2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.4.3-二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【課件】

第3課時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

第7章

7.4二項(xiàng)式定理1.了解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).2.理解二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.3.掌握應(yīng)用“賦值法”.學(xué)習(xí)目標(biāo)被譽(yù)為“世界七大奇跡”之一的古埃及的金字塔，以其宏偉的氣勢(shì)、嚴(yán)密的結(jié)構(gòu)、精美絕倫的整體外觀讓世界嘆服.而數(shù)學(xué)上也有“金字塔”，這就是二項(xiàng)式(a＋b)n的展開(kāi)式在n＝1，2，…時(shí)的二項(xiàng)式系數(shù)而壘成的金字塔，稱(chēng)為楊輝三角，它是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝首先發(fā)現(xiàn)的，比歐洲的帕斯卡整整早發(fā)現(xiàn)了500年左右.導(dǎo)語(yǔ)隨堂練習(xí)對(duì)點(diǎn)練習(xí)一、二項(xiàng)式系數(shù)表二、二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、增減性、最值三、二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題內(nèi)容索引一、二項(xiàng)式系數(shù)表問(wèn)題1根據(jù)二項(xiàng)式定理寫(xiě)出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二項(xiàng)式系數(shù).可以寫(xiě)成如下形式，則第7行的數(shù)字分別是多少？提示

1,7,21,35,35,21,7,1.知識(shí)梳理二項(xiàng)式系數(shù)表此表的規(guī)律如下：(1)每一行中的二項(xiàng)式系數(shù)都是“

”的.(2)每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的

.對(duì)稱(chēng)和(3)每行的二項(xiàng)式系數(shù)從兩端向中間逐漸

.(4)第1行為1＝20，第2行的兩數(shù)之和為2，第3行的三數(shù)之和為22……第7行的各數(shù)之和為26.增大例1

如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開(kāi)始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，記其前n項(xiàng)和為Sn，求S16的值.解

由題意及二項(xiàng)式系數(shù)表的特點(diǎn)可得S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝164.跟蹤訓(xùn)練1

如圖是與楊輝三角有類(lèi)似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b是某行的前兩個(gè)數(shù)，當(dāng)a＝7時(shí)，b等于A.20 B.21C.22 D.23√解析

由a＝7，可知b左肩上的數(shù)為6，右肩上的數(shù)為11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.二、二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、增減性、最值問(wèn)題2怎樣找二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值？知識(shí)梳理二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、增減性、最值例2

(1＋2x)n展開(kāi)式第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解得n＝8.跟蹤訓(xùn)練2

(1－x)2n－1展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是A.第n－1項(xiàng)B.第n項(xiàng)C.第n－1項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)D.第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)√解析

由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得，二項(xiàng)式系數(shù)最大為

分別為第n，n＋1項(xiàng).三、二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題知識(shí)梳理二項(xiàng)式系數(shù)的和2n2n－1例3

已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；解

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；解

令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.知a1，a3，a5為負(fù)值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.(3)a1＋a3＋a5.解

由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，延伸探究在本例條件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；解

因?yàn)閍0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；解

因?yàn)閍0是(2x－1)5的展開(kāi)式中x5的系數(shù)，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.解

因?yàn)?2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以?xún)蛇吳髮?dǎo)數(shù)得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.跟蹤訓(xùn)練3

已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；解

∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展開(kāi)式化為(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；解

令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值.解

由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.隨堂練習(xí)1.觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是1234A.8

B.6C.4D.2√解析

由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4＋a＝10，得a＝6.12342.在(a－b)20的展開(kāi)式中，與第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是A.第15項(xiàng)

B.第16項(xiàng)C.第17項(xiàng)

D.第18項(xiàng)√1234A.第5項(xiàng)

B.第6項(xiàng)

C.第7項(xiàng)

D.第8項(xiàng)√√12344.(2x－1)6的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為_(kāi)_；各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為_(kāi)__.1解析

令x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)的和為1；各二項(xiàng)式系數(shù)之和為26＝64.64對(duì)點(diǎn)練習(xí)基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.在(a＋b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，與第k項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是A.第n－k項(xiàng)

B.第n－k－1項(xiàng)C.第n－k＋1項(xiàng)

D.第n－k＋2項(xiàng)16√2.已知(1＋x)n的展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為A.212

B.211C.210D.29解析

∵展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴n＝10，∵奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，12345678910111213141516√123456789101112131415163.(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為A.2n＋1

B.2n－1C.2n＋1－1 D.2n＋1－2√解析

令x＝1，則2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.123456789101112131415164.在(x＋y)n的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是A.第6項(xiàng) B.第5項(xiàng)

C.第5,6項(xiàng)

D.第6,7項(xiàng)√∴展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)，它也是系數(shù)最大的項(xiàng).123456789101112131415165.(多選)關(guān)于(a－b)11的說(shuō)法，正確的是A.展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2048B.展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C.展開(kāi)式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大√√解析

(a－b)11的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為211＝2048，故A正確；因?yàn)閚＝11為奇數(shù)，所以展開(kāi)式中有12項(xiàng)，中間兩項(xiàng)(第6項(xiàng)和第7項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，故B不正確，C正確；展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，不是最大值，故D不正確.123456789101112131415166.(多選)已知(x－1)n的展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則A.n＝7

B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為0C.偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為－64

D.展開(kāi)式的中間項(xiàng)為－35x3和35x4√√√1234567891011121314151610故n＝5.令10－5r＝0，得r＝2.12345678910111213141516348.如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第____行中從左至右的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3.123456789101112131415169.設(shè)(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a1＋a2＋a3＋a4；解

由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，令x＝0，得(0－3)4＝a0，所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝(2－3)4－81＝－80.12345678910111213141516(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；解

在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.12345678910111213141516(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.解

由展開(kāi)式知a0，a2，a4為正，a1，a3為負(fù)，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0＝313＋312－81＝544.12345678910111213141516(1)求m，n的值；解

由題意可得2n＝256，解得n＝8，解得m＝2或m＝－2(舍去).故m，n的值分別為2,8.12345678910111213141516(2)求展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；解

展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為12345678910111213141516綜合運(yùn)用1234567891011121314151611.若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，則a8的值為A.10B.45C.－9D.－45√12345678910111213141516A.2 B.0C.－2 D.－1√12345678910111213141516A.462 B.400

C.390 D.300√∵二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，而所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，故由題意得2n－1＝1024，1234567891011121314151614.(多選)傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個(gè)“圓柱容球”是他最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他死后，墓碑上要刻上一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形，設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，若f(x)＝

，則A.f(x)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是56B.f(x)的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為