不同函數(shù)增長的差異課件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4

對數(shù)函數(shù)4.4.3

不同函數(shù)增長的差異

遞增逐漸近似與Y軸平行逐漸近似與X軸平行復(fù)習導(dǎo)入三種常見函數(shù)模型性質(zhì)勻速增長不同函數(shù)的增長方式存在很大差異.事實上，這種差異正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映.因此，如果把握了不同函數(shù)

增長方式的差異，那么就可以根據(jù)現(xiàn)實問題的增長情況，選擇合適

的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律.下面就來研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長方式的差異.復(fù)習導(dǎo)入話動1

以函數(shù)y=2*和y=2x

為例研究指數(shù)函數(shù)、

一次函數(shù)在區(qū)間(0,+￥)內(nèi)增長方式的差異.新知探索0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386●

·●●新知探索觀察函數(shù)y=2*和y=2x的圖象及其增長方式，你能得出哪些結(jié)論?結(jié)論一：函數(shù)y=2*和y=2x的圖象有兩個交點(1,2),(2,4).結(jié)論二：在區(qū)間[0,1]上，函數(shù)y=2*的圖象位于y=2x的圖象之上，2*>2x,結(jié)論三：在區(qū)間(1,2)上，函數(shù)y=2*的圖象位于y=2x的圖象之下，2*<2x結(jié)論四：在區(qū)間(2,3)上，函數(shù)y=2*的圖象位于y=2x的圖象之上，2*>2x.綜上：雖然函數(shù)y=2與函數(shù)y=2x

都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同，函數(shù)y=2x

的增長速度不變，但是y=2

的增長速度改變，先慢后快。新知探索下面在更大的范圍內(nèi)，觀察y=2*和y

=2x的增長情況.當自變量X

越來越大時，y=2*

的圖象就像與

X

軸垂直

一樣，2的值快速增長；而函數(shù)y=2x

的增長速度依然保持不變，與y=2

函數(shù)的增長速度相比幾乎微不足道。0102444168664128256161010242012409624●●●●●●●●●新知探索總結(jié)一：雖然函數(shù)y=2*和y=2x在區(qū)間[0,+o]上都單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上.隨著x的增大，y=2*的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y=2x的增長速度.盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，2*會小于2x,但由于y=2*的增長最終會快于y=2x的增長，因此，總會存在一個x?,

當x>x?時，恒有2*>2x.新知探索總結(jié)二：一般地，指數(shù)函數(shù)y=a*(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長差異都與上述情況類似.即使k的值遠遠大于a

的

值

，y=a*(a>1)的增長速度最終都會大大超過y=kx(k>0)

的增長速度.注：指數(shù)函數(shù)不像一次函數(shù)那樣按同一速度增長，而是越來越快，呈爆炸性增長.新知探索活

動

2

以函數(shù)y=lgx

和間(0,+￥)內(nèi)增長的差異.新知探索x

為例研究對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)在區(qū)0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786●●●··●

·雖然它們在(0,+￥)都是單調(diào)遞增，但是增長速度存在明顯的差異新知探索總結(jié)

一：函

x的增長速度保持不變，而函數(shù)y=lgx

的增長速度在變化.隨著x的增大，函數(shù)

x的圖象離x軸越來越遠，而函數(shù)

y=lgx

的圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣.新知探索例如lg10=1,lg100=2,lg1000=3,

g10000=4;而×10=

1,0.這說明，當x>10,Hy=1gx>1時新知探索,y=lgx

與y=

x相比增長就很慢了.10×1000=10090×10000=100010,新知探索話

動3

如果將1gx

放大1000倍，再對函數(shù)y=10001gx

和y=x的增長情況進行比較，那么仍有上述規(guī)律嗎?總結(jié)二：

一般地，雖然對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)在區(qū)間(0,+輸)上都單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，

一次函數(shù)y=kx(k>0)

保持固定的增長速度，而對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.不論a的值比k的值大多少，在一定范圍內(nèi)，

logax

可能會大于kx,

但由于logax

的增長最終會慢于kx的增長，因此總會存在一個x?,

當x>x?時，恒有l(wèi)ogax<kx

.新知探索活動4

類比上述過程，(1)畫出一次函數(shù)y=2x,對數(shù)函數(shù)y=lgx

和指數(shù)函數(shù)y=2*的圖象，并比較它們的增長差異；(2)試著概括一次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的增長差異；(3)討論交流“直線上升”

“對數(shù)增長”

“指數(shù)爆炸”的含義.新知探索f(x)=2x50

150200250h(x)=logio(x)-1000新知探索g(x)=2r1.下列函數(shù)中，增長速度最慢的是

(C).A.y

=2022x

B.y

=x2022C.y=log?o??x

D.y=2022x學以致用2.四個物體同時從某一點出發(fā)向前運動，其路程

f(x)i=1,2,3,4)關(guān)于時間x(x>1)的函數(shù)關(guān)系是

f(x)=x2,f?(x)=2x,f?(x)=log,x,f?(x)=2*,如果它們一直運

動下去，最終在最前面的物體具有的函數(shù)關(guān)系是(D

)A.f(x)=x2B.f?(x)=2xC.f?(x)=log,xD.f?(x)=2學以致用X45678910Y15171921232527A.一次函數(shù)模型

B.二次函數(shù)模型

C.指數(shù)函數(shù)模型

D.對數(shù)函數(shù)模型3.下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷最可能的函數(shù)模型是(

A

)

學以致用4.物價上漲是當前的熱門話題，特別是菜價，我國某部門為盡快穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案.據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預(yù)測的運輸任務(wù)Q。,

各種方案的運輸總量Q

與時間t的函數(shù)關(guān)系