1.3.3等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（第1課時(shí)）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第1章數(shù)列湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)課標(biāo)要求1.理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法;2.能用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行運(yùn)算;3.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法的應(yīng)用.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、末項(xiàng)與公比選用公式Sn=Sn=名師點(diǎn)睛1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是錯(cuò)位相減法.相同項(xiàng)數(shù)的等差與等比數(shù)列之積構(gòu)成的數(shù)列常用此法求和.2.當(dāng)q≠1時(shí),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有兩個(gè)求解公式:當(dāng)已知a1,q,n時(shí),用過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和可直接套用公式Sn=來求.(

)(2)數(shù)列{n·3n}可以用錯(cuò)位相減法求和.(

)2.若等比數(shù)列的公比q=1,首項(xiàng)為a1,則數(shù)列的前n項(xiàng)和怎么求?×√提示Sn=na1.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用【例1】

在等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和.(1)若a1+a3=10,a4+a6=,求S5;(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.分析(1)根據(jù)條件,建立關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組,求出首項(xiàng)和公比后利用前n項(xiàng)和公式求解.(2)根據(jù)已知條件和前n項(xiàng)和公式建立方程(組)求解.規(guī)律方法

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的運(yùn)算技巧在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量a1,q,an,n,Sn中,a1,q和n是最基本的元素,當(dāng)條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時(shí),均可以用a1與q表示an與Sn,從而列方程組求解.在解方程組時(shí)經(jīng)常用兩式相除,達(dá)到整體消元的目的.這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用.變式訓(xùn)練1C32【例2】

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2+S4=S6,求其公比q.分析

根據(jù)前n項(xiàng)和公式建立公比q的方程求解,但必須先對(duì)q的值分q=1和q≠1進(jìn)行討論.解

若q=1,則

S2=2a1,S4=4a1,S6=6a1,顯然滿足S2+S4=S6,所以q=1符合題意;若q≠1,則,整理得(q2+1)(q+1)2(q-1)2=0,解得q=-1(q=1舍去).綜上,公比q的值等于1或-1.變式探究本例中,若條件改為“數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且S3=3a3”,求其公比q的值.解

(方法1)當(dāng)q=1時(shí),S3=3a1=3a3,符合題意;規(guī)律方法

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的關(guān)注點(diǎn)(1)在利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),若其公比不確定,則應(yīng)對(duì)公比分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.(2)當(dāng)n的值較小時(shí),求Sn可以直接利用Sn=a1+a1q+a1q2+…求解,這樣可以防止忘記分類討論丟掉q=1時(shí)的特殊情況.探究點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和分析

該數(shù)列的通項(xiàng)公式

,它是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)相乘得到的數(shù)列,可以采用錯(cuò)位相減法求和.規(guī)律方法

錯(cuò)位相減法求和的解題策略(1)如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成,此時(shí)可把式子Sn=a1+a2+…+an兩邊同乘公比q(q≠±1),得到qSn=a1q+a2q+…+anq,兩式錯(cuò)位相減整理即可求出Sn.(2)錯(cuò)位相減法求和是一種非常重要的求和方法,這種方法的計(jì)算過程較為復(fù)雜,對(duì)計(jì)算能力要求較高,應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練.要注意通過訓(xùn)練,掌握在錯(cuò)位相減過程中的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié),避免出錯(cuò).(3)使用錯(cuò)位相減法求和時(shí)得到的結(jié)論,可以將n=1,2代入驗(yàn)證是否正確.變式訓(xùn)練2求數(shù)列an=n·2n的前n項(xiàng)和.解

設(shè)前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,則2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,兩式相減,得-Sn=1×21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1,于是-Sn=21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,故Sn=(n-1)·2n+1+2.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式;(2)錯(cuò)位相減法求和.2.方法歸納:公式法、錯(cuò)位相減法求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.3.注意事項(xiàng):等比數(shù)列的公比為未知數(shù)時(shí)求前n項(xiàng)和要注意分類討論,使用錯(cuò)位相減法求和時(shí)要注意結(jié)果的正確性.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練123456789101112131415161.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若公比q=-3,則

=(

)A.10 B.9C.-8 D.-5A123456789101112131415162.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=15,a3=5,則公比q的值為(

)A解析

∵S3=a1+a2+a3=15,a3=5,∴a1+a2=10.∴a1(1+q)=10,而a1q2=5,即1+q=2q2,解得q=-或1.故選C.123456789101112131415163.已知在等比數(shù)列{an}中,an=3·2n-1,則a1+a3+a5+…+a2k-1=(

)A.4k-1 B.3(2k-1)C.2(4k-1) D.3(4k-1)A解析

∵{an}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列,∴{a2k-1}是首項(xiàng)為3,公比為4的等比數(shù)列,∴a1+a3+…+a2k-1==4k-1.故選A.12345678910111213141516D12345678910111213141516A123456789101112131415166.

我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈?”根據(jù)詩詞的意思,可得塔的最底層共有燈(

)A.192盞 B.128盞

C.3盞

D.1盞A解析

設(shè)這個(gè)塔頂層有x盞燈,則七層塔從頂?shù)降酌繉訜舻谋K數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為x,公比為2的等比數(shù)列,且其前7項(xiàng)和為381,所以

=381,解得x=3,所以這個(gè)塔的最底層有3×27-1=192盞燈.123456789101112131415167.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=

.

解析

S3=a1+a2+a3=a2+10a1,即a1q2=9a1,即q2=9.又9=a5=a1q4,∴a1=.123456789101112131415168.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn≠0,已知a1=1,S4=5S2.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若Sm=43,求m.解

(1)設(shè){an}的公比為q,由S4=5S2得a1+a2+a3+a4=5(a1+a2),整理得a3+a4=4(a1+a2),因?yàn)閍1+a2≠0,所以q2=4,所以q=2或q=-2,故an=2n-1或

.(2)若an=2n-1,則Sn=2n-1,由Sm=43,得2m=44,此方程沒有正整數(shù)解.若an=(-2)n-1,則Sn=,由Sm=43,得(-2)m=-128,解得m=7.綜上,m=7.12345678910111213141516B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=(

)A.16 B.8

C.4

D.2C解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),則由前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,得

1234567891011121314151610.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a1=1,q=2,且第m項(xiàng)至第n(m<n)項(xiàng)的和為112,則m+n的值為(

)A.11 B.12

C.13

D.14B1234567891011121314151611.[2023新高考Ⅱ,8]（多選題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=(

)A.120 B.85

C.-85 D.-120CD1234567891011121314151681234567891011121314151613.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S4=2S2,則數(shù)列{an}的公比q=

.

±1解析

由S4=2S2,得(a1+a2+a3+a4)=2(a1+a2),即a3+a4=a1+a2,進(jìn)而可得q2=1,解得q=±1.1234567891011121314151614.設(shè){an}為等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,a2=2,S2-3a1=0,則{an}的通項(xiàng)公式是

;Sn+an>48,則n的最小值為

.

6an=2n-1解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a2=a1q=2,S2-3a1=a2+a1-3a1=0,解得a1=1,q=2,故an=1×2n-1=2n-1,Sn==2n-1.Sn+an=2n-1+2n-1>48,即3·2n-1>49,故n的最小值為6.1234567891011121314151615.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=3(n+1)an.(1)設(shè)bn=,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.12345678910111213141516Sn=1·30+2·31+3·32+…+n·3n-1,3Sn=1·31+2·32+3·33+…+(n-1)·3n-1+n·3n,C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練1234567891011121314151616.條件①:設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n+k(n∈N+,k∈R),a1=1.條件②:對(duì)?n∈N+,有

=q>1(q為常數(shù)),a3=4,并且a2-1,a3,a4-1成等差數(shù)列.在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充到下面的橫線上,并作答下列問題.在數(shù)列{an}中,

.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;(2)記Tn=a1+2a2+3a3+…+n