江蘇省蘇州市部分學校2025屆新高三暑期調(diào)研考試暨高考模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市部分學校2025屆新高三暑期調(diào)研考試暨高考模擬考試數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，又終邊在第三象限，所在的象限為第三象限，故選：C．2.過原點的圓的圓心為，則原點處與圓相切的直線的傾斜角為（）A.3 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設圓心為，則，依題意，所以，又，所以直線的傾斜角為3．故選：A.3.已知函數(shù)的圖像如圖所示，則可能為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于，，與題圖不符，故錯誤；對于，當時，因為指數(shù)函數(shù)的增長速度遠大于冪函數(shù)的增長速度，所以，與題圖不符，故錯誤；對于，，與題圖不符，故錯誤；通過排除法，所以正確.故選：.4.已知正四棱錐的8條棱長均相等，為頂點在底面的射影，則（）A.側(cè)棱與底面所成角的大小為B.設，為正方形邊上的兩點，則二面角的值大于C.側(cè)面與底面所成角的大小為D.設為正方形上的點，則直線與底面所成角的最大值為〖答案〗B〖解析〗依題意，平面，平面，則.，對于A，依題意可知是側(cè)棱與底面所成的角，，為銳角，且，則A選項錯誤.對于B，過作，垂足為，由于平面，則，由于平面，則平面，由于平面，則，則二面角的平面角為，由于平面，則，當時，平面，則平面.平面，此時二面角為直角，當時，，由于是正方形邊上的兩個點，則，則，則二面角的值大于.則B選項正確.對于C，設是的中點，連接，由于，側(cè)面與底面的交線為，則側(cè)面與底面所成角的平面角為，由于平面，則，，則，則側(cè)面與底面所成的角大于，則C選項錯誤.對于D，當點與點重合時，直線與底面所成角為，則D選項錯誤.故選：B.5.命題為的根，命題若，則，則命題為命題的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為，由命題為的根，則，又，則，所以，故，故由推得出，所以充分性成立；若且，則，所以，即，所以為的根，故由推得出，即必要性成立；所以命題為命題的充分必要條件.故選：C.6.在實際生活中，我們會用鐵片焊接到鋼管上以保證管道正常使用．更極端地，我們可以用有限個鐵片焊接到鋼管上繞整個鋼管側(cè)面一周，其類似下面的數(shù)學概念．稱為緊致的，如果對任意滿足的開集族，都存在有限的，使得．稱一個集合為開集，如果對其中任意一個點，都存在一個，使得以為球心，為半徑的球的內(nèi)部包含于．則以下集合中，緊致的集合的個數(shù)為（）①，②，③.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個〖答案〗A〖解析〗對非空有限集，用表示中的最大元素.由于，且都是開集.但對任意非空有限集（如果是空集，則不可能成立，后面兩種情況也類似），有.而不包含，故不是緊致的；由于，且都是開集.但對任意非空有限集，有.而不包含，故不是緊致的；由于，且都是開集.但對任意非空有限集，有.不包含，故不是緊致的.故選：A.7.奇函數(shù)于上連續(xù)，滿足當時，，且，若對任意使得直線，垂直的正數(shù)，都有：，則的最大可能值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知可得在上二階可導，從而對，設.則當時，有.所以在上恒為定值，設為，則對有.這表明對任意，都有，所以不小于每一個負數(shù)，故.由于對，由知或，但在上二階可導，故和都連續(xù).所以連續(xù)，從而只可能恒有或恒有.若，設，則.所以在上恒為定值，但由于在上連續(xù)，故在上連續(xù)，從而在上恒為定值.而是奇函數(shù)，故，所以對有.這就得到，故.若，同理可得，但這就得到，矛盾.所以必有，再代入得.從而.由于對滿足，故在上單調(diào)遞增.而，，.故，從而對有，又因為是奇函數(shù)，故對任意實數(shù)都有.另外，兩直線，垂直，當且僅當，即.根據(jù)之前得到的，不等式等價于，即.因此問題可等價轉(zhuǎn)化為：若對任意滿足的正數(shù)都有，求的最大值.一方面，若對任意滿足的正數(shù)都有，則特別地，我們可以取，，因為它們都是正數(shù)，且滿足.這就得到，從而；另一方面，若，則.從而對任意滿足的正數(shù)，我們有，所以，即，從而此時的滿足條件.綜上，原命題成立的充要條件是，這表明的最大值是.故選：D.8.考慮從到的所有正整數(shù)．我們作一個的數(shù)表，使得若為的倍數(shù)，則在位置填入，否則填為，則據(jù)數(shù)表中的數(shù)之和最接近的數(shù)為（）（已知）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，則數(shù)表中的數(shù)之和為.設表示不超過的最大整數(shù)，則對，在中有個的倍數(shù).所以，故數(shù)表中的數(shù)之和為.由于對有，對有，對有，對有，對有，對有，對有，對有，對有，對有，對有，對有，對有，對有，對有，對有.故.同時有.最后，設，則，所以對有，對有.故在上遞減，在上遞增，從而.所以對大于的正整數(shù)，由有，即；由有，即.所以有，.從而，且.而，，故，.因此，從而選項中最接近的是D選項.故選：D二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選對得6分，漏選得部分分，錯選或不選得0分．9.1843年，Hamilton在愛爾蘭發(fā)現(xiàn)四元數(shù)．當時他正研究擴展復數(shù)到更高的維次（復數(shù)可視為平面上的點）．他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)．根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家運河上散步時突然想到的方程解．之后哈密頓立刻將此方程刻在BroughantBridge．對四元數(shù)，的單位，其運算滿足：，，，，，，；記，，，定義，記所有四元數(shù)構成的集合為，則以下說法中正確的有（）A.集合的元素按乘法得到一個八元集合B.若非零元，則有：C.若，則有：D.若非零元，則有：〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由于，，，，故集合的元素按乘法可以得到集合，容易驗證該集合中任意兩個元素的乘積還在該集合中，故集合的元素按乘法得到的集合是八元集合，故A正確；對于B，取，，則，故B錯誤；對于C，若，設，，則，故C正確；對于D，根據(jù)題目中的定義有，從而.所以，故D正確.故選：ACD.10.考慮函數(shù)，記函數(shù)，其中為的整數(shù)部分，定義為在上滿足的根的個數(shù)，則以下說法正確的有（）A.的值域為 B.C.為周期函數(shù)當且僅當為有理數(shù) D.對成立〖答案〗B〖解析〗對于A，顯然當時有，故A錯誤；對于B，根據(jù)定義，是方程在上的解的個數(shù).而，故意味著，即.由于是整數(shù)，故，從而是方程在上的解的個數(shù).又因為，故該方程等價于或，這在上的全部解構成的集合是，共個解，故B正確；對于C，由于（二者函數(shù)值相等或同時沒有定義），故和或者都是周期函數(shù)，或者都不是周期函數(shù).所以或者時不是周期函數(shù)，或者時是周期函數(shù)，無論哪種情況，都能導致C選項錯誤；對于D，該選項等價于，對任意，方程在上都有解.而，故等價于或，即或.由于恒成立，故方程等價于或，即或..但當時，有，；當時，有；當時，有；當時，有.從而原方程在上無解，從而，故D錯誤.故選：B.11.在現(xiàn)實的經(jīng)濟生活中，投資者在面對不確定性時往往表現(xiàn)出風險厭惡的特征．當投資者的財富發(fā)生變化時，其用于投資風險資產(chǎn)的絕對量和相對量都將會發(fā)生變化．假設一名風險厭惡的投資者的效用函數(shù)（，為一連續(xù)區(qū)間）是可導且其導函數(shù)也可導的．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則稱該投資者是遞減絕對風險厭惡的；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則稱該投資者是遞減相對風險厭惡的．則以下哪些效用函數(shù)對應的投資者是遞減絕對風險厭惡的，但不是遞減相對風險厭惡的？（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗A選項：，則，所以，在上單調(diào)遞增，所以不是遞減絕對風險厭惡，A選項錯誤；B選項：，，，所以在上單調(diào)遞減，所以是遞減絕對風險厭惡，，在上單調(diào)遞增，所以不是遞減相對風險厭惡，B選項正確；C選項：，則，，所以，，，所以，即單調(diào)遞減，所以是滿足遞減絕對風險厭惡，又，恒成立，即單調(diào)遞增，所以不是遞減相對風險厭惡，C選項正確；D選項：，則，，所以，，即單調(diào)遞增，所以不是遞減絕對風險厭惡，D選項錯誤；故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的兩個空中，第一個空2分，第二個空3分．12.已知某工廠有三條流水線用于生產(chǎn)某產(chǎn)品，三條流水線的產(chǎn)量之比為2：1：2，根據(jù)抽樣，有：流水線1流水線2流水線3總計方差0.8250.6340.810均值9.09.49.2則流水線2的均值為__________，流水線3的標準差為__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設三條流水線的產(chǎn)量為，流水線2的均值為m，則，解得，設流水線3的方差為，則，解得.13.數(shù)列滿足，其中，，．當，時，該數(shù)列的通項公式為__________，若該數(shù)列滿足對任意的正整數(shù)，都有：，當時，符合條件的正整數(shù)對的個數(shù)為__________．其中為的最大公因數(shù)．〖答案〗〖解析〗①當，時，有，，.設，則，，且.故具有相同的初值和遞推式，故，從而；②根據(jù)，，，知，.一方面，若，則，故.從而；另一方面，若，下面證明：.定義數(shù)列滿足，，.則用數(shù)學歸納法可證明，，直接利用公式計算可知，對，有.由于，，，故.從而如果，就有；如果，就有.定義序列如下：，且對非負整數(shù)，.則根據(jù)上面的結論，有，同時根據(jù)最大公因數(shù)的性質(zhì)，有.而若，則；若，則.綜上，總有.由于非負整數(shù)不能無限嚴格遞減下去，故存在非負整數(shù)，使得.考慮前面的不等號的取等條件，有，，或，.即存在非負整數(shù)，使得或.若，則；若，則.所以，而我們又有，，故.從而.綜上，的充要條件是.從而我們需要確定的是，當時，滿足的正整數(shù)對的個數(shù).而在的情況下，有，故所求的的個數(shù)，就是中和互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù).由于，故中和互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)相當于從該集合中去掉的倍數(shù)后的元素個數(shù)，即等于.所以滿足條件的正整數(shù)對的個數(shù)為.14.已知拋物線的焦點為，滿足若過點的直線交于，則有．在上有三點構成等邊三角形，其中心的軌跡記為，則的軌跡方程為___________，試給出一圓，使得對上任意一點，過點作的兩條切線分別交于不同于的點，則必為的切線：___________．〖答案〗（答出一種特殊情況即可）〖解析〗①設直線交的準線于點，據(jù)已知有，故.而點都在線段外，故重合，從而在的準線上，所以的準線是.這就得到，所以的方程是.設上的三個不同點，，構成等邊三角形，設該三角形的重心為，則.所以的坐標分別是.故，.得，.兩式分別相加，相減，得，.故可得方程組.展開即得.將第一式減去第二式的倍，得，從而.再由第二式得，兩式作差即有.所以，即所以或.若，則由知，所以重合，這不可能.故一定有，即.另一方面，若，則取方程的一根后，根據(jù)上面類似的計算知.取的坐標為，則等邊三角形的頂點在上，且中心為.綜上，上的等邊三角形的中心的軌跡方程為.②我們設圓的方程為.則對上的點，設過該點的與圓相切，則根據(jù)距離公式有.從而，即設滿足條件的分別為，則，.同時，該直線與的另一個交點滿足，從而由韋達定理知.設，，則，.而直線的方程為，即，從而圓心到直線的距離.而，故，所以，得.且.故，得.從而，這就得到.所以直線到圓的距離恰等于其半徑，故是其切線.故〖答案〗為：，.四、解答題：共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.雙曲線，為兩焦點，為的頂點，為上不同于的一點．（1）證明：，的角平分線的交點的軌跡為一對平行直線的一部分，并求出這對平行線的方程；（2）若平面上僅有的曲線，沒有坐標軸和坐標原點，請給出確定的兩個焦點的位置的方法并給出作長為的線段的方法．（敘述即可）（1）證明：設，的角平分線的交點為，則就是的內(nèi)心.設的內(nèi)切圓在邊上的切點分別為，則.所以由或，知或.而，故或者，或者.故或者和重合，或者和重合，而是在軸上的投影，故的橫坐標是或.所以點必定在直線或上，結論得證.（2）解：任意作一對平行線，使得它們和都有兩個公共點.那么兩直線分別將截得一條弦，取這兩條弦的中點，并設直線交于點.取的中點，則是坐標原點.以為圓心，作一半徑足夠大的圓，使得該圓與有四個公共點，這四個公共點構成矩形，過作該矩形兩條相鄰邊的平行線，則與有公共點的平行線是軸，與無公共點的平行線是軸，這就得到了兩個實軸的端點和.然后，在軸上方基于點作正方形，并以為圓心，以為半徑作圓，交軸正半軸于點，再過作軸垂線，在軸上方交于點.則我們得到所求，.最后，以為圓心，以為半徑作圓，交軸正半軸于點，再以為圓心，以為半徑作圓，交軸于點，則就是的兩個焦點.下面我們說明上面的作法是可行的，需要論證的地方有二：①坐標原點的確定；②最后的確定.關于①，利用韋達定理，我們可以證明用斜率為的直線截雙曲線時，弦的中點總在一條過原點的直線上.事實上，兩方程聯(lián)立后可得到，從而兩交點和滿足，故.從而代入知弦的中點坐標為，它總在直線上，這就證明了①；關于②，根據(jù)后續(xù)的作法不難看出，，設，則，，解得.從而，故，這就得到，這就證明了②.16.在高中課本中，我們研究導數(shù)是在實數(shù)上研究的．實際上，求導（微分）是一個局部性質(zhì)．那么我們能不能在某些范圍內(nèi)推廣導數(shù)這一種局部性質(zhì)．我們在高中課本中講到：若在附近連續(xù)，且若存在，則為點處的導數(shù)．我們能不能將概念推廣到復數(shù)域上呢？顯然，我們是可以做到的．此時考慮函數(shù)，若在附近連續(xù)（實際上可以考慮一個非常非常小的圓），且若存在，則為點處的導數(shù)．（1）按此定義，驗證導數(shù)的除法公式在復函數(shù)求導下仍然成立．（2）更一般地，若在某個區(qū)域上均可導，我們稱為上〖解析〗的函數(shù)．考慮復函數(shù)，其中為一個模長小于的復數(shù)，為一個模長為的復數(shù)．證明：①該復函數(shù)將上的點映為上的點，且將上的點映為上的點．②為上的〖解析〗函數(shù)．（3）已知：（?。┤艉瘮?shù)為上的〖解析〗函數(shù)，且值域在中，滿足，則有：．（ⅱ）若函數(shù)，分別為，上的〖解析〗函數(shù)，則為上的〖解析〗函數(shù)．此時若為上的〖解析〗函數(shù)，且值域在中，滿足，證明：．解：（1）.（2）①由于，且.故.當即時，有，從而；當即時，有，從而.②直接由（1）可得，故是上的〖解析〗函數(shù).（3）取，則，由（ⅱ）的結論，知是的〖解析〗函數(shù).則取，就有是的〖解析〗函數(shù)，且.從而，據(jù)（ⅰ）的結論，知.而，故.直接計算可得，，故.所以，故.17.將全體定義在上的函數(shù)的集合記為．對，，定義上的函數(shù)之間的加法和數(shù)乘運算：，．已知為一個滿足線性關系的映射，即，，這里，，且滿足對任意整數(shù)，有，數(shù)列，，其中．（1）求，的遞推公式；（不需要提供初值，遞推公式可以由，組成）（2）若滿足，，且為單調(diào)遞減的正項數(shù)列：①求，的通項公式；②記，記為的前項和，證明：為定值，并求出該定值．解：（1）我們有，.這就得到，.所以，即.而，故.所以所求的遞推式為：，.（2）①設，，則，，.由，知.所以，從而存在實數(shù)，使得.同理存在實數(shù)，使得.兩式作差就得到，故.從而具有形式，即.故.據(jù)已知有，遞減，故，從而，.由于，，故.代入，解得，所以，.②此時.由于對，有.故.所以，即.整理得到，從而，得.而，故，所以.這就表明，所以.18.在中，，的外接圓圓心為，內(nèi)切圓的圓心為，垂心為，為的中點，在上的投影為，以為半徑作．（1）證明：，相切；（2）記，的切點為，直線交于點，為線段上一點，滿足，證明：直線和的交點在的外接圓上．（1）證明：建立平面直角坐標系（注意不是坐標原點），并不妨設，，再設，并不妨設.設，則由得，解得，故.設，則由得，解得，故.所以的中點的坐標是.顯然，所以.這就得到的方程：.設內(nèi)切圓在邊上的切點分別為，則.而，故.同理.所以.另一方面，的內(nèi)切圓半徑.故.從而和的半徑之差為，而.下面說明二者相等，即.設，，則我們要證明的就是.將兩個較大的平方式展開，合并同類項，得.再將展開，移項即得.顯然和不異號，而，故.所以上面的方程兩邊同號，故其等價于兩邊平方后的方程，即.此即.將右邊展開，合并同類項，得.而，.故，從而上面的方程等價于.此即.即.而.故命題最終等價轉(zhuǎn)化為證明.而，，故.從而確有，這就證明了和的半徑之差等于.所以和相切.（2）解：先證明四個引理，注意引理的字母與原題中都可能不一致，僅單獨作為一個定理使用.引理1：設的外心為，垂心為，則的中點，往對邊各自的投影，以及各自的中點九點共圓，圓心為的中點，該圓稱為的“九點圓”.引理1的證明：將的外接圓記為，其半徑為，然后記關于的對徑點為.設的中點為，以為圓心作，使得的半徑為的一半，從而和關于點位似，且位似比為.則，且.其中為的三個內(nèi)角，其對邊邊長分別為.顯然和平行，故和的交點滿足，所以和重合，從而三點共線，且.從而根據(jù)和的位似關系，知在上，同理在上.直接根據(jù)的定義，及和的位似關系，知在上.設分別與交于不同于的點.由于是直徑，故，從而和平行，而三點共線，且，故.從而根據(jù)和的位似關系，知在上，同理在上.至此我們就證明了引理1成立.引理2：設的內(nèi)切圓為，邊切點分別為，邊的中點分別為，點在邊上的投影為，的平分線交于，點關于的對稱點為，直線交于不同于的點，則在的九點圓上，這里九點圓的定義如引理1所述.引理2的證明：不妨設，記的中點分別為，在線段上取點，使得.則根據(jù)對稱性，三點共線，且所在直線與相切于點.記的中點為，則，而根據(jù)切線長相等，知，故三點共線.由于分別是的中點，故，而根據(jù)切線長相等有，故.由于，故四點共圓，所以.而，故相似于，所以，即.而直接根據(jù)圓冪定理，有，再結合，就有，所以四點共圓.故.而注意到是直角的斜邊，是其中點，故.再由知.所以四點共圓.根據(jù)引理1，的外接圓就是的九點圓，所以在的九點圓上，引理2得證.引理3：設的外心為，內(nèi)切圓的圓心為，在邊上的切點為，直線交的外接圓于，點關于直線的對稱點為，則三點共線.引理3的證明：設的外接圓為，的外接圓為，并記直線和交于不同于的點，則由于平分，知是上的弧的中點.所以，且.故，從而，同理有，故.以為原點建立平面直角坐標系，使得平行于軸，不妨設為軸正方向，在軸下方，且的半徑為.則的方程為，且，我們設，.此時由，可直接解出的外接圓圓心為，外接圓的方程為.由于，故在以為圓心，半徑為的圓上.而，故該圓的方程為.從而可設，則.記直線的斜率為，則的方程為，且.再將與的方程聯(lián)立，得.解得，故.由于直線的斜率，故直線的方程是.將與的方程聯(lián)立，得.解得，所以.從而.由的方程為，而，故關于的對稱點為，即.由于，故，所以.所以，且.設，則有，，，.所以，，以及.所以的斜率，且的斜率下面證明兩直線斜率相等，即.這即是要證明，即.由于，故這等價于證明.而，故我們就證明了，所以三點共線.這表明關于的對稱點在上，所以關于的對稱點在上.這就得到了三點共線，引理3得證.引理4：設的外心為，內(nèi)切圓的圓心為，點在線段上，使得平分.過作的切線，其中一條切線是，設其切點為，另一條切線的切點記為.設的中點為，直線交于不同于的點，直線交的外接圓于不同于的點，則平分.引理4的證明：建立直角坐標系（不是坐標原點），使得對應軸正方向.不妨設，的方程為，且，其中，則由在外部，知.設的方程是的切線，對應切點，則據(jù)對稱性有.由于，故和的方程分別可設為和，二者的并集為，代入的方程，得.展開即，從而得到的中點的橫坐標為.所以.故.而，故的斜率滿足.結合，就知道的方程是.考慮的坐標，將的方程代入的方程，就得到.展開即為.即，從而該方程的不同于的解是.所以，從而.這就得到了：.另外，和的方程分別為和，的方程是，解得，.先記，，則和的中垂線分別是和.聯(lián)立得方程組，解得.整理得.由于，，故.且.所以，且故.由于，，故.所以，且.將上面的結果簡記為.再由，，以及之前得到的，知，.所以，且.所以.根據(jù)，就得到直線的斜率.所以直線的方程是.之前我們已經(jīng)得到的方程是，故的斜率.設關于的對稱點為，則由，知的斜率.從而和的斜率互為相反數(shù).由于是的切線，切點分別為，故關于對稱，而都是的平分線，故關于對稱.而直線與軸重合，故關于軸對稱.同時由于都在上，而軸經(jīng)過的圓心，且和的斜率互為相反數(shù)，故也關于軸對稱.此即關于對稱，所以平分.根