數(shù)列不等式 解析版-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習解答題

裁利茶普iU舞型超型松類制誄，

目錄

一、典型題型

題型一:數(shù)列不等式恒成立

題型二:數(shù)列不等式能成立（有解）問題

二、專題則不等式專項訓(xùn)練

一、典型題型

題型一:數(shù)列不等式恒成立

蜃目［TJ（23-24方二下?河南南相?期中）記數(shù)歹U｛冊｝的前幾項和為S。，已知的=—1,且*1+（—1）%為=

8—2n.

（1）令勾=電九,求數(shù)列｛K｝的通項公式；

n+1

（2）若對于任意的九EN*,2-4—6n+1+S2n+1>0恒成立,求實數(shù)A的取值范圍.

【答案】⑴6九=9—4n

⑵［看，+8）.

【分析】（1）分類討論n是奇數(shù)和偶數(shù)，利用遞推公式計算即可；

（2）先利用等差數(shù)列求和公式分組求和，再分離參數(shù)，令金=冠，判定其單調(diào)性，計算即可.

2n

【詳解】（1）令?2=2k—1,則。2卜—。2卜一1=10—4k①，

令九=2k,則電卜+1+保卜=8-4k②，

=

②一①，得a2k+1-ha2k-i-2,

又因為Qi=-1，所以可得a2fc-i=-1,

代入①式，得a2k=9—4%,所以bn=9—4n.

（2）S20+1=S奇+S偶，其中S奇=（—l）?（7i+l）=—S+l）,

22

5偶二仇+8+—F6n—5n-\-1X（—4）=7n—2n,所以S2九+1=-2n+6?i—1.

*

由2"1?』一6九+1+S2九+i>0,可得旦恒成立.

2n

、匹_n2mJ_（九+1）~n2_—n2+2n+1

僅品=/，則品+1一品=/=產(chǎn)，???

當1—V2<n<1+A/2，即九=1,2時，cn+i—Cn>0,cn<cn+1,

當n>l+J2,即九>3時，cn+1—cn<0,cn>cn+1,

所以C1<C2<C3>C4>C5>…，故（01mx=c3=u，所以4>卷,

oo

即實數(shù)4的取值范圍為JU，+8）.

Lo）

題目②（2024?廣東韶關(guān)?二O記R上的可導(dǎo)函數(shù)/⑺的導(dǎo)函數(shù)為了'⑺，滿足4+尸垢

—華g5cN*）的數(shù)列｛吃｝稱為函數(shù)/（，）的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列｛4｝為函數(shù)/（乃=/—多的牛頓數(shù)

于g

歹!J,且數(shù)列｛時｝滿足的=2,斯=InXn,x?>1.

xn-l

⑴求a2;

（2）證明數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列并求飆；

（3）設(shè)數(shù)列｛冊｝的前幾項和為S”,若不等式（-I）"-tS「14WSV對任意的九CN*恒成立，求t的取值范圍.

【答案】⑴4

（2）證明見解析，a=T

⑶-K停

O

【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，化簡數(shù)列遞推式,根據(jù)對數(shù)運算及遞推式求解即可；

（2）對遞推式變形結(jié)合對數(shù)運算求得國旦=2,利用等比數(shù)列定義即可證明，代入等比數(shù)列通項公式求解通

a九

項公式；

⑶先利用等比數(shù)列求和公式求和,再把恒成立問題轉(zhuǎn)化為（-1產(chǎn)t<S”+圣對任意的neN*恒成立，令

g（x）=x+—,xE（0,+oo）,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性求解函數(shù)最值，根據(jù)九的奇偶性

X

分別求解范圍即可.

【詳解】⑴因為/（力）=力2—力，則/（力）=2］一1,從而有C九+1==6九一；n*；=p,

f（xn）2xn-l2xn-l

XnX1

由Qi=2,an=In，則2=In

xn-l力

所以隔尸皿―="-六2皿「=2,0>1）,

故?包=2（非零常數(shù)），且的=220,所以數(shù)列｛an｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列,

所以a“=2X2"T=2";

⑶由等比數(shù)列的前n項和公式得：Sn=2(1—?).=2"+1—2,

1—2

因為不等式(一1)75^—14&S/對任意的九6N*恒成立，又S>0且S九單調(diào)遞增,

所以(―l)n-對任意的燈GN*恒成立，令g(力)=x+—,xE(0,+oo),

31n力

則g'Q)=1—4―――暑，當力G(0,U)時，g\x)<0,g(rr)是減函數(shù)，

xzxz

當力E(V14,+oo)時，g'(力)>0,gQ)是增函數(shù)，

又2=Sj<V14<S2=6，且g(2)=9,g(6)=與,g(6)Vg⑵,則g(x)^n=g(6)=孕,

O0

當n為偶數(shù)時，原式化簡為S九，所以當71=2時，力&爭;

當n為奇數(shù)時，原式化簡為一九所以當n1時，一t49,所以t>—9;

3九

綜上可知，一9&.

o

[題目|3](23-24i?二下?貴州貴FB?期中)己知數(shù)列｛斯｝滿足：?=:冊+(!戶,且5=—得.設(shè)｛冊｝的

OOO

n

前幾項和為北，第=3-an.

(1)證明：｛0｝是等差數(shù)列；

⑵求或;

(3)若不等式看+伴&為對九eN*恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(3)一卷《力《一卷

2o

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義證明

(2)由已知得Q九二4=(1■『?(九一3),再通過錯位相減法求解出北；

3J

(3)不等式化簡為t(n—3)>3~2n，把問題轉(zhuǎn)化為t(n—3)>3~2n對九eN*恒成立，然后分別求出當

1471<3、71=3和71>3時，力滿足的條件即可

【詳解】⑴因為bn=3%Q九，所以bn+1=3計1?％+1,

=n+1,nn+1n

bn+i~bn3an+1—3-an=3|^-^-an+(-^-)]—3-an=1,

且bi=—2，所以勾是以一2為首項，且公差為1的等差數(shù)列，即勾="一3.

⑵由⑴知，bn=ri-3,所以an=/=?(九一3).

則或=(-2)-(y)'+(-l)?(j)2+0-(j)%???+(n-4)?傳)“'(n—3).(j)",

于是寺北=(一2)?(/+(T)?(!)3+。?(、■)"+…+("—4)?什)”+(n—3)

兩式相減得"17；=一弓+傳)2+借y+(/)，+??-+(y)ri-(n-3)?信)陽

2,0[1—(5)1/°、/1\n+1_1(n1、/Ip

__3+—---------⑺―3)-(.)—一萬一(.一萬).(3)，

13

因此3—/管號）.（二

3

()由黑+告&tan，得一管--|-)?信)<t(n-3)?(y),

依題意，t(n—3)>3j71對?iEN*恒成立，

3—2九13?11

當14九V3時，tW---------x，則T；

4(n-3)24n—3'2

當九二3時，不等式恒成立;

3—2Tl

當n>3時，力）13*11301/1

4(n—3)24n-324n-32

則t>-，，于是一/<t<―],

Z2o

綜上，實數(shù)力的取值范圍是一gwtw-《

2o

［題目［4］（23-24高二下?吉林長春?階段練習）設(shè)正項數(shù)列｛an｝的前幾項之和勾=0什電+…+Q九，數(shù)列

｛b^的前幾項之積金=匕也…K，且氏+金=1-

（1）求證：1｝｝為等差數(shù)歹U,并分別求｛斯｝、｛&｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛an-b“+J的前幾項和為S”,不等式S0>4+久一號對任意正整數(shù)n恒成立,求正實數(shù)4的取值

A0

范圍.

【答案】⑴證明見解析，?=/1,bn=-4-

n（n+1）n+1

（2）!<^<2

【分析】（1）利用已知關(guān)系可得與=江，代入氏+品=1,化簡可證（上］為等差數(shù)列，從而求得｛aj,｛⑥｝

Cyi—1IJ

的通項公式；

（2）由⑴得an-產(chǎn)/、，利用裂項相消可得S?=4-《（一T+47），利用數(shù)列的單調(diào)性求出

解不等式即可求出正實數(shù)1的取值范圍.

O

【詳解】（1）由題意知：當九>2時，bn=一°n、代入口+品=1得品+品=1,

^n—1。九一1

所以—-------=1.

1

由｛"3,得…制

所以｛2｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列,

11n

所以工=n+l'C"=E'b”=l—以

九十1

71—1_1

當九>2時,a"=b「b”一尸R

nn(n+1)

當？i=1時，Q尸瓦=《也符合上式，所以an=―—

2n（n+1）

⑵由⑴得一號If篝

所以8尸土+M+—+…+記七^L

Xfi_X.X_X?X_X.?11?11)

=-2132435n-1n+1nn+2)

=&」（，+，）

42Vn+1n+2卜

顯然｛Sj單調(diào)遞增，所以S含S[=].

O

由題意得即1+4〈言,

A63/12

又4>0,所以4的取值范圍為:

題目回（2024?湖南?二?）己知｛M｝是各項都為正數(shù)的等比數(shù)歹（J,數(shù)列｛bn｝滿足：b=21og2On+l,且瓦=

1,bi—7.

⑴求數(shù)列｛冊｝,｛吼｝的通項公式；

（2）若對任意的nCN*都有24冊）勾一2，求實數(shù)A的取值范圍.

【答案】（l）a“=2"T；b“=2n-l

⑵心得

O

【分析】（1）利用題設(shè)條件求得的44,再利用等比數(shù)列的通項公式求得冊，進而求得第；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為1>業(yè)F恒成立，再利用作差法求得/（力=的最大值，從而得解.

【詳解】（1）因為bn=21og2an+l,瓦=1,a=7,

所以fei=1=21og2ai+l,則Q尸1,

b4=7=210g2a4+I，則。4=8,

因為｛aj是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以不=幺=8,即q=2,

al

n-1

所以an=2,則bn=210g2。九+1=2（n—1）+1=2n—1.

2n3

（2）因為24ali>bn-2恒成立，所以4>與2=-恒成立，

2aziT

設(shè)/M）=^^SeN*）,則/（九+1）—=—=

當nW2時，/(n+1)—/(n)>0,則/(3)>/(2)>/(1);?M

當n>3時，/他+1）—/（n）<0,則/（3）>/（4）>f（5）>-;

所以/伍）a=/（3）=等,則心目.

OO

題目回（23-24高二上?山東燦臺?期末）設(shè)數(shù)列｛每｝,他｝的前幾項和分別為S",1,Q1=—2,仇=1,且

4s九+產(chǎn)3s九—8，bn+1=-^-bn-（nGN*）.

Jan+l

（1）求｛飆｝的通項公式，并證明：｛（1■廠是等差數(shù)列；

（2）若不等式（6相-54心）”―（n+3）⑵―9）W0對任意的neN*恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

【答案】⑴a“=—2x信尸證明見解析；

⑵（—8,3].

【分析】（1）根據(jù)給定條件,結(jié)合an=SH>2）求出｛冊｝的通項，再利用等差數(shù)列的定義推理即得.

⑵利用錯位相減法求和得，黑=（3n—9乂!）+9,由給定不等式得,A&'+9—+~~~，再求出+

三的最小值即可.

2n

【詳解】⑴數(shù)列｛飆｝中，4sli+i=3S“一8,當n>2時，4Sn=3Sn-i—8,兩式相減得，an+1=^-an,

又4s2=3s1—8,即4（ai+a2）=3a「8,而囪=—2,解得a2=―,則a2=,

所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，a“=—2X（弓）”:

由b=-----,瓦=1,得bi—~b-\—

+1n+n■（汐HFm，

"3an+13/3_

因此數(shù)列｛借廣％）是以（2°瓦=1為首項、1為公差的等差數(shù)列.

⑵由⑴得，仔）"%=1+（九一1）、1=",即吼=九傳）"\

2

則Tn=1X（y）°+2X信丫+3X（y）+?■?+nX信廠

23

于是jTn=1X（y）'+2X（y）+3X（y）+…+（九—1）X+nX（y）",

兩式相減得，-和=信）°+宿丫+（/+（?丫+…+信廣-"信『=3[⑶"t]-

因此￡=（3九一9乂?。?9,

又（6加-54）（/一（九+3）（虱-9）W0,即（61-54）信）&（n+3）（3n-9）（1-）\

于是^吟=￡+.,而￡+得=3,當且僅當幾二3時等號成立,則

所以實數(shù)4的取值范圍為（-co,3].

【點睛】思路點睛：涉及數(shù)列不等式恒成立問題，可以變形不等式，分離參數(shù)，借助函數(shù)思想求解即可.

題型二:數(shù)列不等式能成立（有解）問題

題目F（2024?云南?一模）已知｛冊｝為等比數(shù)列，記S”、北分別為數(shù)列｛廝｝、｛0｝的前n項和，55=62,

S10=2046,27^=nbn+n,b2=3.

⑴求｛“/、｛'｝的通項公式；

（2）是否存在整數(shù)c,使與+匹+…+&<c對任意正整數(shù)n都成立？若存在，求c的最小值;若不存在,

Q1。2

請說明理由.

【答案】（1）斯=2",bn=2n-l;

⑵存在，c的最小值為3.

【分析】

⑴利用等比數(shù)列求和公式得首項和公比的方程組，得an=2",利用數(shù)列的和與通項的關(guān)系得（n-l）bn+1=

九隊一1,結(jié)合九"2=（n+l）bn+1—1得｛bn｝是等差數(shù)列即可求解；

⑵錯位相減法求和得&=旦+匹+…+b,再利用數(shù)列性質(zhì)求最值即可求解.

Qi電M

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列｛廝｝的公比為q,根據(jù)已知得q片1,且

S5二當夫62

解方程組得卜尸?

SIO=d=20469=2.

n

???｛QJ的通項公式為。九=（1『=2x2九-1=2.

,：2T/nbn+n,

27]=26二仇+1,解得b尸1,

且2北+i=(n+l)bn+1-bn+1.

2黑+1—2或=(n+l)6n+i+n+1—nbn—n,

即2bn+1=(n+l)5n+1+n+1—nbn—n.

(九-1)⑥+i=nbn-l且nbn+2=(n+l)5n+1-l,

則nbn+2-(n-l)bn+i=(n+l)bn+1-nbnf

整理得bn+2+bn=2bn+1,故｛bj是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列,

故bn=1+2（n—1）=2n—1.

{bn}的通項公式為bn=2n—l.

⑵設(shè)c,=2+匹+…+b=《+/+…+&W

2

Q1。2an22T

KI.|11I3iI272,1

則—C=—+—H---1----7—.

2n22232n+1

111229

c?=-c?=-+-+-+-+-2n-l

?2n+1

7

2Tl+3

V4=3一醫(yī)獸<3恒成立，且。4=3一共>2,

216

存在整數(shù)c,使與+匹+…+'Vc對任意正整數(shù)九都成立，且c的最小值為3.

Qia2an

題目囪(23-24商二上?江蘇拉城?期末)己知正項數(shù)列｛冊｝的前九項和為且2國=每+1；數(shù)列｛0｝

是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,公比為q,且心，兒的等差中項為10；多，氏的等比中項為8.

(1)求｛詼｝，｛口｝的通項公式；

冊,?i為奇數(shù)

⑵設(shè)c”=X九為偶數(shù)，方為數(shù)列｛品｝的前幾項和，若存在打GN使得容—2/+n>泡成立，求實數(shù)義

.bn

的最大值.

【答案】(1)冊=2n—l,bn=T

o

【分析】⑴利用a“與必的關(guān)系可得an，利用等比數(shù)列性質(zhì)及等差中項、等比中項性質(zhì)可得&;

(2)分組求和可得可將原不等式轉(zhuǎn)化為(親—")，計算即可得.

【詳解】⑴由2"=an+l可得4S0=(%+1)2,

2

當n>2時，4S"-i=(a?-i+l),兩式相減得4a?=a^—a?-i+2(a?—an_x),

點―a：-i=2(a“+an—1)，

即(。八十冊-1)(冊一冊-1)=2(an+an_i).Van>0,

**?Ojnan-i=2(n>2),

即可得｛廝｝是等差數(shù)列.

由2=ai+1,得2=ai+1,/.0i=1,

即an=14-(n—1)x2=2n—1.

萬2+64=20:建渣，解得與=4或b—16

由題意得2

帥5=64'64=16仇=4'

,/｛6n｝是遞增的等比數(shù)列,

???仁3所以。得&i=2

[d=16q=2'

n-1n

??.bn=2x2=2,

n

即冊=2n-l,bn=2;

1

⑵由⑴得：￡n=(Q1+Q3+—Fa-i)+(62+64+—Hbn)—2n2—n+

2n24n

2

若存在n6N*使得7^n—2n+n>Abn成立,

等價于存在九CN*使得44I/—'）能成立,

設(shè)4=則虞一*_尸,侏—親）一y（i-a）=?親-i）<0

/.｛*｝是遞減數(shù)列，故d九的最大值為&=,

O

因此4的最大值為

8

趣自區(qū)（2024?云南曲靖?一模）已知數(shù)列｛冊｝的前九項和為&,且&=2an—n.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）若數(shù)列｛0｝滿足圖=馬士二,其前九項和為黑，求使得Tn>卷）成立的n的最小值.

【答案】（1）斯=2n-l;

（2）10.

【分析】

⑴根據(jù)M,S九關(guān)系及遞推式可得M+1=2（Q*I+1）,結(jié)合等比數(shù)列定義寫出通項公式，即可得結(jié)果;

（2）應(yīng)用裂項相消法求黑，由不等式能成立及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得九>10,即可得結(jié)果.

【詳解】（1）當？1>2時，an=S「Sn_i=（2an—n）—（2an_i—n+1）=2（Q九一Q九—1,

所以an=2。.1+1,則an-\-l=2（an-i+l）,而Q尸S尸2^—1=>。尸1,

所以電+1=2,故｛an+l｝是首項、公比都為2的等比數(shù)列，

nn

所以Q九+1=2=>an=2—1.

dnh—斯+1T11

(7LQg+1―(2n-l)(2n+1-l)―2n-l2n+1-l，

所以方=—/專+…+11

2n-l2n+1-l

111

要使￡=1一>盟即<=^>2n+1>2025,

2n+1-l2n+1-l2024

由210<2025<2"且九CN",則九+1>11=n>10.

所以使得黑>翁■成立的九的最小值為10.

［題目|4）（23-24%三上?山東?階&練習）已知正項數(shù)列｛aj的前幾項和為S”，2唇=即+1；數(shù)列缶“｝是

遞增的等比數(shù)列,公比為q,且與，b的等差中項為10,3生的等比中項為8.

（1）求｛廝｝,｛口｝的通項公式；

—an）n為奇數(shù)

2

_3_n為偶數(shù)，7為｛cn｝的前幾項和，若7^n+2n-n+3>Abn能成立，求實數(shù)A的最大值.

.bn

【答案】（1）冊=2n—1,bn=T

（哈

【分析】⑴利用Sn,an的關(guān)系式即可求得｛aj是等差數(shù)列，可得an=2n-l;再利用等比數(shù)列定義即可求得

瓦=2?=2,可得勿=2n;

（2）采用分組求和并利用等差、等比數(shù)列前九項和公式即可求得冕“=—2/+九+1—」-,不等式能成立等價

于（4x（［7一（J門，利用單調(diào)性可求得AW號.

L'2，'3/」maxo

【詳解】⑴由2唇=每+1可得4s幾=5+1）2,

QQ

當n>2時，4Sn_i=（冊_1+1）2,兩式相減得4an=（——+2（七一?！?

71-71-1—

,,。。(^dn~\~CLn—l),

即(QTZ+QTI-1)(。九一1)—2(Q九+(1九_1).?Q?1>0,

.\an-an_i=2(n>2),

即可得｛QJ是等差數(shù)列.

由2=0-1+1,得=Q1+1,/.Q尸1,

即an=1+(n—1)X2=2n—1.

b+b=20即耳，解得b=16

由題意得24:2或2

仇匕5=64'64—4°

???也｝是遞增的等比數(shù)列,

?dU，所以。得bi=2

[b4=16q=2.

n-1n

??.bn=2x2=2.

n

所以｛an｝和｛&n｝的通項公式為an=2n—1,bn=2.

⑵由⑴得：

(Q1+Q3+Q5+—Ha_i)+(62+64+^6+—H----F4n—

￡九=一2n^~b2n)=—(1+5+93)+3

+3天1

11(1+4n—3)n4n1

+±+±+…+=-2n29+n+1------

222426214n

1-4

為九+2療一n+3>Ab能成工，等價于4——>/IX2"能成工,

n4n

nnnn

化簡得4x(y)-(f)能成立，即X&[4x(y)-(y)]max-

設(shè)虞=4x（,）-（。），則

…=4x（4F七fLx（/+（1）Jx信）%x（1）-（/艮x（1r-2］<0,

｛&J是遞減數(shù)列，故小的最大值為&=學(xué).

O

.?"《第，

因此久的最大值為學(xué).

O

［題目|5］（23-24ilj三上?河北張家口?除我練習）已知正項數(shù)列｛%｝的前幾項和為S”,且@?=亭9“??

+l(nEN*).數(shù)列｛bn｝的前幾項和為黑，數(shù)列｛品｝的前幾項和為數(shù)列bn=2nan—an(nEN*),cn

1

+z,=—,(nGN,).

n(n+1)dn

⑴求數(shù)列｛冊｝的通項公式及以；

(2)若對任意nCN*,存在gC[—1,1]使得力相42g—m成立，求實數(shù)?n的取值范圍.

【答案】(1)斯=2'neN*;￡=6+(2n-3)-2n+1;

【分析】(1)利用S”,即的關(guān)系式可求得數(shù)列｛a“｝的通項公式為a,=T,neN*,由錯位相減法求和即可得Tn

=6+(2n-3)-2n+1;

⑵易知4=一」-,由數(shù)列的函數(shù)特性可知±=羔,根據(jù)題意只需滿足2—

n+12n51680

告即可求得隆姿

【詳解】(1)由a=yS?+l(neN*)，可得Sn=2a“一2(neN*),

當ri=1時，5=Si—2a「2，得<Zi=2;

==

當n>2時，anSn—Sn-i=2an—2—2冊_1+2,即an2ali,

可得｛aj是以的=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an=T,neN*;

當n=1時，5=2符合a”=2",

所以數(shù)列｛aj的通項公式為a0=T,nGN*;

bn—2nan-an—(2n-l)a”=(2n-1)-T,

則數(shù)列｛bj的前幾項和為7；=1?2+3?22+5?23+-+(2n-1)-2n,

27；=1-22+3-23+5?24+…+(2九-1)?2n+1,

相減可得：

4(1—2"T)

一工=2+2(22+23+…+2”)-(2n-1)-2n+1=2+2-~~(2n-1)-2n+1

1—2

=-6+2"+2-(2n-l)-2"+1

所以方=6+(2九一3)?2"+i;

⑵由品+茄+五=2'5**)得5表一(?)，

可得

A=fX+X+...+X^_h_X+X_X+...+X__一二卻-__一_工

n(2十4十十2M~2十23十十九n+Pi_XU口+Vn+1T

12

由C=0,c2>0,c3>0,c4>0,

n

當？i>5時，2>n(n+1),即有cn<0,可得4=]春=,

51680

又力6[—1,1]時，g=26一nz的最大值為2—m,

對任意?16N*,存在[―1,1],使得4&2g—m成立,

11

即2—nz）朵即可，解得m<;

oiloU

所以實數(shù)小的取值范圍為（一00,器］

二、專題數(shù)列不等式專項訓(xùn)練

［題目|1］（23-24%二下?遼寧大連?階段練習）設(shè)數(shù)列｛冊｝的前幾項和為S”，已知ai=5,a2=25,Sn+1

+5S”T=6S“（n>2）,方是數(shù)列｛21og5an-l）的前幾項和.

（1）求數(shù)列｛aj的通項公式；

（2）求滿足（1一一/）（1一，…（1一一號—）》圣II■的最大正整數(shù)九的值.

【答案】（1）@=5"

⑵95

【分析】⑴利用S“-S”T=即得到數(shù)列｛aj是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求解；

（2）先求出心,進而可得黑，求出1—J—代入不等式左邊整理化簡，然后解不等式即可.

4+1

【詳解】⑴因為Sx+5s一產(chǎn)6Sn（n>2）,

所以Sn+1-Sn=5Sn-5Sn_1,即an+1=5an,又電=25=5。/0,

所以數(shù)列｛冊｝是以5為首項，5為公比的等比數(shù)列,

n

所以an=5;

n

(2)由(1)得210g5。九一1=21og55—1=2n—1,

(1+2n—l)n1n,(n+2)

所以黑==九2,則1一=1一

2J-n+1(九+1)2(n+1)2

_1X3、，2X4、，3X5、，、，伽-1)(九+1)、，九(九+2)_n+2

—IX-X-ZX???/X-ZX——.

223242n2(n+1)22(n+l)

所以丁+彳、二螺，又九CN*,解得九W95,

2(n+1)2025

所以正整數(shù)九的最大值為95.

［題目|2）（2024?四川南充?二?）在數(shù)列｛冊｝中，S”是其前幾項和，且3S“—冊=64.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若VneN+"—lVSR韭+d恒成立，求4的取值范圍.

【答案】⑴0n=32X（—

⑵［7J7）

?A

S—1［1

b，作差得到a=―從而得到｛冊｝是以32為首項，——為公比的

【分析】(1)由ann

Sn-Sn-lfn>222

等比數(shù)列，即可求出其通項公式；

⑵由(1)求出S”,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出S”的最值，即可得解.

【詳解】⑴因為3Sn—aO=64,

當n=1時，3S］—的=64,解得5=32;

當n>2時，3又_1一與_產(chǎn)64,所以3sli-a3-3SnT+anT=0,所以&=一9冊_1；

所以｛冊｝是以32為首項，一］■為公比的等比數(shù)列,

所以冊=32x(

譬［1為偶數(shù)

（2）由（1）可得50=4^1=^

叫1+N”］,n為奇數(shù)'

OO

又g'在R上單調(diào)遞減，則y"在_R上單調(diào)遞增,

22

=16,

當ri為奇數(shù)時，年1+=32,

O

所以當n=1時又取得最大值為32,當n=2時&取得最小值為16,

因為V7ieN+"-l<S“W4/i+4恒成立，

所以吳肅4,解得EV",

所以4的取值范圍為［7,17).

題目0)(2024?全國?模擬fit測)已知數(shù)列｛飆｝的前n項和為S”,且a2=3,2Sn=n(a0+2).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若存在nCN*,使得'+'+…+^^>而“+1成立,求實數(shù)4的取值范圍.

。1電。2。3Q^Qn+i

【答案】(1)冊=幾+1;

⑵(-。0,焉］?

【分析】(1)當口=1時，求得。尸2,當打>3時，得到2S*產(chǎn)(n-l)(a-+2),兩式相減化簡得到

n1n—1

^n—l11

=一2，結(jié)合疊加法，即可求得數(shù)列｛Q/的通項公式;

n—2n—2n—1

⑵由⑴得到—11_11

=￡1n+2,求得-----1---------1-----F

Q2a3。九。九十12九+2

n1

解法1:根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為44——-~~-,結(jié)合，結(jié)合基本不等式，即可求解;

2(.+2>2（九+2產(chǎn)2（n+,+4）

11

解法2:根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為44，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

2（九+2）（71+2）2

13

【詳解】(1)解：當幾=1時，2sl=2a產(chǎn)QI+2,解得a尸2,

當>3時，2szi=九(冊+2),2Sn-i=(ri—1)(an-i+2),

兩式相減可得，(?i—2)an—(n—l)(zn-i——2,

1_2(1

則，^1)an]。h―2_2(11

71—1n—21n—2n—\n—2n—3n—3n—2

電_4—2n

疊加可得，*V,則a=n+1,

n—11n—1n

而九二1,2時也符合題意,

所以數(shù)列｛Q/的通項公式為冊=71+1.

11_______1_

（2）解：由（1）知a=九+1,可得------=

n^n^n+l(n+1)(n+2)n+1n+2

1.1,,1_11,11,,11n

故-------1----------1-…H------------=-------------1--------------F…H------------------------=--------------

dia2a2a3anan+l2334n+1n+22(n+2)

解法]:由---I--—I--1-----—>,可得―――--->彳(ri+2),

aQa2a3anan+12(n+2)

即——-~~，即貝——-~~-，又由——-~~7=----------------------------------<=■

2216

2(n+2)12(九+2)2kx2(n+2)2(n+^-+4)

當且僅當n=2時取等號，故實數(shù)力的取值范圍為(-00,i1.

\16J

解法2:由,+一=[——二>"九+2),

Q1Q2Q2a3Cbnan+12n+2

可得A0——-----------——=-(—-----—?+—,

2(n+2)(九+2)27+24J16

1I=J_

當九+2=4,即n=2時，-------

L2m+2)2

(n+2).max16

則1W上，故實數(shù)力的取值范圍為（一