2.2.3直線(xiàn)的一般式方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

直線(xiàn)的一般式方程2024.8教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：直線(xiàn)一般式方程、以及其特點(diǎn)及適用范圍．1.掌握直線(xiàn)一般式方程、以及其特點(diǎn)及適用范圍；2.理解直線(xiàn)的方程與二元一次方程的關(guān)系；3.會(huì)求直線(xiàn)的方程，點(diǎn)斜式（截距式）到一般式方程的轉(zhuǎn)化．掌握直線(xiàn)一般式方程、以及其特點(diǎn)及適用范圍．情境導(dǎo)入先來(lái)看看一條直線(xiàn)方程的幾種形式y(tǒng)=x+1y－3=x－2點(diǎn)斜式，斜率為1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，3)斜截式，斜率為1，在y軸上截距為1兩點(diǎn)式，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，3)，(1，2)截距式，在y軸上截距為1，在x軸上截距為-1它們各自有自己的適用條件，也就是說(shuō)上述方程形式不是對(duì)任何直線(xiàn)都適用.是否存在一種方程形式，對(duì)任何直線(xiàn)都適用？知識(shí)點(diǎn)1

直線(xiàn)的一般式方程

每一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時(shí)為0)都表示一條直線(xiàn)嗎？①當(dāng)B≠0時(shí)，方程可化為

這是直線(xiàn)的斜截式方程，它表示斜率是在y軸上的截距是的直線(xiàn).②當(dāng)B=0時(shí)，方程可化為表示垂直于x軸的一條直線(xiàn)結(jié)論：每一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時(shí)為0)都表示一條直線(xiàn)．1.定義：關(guān)于x，y的二元一次方程

Ax＋By＋C＝0

（其中A，B

不同時(shí)為0）叫做直線(xiàn)的一般式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)一般式.強(qiáng)調(diào):對(duì)于直線(xiàn)方程的一般式，規(guī)定：1)x的系數(shù)為正;2)x,y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù);3)按含x項(xiàng)，含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列.

在方程Ax+By+C=0中，A，B，C為何值時(shí)，方程表示的直線(xiàn)：(1)平行于x軸;(2)平行于y軸;(3)與x軸重合;(4)與y軸重合;(5)過(guò)原點(diǎn);(1)A=0,B≠0,C≠0(2)B=0,A≠0,C≠0(3)A=0,B≠0,C=0(4)B=0,A≠0,C=0(5)C=0，A、B不同時(shí)為0Oxy2.一般式與其他形式的互化Ax＋By＋C＝0

(其中A，B

不同時(shí)為0)

點(diǎn)斜式

y-y1=k(x-x1)斜截式截距式兩點(diǎn)式B≠0ABC≠01.若方程Ax＋By＋C＝0表示直線(xiàn)，則A，B應(yīng)滿(mǎn)足的條件為()理解自測(cè)A.A≠0B.B≠0C.A·B≠0D.A2＋B2≠0根據(jù)直線(xiàn)方程的一般式可知，要使Ax＋By＋C＝0表示

直線(xiàn)，則A，B不能同時(shí)為0，即A2＋B2≠0.2.若直線(xiàn)l的方程為2x＋y＋3＝0，求直線(xiàn)l的縱截距、橫截距及斜率.令x＝0，得y＝－3，故直線(xiàn)l的縱截距為－3.令y＝0，得x＝故直線(xiàn)l的橫截距為2x＋y＋3＝0，即y＝－2x－3，故直線(xiàn)l的斜率為－2.知識(shí)點(diǎn)2兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判斷直線(xiàn)l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，試討論：(1)

l1∥l2(2)

l1⊥l2

A2≠0,B2≠0,C2≠0,先觀察斜率是否存在，再看斜率是否相等，l1⊥l2

A1A2+B1B2=0直線(xiàn)系方程1)與直線(xiàn)l：Ax+By+C=0平行的直線(xiàn)系方程為：Ax+By+m=0(其中m≠C，m為待定系數(shù))

OxyAx+By+C=0只是常數(shù)不一樣，其余相同2)與直線(xiàn)l：Ax+By+C=0垂直的直線(xiàn)系方程為：Bx-Ay+m=0(m為待定系數(shù))

OxyAx+By+C=0題型一直線(xiàn)的一般式方程角度1

求直線(xiàn)的一般式方程例1

根據(jù)下列條件求直線(xiàn)的一般式方程：（1）直線(xiàn)的斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3）；由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得y－3＝2（x－1），整理可得2x－y＋1＝0，先求點(diǎn)斜式，再化成一般式（2）斜率為

，且在y軸上的截距為4；先求斜截式方程（3）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（2，－3），B（－1，－5）；由直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程可得整理得直線(xiàn)的一般式方程為2x－3y－13＝0.（4）在x，y軸上的截距分別為2，－4.由直線(xiàn)的截距式方程可得整理得直線(xiàn)的一般式方程為2x－y－4＝0.常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉(zhuǎn)化為一般式.角度2

直線(xiàn)的一般式方程的幾何意義例2（2024·濟(jì)源質(zhì)檢）求下列直線(xiàn)的斜率以及在兩坐標(biāo)軸上的

截距，并畫(huà)出圖形.將直線(xiàn)的方程化為斜截式為y＝因此該直線(xiàn)的斜率為在y軸上的截距是－3.令y＝0，得x＝－4，即直線(xiàn)在

x軸上的截距是－4Oxy－4－3（2）4x－6y＋3＝0.將直線(xiàn)的方程化為斜截式為y=

因此該直線(xiàn)的斜率為在y軸上的截距是.令y＝0，得x＝Oxy題型二一般式下兩直線(xiàn)的平行或垂直角度1

由平行、垂直求直線(xiàn)方程例3

（2024·莆田月考）已知直線(xiàn)l的方程為3x＋4y－12＝0，求

滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)l'的方程：（1）過(guò)點(diǎn)（－1，3），且與l平行；設(shè)直線(xiàn)l'的方程3x＋4y＋m＝0，又因?yàn)閘'過(guò)點(diǎn)（－1，3），m＝－9即3x＋4y－9＝0.（2）過(guò)點(diǎn)（－1，3），且與l垂直.設(shè)直線(xiàn)l'的方程4x－3y＋n＝0，將（－1，3）代入上式得n＝13.所以所求直線(xiàn)的方程為4x－3y＋13＝0.角度2

由直線(xiàn)的平行、垂直求參數(shù)例4

已知兩條直線(xiàn)l1：（a－1）x＋2y＋1＝0與l2：x＋ay＋1

＝0平行，則a＝（

）A.－1B.2C.0或－2D.－1或2由兩線(xiàn)平行斜率相等解得a＝－1或a＝2.驗(yàn)證當(dāng)a

＝－1時(shí)，兩線(xiàn)平行當(dāng)a

＝2時(shí)，兩線(xiàn)重合，故舍去練習(xí)：（2024·梅州月考）已知直線(xiàn)l1：x＋my－2m－2＝0，直線(xiàn)l2：mx

＋y－1－m＝0，則當(dāng)l1⊥l2時(shí)，m＝

；當(dāng)l1∥l2時(shí)，m＝

.若l1⊥l2，則1×m＋m×1＝0，得m＝0；若l1∥l2，則m2－1＝0，經(jīng)驗(yàn)證m＝1題型三由含參一般式求參數(shù)的值（范圍）例5

（1）（2024·泰州質(zhì)檢）設(shè)直線(xiàn)

l

的方程為（

m

－1）

x

＋

y

－

m

＝0（

m

∈R）.若直線(xiàn)

l

不過(guò)第三象限，則

m

的取值范圍為

；將直線(xiàn)l的方程化成斜截式，得y＝（1－m）x＋

m，解得m的取值范圍為[1，＋∞）.當(dāng)直線(xiàn)

不過(guò)第三象限，則該直線(xiàn)的斜率小于等于零，（2）直線(xiàn)l的方程為（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）.若l在兩坐

標(biāo)軸上的截距相等，則l的方程為

.當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，該直線(xiàn)在x軸和y軸上的截距都為零，顯然相等，a＝2，即l的方程為3x＋y＝0；當(dāng)直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)，l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.練習(xí)：(多選)已知直線(xiàn)l1：x＋ay－a＝0和直線(xiàn)l2：ax－(2a－3)y－1＝0，下列說(shuō)法正確的是(

)A.直線(xiàn)l1與l2在x軸上的截距相等，則a＝－1B.若l1∥l2，則a＝1或a＝－3C.若l1⊥l2，則a＝0或a＝2D.當(dāng)a>0時(shí)，l1始終不過(guò)第三象限顯然a≠0，