2024年公務(wù)員考試行測(cè)十字交叉法

四、拾字交叉法我們常說(shuō)的拾字交叉法是壹種針對(duì)特殊題型的簡(jiǎn)捷算法，尤其適合于兩總量、兩關(guān)系的混合物的計(jì)算，用來(lái)計(jì)算混合物中兩種構(gòu)成成分的比值，可以視作為加權(quán)平均問(wèn)題。例題1：含糖70%的糖水2000克和含糖60%的糖水3000克混合後的濃度是多少?A.59%B.62%C.64%D.68%解題分析：此題為濃度問(wèn)題。采用拾字交叉法，設(shè)混合後糖水的濃度為x，則有：諸多類型混合問(wèn)題都可以采用拾字交叉法處理，采用拾字交叉法的時(shí)候要注意比例的對(duì)應(yīng)以及減數(shù)與被減數(shù)的次序。例題2：某初中共招收學(xué)生1000人，招收的學(xué)生總數(shù)比增長(zhǎng)了1%，其中招收的男生比上年減少了5%，招收的女生比上年增長(zhǎng)了10%，問(wèn)今年招收了男生多少人?A.480B.510C.540D.570解題分析：總體分為兩部分，懂得部分的變化狀況和總體的變化狀況，采用拾字交叉法。拾字交叉法的原理及衍生定義分析與運(yùn)用例題1:教練員中男占90％，運(yùn)動(dòng)員中男占80％，在教練員和運(yùn)動(dòng)員中男占82％，教練員與運(yùn)動(dòng)員人數(shù)之比是A．2：5

B．1：3

C．1：4

D．1：5就這個(gè)題目我們先通過(guò)簡(jiǎn)樸的方程措施來(lái)做!假設(shè)教練員人數(shù)是a,運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是b90%a+80%b=82%(a+b)

很輕易推導(dǎo)出(90%-82%)a=(82%-80%)b

則

a:b=2%:8%=1:4我們建立拾字交叉法假如做呢教練員:a(90%)

82%-80%=2%

總?cè)藬?shù)a+b(82%)運(yùn)動(dòng)員:b(80%)

90%-82%=8%同樣得到了

a:b=2%:8%=1:4在這裏我們需要注意這樣幾種問(wèn)題,(1)拾字交叉法不僅僅是比例的相減也可以是實(shí)際量的相減構(gòu)成的比例.(2)

相減的措施是交叉相減

或者說(shuō)是建立反比關(guān)系(3)

最重得到的比例壹定是原始量的比例關(guān)系(4)

衍生的定義是注意兩者的原始人數(shù)之差是其比例和值的壹種系數(shù)體現(xiàn)針對(duì)這壹點(diǎn)我們可以通過(guò)拾字交叉法的體現(xiàn)形式來(lái)推演證明:如上述例題,我們看到了拾字交叉法背面的部分:82%-80%=2%以及90%-82%=8%,其實(shí)不難發(fā)現(xiàn),82%作為總的平均比例是其人數(shù)比例的壹種反應(yīng).比例肯定是靠近人數(shù)多的壹方的原始比例.

注意當(dāng)兩者相加:(90%-82%)+(82%-80%)=(a+b)M,(這裏的M是自然數(shù)系數(shù)可認(rèn)為1,2,3,4,5……)

注意這裏的a+b是構(gòu)成比例之後的比例點(diǎn).其實(shí)壹步到位很簡(jiǎn)樸的反應(yīng)出90-80=(a+b)M

10=(a+b)M

由于M是系數(shù),最明顯的狀況可以確定

a+b壹定是5的倍數(shù)或者2的倍數(shù)看選項(xiàng)只有C滿足作為衍生的拾字交叉法的公式演變我們可以再次舉例來(lái)證明:某班男生比女生人數(shù)多80%，壹次考試後，全班平均成績(jī)?yōu)?5分，而女生的平均分比男的平均分高20%，則此班女生的平均分是（）A:84

B:85

C:86

D:87就這個(gè)題目你可以建立拾字交叉法來(lái)解答假設(shè)男生平均成績(jī)是a,女生就是1.2a

男生人數(shù)跟女生人數(shù)之比就是最終之比1.8:1=9:5男生:a

1.2a-75

全班平均成績(jī)(75)女生:1.2a

75-a根據(jù)交叉法得到的比例(1.2a-75):(75-a)=9:5

解得a=70

女生就是1.2a=84根據(jù)衍生的定義公式我們發(fā)現(xiàn)0.2a是多出來(lái)的平均值,這就是兩者比例點(diǎn)的和.根據(jù)我們上面衍生出來(lái)的公式應(yīng)當(dāng)=最重比例之和9+5=14再乘以系數(shù)M0.2a=14M

a=70M

由于分?jǐn)?shù)不也許超過(guò)100

因此M只能=1,即a=70

女生就是1.2a=84拾字交叉法的數(shù)學(xué)原理：對(duì)于二元壹次方程：Ax+By=(x+y)C通過(guò)整頓可以變成：xC-B-----=---------yA-C這個(gè)公式就是拾字交叉法的原理。對(duì)這個(gè)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可以寫成：對(duì)于方程“Ax+By=(x+y)C”有什么解釋呢，它實(shí)際上是壹種平均數(shù)的公式，可以表述為，已知在X，Y分別具有A,B個(gè)Z，在他們的二元體系中，平均每個(gè)X,Y擁有C個(gè)Z，則X,Y在二元體系中的個(gè)數(shù)比x:y=(C-B):(A-C)?？偨Y(jié)壹下，化學(xué)中對(duì)拾字交叉法的應(yīng)用大體有如下幾種：（1）有關(guān)質(zhì)量分?jǐn)?shù)的計(jì)算（用兩種不壹樣濃度溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與混合溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)作拾字交叉，求兩種溶液的質(zhì)量比）（2）有關(guān)物質(zhì)的量濃度的計(jì)算（用混合錢的物質(zhì)量的濃度與混合後的物質(zhì)量的濃度做拾字交叉，求體積比）（3）有關(guān)平均分子量的計(jì)算（通過(guò)純物質(zhì)的物質(zhì)量分?jǐn)?shù)與混合後的平均分子量做拾字交叉，求百分?jǐn)?shù)）（4）有關(guān)平均原子量的計(jì)算（用同位素的原子量或質(zhì)量數(shù)與元素原子量作交叉，求原子個(gè)數(shù)比或同位素百分?jǐn)?shù)）（5）有關(guān)反應(yīng)熱的計(jì)算（有單個(gè)反應(yīng)的熱效應(yīng)與混合都反應(yīng)熱做拾字交叉，求百分?jǐn)?shù)）（6）有關(guān)混合物反應(yīng)的計(jì)算（運(yùn)用單個(gè)反應(yīng)消耗某種反應(yīng)物的量與混合後做拾字交叉，求分?jǐn)?shù)）（7）有關(guān)構(gòu)造的推測(cè)（找到相對(duì)應(yīng)的比例關(guān)系，如點(diǎn)，邊，面等的關(guān)系，在做交叉，球分?jǐn)?shù)）（8）有關(guān)體積分?jǐn)?shù)的測(cè)定（用組分的式量與混合氣的平均式量做拾字交叉，求組分體積比或含量）（9）有關(guān)兩種含相似元素物質(zhì)的質(zhì)量比（用兩種物質(zhì)中同壹元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)求兩物質(zhì)的質(zhì)量比）壹．有關(guān)質(zhì)量分?jǐn)?shù)的計(jì)算：例：試驗(yàn)室用密度為1.84克/厘米398%的濃硫酸與密度為1.1克/厘米315%的稀硫酸混和配制密度為1.4克/厘米359%的硫酸溶液,取濃、稀硫酸的體積比最靠近的值是A.1:2B.2:1C.3:2D.2:3[分析]9844\59//\其體積比為:44/1.84:39/1.1≈2:31539答案為D根據(jù)溶質(zhì)質(zhì)量守恒,滿足此式的是98%X+15%Y=59%(X+Y)X和Y之比是溶液質(zhì)量比,故拾字交叉得出的是溶液質(zhì)量比為44:39,再換算成體積比二.有關(guān)物質(zhì)的量濃度的計(jì)算例:物質(zhì)的量分別為6摩/升,1摩/升的硫酸溶液,按怎樣的體積比才能配成4摩/升的溶液?[分析]63\4/1/\2根據(jù)溶質(zhì)物質(zhì)的量守恒,滿足此式的是6X+Y=4(X+Y)X和Y之比是體積比,故拾字交叉得出的是體積比為3:2,答案為6摩/升,1摩/升的硫酸溶液,按3:2的體積比才能配成4摩/升的溶液?四.有關(guān)平均原子量的計(jì)算例:銅有兩種天然同位素63Cu和65Cu,參照銅的原子量為63.5,估算63Cu的平均原子百分含量約是A.20%B.25%C.66.7%D.75%[分析]631.5\63.5/65/\0.5根據(jù)質(zhì)量守恒,滿足此式的是63X+65Y=63.5(X+Y)可知X:Y應(yīng)為原子個(gè)數(shù)比,故拾字交叉法得出的是原子個(gè)數(shù)比.1.5故63Cu的原子百分含量=---------×100%=75%1.5+0.5拾字交叉法的應(yīng)用1．有關(guān)混合溶液的計(jì)算例1．既有20％和5％的兩種鹽酸溶液，若要配制600克15％的鹽酸溶液，各需20％和5％的鹽酸溶液多少克？分析與解：本題是用兩種已知濃度的溶液來(lái)配制所需濃度的溶液，看似是求溶液的質(zhì)量，實(shí)質(zhì)是先求出兩種濃度溶液的質(zhì)量比，然後問(wèn)題就迎刃而解。用拾字交叉法由圖示可知，20％鹽酸溶液與5％鹽酸溶液的質(zhì)量比應(yīng)為2∶1∴20％鹽酸溶液的質(zhì)量600ⅹ23=400克5％鹽酸溶液的質(zhì)量600ⅹ13=200克2．有關(guān)變化溶劑質(zhì)量的溶液濃度的計(jì)算例2．把20％的氯化鈉溶液100克，加水稀釋成濃度為4％的溶液，問(wèn)需加水多少克？分析與解：本題是用水稀釋變化溶液濃度的計(jì)算題，將水視為濃度為0％的溶液。用拾字交叉法由圖示可知，20％氯化鈉溶液與加入水的質(zhì)量比應(yīng)為m濃∶m水=4∶16=1∶4∴需加水的質(zhì)量4ⅹ100=400克例3．既有200克濃度為10％的硝酸鉀溶液，若要使其濃度變?yōu)?0％，則需蒸發(fā)掉多少克水？分析與解：本題是蒸發(fā)水變化溶液濃度的計(jì)算題，將水視為濃度為0％的溶液。用拾字交叉法由圖示可知，10％的硝酸鉀溶液與蒸發(fā)水的質(zhì)量比應(yīng)為m濃m水=-3015=-21（負(fù)號(hào)表達(dá)蒸發(fā)即減少的含義）∴蒸發(fā)水的質(zhì)量200ⅹ12=100克3．有關(guān)增長(zhǎng)溶質(zhì)的溶液濃度的計(jì)算例4．既有200克濃度為10％的硝酸鉀溶液，若要使其濃度變?yōu)?0％，則需再溶解硝酸鉀多少克？分析與解：本題是增長(zhǎng)溶質(zhì)濃度翻倍的計(jì)算題，對(duì)于水溶液純?nèi)苜|(zhì)的狀況，將溶質(zhì)的濃度視為100％。用拾字交叉法由圖示可知，增長(zhǎng)溶質(zhì)與10％的硝酸鉀溶液的質(zhì)量比應(yīng)為1∶8∴需再溶解硝酸鉀的質(zhì)量200ⅹ18=25克練壹練：試用兩種措施，將100克濃度為10％的硝酸鈉溶液，使其濃度變?yōu)?0％。（用拾字交叉法計(jì)算）參照答案：措施壹增長(zhǎng)溶質(zhì)12.5克措施二蒸發(fā)溶劑50克壹、拾字交叉法的數(shù)學(xué)原理將兩種不壹樣濃度的同種溶液（濃度分別為a、b，質(zhì)量分別為A、B）混合，得到的混合溶液濃度為r=（Aa+Bb）/(A+B)，化簡(jiǎn)該式得到(r-b)/(a-r)=A/B，即將各部分的“平均值”和總體的“平均值”交叉做差後得到的比值與這兩種溶液的質(zhì)量之比相等。用拾字交叉法表達(dá)如下：

質(zhì)量

濃度

交叉做差第壹種溶液

A

a

r-b

r第二種溶液

B

b

a-r

交叉做差後得到A/B=(r-b)/(a-r)。二、拾字交叉法在溶液混合問(wèn)題中應(yīng)用最多，可多次使用

例1：有濃度為4％的鹽水若干克，蒸發(fā)了某些水分後濃度變成10％，再加入300克4％的鹽水後，變?yōu)闈舛?.4％的鹽水，則最初的鹽水是：

A．200克

B．300克

C．400克

D．500克解析：設(shè)x克10%的鹽水與300克4%的鹽水混合，得到6.4%的鹽水，則有：10%的鹽水

x克

10%

2.4%

6.4%4%鹽水

300克

4%

3.6%故有x/300=2.4%/3.6%，解得x=200，即10%的鹽水質(zhì)量為200克。200克10%的鹽水與y克的水混合，得到4%的鹽水，則有：

10%的鹽水

200克

10%

4%

4%

水

y克

0%

6%故有200/y=4%/6%，解得y=300，即水的質(zhì)量為300克。因此4%的鹽水質(zhì)量為200+300=500克，選D。例2：（國(guó)考）壹種溶液，蒸發(fā)掉壹定量的水後，溶液的濃度變?yōu)?0%，再蒸發(fā)掉同樣多的水後，溶液的濃度變?yōu)?2%，第三次蒸發(fā)掉同樣多的水後，溶液的濃度將變?yōu)槎嗌?A．14%

B．17%

C．16%

D．15%解析：10%的溶液蒸發(fā)掉壹定量的水濃度變?yōu)?2%，可以當(dāng)作12%的溶液與壹定量的水混合得到10%的溶液，則有：12%的溶液

12%

10%

10%水

0%

2%故12%的溶液與壹次蒸發(fā)的水質(zhì)量之比為10%∶2%=5∶1。5份濃度為12%的溶液蒸發(fā)掉1份水，濃度變?yōu)?2%×5/4=15%?！咀⑨尅颗c水或純?nèi)苜|(zhì)混合是溶液混合中的特殊狀況，用拾字交叉法時(shí)，只需將水的濃度寫為0%，將純?nèi)苜|(zhì)的濃度寫為100%即可。三、交叉做差壹定要遵照“大減小”的原則a、b中壹定有壹種大的，減去r，有壹種小的，被r減。在這三個(gè)量都已知時(shí)不易出錯(cuò)，但當(dāng)這三個(gè)量中有未知數(shù)時(shí)，壹定要注意分析誰(shuí)大誰(shuí)小，遵照“大減小”的原則交叉做差。例：（江蘇公考）壹批手機(jī)，商店按期望獲得100%的利潤(rùn)來(lái)定價(jià)，成果只銷售掉70%。為了盡早銷售掉剩余的手機(jī)，商店決定打折發(fā)售，為了獲得的所有利潤(rùn)是本來(lái)期望利潤(rùn)的91%，則商店所打的折是：A．六折

B．七折

C．八五折

D．九折解析：設(shè)打折後的利潤(rùn)率為x，則有：第壹部分手機(jī)

70%

100%

91%-x

91%第二部分手機(jī)

30%

x

9%故有(91%-x)/9%=70%/30%，解得x=70%，因此商店所打的折扣為(1+70%)÷（1+100%）=85%，故選C?！咀⑨尅看颂帲?1%與x交叉做差時(shí)假如寫成x-90%，會(huì)導(dǎo)致成果錯(cuò)誤。拾字交叉法是進(jìn)行二組分混合物平均量與組分量的計(jì)算中常用的壹種簡(jiǎn)便措施。但凡壹般的二元壹次方程組（Aa+Bb=c(A+B)關(guān)系式）的習(xí)題，均可用拾字交叉法。

該法解題的關(guān)鍵是精確找出平均值。其解題原理為：Aa＋Bb＝(A＋B)×c整頓變形後可得

(a>c>b)

其中c為平均值下面通過(guò)幾道例題來(lái)展現(xiàn)壹下在解題中的妙用。例1．院子裏有壹群兔子和壹群雞，其中有頭50個(gè)，有腳140只，問(wèn)雞和兔子各為幾只？（）A.30，20B.20，30C.10，40D.40，10解答：這是壹道經(jīng)典的數(shù)字盈虧問(wèn)題。措施壹：設(shè)雞子有x只，兔子有y只，則解得x＝30，y＝20措施二：設(shè)雞有x只，則兔子有50－x只，2x＋4（50－x）＝140解得x＝30，則雞有30只，兔子有50－30＝20只措施三：拾字交叉法首先求出腳的平均數(shù)140÷50＝2.8雞

2

4-2.8=1.2

2.8兔子

4

2.8-2=0.8因此雞和兔子數(shù)量之比為1.2:0.8=3:2，故雞有50×3/(3+2)