分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（第1課時） 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第三冊第六章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第1課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課標定位素養(yǎng)闡釋1.了解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理及其意義,理解兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系.2.能用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理分析并解決一些簡單的實際問題.3.通過對兩個計數(shù)原理的學(xué)習(xí),提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、分類加法計數(shù)原理1.某天一名志愿者從從A地趕赴B地為游客提供導(dǎo)游服務(wù),從A地到B地每天有7個航班,6趟火車.(1)該志愿者從A地到B地的方案可分幾類?(2)這幾類方案中各有幾種方法?(3)該志愿者從A地到B地共有多少種不同的方法?提示:(1)兩類,即乘飛機、坐火車.(2)第1類方案(乘飛機)有7種方法,第2類方案(坐火車)有6種方法.(3)共有7+6=13種不同的方法.2.一般地,有如下分類加法計數(shù)原理:(1)完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.(2)推廣:如果完成一件事情有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,……在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.3.某同學(xué)從3本不同的哲學(xué)圖書、4本不同的自然科學(xué)圖書、2本不同的社會科學(xué)圖書中任選1本閱讀,則不同的選法共有(

)A.24種

B.12種 C.9種 D.3種解析:由分類加法計數(shù)原理,知不同的選法種數(shù)為3+4+2=9,故選C.答案:C二、分步乘法計數(shù)原理1.某天一名志愿者從A地趕赴B地為游客提供導(dǎo)游服務(wù),但需在C地停留,已知從A地到C地每天有7個航班,從C地到B地每天有6趟火車.(1)該志愿者從A地到B地需要經(jīng)歷幾個步驟?(2)完成每一步各有幾種方法?(3)該志愿者從A地到B地共有多少種不同的方法?提示:(1)兩個,即先從A地乘飛機到C地,再從C地坐火車到B地.(2)第1步有7種方法,第2步有6種方法.(3)共有7×6=42種不同的方法.2.一般地,有如下分步乘法計數(shù)原理:(1)完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.(2)推廣:完成一件事需要n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,……做第n步有mn種不同的方法,則完成這件事共有N=m1·m2·…·mn種不同的方法.3.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲,若一條長褲與一件上衣配成一套,則不同的配法種數(shù)為(

)A.7 B.12 C.64 D.81解析:要完成配套,分兩步:第1步,選上衣,從4件上衣中任選1件,有4種不同的選法;第2步,選長褲,從3條長褲中任選1條,有3種不同的選法.故共有4×3=12種不同的配法.答案:B三、分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步的關(guān)鍵是什么?提示:區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步,關(guān)鍵是看一步能否完成這件事,若能完成,則是分類,否則就是分步.2.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題.區(qū)別在于:(1)分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事.(2)分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法相互依存,只有每一個步驟都完成才算做完這件事.3.已知集合A={1,2},B={3,4,5},從集合A和集合B中各取一個元素,分別作為平面直角坐標系中的點的橫坐標與縱坐標,則不同點的個數(shù)為(

)A.5 B.6 C.10 D.12解析:完成這件事可分兩步:第1步,從集合A中任取一個元素作為點的橫坐標,有2種不同的方法;第2步,從集合B中任取一個元素作為點的縱坐標,有3種不同的方法.由分步乘法計數(shù)原理,共有2×3=6種不同的方法,故有6個不同點.答案:B【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的方法都能完成這件事.(

√

)(3)在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(

√

)(4)在分步乘法計數(shù)原理中,若事情是分兩步完成的,則其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.(×)合作探究釋疑解惑探究一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【例1】

(1)如圖所示,在A,B間有四個焊接點1,2,3,4.若某個焊接點脫落導(dǎo)致斷路,則電路不通,則焊接點脫落導(dǎo)致電路不通的情況有(

)種.A.9 B.11 C.13 D.15(2)在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個?(1)解析:按照可能脫落的焊接點的個數(shù)分為四類:第1類:脫落1個,則有(1),(4)共2種情況;第2類:脫落2個,則有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6種情況;第3類:脫落3個,則有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4種情況;第4類:脫落4個,則有(1,2,3,4)共1種情況.綜上,由分類加法計數(shù)原理,知共有2+6+4+1=13種情況,故選C.答案:C(2)解:按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個.由分類加法計數(shù)原理,知符合題意的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36個.應(yīng)用分類加法計數(shù)原理解題的策略和一般步驟1.應(yīng)用分類加法計數(shù)原理解題的策略(1)標準明確:明確分類標準,確定完成一件事的各類方案.(2)不重不漏:完成這件事的各類方案必須滿足既不重復(fù),又不遺漏.(3)方法獨立:確定用每一類方案中的每一種方法都能獨立地完成這件事.2.應(yīng)用分類加法計數(shù)原理解題的一般步驟

【變式訓(xùn)練1】

某校高三共有三個班,其各班人數(shù)如下表:(1)從三個班中選一名學(xué)生擔任學(xué)生會主席,有多少種不同的選法?(2)從(1)班、(2)班男生中或從(3)班女生中選一名學(xué)生擔任學(xué)生會生活部部長,有多少種不同的選法?班級男生數(shù)女生數(shù)總數(shù)高三(1)班302050高三(2)班203050高三(3)班252045解:(1)從三個班中任選一名學(xué)生,可分三類:第1類,從(1)班任選一名學(xué)生,有50種不同選法;第2類,從(2)班任選一名學(xué)生,有50種不同選法;第3類,從(3)班任選一名學(xué)生,有45種不同選法.由分類加法計數(shù)原理,知不同的選法種數(shù)為50+50+45=145.(2)由題設(shè)知共有三類方案:第1類,從(1)班男生中任選一名學(xué)生,有30種不同選法;第2類,從(2)班男生中任選一名學(xué)生,有20種不同選法;第3類,從(3)班女生中任選一名學(xué)生,有20種不同選法.由分類加法計數(shù)原理,知不同的選法種數(shù)為30+20+20=70.探究二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【例2】

從-2,-1,0,1,2,3這六個數(shù)字中任選三個不重復(fù)的數(shù)字分別作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a,b,c,則可以組成多少條不同的拋物線?解:完成這件事可分三步:第1步,選系數(shù)a(a不能為0),有5種不同選法;第2步,選系數(shù)b,有5種不同選法;第3步,選系數(shù)c,有4種不同選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得組成拋物線的條數(shù)為5×5×4=100.若本例中的拋物線的頂點在第一象限且過原點,此時拋物線的條數(shù)為多少?解:分三步:第1步,c=0,只有1種選法;第2步,確定a,a從-2,-1中選一個,有2種不同選法;第3步,確定b,從1,2,3中選一個,有3種不同選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得拋物線的條數(shù)為1×2×3=6.應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理解題的一般步驟與注意點(1)應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理解題的一般步驟:(2)應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理解題的注意點:應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時,要確定好各步的順序,不能重復(fù)與交叉,還要注意元素是否可以重復(fù)選取.【變式訓(xùn)練2】

從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等的數(shù)分別作為a,b,組成復(fù)數(shù)a+bi,其中虛數(shù)有(

)A.36個 B.42個C.30個 D.35個解析:分兩步:第1步,確定b,有6種不同選法;第2步,確定a,有6種不同選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,得虛數(shù)有6×6=36個.答案:A探究三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3】

現(xiàn)有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.(1)從中任選1幅畫布置房間,有幾種不同的選法?(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選1幅布置房間,有幾種不同的選法?(3)從這些畫中選出2幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的選法?解:(1)分為三類:第1類,從國畫中選,有5種不同的選法;第2類,從油畫中選,有2種不同的選法;第3類,從水彩畫中選,有7種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有5+2+7=14種不同選法.(2)分為三步:第1步,選1幅國畫,有5種不同選法;第2步,選1幅油畫,有2種不同選法;第3步,選1幅水彩畫,有7種不同選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有5×2×7=70種不同選法;(3)分為三類:第1類是1幅選自國畫,1幅選自油畫,有5×2=10種不同選法;第2類是1幅選自國畫,1幅選自水彩畫,有5×7=35種不同選法.第3類是1幅選自油畫,1幅選自水彩畫,有2×7=14種不同選法.所以共有10+35+14=59種不同選法.利用兩個計數(shù)原理解題的策略(1)要分清是“分類”還是“分步”,區(qū)分分類還是分步的關(guān)鍵是看一步能否完成這件事情,若能完成,則是分類,否則是分步.(2)要清楚“分類”或“分步”的具體標準,在“分類”時要遵循“不重不漏”的原則,在“分步”時要正確設(shè)計“分步”的程序,注意步與步之間的連續(xù)性;有些題目中“分類”與“分步”同時進行,即“先分類后分步”或“先分步后分類”.【變式訓(xùn)練3】

中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個,已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴,乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三名同學(xué)依次從中選一個作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的選法有(

)A.50種

B.60種 C.70種

D.80種解析:根據(jù)題意,按甲的選擇不同分成2種情況討論:若甲選擇牛,則乙的選擇有2種,丙的選擇有10種,此時有2×10=20種不同的選法;若甲選擇馬或猴,則甲的選法有2種,乙的選擇有3種,丙的選擇有10種,此時有2×3×10=60種不同的選法.故一共有20+60=80種不同的選法,故選D.答案:D

易錯辨析分不清“分類”還是“分步”致錯【典例】

某體育場南側(cè)有4個大門,北側(cè)有3個大門,小李到體育場看比賽,則他進、出體育場的方案有(

)A.12種 B.7種 C.14種 D.49種錯解:由題意知,小李進體育場有7種不同方案,出體育場有7種不同的方案,故他進、出體育場共有7+7=14種不同的方案.答案:C以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:出錯的根本原因是沒有分清小李完成進、出體育場大門的過程是分類還是分步,實際上小李到體育場看比賽,他進、出體育場大門的過程分兩步:第一步進體育場,第二步出體育場.正解:完成進、出體育場這件事,需要分兩步,第1步進體育場,第2步出體育場.第1步,進體育場共有4+3=7種方案;第2步,出體育場共有4+3=7種方案.由分步乘法計數(shù)原理,知進、出體育場的方案有7×7=49(種).答案:D利用兩個計數(shù)原理解決問題時,應(yīng)首先弄清是“分類”還是“分步”,其次要做到分類時不重不漏,分步時步驟完整.【變式訓(xùn)練】

已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的點,問:(1)P可表示平面上多少個不同的點?(2)P可表示平面上多少個第二象限的點?解:(1)確定平面上的點P(a,b)可分兩步完成:第1步確定a的值,共有6種可能情況;第2步確定b的值,也有6種可能情況.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到平面上點的個數(shù)為6×6=36.(2)確定第二象限的點,可分兩步完成:第1步確定a,因為a<0,所以有3種可能情況;第2步確定b,因為b>0,所以有2種可能情況.由分步乘法計數(shù)原理得到第二象限的點的個數(shù)為3×2=6.隨堂練習(xí)1.某一數(shù)學(xué)問題可用兩種方法證明,有6名同學(xué)只會用第一種方法證明,有4名同學(xué)只會用第二種方法證明,現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1名同學(xué)證明這個問題,不同的選法種數(shù)為(

)A.10 B.16 C.20 D.24解析:每一種方法都能證明該問題,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同的選法共有6+4=10(種).答案:A2.從5名醫(yī)生和4名護士中,選出1名醫(yī)生和1名護士參加全省勞動模范和先進工作者表彰大會,不同的選法種數(shù)為(

)A.9 B.10 C.20 D.40解析:分兩步:第1步,從5名醫(yī)生中選1人有5種不同的選法;第2步,從4名護士中選1人有4種不同的選法.由分步乘法計數(shù)原理得共有5×4=20種不同的選法,故選C.答案:C3.把10個蘋果分成三份,要求每份至少1個,至多5個,則不同的分法種數(shù)為(

)A.5 B.6 C.4 D.3解析:由于分成三份,每份至少1個,至多5個,故有一份1個蘋果,其余兩份只能選一份5個,一份4個;有一份2個蘋果,則其余兩份可能一份5個,一份3個