人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊 全冊模塊綜合檢測2(含解析)

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊全冊模塊綜合檢測2(原卷版)(時間：120分鐘，分值：150分)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)1．已知函數(shù)f(x)＝e2x＋1，則f′(0)＝()A．0 B．eC．2e D．eq\f(e,2)2．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9的值為()A．27 B．30C．33 D．363．已知a>0，b>0，a，b的等比中項為2，則a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,a)的最小值為()A．3 B．4C．5 D．4eq\r(2)4．函數(shù)y＝eq\f(x－1,2x＋1)在(1,0)處的切線與直線l：y＝ax垂直，則a＝()A．－3 B．3C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)5．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S37－S23＝a，則S60＝()A．4a B．eq\f(30,7)aC．5a D．eq\f(40,7)a6．函數(shù)f(x)＝(x2＋2x)e2x的圖象大致是()7．《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，則芒種日影長為()A．一尺五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸8．已知函數(shù)f(x)＝x3－x和點P(1，－1)，則過點P與該函數(shù)圖象相切的直線條數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分)9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝2an－2，若存在兩項am，an，使得aman＝64，則()A．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列C．a(chǎn)eq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(4n－1,3)D．m＋n為定值10．若函數(shù)exf(x)(e＝2.7182…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)為()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋211．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a6a7>1，eq\f(a6－1,a7－1)<0，則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1 B．a(chǎn)6a8>1C．Sn的最大值為S7 D．Tn的最大值為T612．設(shè)f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知x2f′(x)＋xf(x)＝lnx，f(1)＝eq\f(1,2)，則下列結(jié)論正確的是()A．xf(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增B．xf(x)在(0,1)單調(diào)遞減C．xf(x)在(0，＋∞)上有極大值eq\f(1,2)D．xf(x)在(0，＋∞)上有極小值eq\f(1,2)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知等差數(shù)列{an}中，a4＝8，a8＝4，則其通項公式an＝________.14.已知正項等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2a6a7＝eq\f(1,16)a1a9，則an＝________，數(shù)列{log2an}的前n項和為________．15.函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是________．16.已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，若函數(shù)f(x)的極小值不小于0，則實數(shù)m的取值范圍為________．四、解答題(本題共6小題，共70分)17.(10分)等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)若a3，a5分別是等差數(shù)列{bn}的第4項和第16項，求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn.18.(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－3lnx.(1)求f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)試判斷f(x)在區(qū)間(1，e)上有沒有零點．若有，判斷零點的個數(shù)．19.(12分)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a3＝2，S9＝54.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明：eq\r(\f(1,a1＋3))＋eq\r(\f(1,a2＋3))＋eq\r(\f(1,a3＋3))＋…＋eq\r(\f(1,a100＋3))>13.20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值；(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍．21.(12分)等差數(shù)列{an}中，S3＝21，S6＝24，(1)求數(shù)列{an}的前n項和公式Sn；(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.22.(12分)已知a，b∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－beq\r(x2＋1).(1)若b＝0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)的最小值為0，求a＋eq\r(5)b的最大值．注：e＝2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊全冊模塊綜合檢測2(解析版)(時間：120分鐘，分值：150分)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)1．已知函數(shù)f(x)＝e2x＋1，則f′(0)＝()A．0 B．eC．2e D．eq\f(e,2)C解析：∵f(x)＝e2x＋1，∴f′(x)＝2e2x＋1，∴f′(0)＝2e.故選C．2．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9的值為()A．27 B．30C．33 D．36B解析：因為a1＋a4＋a7＝3a4＝36，所以a4＝12.因為a2＋a5＋a8＝33，所以a5＝11.所以d＝a5－a4＝－1，所以a3＋a6＋a9＝3a6＝3(a5＋d)＝30.故選B．3．已知a>0，b>0，a，b的等比中項為2，則a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,a)的最小值為()A．3 B．4C．5 D．4eq\r(2)C解析：∵a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,a)＝(a＋b)＋eq\f(a＋b,ab)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))＝eq\f(5,4)(a＋b)≥eq\f(5,4)·2eq\r(ab)＝5，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2，原式的最小值為5.4．函數(shù)y＝eq\f(x－1,2x＋1)在(1,0)處的切線與直線l：y＝ax垂直，則a＝()A．－3 B．3C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)A解析：∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2x＋1)))′＝eq\f(3,2x＋12)，∴y′|x＝1＝eq\f(1,3)，∴函數(shù)在(1,0)處的切線的斜率是eq\f(1,3)，所以，與此切線垂直的直線的斜率是－3，∴a＝－3.故選A．5．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S37－S23＝a，則S60＝()A．4a B．eq\f(30,7)aC．5a D．eq\f(40,7)aB解析：因為S37－S23＝a24＋a25＋…＋a37＝eq\f(a24＋a37,2)×14＝7(a24＋a37)＝a.所以S60＝eq\f(a1＋a60,2)×60＝30(a24＋a37)＝eq\f(30,7)a.故選B．6．函數(shù)f(x)＝(x2＋2x)e2x的圖象大致是()A解析：由于f′(x)＝2(x2＋3x＋1)·e2x，而y＝x2＋3x＋1的判別式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x2＋3x＋1開口向上且有兩個根x1，x2.不妨設(shè)x1<x2，所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上遞增，在(x1，x2)上遞減．所以C，D選項不正確．當(dāng)x<－2時，f(x)>0，所以B選項不正確．由此得出A選項正確．故選A．7．《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，則芒種日影長為()A．一尺五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸B解析：由題知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)為{an}，Sn是其前n項和，則S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝9a5＝85.5，所以a5＝9.5，由題知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5，所以a4＝10.5，所以公差d＝a5－a4＝－1.所以a12＝a5＋7d＝2.5尺．故選B．8．已知函數(shù)f(x)＝x3－x和點P(1，－1)，則過點P與該函數(shù)圖象相切的直線條數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4B解析：因為f(1)＝13－1＝0，所以點P(1，－1)沒有在函數(shù)的圖象上．設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0＝xeq\o\al(3,0)－x0，則f′(x)＝3x2－1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，過切點的斜率為k＝3xeq\o\al(2,0)－1，過P(1，－1)和切點的斜率表示為k＝eq\f(y0＋1,x0－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x\o\al(3,0)－x0，,\f(y0＋1,x0－1)＝3x\o\al(2,0)－1，))化簡可得xeq\o\al(2,0)(2x0－3)＝0，所以x0＝0或x0＝eq\f(3,2).所以切點有兩個，因而有兩條切線方程．故選B．二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分)9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝2an－2，若存在兩項am，an，使得aman＝64，則()A．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列C．a(chǎn)eq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(4n－1,3)D．m＋n為定值BD解析：由題意，當(dāng)n＝1時，S1＝2a1－2，解得a1＝2，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－2，所以Sn－Sn－1＝an＝2an－2－(2an－1－2)＝2an－2an－1，所以eq\f(an,an－1)＝2，數(shù)列{an}是以a1＝2為首項，q＝2為公比的等比數(shù)列，an＝2n，故選項A錯誤，選項B正確；數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是以aeq\o\al(2,1)＝4為首項，q1＝4為公比的等比數(shù)列，所以aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(a\o\al(2,1)1－q\o\al(n,1),1－q1)＝eq\f(4×1－4n,1－4)＝eq\f(4n＋1－4,3)，故選項C錯誤；aman＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6為定值，故選項D正確．故選BD．10．若函數(shù)exf(x)(e＝2.7182…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)為()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2AD解析：對于選項A，f(x)＝2－x，則g(x)＝exf(x)＝ex·2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x為實數(shù)集上的增函數(shù)；對于選項B，f(x)＝3－x，則g(x)＝exf(x)＝ex·3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,3)))x為實數(shù)集上的減函數(shù)；對于選項C，f(x)＝x3，則g(x)＝exf(x)＝ex·x3，g′(x)＝ex·x3＋3ex·x2＝ex(x3＋3x2)＝ex·x2(x＋3)，當(dāng)x＜－3時，g′(x)＜0，∴g(x)＝exf(x)在定義域R上先減后增；對于選項D，f(x)＝x2＋2，則g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋2)，g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)＞0在實數(shù)集R上恒成立，∴g(x)＝exf(x)在定義域R上是增函數(shù)．故選AD．11．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a6a7>1，eq\f(a6－1,a7－1)<0，則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1 B．a(chǎn)6a8>1C．Sn的最大值為S7 D．Tn的最大值為T6AD解析：易知q>0，若q>1，則a6>1，a7>1，與eq\f(a6－1,a7－1)>0矛盾，故0<q<1.所以0<a7<1.所以a6a8＝aeq\o\al(2,7)<1.因為a7>0，a8>0，所以Sn的最大值一定不為S7.因為0<a7<1，a6>1，所以Tn的最大值為T6，故選AD．12．設(shè)f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知x2f′(x)＋xf(x)＝lnx，f(1)＝eq\f(1,2)，則下列結(jié)論正確的是()A．xf(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增B．xf(x)在(0,1)單調(diào)遞減C．xf(x)在(0，＋∞)上有極大值eq\f(1,2)D．xf(x)在(0，＋∞)上有極小值eq\f(1,2)ABD解析：由x2f′(x)＋xf(x)＝lnx得x＞0，則xf′(x)＋f(x)＝eq\f(lnx,x)，由[xf(x)]′＝eq\f(lnx,x).設(shè)g(x)＝xf(x)，即g′(x)＝eq\f(lnx,x)>0得x＞1.由g′(x)＜0得0＜x＜1，即xf(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增，在(0,1)單調(diào)遞減，即當(dāng)x＝1時，函數(shù)g(x)＝xf(x)取得極小值g(1)＝f(1)＝eq\f(1,2).故選ABD．三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知等差數(shù)列{an}中，a4＝8，a8＝4，則其通項公式an＝________.12－n解析：∵等差數(shù)列{an}中，a4＝8，a8＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝a1＋3d＝8，,a8＝a1＋7d＝4，))解得a1＝11，d＝－1，∴an＝11＋(n－1)×(－1)＝12－n.14.已知正項等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2a6a7＝eq\f(1,16)a1a9，則an＝________，數(shù)列{log2an}的前n項和為________．2－n＋1－eq\f(nn－1,2)解析：由a1＝1，a2a6a7＝eq\f(1,16)a1a9得a5＝a1q4＝eq\f(1,16)，q＝eq\f(1,2)，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝2－n＋1.而log2an＝－n＋1，所以{log2an}的前n項和為－eq\f(nn－1,2).15.函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是________．(0,1]解析：f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx，則f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)＝eq\f(x＋1x－1,x)≤0，故0<x≤1.16.已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，若函數(shù)f(x)的極小值不小于0，則實數(shù)m的取值范圍為________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))解析：由f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)得f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(m,x2)＝eq\f(x－m,x2)，定義域為(0，＋∞)．當(dāng)m≤0時，f′(x)>0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；當(dāng)m>0時，令f′(x)＝0?x＝m，當(dāng)x∈(0，m)時，f′(x)<0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(m，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增．所以當(dāng)x＝m時，函數(shù)y＝f(x)取極小值，且為f(m)＝lnm＋1.依題意有l(wèi)nm＋1≥0?m≥eq\f(1,e)，因此，實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)).四、解答題(本題共6小題，共70分)17.(10分)等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)若a3，a5分別是等差數(shù)列{bn}的第4項和第16項，求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn.解：(1)設(shè){an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，所以an＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，則b4＝8，b16＝32.設(shè){bn}的公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋3d＝8，,b1＋15d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝2，,d＝2.))從而bn＝2＋2(n－1)＝2n.所以數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝eq\f(2＋2nn,2)＝n2＋n.18.(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－3lnx.(1)求f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)試判斷f(x)在區(qū)間(1，e)上有沒有零點．若有，判斷零點的個數(shù)．解：(1)由已知得f′(x)＝x－eq\f(3,x)，有f′(1)＝－2，f(1)＝eq\f(1,2)，∴在(1，f(1))處的切線方程為y－eq\f(1,2)＝－2(x－1)，化簡得4x＋2y－5＝0.(2)由(1)知f′(x)＝eq\f(x－\r(3)x＋\r(3),x)，因為x>0，令f′(x)＝0，得x＝eq\r(3).所以當(dāng)x∈(0，eq\r(3))時，有f′(x)<0，則(0，eq\r(3))是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)x∈(eq\r(3)，＋∞)時，有f′(x)>0，則(eq\r(3)，＋∞)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)x∈(1，e)時，函數(shù)f(x)在(1，eq\r(3))上單調(diào)遞減，在(eq\r(3)，e)上單調(diào)遞增．又因為f(1)＝eq\f(1,2)，f(e)＝eq\f(1,2)e2－3>0，f(eq\r(3))＝eq\f(3,2)(1－ln3)<0，所以f(x)在區(qū)間(1，e)上有兩個零點.19.(12分)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a3＝2，S9＝54.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明：eq\r(\f(1,a1＋3))＋eq\r(\f(1,a2＋3))＋eq\r(\f(1,a3＋3))＋…＋eq\r(\f(1,a100＋3))>13.(1)解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∵S9＝9a5＝54，∴a5＝6，∴d＝eq\f(a5－a3,5－3)＝2，∴an＝a3＋(n－3)d＝2n－4.(2)證明：∵eq\r(\f(1,an＋3))＝eq\f(1,\r(2n－1))>eq\f(2,\r(2n－1)＋\r(2n＋1))＝eq\r(2n＋1)－eq\r(2n－1)，∴eq\r(\f(1,a1＋3))＋eq\r(\f(1,a2＋3))＋eq\r(\f(1,a3＋3))＋…＋eq\r(\f(1,a100＋3))>(eq\r(3)－1)＋(eq\r(5)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(201)－eq\r(199))＝eq\r(201)－1>14－1＝13，∴eq\r(\f(1,a1＋3))＋eq\r(\f(1,a2＋3))＋eq\r(\f(1,a3＋3))＋…＋eq\r(\f(1,a100＋3))>13.20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值；(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍．解：(1)f(x)＝ex－2x－1，取f′(x)＝ex－2＝0，即x＝ln2，函數(shù)在[0，ln2]上單調(diào)遞減，在(ln2,2]上單調(diào)遞增，且f(0)＝0，f(2)＝e2－5，f(ln2)＝1－2ln2，故函數(shù)的最大值為f(2)＝e2－5，最小值為f(ln2)＝1－2ln2.(2)f(x)＝ex－ax－1，f′(x)＝ex－a，f(0)＝0.當(dāng)a≤0時，f′(x)＝ex－a>0，函數(shù)單調(diào)遞增，故f(x)≥f(0)＝0，成立；當(dāng)a>0時，f′(x)＝ex－a＝0，即x＝lna，故函數(shù)在(0，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(lna)<f(0)＝0，不成立．綜上所述，a的取值范圍為(－∞，0].21.(12分)等差數(shù)列{an}中，S3＝21，S6＝24，(1)求數(shù)列{an}的前n項和公式Sn；(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.解：(1)設(shè){an}首項為a1，公差為d，由S3＝21，S6＝24，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d＝21，,6a1＋\f(6×5,2)d＝24，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2.))∴Sn＝n×9＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋10n.(2)由(1)知，an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11，由an≥0得－2n＋11≥0，即n≤eq\f(11,2).當(dāng)n≤5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n；當(dāng)n≥6時，Tn＝|a1|＋…＋|a5|＋|a6|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a5)－(a6＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝n2－10n＋50.綜上，Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\a