1)(答案不唯一)12345678910111213141516171819207.

[探究點一]已知直線(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x軸上的截距為3,則該直線在y軸上的截距為

.

12345678910111213141516171819208.

[探究點一]若直線mx-y+(2m+1)=0恒過定點,則此定點是

.

(-2,1)

12345678910111213141516171819209.

[探究點一]在y軸上的截距為-6,且傾斜角為45°的直線的一般式方程為

.

x-y-6=0123456789101112131415161718192010.

[探究點一]根據(jù)下列條件分別寫出直線方程,并化成一般式:(1)斜率是,經(jīng)過點A(8,-2);(2)經(jīng)過點B(-2,0),且與x軸垂直;(3)斜率為-4,在y軸上的截距為7;(4)經(jīng)過點A(-1,8),B(4,-2).(2)直線方程為x=-2,即x+2=0.(3)由斜截式,得y=-4x+7,化成一般式為4x+y-7=0.123456789101112131415161718192011.[探究點一]設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在兩坐標軸上的截距相等,求l的方程;(2)若l不經(jīng)過第二象限,求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)當(dāng)直線l過原點時,直線l在x軸和y軸上的截距都為零,顯然相等,所以a=2,方程為3x+y=0.當(dāng)直線l不過原點時,由截距存在且均不為0,得解得a=0,所以直線l的方程為x+y+2=0.綜上所述,所求直線l的方程為3x+y=0或x+y+2=0.1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192012.已知兩直線的方程分別為l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它們在平面直角坐標系中的位置如圖所示,則(

)A.b>0,d<0,a<c

B.b>0,d<0,a>cC.b<0,d>0,a>c

D.b<0,d>0,a<cCB級關(guān)鍵能力提升練12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920D123456789101112131415161718192014.

已知直線l:(2m+1)x+(m+1)y+m=0經(jīng)過定點P,直線l'經(jīng)過點P,且l'的方向向量a=(3,2),則直線l'的方程為(

)A.2x-3y+5=0 B.2x-3y-5=0C.3x-2y+5=0 D.3x-2y-5=0A123456789101112131415161718192015.直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是(

)D123456789101112131415161718192016.(多選題)若直線l:ax+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等,則直線l的斜率為(

)A.1 B.-1 C.-2 D.2BD123456789101112131415161718192017.如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,已知點A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分別以AB,AC為邊向外作正方形ABEF與ACGH,則直線FH方程的一般式為

.

x+4y-14=0

1234567891011121314151617181920解析

過點H,F分別作y軸的垂線,垂足分別為M,N(圖略).∵四邊形ACGH為正方形,∴Rt△AMH≌Rt△COA,∴AM=OC=1,MH=OA=2,∴OM=OA+AM=3,∴點H的坐標為(2,3),同理得到F(-2,4),∴直線FH的方程123456789101112131415161718192018.已知直線a1x+b1y+1=0和直線a2x+b2y+1=0都過點A(2,1),則過點P1(a1,b1)和點P2(a2,b2)的直線方程是

.

2x+y+1=0解析

∵點A(2,1)在直線a1x+b1y+1=0上,∴2a1+b